习题三
3-1 惯性系S′相对惯性系以速度运动．当它们的坐标原点与重合时，==0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．
解,由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
解,设光讯号到达前门为事件，在车厢系时空坐标为，在车站系：
光信号到达后门为事件，则在车厢系坐标为，在车站系：
于是
或者
3-3 惯性系S′相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为=6×104m,=2×10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解,设相对的速度为，
(1)
由题意
则
故
(2)由洛仑兹变换
代入数值,
3-4 长度=1 m的米尺静止于S′系中，与′轴的夹角= 30°，S′系相对S系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45,试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解,(1)米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：
，
米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即
故
把及代入则得
故
(2)在系中测得米尺长度为
3-5 一门宽为，今有一固有长度(＞)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少?
解,门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，则
解得杆的运动速率至少为：
题3-6图
3-6两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇?
解,测得相遇时间为
测得的是固有时
∴
，
,
,
或者，测得长度收缩，
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：
(1) 相对于的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解,甲测得,乙测得，坐标差为′
(1)∴
解出
(2)
∴
负号表示．
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解,
∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
证,设在系事件在处同时发生，则，在系中测得
，
∴
即不同时发生．
3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解,(1)如果在系中，两事件在同一地点发生，则，在系中，，仅当时，等式成立，∴最短．
(2)若在系中同时发生，即，则在系中，，仅当时等式成立，∴系中最短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
解,以脉冲星为系，，固有周期.地球为系，则有运动时，这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，
∴ ′
则
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球．假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球．
解,介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
这段时间飞行距离为
因，故该介子能到达地球．
或在介子静止系中，介子是静止的．地球则以速度接近介子，在时间内，地球接近的距离为
经洛仑兹收缩后的值为：
，故介子能到达地球．
3-13 设物体相对S′系沿轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
解,根据速度合成定理，,
∴
3-14 飞船以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解,取为系，地球为系，自西向东为()轴正向，则对系的速度，系对系的速度为，则对系(船)的速度为
发射弹是从的同一点发出，其时间间隔为固有时，
题3-14图
∴中测得的时间间隔为：
3-15 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行．试求由火箭测得的速度．(2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，求相对的速度．
解,(1)如图，取地球为系，为系，则相对的速度，火箭相对的速度，则相对()的速度为：
或者取为系，则，相对系的速度，于是相对的速度为：
(2)如图，取地球为系，火箭为系，系相对系沿方向运动，速度，对系的速度为,,,由洛仑兹变换式相对的速度为：
∴相对的速度大小为
速度与轴的夹角为
题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解,系中光子运动速度的分量为
由速度变换公式，光子在系中的速度分量为
光子运动方向与轴的夹角满足
在第二象限为
在系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解,(1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
J=
(2)
)
3-18 子静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命=2×10-6s，若它在实验室参考系中的平均寿命= 7×10-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
解,设子静止质量为，相对实验室参考系的速度为，相应质量为，电子静止质量为，因
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
故
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
解,设静止质量为，运动质量为，
由题设
由此二式得
∴
在运动方向上的长度和静长分别为和，则相对收缩量为：
3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg．
解,由质能关系
∴
＝
所需电势差为伏特由质速公式有：
∴
故电子速度为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能＝2.8×109eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为＝0.511×106eV)
解,
所以
由上式，
由动量能量关系可得
3-22 氢原子的同位素氘(H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为H + H→He + n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解,反应前总质量为
反应后总质量为
质量亏损
由质能关系得
3-23 一静止质量为的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解,孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．
设裂变产生两个粒子的静质量分别为和，其相应的速度,
由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
注意和必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以c, c代入，将上二方程化为：
，
上二式联立求解可得：
,
故静质量亏损由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为
3-24 有，两个静止质量都是的粒子，分别以=,=-的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解,在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别和，碰撞后粒子的质量为、速度为，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
①
②
由于
代入①式得
，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
解,史瓦西半径
地球,
则,
太阳,
则,
3-26 典型中子星的质量与太阳质量⊙＝2×1030kg同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?
