IIR数字滤波器的设计1-1
第 6章 IIR数字滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计1-2
主要内容本章的学习目标：
了解数字滤波器的基本概念
理解 IIR数字滤波器的各种类型
掌握 IIR数字滤波器特性分析的方法
掌握模拟滤波器的低通设计方法
掌握高通、带通及带阻滤波器的设计方法
掌握 IIR数字滤波器阶数的选择
掌握模拟滤波器的离散化
IIR数字滤波器的设计1-3
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器 (Digital Filter，简称为 DF)是数字信号处理的重要基础，在对信号的过滤、
检测与参数估计等处理过程中，它是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。
数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的、用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统。数字滤波器的输入是一组 (由模拟信号取样和量化的 )数字量，其输出是经过数字变换的另一组数字量。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。
IIR数字滤波器的设计1-4
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的数学运算有两种实现方式：
一种是频域法，即利用 FFT快速运算办法对输入信号进行离散傅立叶变换，分析其频谱，然后根据所希望的频率特性进行滤波，
再利用傅立叶反变换恢复出时域信号。这种方法具有较好的频域选择特性和灵活性，并且由于信号频率与所希望的频谱特性是简单的相乘关系，所以它比计算等价的时域卷积要快得多。
另一种方法是时域法，这种方法是通过对离散抽样数据作差分数学运算来达到滤波目的的。
IIR数字滤波器的设计1-5
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的一般设计过程为：
(1) 按照实际需要，确定滤波器的性能要求；
(2) 用一个因果、稳定的离散线性时不变系统，去逼近这一性能指标；
(3) 用有限精度的运算实现所设计的系统；
(4) 通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求。
IIR数字滤波器的设计1-6
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.1 滤波器的原理
IIR数字滤波器的设计1-7
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.2 滤波器的分类滤波器的种类很多，有各种不同的分类方法，既可以从功能上分类，也可以从实现方法上分类。从大的方面来说，滤波器一般分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。根据滤波器的功能，又可以将它们分为：
低通滤波器 (LPF)
高通滤波器 (HPF)
带通滤波器 (BPF)
带阻滤波器 (BSF)
IIR数字滤波器的设计1-8
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.3 数字滤波器的表达方式
IIR数字滤波器的设计1-9
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.3 数字滤波器的表达方式
MATLAB的工具箱中提供的用于滤波器数学模型间转换的函数主要有：
状态方程模型到零极点增益模型的转换函数：
[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)；
零极点增益模型到状态方程模型的转换函数：
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)；
传递函数模型到零极点增益模型的转换函数：
[Z,P,K]=tf2zp(num,den)；
零极点增益模型到传递函数模型的转换函数：
[num,den]=tf2zp(Z,P,K)；
状态方程模型到传递函数模型的转换函数：
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)；
传递函数模型到状态方程模型的转换函数：
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。
IIR数字滤波器的设计1-10
6.2 IIR数字滤波器的结构无限脉冲响应数字滤波器的主要结构型式有：
直接 Ⅰ 型
直接 Ⅱ 型
级联型
并联型
IIR数字滤波器的设计1-11
6.3 IIR数字滤波器特性分析
6.3.1 IIR数字滤波器的脉冲响应
IIR数字滤波器的设计1-12
6.3 IIR数字滤波器特性分析
6.3.2 IIR数字滤波器的频率响应在 MATLAB信号工具箱中专门用来求解滤波器频率响应的函数有：
Freqz函数：求解数字滤波器频率响应
Freqs函数：求解模拟滤波器频率响应
Abs函数：从复频域响应数据中提取幅值信息
Angle函数：从复频域响应数据中提取相位信息
Unwrap函数：相位的“解卷绕”
Grpdelay函数：计算群延迟
6.3.3 零极点分析运用 MATLAB工具箱中的 Zplane函数，可以直接在 Z平面上绘制系统的零极点图。
IIR数字滤波器的设计1-13
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.1 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯滤波器，又被称为“最平”的幅频响应滤波器。这是因为，该滤波器在通带内具有最大平坦的幅度特性，而且随着频率升高呈现出单调减小的特点。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计巴特沃斯滤波器的函数是 Buttap函数。
IIR数字滤波器的设计1-14
