工程力学土木工程与建筑学院力学教研室彭 芸
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13547117153
第四章 刚体和刚体系统的 平衡
§ 4-1 质点系和刚体的 平衡条件
§ 4-2 平面 问题的 平衡方程 及其应用
§ 4-4 刚体系统 的 平衡 问题
§ 4-5 考虑摩擦时物体的平衡问题
§ 4-3 空间问题平衡方程的应用
§ 4-6 滚动阻碍的概念
平衡状态
力系平衡
物体平衡一,质点 的 平衡二,质点系 的 平衡三,刚体 和 变形体 的 平衡第四章 刚体和刚体系统的平衡
§ 4-1 质点系和刚体的平衡条件
§ 4-2 平面问题的平衡方程及其应用
O
F1 F
2
Fn F
3
0RF OM0?
平衡力系
12R x x x n xF F F F
12R y y y n yF F F Fy
x
0RF
0OM?
1 2 3OnM M M M MOiMF 0yF
0xF
0OM
0RxF
0OM?
0RyF
*3个独立方程，只能解 3个未知量平面三种力系平衡问题的联系平面一般力系
0yF
0xF
0OM
0AM
0xF
0xF
0yF
0yF
0OM
平面汇交力系
A
A
平面平行力系
O x
y
3个独立方程，只能解 3个未知量注意：
例 4-1 阳台，计算固定端的支座反力 。
解,1.画出计算简图
y
x
l
q F
2.建立坐标系
3.受力分析
y
x
q F
FAy
FAx
MA
4.建立平衡方程求解
0yF
0xF
0AM
0AyF q l F
0AxF?
21 02AM F l q l
AyF ql F
0AxF?
212AM F l ql
平面一般力系平衡方程的其他形式
0yF
0xF
0OiMF
0yF
0AM
0BM
0AM
0BM
0CM
x
y
FR
BA
FR
BA C
两力矩式三力矩式
*注意 *多力矩式的限制条件
3个独立方程，只能解 3个未知量例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，
支架间距为 6m。试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。 解,
1.画出计算简图
F F
1m 0.4m 0.3m
1.26m
A
B
C30o
例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，
支架间距为 6m。试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。 解,
3.受力分析
F F
C30o
B
A
2.在 A点建立坐标系
FBC
FCB
B
C
FBC
FAx
FAy
y
x
2 4 8 6 1 4 8 8 1,4 8 8F N k N
例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，
可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，支架间距为 6m。
试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。
解,4.建立平衡方程F F
C
B
A 30o
FBC
FAx
FAy
y
x
0yF
0xF
0AM
s i n 3 0 0oA y B CF F F F
c o s 3 0 0oA x B CFF
1 1 0,4 c o s 3 0 1,2 6 t a n 3 0 0ooByF F F
0,1 4 1AyF kN?
4,9 1AxF kN
5,6 7BCF kN
例 4-2 另解,
4.建立 两力矩式 平衡方程
F F
C
B
A 30o
FBC
FAx
FAy
y
x
s i n 3 0 0oA y B CF F F F
1 1 0,4 c o s 3 0 1,2 6 t a n 3 0 0ooBCF F F
0yF
0AM
0BM
1.画出计算简图
3.受力分析
2.在 A点建立坐标系
1 1 0,4 1,2 6 t a n 3 0 0oAxF F F
c o s 3 0 0oA x B CFF0xF如果：
4.建立 三力矩式 平衡方程
0AM
0BM
0CM或,
平衡问题的 求解步骤
建立坐标系
受力分析
整体
未知量
建立平衡方程求解
根据需要，补充平衡方程
部分
y
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
F Me=Fa
A
B
CB D E F
a a a a a
解,
2.受力分析
1.在 A点建立坐标系
x
y F M
e=Fa
xFAx
FAy FC FF
A CB D E
F
解,3.建立平衡方程
y F M
e=Fa
A CB D E x
FAx
FAy FC FF
F
0yF
0xF
0AM
0A y C FF F F F
0AxF?
2 5 0CFF a F a F a F a
4.取 DEF受力分析
Me=Fa
FF
D E
FFDx
FDy
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
解,
y F M
e=Fa
A CB D E x
FAx
FAy FC FF
F
4.取 DEF受力分析
Me=Fa
D E
FF
FFDx
FDy
5.建立平衡方程
0yF
0xF
0DM
0Dx FFF
0DxF?
20FF a F a
6.求解方程
1
4AyFF?
0AxF?
1
2FFF
5
4CFF?
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
作业
习题 P122
4.1
4.2
4.18
例题 4-4：
滑轮、曲杆、滚轮系统。理想滑轮；重 P1=50N,r=80mm，
AB=h=400mm,BC= l =200mm,P=200N,α=45 °,BC杆水平。
证明滑轮两边绳子拉力相等，并求销钉 B 和滚轮 C 处的约束力。
解,1、选重物为研究对象，受力分析后由平衡条件得到：
10,yTF F P
2、再取滑轮及绳索为研究对象，受力分析，列点 A 力矩平衡方程得：
''1 2 1 20,0,A T T T TM F r F r F F
图 4-18（ c）
图 4-18（ b）
图 （ a）
“理想滑轮两边绳子拉力相等,得证。
3、取整体为研究对象，受力分析后列出 3个平衡方程：
2
12
22
0,sin 0
0,c os 0
0
c os c os sin ( sin ) 0
x B x T
y B y Cy T
B
Cy T T
F F F
F F F P P F
M
F l P r F r F h r
图 4-18（ d）图 （ a）
由此可解出 141BxFN
例题 4-4：
滑轮、曲杆、滚轮系统。理想滑轮；重 P1=50N,r=80mm，
AB=h=400mm,BC= l =200mm,P=200N,α=45 °,BC杆水平。
证明滑轮两边绳子拉力相等，并求销钉 B 和滚轮 C 处的约束力。
283CyFN?
