习题六
6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?
答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．
6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?
答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．
气体宏观量是微观量统计平均的结果．
6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?
21
4
6
8
2
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
解：平均速率
方均根速率
6-5 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(为分子数密度，为系统总分子数)．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：：表示一定质量的气体，在温度为的平衡态时，分布在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
() ：表示分布在速率附近，速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
() ：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数密度．
() ：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数,
()：表示分布在区间内的分子数占总分子数的百分比．
()：表示分布在的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是.
()：表示分布在区间内的分子数.
6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用 处?
答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．
分布函数的特征用最概然速率表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．
6-7 容器中盛有温度为的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?
答：该气体分子的平均速度为.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是.
6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?
答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．
6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了,温度也因此而升高吗?
答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．
6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?
答：图(a)中()表示氧，()表示氢；图(b)中()温度高．
题6-10图
6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?
答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．
6-12 下列系统各有多少个自由度：
(1)在一平面上滑动的粒子；
(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；
(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动．
解：() ，()，()
6-13 试说明下列各量的物理意义．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：()在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为T．
()在平衡态下，分子平均平动动能均为.
()在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为.
()由质量为，摩尔质量为，自由度为的分子组成的系统的内能为.
(5) 摩尔自由度为的分子组成的系统内能为.
(6) 摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为.
6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?
(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能．
解：()由知分子数密度相同；
()由知气体质量密度不同；
()由知单位体积内气体分子总平动动能相同；
(4)由知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．
6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?
解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．
由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即
是温度的单值函数．
6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?
(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能．
解：()相等，分子的平均平动动能都为．
()不相等，因为氢分子的平均动能，氦分子的平均动能．
()不相等，因为氢分子的内能，氦分子的内能．
6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?
解：由理想气体状态方程 得
汞的重度
氦气的压强
氦气的体积
6-18 设有个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求
(1)分布函数的表达式；
(2)与之间的关系；
(3)速度在1.5到2.0之间的粒子数．
(4)粒子的平均速率．
(5)0.5到1区间内粒子平均速率．
题6-18图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
满足归一化条件，但这里纵坐标是而不是故曲线下的总面积为，
(2)由归一化条件可得
(3)可通过面积计算
(4) 个粒子平均速率
(5)到区间内粒子平均速率
到区间内粒子数
6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于与之间的分子数占总分子数的百分比．
解：令，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
因为,
由 得
6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度；(4)分子间的平均距离；(5)平均速率；(6)方均根速率；(7)分子的平均动能．
解：(1)由气体状态方程得
(2)氧分子的质量
(3)由气体状态方程 得
(4)分子间的平均距离可近似计算
(5)平均速率
(6) 方均根速率
(7) 分子的平均动能
6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
解：理想气体分子的能量
平动动能
转动动能
内能
6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．
解：(1)因为 则
(2)由平均速率公式
6-23 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)．
解：由气体状态方程得
由平均自由程公式
6-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10 m)?
解：(1)碰撞频率公式
对于理想气体有，即
所以有
而
氮气在标准状态下的平均碰撞频率
气压下降后的平均碰撞频率
6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比．
解：由气体状态方程
及
方均根速率公式
对于理想气体，，即
所以有
6-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×105 Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×105 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度．
解：气体压强随高度变化的规律：由及
6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．
解：压强随高度变化的规律
6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?
答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．
6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?
答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．
气体宏观量是微观量统计平均的结果．
6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?
21
4
6
8
2
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
解：平均速率
方均根速率
6-5 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(为分子数密度，为系统总分子数)．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：：表示一定质量的气体，在温度为的平衡态时，分布在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
() ：表示分布在速率附近，速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
() ：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数密度．
() ：表示分布在速率附近、速率区间内的分子数,
()：表示分布在区间内的分子数占总分子数的百分比．
()：表示分布在的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是.
()：表示分布在区间内的分子数.
6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用 处?
答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．
分布函数的特征用最概然速率表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．
6-7 容器中盛有温度为的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?
答：该气体分子的平均速度为.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是.
6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?
答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．
6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了,温度也因此而升高吗?
答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．
6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?
答：图(a)中()表示氧，()表示氢；图(b)中()温度高．
题6-10图
6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?
答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度．
6-12 下列系统各有多少个自由度：
(1)在一平面上滑动的粒子；
(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；
(3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动．
解：() ，()，()
6-13 试说明下列各量的物理意义．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：()在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为T．
()在平衡态下，分子平均平动动能均为.
()在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为.
()由质量为，摩尔质量为，自由度为的分子组成的系统的内能为.
(5) 摩尔自由度为的分子组成的系统内能为.
(6) 摩尔自由度为的分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为.
6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?
(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能．
解：()由知分子数密度相同；
()由知气体质量密度不同；
()由知单位体积内气体分子总平动动能相同；
(4)由知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．
6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?
解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．
由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即
是温度的单值函数．
6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?
(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能．
解：()相等，分子的平均平动动能都为．
()不相等，因为氢分子的平均动能，氦分子的平均动能．
()不相等，因为氢分子的内能，氦分子的内能．
6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为
27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?
解：由理想气体状态方程 得
汞的重度
氦气的压强
氦气的体积
6-18 设有个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求
(1)分布函数的表达式；
(2)与之间的关系；
(3)速度在1.5到2.0之间的粒子数．
(4)粒子的平均速率．
(5)0.5到1区间内粒子平均速率．
题6-18图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
满足归一化条件，但这里纵坐标是而不是故曲线下的总面积为，
(2)由归一化条件可得
(3)可通过面积计算
(4) 个粒子平均速率
(5)到区间内粒子平均速率
到区间内粒子数
6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于与之间的分子数占总分子数的百分比．
解：令，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
因为,
由 得
6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度；(4)分子间的平均距离；(5)平均速率；(6)方均根速率；(7)分子的平均动能．
解：(1)由气体状态方程得
(2)氧分子的质量
(3)由气体状态方程 得
(4)分子间的平均距离可近似计算
(5)平均速率
(6) 方均根速率
(7) 分子的平均动能
6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少?
解：理想气体分子的能量
平动动能
转动动能
内能
6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．
解：(1)因为 则
(2)由平均速率公式
6-23 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)．
解：由气体状态方程得
由平均自由程公式
6-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10 m)?
解：(1)碰撞频率公式
对于理想气体有，即
所以有
而
氮气在标准状态下的平均碰撞频率
气压下降后的平均碰撞频率
6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比．
解：由气体状态方程
及
方均根速率公式
对于理想气体，，即
所以有
6-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×105 Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×105 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度．
解：气体压强随高度变化的规律：由及
6-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)．
解：压强随高度变化的规律