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.2 切比雪夫低通滤波器的设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，在通带和阻带内都是单调的。因此，为了更有效的将精度均匀地分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内的滤波器设计，可以通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。
切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：切比雪夫 Ⅰ 型滤波器，即振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的；切比雪夫 Ⅱ 型滤波器，即振幅特性在阻带内是等波纹的，在通带内是单调的。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计切比雪夫低通滤波器的函数有,
Cheb1ap函数：设计切比雪夫 Ⅰ 型滤波器
Cheb2ap函数：设计切比雪夫 Ⅱ 型滤波器
IIR数字滤波器的设计1-15
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.3 椭圆低通滤波器的设计切比雪夫滤波器仅仅是在通带范围内具有良好的等纹特性,在通带以外的频带内的特性仍然是单调的 。 所以,这种滤波器还不能满足特定情况下的设计要求 。 于是,又设计出了在通带内和阻带内都具有等波纹振幅特性的滤波器 。 由于其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定的,故称为椭圆滤波器 。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计椭圆低通滤波器的函数是 Ellipap函数 。
IIR数字滤波器的设计1-16
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计在实际所使用的数字滤波器中除了低通型外,还有高通型,带通型以及带阻型等 。
模拟高通型,带通型以及带阻型滤波器的设计方法是先将要设计的滤波器的技术特性指标通过频率转换变成模拟低通滤波器的技术指标,再根据这些性能指标设计出低通型滤波器的传递函数,最后依据频率转换关系得到所需要的滤波器的传递函数 。
IIR数字滤波器的设计1-17
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计1-18
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计 高通,带通及带阻滤波器 的函数有：
Lp2lp函数：
模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换
Lp2hp函数：
模拟低通滤波器到模拟高通滤波器的转换
Lp2bp函数：
模拟低通滤波器到模拟带通滤波器的转换
Lp2bs函数：
模拟低通滤波器到模拟带阻滤波器的转换
IIR数字滤波器的设计1-19
6.6 IIR实数字滤波器的实频率变换
IIR数字滤波器的设计1-20
6.7 IIR实数字滤波器的复频率变换
IIR数字滤波器的设计1-21
6.8 IIR数字滤波器阶数的选择
IIR数字滤波器的设计1-22
6.9 模拟滤波器的离散化从模拟滤波器设计 IIR数字滤波器就是由系统函数 Ha(s)进一步得到 H(z)。归根结底是一个由平面到平面的变换，即模拟滤波器的离散化。
这个变换要遵循两个基本目标：
(1) H(z)的频率响应必须要模仿 Ha(s)的频率响应，
也就是平面的虚轴应该映射到平面的单位圆上；
(2) Ha(s)的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的 H(z)中保持。
从模拟滤波器变换成数字滤波器有 4种方法：
微分 -差分变换法
脉冲响应不变变换法
双线性变换法
匹配 z变换法
IIR数字滤波器的设计1-23
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.1 脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器脉冲响应不变变换法，又称为标准 z变换法，它能保证从模拟滤波器变换所得的数字滤波器的单位取样响应 h(n)，就是以 T为采样周期对相应的模拟滤波器的单位脉冲响应 ha(t)的等间隔采样。
脉冲响应不变变换法主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的数字滤波器。
这种变换法的主要特点是：
频率坐标的变换是线性的；
具有频谱的周期延拓效应。
Impinvar函数：模拟滤波器变换成数字滤波器的脉冲响应不变法
IIR数字滤波器的设计1-24
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.2 双线性变换法设计 IIR数字滤波器脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好地模仿模拟滤波器，但是出现频谱混叠现象。
为克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应，
凯塞和戈尔登建议使用一种新的有效的变换，这就是双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近得到的。
双线性变换法的主要特点是：
(1) 消除了脉冲响应不变法所固有的频谱混叠现象；
(2) 缺点是模拟频率和数字频率之间是非线性关系。
Bilinear函数：模拟滤波器转换为数字滤波器的双线性变换法
IIR数字滤波器的设计1-25
6.10 MATLAB函数直接设计 IIR数字滤波器在 MATLAB中设计 IIR数字滤波器的步骤如下：
(1) 把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟低通滤波器的性能指标；
(2) 根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数，确定滤波器的最小阶数 N和固有频率 Wn；
(3) 由最小阶数 N得到低通滤波器原型；
(4) 由固有频率 Wn把模拟低通滤波器原型转换为模拟低通、高通、带通或带阻滤波器；
(5) 运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。
上面这些滤波器的设计过程称为典型滤波器的设计方法。