108ByFN
课堂作业
计算 A,B,D支座处的约束力
M=4q
A
B C
B
D
2m 2m 2m 2m
q
例 4-5 图示为一最大起重力 F=100kN的塔吊。其自重 G=400kN，作用线距离塔身中心线 OO’为 0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重 W，配重作用线位置如图所示。试问 W为多少时，该塔吊不会倾倒？
解,
A B
O
A’ B’
O’
W
F
G
0.5m
0.5m
2m
3m 10m
FNB
1.建立坐标系
2.受力分析
x
y
FNA
3.绕 B点倾倒时临界状态,0NAF?
0yF
0BM 0BM
3 1 0,5 1 0 1 0W G F
175W kN?
例 4-5 图示为一最大起重力 F=100kN的塔吊。其自重 G=400kN，作用线距离塔身中心线 OO’为 0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重 W，配重作用线位置如图所示。试问 W为多少时，该塔吊不会倾倒？ 解,
A B
O
A’ B’
O’
W
F
G
0.5m
0.5m
FNB
x
y
FNA
3.绕 B点倾倒时临界状态,0NBF?
0yF
0AM 0AM
3 1 2 0,5 1 0 1 0W G F
850W kN?
175W kN?
4.绕 A点倾倒时
5.确定平衡范围
1 7 5 8 5 0k N W k N
2m
3m 10m
y
例 4-6 试求三铰构架 A,B处的支座约束力。
x
q=10kN/m
5m 5m
2m
5m
A B
C
解,
2.受力分析
1.在 A点建立坐标系
FAx
FAy
FBx
FBy
3.建立平衡方程
0yF
0xF
0AM
1 0 0A y B yF F q
0Ax BxFF
5 2 1 0 5 0ByFq50
AyF kN?
0Ax BxFF
50ByF kN?
y
x
解,
B
C
FBx
FBy
4.取 CB部分受力分析
0yF
0xF
0CM
5 7 5 2,5 0B y B xF F q
50AyF kN?
0Ax BxFF
50ByF kN?
A
FAx
FAy
q=10kN/m
FCx
FCy
5.建立平衡方程
0CM
由 3得到 1 7,8 6BxF kN
1 7,8 6AxF kN?
例 4-6 试求三铰构架 A,B处的支座约束力。
5m 5m
2m
5m
A
C
B
q=10kN/m50AyF kN?
50ByF kN?
1 7,8 6BxF kN
1 7,8 6AxF kN?
17.86kN
50kN
17.86kN
50kN
对称结构对称荷载对称约束力例 4-7 （ P125 习题 4.19） 图示胶带传动机构中,r=200mm，
R=300mm，重物重 P=300N。假定胶带不打滑，试求使系统平衡而需要在轮 Ⅱ 上施加的力偶 M的大小。
M
A
P
B
Ⅰ Ⅱ
R
r
R
一、静定和超静定问题
1,静定问题 —— 当 未知量的个数 小于或等于 刚体上作用的力系所对应的 独立平衡方程的个数 时，
应用平衡方程即 可求出 全部未知量的平衡问题。
2,超静定问题 —— 当 未知量的个数 多于 刚体上作用的力系所对应的 独立平衡方程的个数 时，应用平衡方程 无法求出 全部未知量的平衡问题。
3,自由度 —— 完全确定物体在空间的位置所需要的独立变量数。
§ 4-3 刚体系统的平衡问题
图 4-13（ b）
图 4-13（ a）
图 4-13（ c）
N=3-2=1>0
N=3-3=0
N=0
不完全约束完全约束多余约束有时，刚体约束的数目足够，
甚至还有多余，
但由于布置不当，刚体仍然会有可能运动。
注意：
——不适当约束。
（不完全约束）
图 4-15（ b）
静定问题 —— 当未知量的个数小于或等于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程即可求出全部未知量的平衡问题。
完全约束、不完全约束
平衡方程超静定问题 —— 当未知量的个数多于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程无法求出全部未知量的平衡问题。
多余约束
变形体模型、三方面分析例题 4-8,三绳吊杆问题。（ P92例 4-11）
解：
1、平衡方程（静力学分析）
图 4-16（ a）
k A k B k C
A D
P
B C
图 4-16（ c）
A B C
图 4-16（ b）
A B
C
F F F
P
2、变形几何关系分析（几何分析）
B A C
B A C
B C A B
A C A C
A C B C A B
3、力和变形关系分析（物理分析）
1 2 3,,A A B B C CF k F k F k
2 1 3
( ) ( ) ( )CBA FFFA C B C A Bk k k最后得到：
超静定问题，改变力学模型。
取刚杆为研究对象进行受力分析。
0 ; 0
0 ; 0
A B C
C A B
M A B F A C F A D P
M CD P A C F B C F
二、刚体系统
1,物体系统 —— 几个物体通过一定的约束相互连接组成的系统。
2,刚体系统 —— 物体系统中每一物体都是刚体
（都理想化为刚体）。
3,刚体系统的静定和超静定。
4,求解步骤：
判断系统是否静定。
选取恰当的分离体，进行受力分析。
列出所需的平衡方程。
解方程，求出待求量。
求解刚体系统平衡问题的 要点
恰当选择分离体
从待求量考虑
分离体的未知量尽可能少
尽量少拆，避免中间未知量
受力分析图的正确
外荷载和内部约束力、作用力和反作用力
保证所受载荷的完整性
恰当选择平衡方程
尽可能不包含中间未知量
单个方程的未知量尽可能少
可不列二力杆的平衡方程
解题中的注意事项
解题前 —— 判断系统是否静定，已知条件是否足够
解题后 —— 校核（多余平衡方程），讨论一、摩擦的分类
§ 4-4 考虑摩擦时物体的平衡问题
摩擦的分类
湿摩擦干摩擦?