解,(1)史瓦西半径与太阳的相同，
(2)
由
得
3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解,广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
3-1 惯性系S′相对惯性系以速度运动．当它们的坐标原点与重合时，==0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．
解,由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
解,设光讯号到达前门为事件，在车厢系时空坐标为，在车站系：
光信号到达后门为事件，则在车厢系坐标为，在车站系：
于是
或者
3-3 惯性系S′相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为=6×104m,=2×10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解,设相对的速度为，
(1)
由题意
则
故
(2)由洛仑兹变换
代入数值,
3-4 长度=1 m的米尺静止于S′系中，与′轴的夹角= 30°，S′系相对S系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45,试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解,(1)米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：
，
米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即
故
把及代入则得
故
(2)在系中测得米尺长度为
3-5 一门宽为，今有一固有长度(＞)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少?
解,门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，则
解得杆的运动速率至少为：
题3-6图
3-6两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇?
解,测得相遇时间为
测得的是固有时
∴
，
,
,
或者，测得长度收缩，
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：
(1) 相对于的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解,甲测得,乙测得，坐标差为′
(1)∴
解出
(2)
∴
负号表示．
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解,
∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
证,设在系事件在处同时发生，则，在系中测得
，
∴
即不同时发生．
3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解,(1)如果在系中，两事件在同一地点发生，则，在系中，，仅当时，等式成立，∴最短．
(2)若在系中同时发生，即，则在系中，，仅当时等式成立，∴系中最短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
解,以脉冲星为系，，固有周期.地球为系，则有运动时，这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，
∴ ′
则
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球．假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球．
解,介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
这段时间飞行距离为
因，故该介子能到达地球．
或在介子静止系中，介子是静止的．地球则以速度接近介子，在时间内，地球接近的距离为
经洛仑兹收缩后的值为：
，故介子能到达地球．
3-13 设物体相对S′系沿轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
解,根据速度合成定理，,
∴
3-14 飞船以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解,取为系，地球为系，自西向东为()轴正向，则对系的速度，系对系的速度为，则对系(船)的速度为
发射弹是从的同一点发出，其时间间隔为固有时，
题3-14图
∴中测得的时间间隔为：
3-15 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行．试求由火箭测得的速度．(2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，求相对的速度．
解,(1)如图，取地球为系，为系，则相对的速度，火箭相对的速度，则相对()的速度为：
或者取为系，则，相对系的速度，于是相对的速度为：
(2)如图，取地球为系，火箭为系，系相对系沿方向运动，速度，对系的速度为,,,由洛仑兹变换式相对的速度为：
∴相对的速度大小为
速度与轴的夹角为
题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解,系中光子运动速度的分量为
由速度变换公式，光子在系中的速度分量为
光子运动方向与轴的夹角满足
在第二象限为
在系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解,(1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
J=
(2)
)
3-18 子静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命=2×10-6s，若它在实验室参考系中的平均寿命= 7×10-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
解,设子静止质量为，相对实验室参考系的速度为，相应质量为，电子静止质量为，因
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
故
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
解,设静止质量为，运动质量为，
由题设
由此二式得
∴
在运动方向上的长度和静长分别为和，则相对收缩量为：
3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg．
解,由质能关系
∴
＝
所需电势差为伏特由质速公式有：
∴
故电子速度为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能＝2.8×109eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为＝0.511×106eV)
解,
所以
由上式，
由动量能量关系可得
3-22 氢原子的同位素氘(H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为H + H→He + n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解,反应前总质量为
反应后总质量为
质量亏损
由质能关系得
3-23 一静止质量为的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解,孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．
设裂变产生两个粒子的静质量分别为和，其相应的速度,
由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
注意和必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以c, c代入，将上二方程化为：
，
上二式联立求解可得：
,
故静质量亏损由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为
3-24 有，两个静止质量都是的粒子，分别以=,=-的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解,在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别和，碰撞后粒子的质量为、速度为，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
①
②
由于
代入①式得
，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
解,史瓦西半径
地球,
则,
太阳,
则,
3-26 典型中子星的质量与太阳质量⊙＝2×1030kg同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?
解,(1)史瓦西半径与太阳的相同，
(2)
由
得
3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解,广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