IIR数字滤波器的设计1-26
6.10 MATLAB函数直接设计 IIR数字滤波器
第 6章 IIR数字滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计1-2
主要内容本章的学习目标：
了解数字滤波器的基本概念
理解 IIR数字滤波器的各种类型
掌握 IIR数字滤波器特性分析的方法
掌握模拟滤波器的低通设计方法
掌握高通、带通及带阻滤波器的设计方法
掌握 IIR数字滤波器阶数的选择
掌握模拟滤波器的离散化
IIR数字滤波器的设计1-3
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器 (Digital Filter，简称为 DF)是数字信号处理的重要基础，在对信号的过滤、
检测与参数估计等处理过程中，它是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。
数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的、用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统。数字滤波器的输入是一组 (由模拟信号取样和量化的 )数字量，其输出是经过数字变换的另一组数字量。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。
IIR数字滤波器的设计1-4
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的数学运算有两种实现方式：
一种是频域法，即利用 FFT快速运算办法对输入信号进行离散傅立叶变换，分析其频谱，然后根据所希望的频率特性进行滤波，
再利用傅立叶反变换恢复出时域信号。这种方法具有较好的频域选择特性和灵活性，并且由于信号频率与所希望的频谱特性是简单的相乘关系，所以它比计算等价的时域卷积要快得多。
另一种方法是时域法，这种方法是通过对离散抽样数据作差分数学运算来达到滤波目的的。
IIR数字滤波器的设计1-5
6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的一般设计过程为：
(1) 按照实际需要，确定滤波器的性能要求；
(2) 用一个因果、稳定的离散线性时不变系统，去逼近这一性能指标；
(3) 用有限精度的运算实现所设计的系统；
(4) 通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求。
IIR数字滤波器的设计1-6
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.1 滤波器的原理
IIR数字滤波器的设计1-7
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.2 滤波器的分类滤波器的种类很多，有各种不同的分类方法，既可以从功能上分类，也可以从实现方法上分类。从大的方面来说，滤波器一般分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。根据滤波器的功能，又可以将它们分为：
低通滤波器 (LPF)
高通滤波器 (HPF)
带通滤波器 (BPF)
带阻滤波器 (BSF)
IIR数字滤波器的设计1-8
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.3 数字滤波器的表达方式
IIR数字滤波器的设计1-9
6.1数字滤波器的基本概念
6.1.3 数字滤波器的表达方式
MATLAB的工具箱中提供的用于滤波器数学模型间转换的函数主要有：
状态方程模型到零极点增益模型的转换函数：
[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)；
零极点增益模型到状态方程模型的转换函数：
[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)；
传递函数模型到零极点增益模型的转换函数：
[Z,P,K]=tf2zp(num,den)；
零极点增益模型到传递函数模型的转换函数：
[num,den]=tf2zp(Z,P,K)；
状态方程模型到传递函数模型的转换函数：
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)；
传递函数模型到状态方程模型的转换函数：
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。
IIR数字滤波器的设计1-10
6.2 IIR数字滤波器的结构无限脉冲响应数字滤波器的主要结构型式有：
直接 Ⅰ 型
直接 Ⅱ 型
级联型
并联型
IIR数字滤波器的设计1-11
6.3 IIR数字滤波器特性分析
6.3.1 IIR数字滤波器的脉冲响应
IIR数字滤波器的设计1-12
6.3 IIR数字滤波器特性分析
6.3.2 IIR数字滤波器的频率响应在 MATLAB信号工具箱中专门用来求解滤波器频率响应的函数有：
Freqz函数：求解数字滤波器频率响应
Freqs函数：求解模拟滤波器频率响应
Abs函数：从复频域响应数据中提取幅值信息
Angle函数：从复频域响应数据中提取相位信息
Unwrap函数：相位的“解卷绕”
Grpdelay函数：计算群延迟
6.3.3 零极点分析运用 MATLAB工具箱中的 Zplane函数，可以直接在 Z平面上绘制系统的零极点图。
IIR数字滤波器的设计1-13
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.1 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯滤波器，又被称为“最平”的幅频响应滤波器。这是因为，该滤波器在通带内具有最大平坦的幅度特性，而且随着频率升高呈现出单调减小的特点。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计巴特沃斯滤波器的函数是 Buttap函数。
IIR数字滤波器的设计1-14