滑动摩擦滚动摩擦?
静摩擦动摩擦?
二、滑动摩擦力
1,方向 —— 与相对滑动趋势或相对滑动的 方向相反,沿接触面 切向 。
2,大小
静滑动摩擦力 —— 0≤ Ff ≤ Ffmax=fsFN
动滑动摩擦力 —— Ff=fFN
3,摩擦因数三、考虑摩擦时物体的平衡问题
1,受力分析
增加了一个约束力 Ff,其方向与相对运动或相对运动趋势 相反,且沿接触面 切向 。
2,列平衡方程
多增加一个条件,Ff ≤ Ffmax=fsFN
3,解方程
结果有时是一个范围（ 平衡范围 ）。
4,临界状态求解
将滑未滑 —— 最大静滑动摩擦力的值 Ff = Ffmax=fsFN
将翻未翻 —— 滑动摩擦力的倾翻临界值 Fr
例 4-9 （ P127 习题 4.29） 放置在水平面上的匀质棱柱体重
P=4.8kN，摩擦因数 f=1/3。试问当主动力 F逐渐增大时该棱柱体是先滑动还是先倾倒？并计算运动刚发生时 F的值。
P
F
4
3
A B
2m
1m
本章小结
刚体和刚体系统的平衡问题（不考虑摩擦）
选取研究对象
列方程
解方程
校核
考虑了摩擦后的平衡问题
受力分析中多加一个约束力 Ff
列方程时考虑 Ff
两种临界状态
静定和超静定问题
静定 —— 未知量个数 ≤平衡方程个数
超静定 —— 未知量个数＞平衡方程个数第五章 变形体的平衡和杆件 内力 分析
§ 5-1 可变形体的平衡条件和内力
§ 5-2 拉压杆的内力
§ 5-4 梁的弯曲内力
§ 5-5 利用微分关系作剪力图和弯矩图 ·叠加法作弯矩图
§ 5-3 轴的内力 计算
§ 5-6 复杂载荷作用下杆件的内力一、可变形系统物体系统刚体系统可变形系统第五章 变形体的平衡和杆件内力分析
§ 5-1 可变形系统的平衡条件和内力二、外力和内力
1,外力,其它物体对构件作用的力。例如支座约束力，
荷载等 。
2,内力,固有内力 ——分子内力，它是由构成物体的材料的物理性质所决定的。
附加内力 ——由于外力作用而引起的受力构件内部各质点间相互作用力的改变量。
工程力学研究 ----附加内力
（简称内力）
随外力产生或消失随外力改变而改变但有一定限度截 面 法三、内力的计算方法根据空间任意力系的六个平衡方程
0xF 0yF 0zF
0xM 0yM 0zM
求出内力分量计算步骤：
1、截开 2、代替 3、平衡刚化原理 —— 变形体 在某一力系作用下处于平衡状态，
若将其 视为刚体,其 平衡不受影响 。
轴向拉伸或压缩变形受力特点：合力作用线与杆轴线重合引起的。
拉 伸压 缩变形特点：杆件沿合力方向伸长或缩短，
主要变形是长度的改变
F F
m
m
F
m
m
FN
x
x
0xF 0NFF NFF?
—— 轴力
1.正负规定,拉正压负
2.轴力图
x
FN拉压杆的内力 FN
§ 5-2 拉压杆的内力
计算轴力的 步骤
1,建立直角坐标系
2,取分离体为研究对象
用假想截面取出
3,受力分析
外力同刚体
内力用未知力代替（拉压杆 —— 轴力）
4,列平衡方程
5,解方程
6,作出内力图
A B
2
2
例 5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面 1-1，
2-2,3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1kN 2kN4kN 5kN
A B C D
1
1
2
2
3
3
x
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
1kN
A
1
1
xFN1
0xF 1 10NF
1 1NF kN?
3.计算 2-2截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
1kN
4kN
xFN2
0xF 2 4 1 0NF
2 3NF kN
A B C
3
3
例 5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面 1-1，
2-2,3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1kN
2kN
4kN 5kN
x
解,4.计算 3-3截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
xFN3
0xF 3 5 4 1 0NF
3 2NF kN?
1kN 4kN 5kN
A B C D
1
1
2
2
3
3
2kN
D
3
3
FN3 x
0xF
320NF
3 2NF kN?
5.轴力图
21
3
x
FN/kN
或：
x
2
2
例 5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
xFN1
0xF 1 0NFF
1 10NF F kN
3.计算 2-2截面的内力
F=10kN
xFN2 2F F=10kN
0xF 220NF F F
2 10NF F k N
1
1 4.计算 3-3截面的内力
3
3
xFN3 F=10kN
3F 2F
0xF
32 3 0NF F F F
3 2 2 0NF F k N
x
例 5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,5.轴力图
10
20
10
FN/kN
x
1 10NF F kN
2 10NF F k N
3 2 2 0NF F kN
F=10kN2F
1
1
2
2
3
3
x10
10
FN/kN
*截面变化对轴力无影响 *
例 5-3 （ P160 习题 5.2（ a））画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，
横截面面积为 A，密度为 ρ 。
解,
1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
F
l
x
O
1 1
F
x
O
1 1
FN
xρgAx
0xF
0NF F g A x
NF F gA x
0 xl其中：
3.轴力图
O
x
FN
F gAl
F
例 5-3 （ P160 习题 5.2（ b））画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，横截面面积为 A，密度为 ρ 。 解,
1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
Fl
x
O
1 1
x
O
1 1
FN1
xρgAx
0xF 1 0NF gA x
1NF gAx
0 2lx
其中：
4.轴力图
l/2
2 2
3.计算 2-2截面的内力
0xF
2
l xl其中：
2 0NF F g A x
2NF F g A x
x
O
2 2
FN2
F x
x
O FN
F gAl
2F gAl
2gAl? ρgAx
二、平面简单桁架昆明世博园演艺广场顶篷桁架类型平行弦桁架折弦桁架三角形桁架拱式桁架联合桁架三、理想桁架
1,计算模型
各杆都是直杆，轴线过节点
节点处均为光滑铰链连接
所有外力都作用在节点上
2,受力特点
各杆皆为二力杆，只受轴向拉压
各节点处受汇交力系作用
3,计算方法
取分离体
受力分析（先判断零力杆）
列平衡方程
解方程
节点法
用一个闭合的截面把桁架的某个节点截取出来，
取节点为研究对象。
平面汇交力系
可求出全部杆件的内力
F2F1 F3
F4
例 5-4（ P160 习题 5.3（ a））
用节点法求图示桁架的内力。
P
E
C
A
B
D
a a
a/2
a/2
零力杆
若节点上连有三根杆件，且其中两杆位于一直线上，且节点上无外载，则第三杆为零力杆。
若节点上连有两根杆件，且节点上无外载，则两根杆均为零力杆。
若节点上连有两根杆件，外载作用线沿其中一根杆的轴线，则另一根杆为零力杆。
F
例 5-5 指出桁架中的零力杆。
（ a）
（ b）
截面法
选取一个截面，将整个桁架截开，将要求解内力的杆件截断，然后取其中一部分为研究对象。
平面一般力系
求解指定杆件的内力
F1
F2
F3
例 5-6（ P160 习题 5.4（ a））
用截面法求图示桁架指定杆的内力。
F1=3kN,F2=2kN,a=3m,求杆 BC,GF,BF的内力
C
D
BA
G
F
G
a a a
F1F1
F2
30o 30o60o 60o60o 60o
作业
习题 P160
5.1(a)(c)
5.4(b)
受力特点,大小相等、转向相反，且作用面垂直于杆件轴线。
变形特点,杆件的任意两个横截面绕轴线发生相对转动。
轴 ——主要承受扭转变形的细长杆件。
扭转变形 ——杆件的横截面绕轴线产生转动。
§ 5-3 轴的内力计算一、外力偶矩
m in
9549 kW
Nm
r
P
M
n?
m
m
x
二、横截面上的内力
M
M
m
m M
Tx
0xM 0TM TM?
—— 扭矩杆件扭转的内力 T
扭矩计算方法
计算外力偶矩
取截面受力分析、列方程、解方程
内力图例题 5-7,传动轴。转速 n = 300r/min，输入功率 PA =
42kW，输出功率 PB = PC = 12kW,PD = 18kW。画扭矩图。
解：
2,先计算外力偶矩：
9549
1337
9549
382
9549
573
A
A
B
BC
D
D
P
M N m
n
P
M M N m
n
P
M N m
n
11 0,3 8 2BBT M T M N mBC 段：
图 5-10（ a）
DMM CBM
B C A D
M A
MBM C T
M B T DT MⅠ Ⅲ
Ⅱ
图 5-10（ b）
3,再用截面法计算各段扭矩：
22 0,7 6 4B C B CT M M T M M N mCA 段：
330,5 7 3DDM T T M N mAD 段：
1,建立坐标系：
x
4,作扭矩图：
382
/N mT 573
764
x
－
+
图 5-10（ c）
1337
382
764
x
M
T
M B
C
DM
M A
－
/N m
图 5-10（ d）
改变主、从动轮的位置，则轴的 扭矩分布也将改变。如：主动轮安装在轴的右侧。
AD段内力变化。
最大扭矩在 AD段,Tmax=1337N·m
显然，第一种放置方式较合理。
例题 5-7,传动轴。转速 n = 300r/min，输入功率 PA =
42kW，输出功率 PB = PC = 12kW,PD = 18kW。画扭矩图。
解：
m a x 764T N m最大扭矩在 CA 段：
1
1
例 5-8 试作扭矩图。
解,1.建立如图坐标系t=2M/l
2.计算 1-1截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
T1 0
xM 1 0T M tx
1T M tx
M
M1
1
l
M
t=2M/l
x
1
2 MT M x
l
3.作扭矩图T/N·m
xM
M
例 5-9（ P162 习题 5.7）
作图示钢轴的扭矩图。
M1=2kN·m,M2=4kN·m,mx=0.5kN·m/m,其中长度单位为 m。
0.3 0.3 0.5
M1 M2
0.4