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.2 切比雪夫低通滤波器的设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，在通带和阻带内都是单调的。因此，为了更有效的将精度均匀地分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内的滤波器设计，可以通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。
切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：切比雪夫 Ⅰ 型滤波器，即振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的；切比雪夫 Ⅱ 型滤波器，即振幅特性在阻带内是等波纹的，在通带内是单调的。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计切比雪夫低通滤波器的函数有,
Cheb1ap函数：设计切比雪夫 Ⅰ 型滤波器
Cheb2ap函数：设计切比雪夫 Ⅱ 型滤波器
IIR数字滤波器的设计1-15
6.4 模拟低通滤波器的设计
6.4.3 椭圆低通滤波器的设计切比雪夫滤波器仅仅是在通带范围内具有良好的等纹特性,在通带以外的频带内的特性仍然是单调的 。 所以,这种滤波器还不能满足特定情况下的设计要求 。 于是,又设计出了在通带内和阻带内都具有等波纹振幅特性的滤波器 。 由于其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定的,故称为椭圆滤波器 。
在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计椭圆低通滤波器的函数是 Ellipap函数 。
IIR数字滤波器的设计1-16
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计在实际所使用的数字滤波器中除了低通型外,还有高通型,带通型以及带阻型等 。
模拟高通型,带通型以及带阻型滤波器的设计方法是先将要设计的滤波器的技术特性指标通过频率转换变成模拟低通滤波器的技术指标,再根据这些性能指标设计出低通型滤波器的传递函数,最后依据频率转换关系得到所需要的滤波器的传递函数 。
IIR数字滤波器的设计1-17
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计1-18
6.5 高通,带通及带阻滤波器的设计在 MATLAB信号工具箱中专门用来设计 高通,带通及带阻滤波器 的函数有：
Lp2lp函数：
模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换
Lp2hp函数：
模拟低通滤波器到模拟高通滤波器的转换
Lp2bp函数：
模拟低通滤波器到模拟带通滤波器的转换
Lp2bs函数：
模拟低通滤波器到模拟带阻滤波器的转换
IIR数字滤波器的设计1-19
6.6 IIR实数字滤波器的实频率变换
IIR数字滤波器的设计1-20
6.7 IIR实数字滤波器的复频率变换
IIR数字滤波器的设计1-21
6.8 IIR数字滤波器阶数的选择
IIR数字滤波器的设计1-22
6.9 模拟滤波器的离散化从模拟滤波器设计 IIR数字滤波器就是由系统函数 Ha(s)进一步得到 H(z)。归根结底是一个由平面到平面的变换，即模拟滤波器的离散化。
这个变换要遵循两个基本目标：
(1) H(z)的频率响应必须要模仿 Ha(s)的频率响应，
也就是平面的虚轴应该映射到平面的单位圆上；
(2) Ha(s)的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的 H(z)中保持。
从模拟滤波器变换成数字滤波器有 4种方法：
微分 -差分变换法
脉冲响应不变变换法
双线性变换法
匹配 z变换法
IIR数字滤波器的设计1-23
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.1 脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器脉冲响应不变变换法，又称为标准 z变换法，它能保证从模拟滤波器变换所得的数字滤波器的单位取样响应 h(n)，就是以 T为采样周期对相应的模拟滤波器的单位脉冲响应 ha(t)的等间隔采样。
脉冲响应不变变换法主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的数字滤波器。
这种变换法的主要特点是：
频率坐标的变换是线性的；
具有频谱的周期延拓效应。
Impinvar函数：模拟滤波器变换成数字滤波器的脉冲响应不变法
IIR数字滤波器的设计1-24
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.2 双线性变换法设计 IIR数字滤波器脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好地模仿模拟滤波器，但是出现频谱混叠现象。
为克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应，
凯塞和戈尔登建议使用一种新的有效的变换，这就是双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近得到的。
双线性变换法的主要特点是：
(1) 消除了脉冲响应不变法所固有的频谱混叠现象；
(2) 缺点是模拟频率和数字频率之间是非线性关系。
Bilinear函数：模拟滤波器转换为数字滤波器的双线性变换法
IIR数字滤波器的设计1-25
6.10 MATLAB函数直接设计 IIR数字滤波器在 MATLAB中设计 IIR数字滤波器的步骤如下：
(1) 把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟低通滤波器的性能指标；
(2) 根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数，确定滤波器的最小阶数 N和固有频率 Wn；
(3) 由最小阶数 N得到低通滤波器原型；
(4) 由固有频率 Wn把模拟低通滤波器原型转换为模拟低通、高通、带通或带阻滤波器；
(5) 运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。
上面这些滤波器的设计过程称为典型滤波器的设计方法。
IIR数字滤波器的设计1-26
6.10 MATLAB函数直接设计 IIR数字滤波器