mx
x
O
作业
P160 习题
5.8
行车吊车梁电葫芦镗刀杆
梁 ——主要承受弯曲变形的杆件。
§ 5-4 梁的弯曲内力
1 2 1 2
常见弯曲构件截面
具有纵向对称面
外力都作用在此面内
弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线对称弯曲一、受弯杆件的简化
1,杆件的简化：
用轴线表示实际的梁。
2,载荷的简化：
横向集中力
横向分布力
集中力偶
3,支座的简化
固定铰支座
可动铰支座
固定端行车简化
Fq
均布载荷 集中力镗刀杆
F
简支梁外伸梁悬臂梁
4.静定梁的基本形式
FAx
FAy FB
FAx
FAy FB
FAx
FAy MA
输气管线
5.超静定梁
FAx
FAy MA
FBx
FBy MB
管架梁结构F
Ax
FAy MA FB
FAy
FN
FS
M
FBy
FN
FS
M
二、内力分量 ——剪力、弯矩
1,FS剪力 —— 平行于横截面的内力合力。
M 弯矩 —— 垂直于横截面的内力系的合力偶矩。
（ 1）截面上的剪力对梁上任意一点的矩为 顺时针 转向时,剪力为正； 反之 为负。
（ 2） 截面上的弯矩使得梁呈 凹形 为正； 反之 为负。 +
_
+ _
左上右下为正； 反之 为负左顺右逆为正； 反之 为负
2.剪力、弯矩的正负号
3,计算方法
计算支座反力
一般取整体为研究对象，利用平衡方程
取截面受力分析（分段）
需要建立坐标系
列方程
解方程
画内力图
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解,1、建坐标系，画受力图，列平衡方程求支反力 kN
m
A
6 m
m3
C
6
D B
mkN10 30
xy
F
kN kN
F Ay
Ax
A
m3010
DC B
NBF
y
x
0,3 0 1 0 6 1 5 0 2A N B N BM F F k N
0,0 Axx FF
0,1 0 0 8y A y N B A yF F F F k N
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
F
=AyF kN8
x S
M
A
解：
AC 段：
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，
求 Fs,M。
kNxFxFF SSAy 8)(0)(
mkNxxMxFxM Ay )8()(0)(
0＜ x＜ 6
y x
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解：
CD 段：
F Ay kN= 8
A
x
F S
M
6 m
kN10
C
6＜ x＜ 9
mkNxxM )260()(
y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
1 0 ( ) 0A y SF F x kNxF S 2)(
( ) 1 0 ( 6 ) 0AyM x x x F
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，求 Fs,M。
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解：
DB段：
m6
8 kN
kN
3
x
m
C
kN10
D
30
F S
m
M
A
1 0 ( ) 0 ( ) 2A y S SF F x F x k N
9＜ x＜ 15
mkNxxM )230()(
y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
( ) 3 0 1 0 ( 6 ) 0AyM x x x F
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，求 Fs,M。
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解,3、作剪力图和弯矩图
8
m
2
x /O
Fs / kN
M kN
12
mx
/
/O
48
42
m
kNxF S 8)(?
mkNxxM )8()(
mkNxxM )260()(
mkNxxM )230()(
DB段,9＜ x＜ 15
CD段,6＜ x＜ 9
AC段,0＜ x＜ 6 y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
kNxF S 2)(
kNxF S 2)(
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
例题 5-11,化工反应塔受风载作用，作 FS图,M图。
解,反应塔简化为 悬臂梁,建坐标系，画受力图，
2
( ) ( )
1( ) ( )
2
SF x q l x
M x q l x
q
q l /22
M
x－ x
lF S q
+
作剪力图、弯矩图
力学建模,悬臂梁 ；
分布力 不能先简化；
F
M A
A
q
A
x
l
B
y
x
取截面 右侧 为分离体，
计算剪力和弯矩，得：
习题 5.14
列出图示各构件的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图 和 弯矩图 。各梁尺寸和受载如图。
例题 5-12：
y
x
FAy
FAx
FB
解,得到剪力方程和弯矩方程
1SF qa 1M qax
2
2
31
44M q a q a x
2
3
11
44M q a q a x
CB段,2a＜ x＜ 3a
AC段,a＜ x＜ 2a
DA段,0＜ x＜ a
3
1
4SF qa
2
1
4SF qa
x
y
BE段,3a＜ x＜ 4a
4 4SF q a x 24 1 42M q a x
FS
x
qa
1/4qa
qa
M
x
5/4qa2
1/4qa2
1/2qa2qa2
弯曲内力计算的 特点
载荷突变情况下,应取截面分段处理。
集中力作用处（支座）,剪力发生 间断,其间断值 =集中力大小，剪力图的升降（沿 x轴）
与集中力方向一致；且弯矩图对应处出现 尖点 。
集中力偶作用处,弯矩发生 间断,其间断值 =
集中力偶大小，弯矩图对应集中力偶是,顺升逆降,（沿 x轴）；但对剪力 无影响 。
均布载荷处,剪力图线性变化，弯矩图曲线。
“间断,的解释
注意：
S2
F
S1
F
+
－
=F
x
q x×
作业
P163
5.14 （ c）（ f）
SSF x dF x?
M x dM x?
SFx
Mx
qx
C
0yF
0CM
0S S SF x F x dF x q x dx
02S dxM x M x d M x F x d x q x d x
Sd F x q x d x?
Sd M x F x d x?
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
§ 5-5 利用微分关系作剪力图和弯矩图 ·叠加法作弯矩图
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
2
2
d M x qx
dx?
x
y
E
F1 F2Mo
q
q
A B C D
G H
FS
x
M
x
利用微分关系直接作内力图
剪力图、弯矩图
1,建立坐标系
2,计算支座反力
3,确定控制面，并计算其剪力和弯矩
4,利用微分关系作剪力、弯矩图
)()()(2
2
xqdx xdFdx xMd s
F
A
CB D
a a 2a
2F
例题 5-13：
x
y
FAy
FAx
P165 习题 5.16（ a）
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。
FB
M=qa2
A
C
B
D
a a a
q
例题 5-14：
x
y
FAy
FAx
P165 习题 5.16（ e）
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。
FB
习题 5.14
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。各梁尺寸和受载如图。
例题 5-15：
FAy
FAx
FB
x
y
小变形情形下,梁在若干个载荷共同作用时的内力，等于在各个载荷单独作用时的内力的代数和。
叠加法作内力图作业
P165
5.16 （ d）（ f）
本章小结
基本概念 —— 内力、刚化原理
内力的计算方法 —— 截面法
变形体的内力
轴力 —— 拉压杆的内力 （拉正压负）
扭矩 —— 轴的内力 （与外法线方向一致为正）
剪力,弯矩 —— 梁的内力
剪力 ——左上右下为正
弯矩 ——左顺右逆为正
利用微分关系作梁的内力图
)()()(2
2
xqdx xdFdx xMd s
apple_yunpeng@163.com
13547117153
第四章 刚体和刚体系统的 平衡
§ 4-1 质点系和刚体的 平衡条件
§ 4-2 平面 问题的 平衡方程 及其应用
§ 4-4 刚体系统 的 平衡 问题
§ 4-5 考虑摩擦时物体的平衡问题
§ 4-3 空间问题平衡方程的应用
§ 4-6 滚动阻碍的概念
平衡状态
力系平衡
物体平衡一,质点 的 平衡二,质点系 的 平衡三,刚体 和 变形体 的 平衡第四章 刚体和刚体系统的平衡
§ 4-1 质点系和刚体的平衡条件
§ 4-2 平面问题的平衡方程及其应用
O
F1 F
2
Fn F
3
0RF OM0?
平衡力系
12R x x x n xF F F F
12R y y y n yF F F Fy
x
0RF
0OM?
1 2 3OnM M M M MOiMF 0yF
0xF
0OM
0RxF
0OM?
0RyF
*3个独立方程，只能解 3个未知量平面三种力系平衡问题的联系平面一般力系
0yF
0xF
0OM
0AM
0xF
0xF
0yF
0yF
0OM
平面汇交力系
A
A
平面平行力系
O x
y
3个独立方程，只能解 3个未知量注意：
例 4-1 阳台，计算固定端的支座反力 。
解,1.画出计算简图
y
x
l
q F
2.建立坐标系
3.受力分析
y
x
q F
FAy
FAx
MA
4.建立平衡方程求解
0yF
0xF
0AM
0AyF q l F
0AxF?
21 02AM F l q l
AyF ql F
0AxF?
212AM F l ql
平面一般力系平衡方程的其他形式
0yF
0xF
0OiMF
0yF
0AM
0BM
0AM
0BM
0CM
x
y
FR
BA
FR
BA C
两力矩式三力矩式
*注意 *多力矩式的限制条件
3个独立方程，只能解 3个未知量例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，
支架间距为 6m。试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。 解,
1.画出计算简图
F F
1m 0.4m 0.3m
1.26m
A
B
C30o
例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，
支架间距为 6m。试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。 解,
3.受力分析
F F
C30o
B
A
2.在 A点建立坐标系
FBC
FCB
B
C
FBC
FAx
FAy
y
x
2 4 8 6 1 4 8 8 1,4 8 8F N k N
例 4-2 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成 。 节点 A,B,C均采用焊接，在分析支架受力情况时，
可简化为铰接计算，已知每一管道重为 248N/m，支架间距为 6m。
试求支架 A,B两处的约束反力。支架自重忽略不计。
解,4.建立平衡方程F F
C
B
A 30o
FBC
FAx
FAy
y
x
0yF
0xF
0AM
s i n 3 0 0oA y B CF F F F
c o s 3 0 0oA x B CFF
1 1 0,4 c o s 3 0 1,2 6 t a n 3 0 0ooByF F F
0,1 4 1AyF kN?
4,9 1AxF kN
5,6 7BCF kN
例 4-2 另解,
4.建立 两力矩式 平衡方程
F F
C
B
A 30o
FBC
FAx
FAy
y
x
s i n 3 0 0oA y B CF F F F
1 1 0,4 c o s 3 0 1,2 6 t a n 3 0 0ooBCF F F
0yF
0AM
0BM
1.画出计算简图
3.受力分析
2.在 A点建立坐标系
1 1 0,4 1,2 6 t a n 3 0 0oAxF F F
c o s 3 0 0oA x B CFF0xF如果：
4.建立 三力矩式 平衡方程
0AM
0BM
0CM或,
平衡问题的 求解步骤
建立坐标系
受力分析
整体
未知量
建立平衡方程求解
根据需要，补充平衡方程
部分
y
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
F Me=Fa
A
B
CB D E F
a a a a a
解,
2.受力分析
1.在 A点建立坐标系
x
y F M
e=Fa
xFAx
FAy FC FF
A CB D E
F
解,3.建立平衡方程
y F M
e=Fa
A CB D E x
FAx
FAy FC FF
F
0yF
0xF
0AM
0A y C FF F F F
0AxF?
2 5 0CFF a F a F a F a
4.取 DEF受力分析
Me=Fa
FF
D E
FFDx
FDy
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
解,
y F M
e=Fa
A CB D E x
FAx
FAy FC FF
F
4.取 DEF受力分析
Me=Fa
D E
FF
FFDx
FDy
5.建立平衡方程
0yF
0xF
0DM
0Dx FFF
0DxF?
20FF a F a
6.求解方程
1
4AyFF?
0AxF?
1
2FFF
5
4CFF?
例 4-3 试求 A,C,F处的支座反力。
作业
习题 P122
4.1
4.2
4.18
例题 4-4：
滑轮、曲杆、滚轮系统。理想滑轮；重 P1=50N,r=80mm，
AB=h=400mm,BC= l =200mm,P=200N,α=45 °,BC杆水平。
证明滑轮两边绳子拉力相等，并求销钉 B 和滚轮 C 处的约束力。
解,1、选重物为研究对象，受力分析后由平衡条件得到：
10,yTF F P
2、再取滑轮及绳索为研究对象，受力分析，列点 A 力矩平衡方程得：
''1 2 1 20,0,A T T T TM F r F r F F
图 4-18（ c）
图 4-18（ b）
图 （ a）
“理想滑轮两边绳子拉力相等,得证。
3、取整体为研究对象，受力分析后列出 3个平衡方程：
2
12
22
0,sin 0
0,c os 0
0
c os c os sin ( sin ) 0
x B x T
y B y Cy T
B
Cy T T
F F F
F F F P P F
M
F l P r F r F h r
图 4-18（ d）图 （ a）
由此可解出 141BxFN
例题 4-4：
滑轮、曲杆、滚轮系统。理想滑轮；重 P1=50N,r=80mm，
AB=h=400mm,BC= l =200mm,P=200N,α=45 °,BC杆水平。
证明滑轮两边绳子拉力相等，并求销钉 B 和滚轮 C 处的约束力。
283CyFN?
108ByFN
课堂作业
计算 A,B,D支座处的约束力
M=4q
A
B C
B
D
2m 2m 2m 2m
q
例 4-5 图示为一最大起重力 F=100kN的塔吊。其自重 G=400kN，作用线距离塔身中心线 OO’为 0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重 W，配重作用线位置如图所示。试问 W为多少时，该塔吊不会倾倒？
解,
A B
O
A’ B’
O’
W
F
G
0.5m
0.5m
2m
3m 10m
FNB
1.建立坐标系
2.受力分析
x
y
FNA
3.绕 B点倾倒时临界状态,0NAF?
0yF
0BM 0BM
3 1 0,5 1 0 1 0W G F
175W kN?
例 4-5 图示为一最大起重力 F=100kN的塔吊。其自重 G=400kN，作用线距离塔身中心线 OO’为 0.5m。塔身最下面四个轮子可在轮道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重 W，配重作用线位置如图所示。试问 W为多少时，该塔吊不会倾倒？ 解,
A B
O
A’ B’
O’
W
F
G
0.5m
0.5m
FNB
x
y
FNA
3.绕 B点倾倒时临界状态,0NBF?
0yF
0AM 0AM
3 1 2 0,5 1 0 1 0W G F
850W kN?
175W kN?
4.绕 A点倾倒时
5.确定平衡范围
1 7 5 8 5 0k N W k N
2m
3m 10m
y
例 4-6 试求三铰构架 A,B处的支座约束力。
x
q=10kN/m
5m 5m
2m
5m
A B
C
解,
2.受力分析
1.在 A点建立坐标系
FAx
FAy
FBx
FBy
3.建立平衡方程
0yF
0xF
0AM
1 0 0A y B yF F q
0Ax BxFF
5 2 1 0 5 0ByFq50
AyF kN?
0Ax BxFF
50ByF kN?
y
x
解,
B
C
FBx
FBy
4.取 CB部分受力分析
0yF
0xF
0CM
5 7 5 2,5 0B y B xF F q
50AyF kN?
0Ax BxFF
50ByF kN?
A
FAx
FAy
q=10kN/m
FCx
FCy
5.建立平衡方程
0CM
由 3得到 1 7,8 6BxF kN
1 7,8 6AxF kN?
例 4-6 试求三铰构架 A,B处的支座约束力。
5m 5m
2m
5m
A
C
B
q=10kN/m50AyF kN?
50ByF kN?
1 7,8 6BxF kN
1 7,8 6AxF kN?
17.86kN
50kN
17.86kN
50kN
对称结构对称荷载对称约束力例 4-7 （ P125 习题 4.19） 图示胶带传动机构中,r=200mm，
R=300mm，重物重 P=300N。假定胶带不打滑，试求使系统平衡而需要在轮 Ⅱ 上施加的力偶 M的大小。
M
A
P
B
Ⅰ Ⅱ
R
r
R
一、静定和超静定问题
1,静定问题 —— 当 未知量的个数 小于或等于 刚体上作用的力系所对应的 独立平衡方程的个数 时，
应用平衡方程即 可求出 全部未知量的平衡问题。
2,超静定问题 —— 当 未知量的个数 多于 刚体上作用的力系所对应的 独立平衡方程的个数 时，应用平衡方程 无法求出 全部未知量的平衡问题。
3,自由度 —— 完全确定物体在空间的位置所需要的独立变量数。
§ 4-3 刚体系统的平衡问题
图 4-13（ b）
图 4-13（ a）
图 4-13（ c）
N=3-2=1>0
N=3-3=0
N=0
不完全约束完全约束多余约束有时，刚体约束的数目足够，
甚至还有多余，
但由于布置不当，刚体仍然会有可能运动。
注意：
——不适当约束。
（不完全约束）
图 4-15（ b）
静定问题 —— 当未知量的个数小于或等于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程即可求出全部未知量的平衡问题。
完全约束、不完全约束
平衡方程超静定问题 —— 当未知量的个数多于刚体上作用的力系所对应的独立平衡方程的个数时，应用平衡方程无法求出全部未知量的平衡问题。
多余约束
变形体模型、三方面分析例题 4-8,三绳吊杆问题。（ P92例 4-11）
解：
1、平衡方程（静力学分析）
图 4-16（ a）
k A k B k C
A D
P
B C
图 4-16（ c）
A B C
图 4-16（ b）
A B
C
F F F
P
2、变形几何关系分析（几何分析）
B A C
B A C
B C A B
A C A C
A C B C A B
3、力和变形关系分析（物理分析）
1 2 3,,A A B B C CF k F k F k
2 1 3
( ) ( ) ( )CBA FFFA C B C A Bk k k最后得到：
超静定问题，改变力学模型。
取刚杆为研究对象进行受力分析。
0 ; 0
0 ; 0
A B C
C A B
M A B F A C F A D P
M CD P A C F B C F
二、刚体系统
1,物体系统 —— 几个物体通过一定的约束相互连接组成的系统。
2,刚体系统 —— 物体系统中每一物体都是刚体
（都理想化为刚体）。
3,刚体系统的静定和超静定。
4,求解步骤：
判断系统是否静定。
选取恰当的分离体，进行受力分析。
列出所需的平衡方程。
解方程，求出待求量。
求解刚体系统平衡问题的 要点
恰当选择分离体
从待求量考虑
分离体的未知量尽可能少
尽量少拆，避免中间未知量
受力分析图的正确
外荷载和内部约束力、作用力和反作用力
保证所受载荷的完整性
恰当选择平衡方程
尽可能不包含中间未知量
单个方程的未知量尽可能少
可不列二力杆的平衡方程
解题中的注意事项
解题前 —— 判断系统是否静定，已知条件是否足够
解题后 —— 校核（多余平衡方程），讨论一、摩擦的分类
§ 4-4 考虑摩擦时物体的平衡问题
摩擦的分类
湿摩擦干摩擦?
滑动摩擦滚动摩擦?
静摩擦动摩擦?
二、滑动摩擦力
1,方向 —— 与相对滑动趋势或相对滑动的 方向相反,沿接触面 切向 。
2,大小
静滑动摩擦力 —— 0≤ Ff ≤ Ffmax=fsFN
动滑动摩擦力 —— Ff=fFN
3,摩擦因数三、考虑摩擦时物体的平衡问题
1,受力分析
增加了一个约束力 Ff,其方向与相对运动或相对运动趋势 相反,且沿接触面 切向 。
2,列平衡方程
多增加一个条件,Ff ≤ Ffmax=fsFN
3,解方程
结果有时是一个范围（ 平衡范围 ）。
4,临界状态求解
将滑未滑 —— 最大静滑动摩擦力的值 Ff = Ffmax=fsFN
将翻未翻 —— 滑动摩擦力的倾翻临界值 Fr
例 4-9 （ P127 习题 4.29） 放置在水平面上的匀质棱柱体重
P=4.8kN，摩擦因数 f=1/3。试问当主动力 F逐渐增大时该棱柱体是先滑动还是先倾倒？并计算运动刚发生时 F的值。
P
F
4
3
A B
2m
1m
本章小结
刚体和刚体系统的平衡问题（不考虑摩擦）
选取研究对象
列方程
解方程
校核
考虑了摩擦后的平衡问题
受力分析中多加一个约束力 Ff
列方程时考虑 Ff
两种临界状态
静定和超静定问题
静定 —— 未知量个数 ≤平衡方程个数
超静定 —— 未知量个数＞平衡方程个数第五章 变形体的平衡和杆件 内力 分析
§ 5-1 可变形体的平衡条件和内力
§ 5-2 拉压杆的内力
§ 5-4 梁的弯曲内力
§ 5-5 利用微分关系作剪力图和弯矩图 ·叠加法作弯矩图
§ 5-3 轴的内力 计算
§ 5-6 复杂载荷作用下杆件的内力一、可变形系统物体系统刚体系统可变形系统第五章 变形体的平衡和杆件内力分析
§ 5-1 可变形系统的平衡条件和内力二、外力和内力
1,外力,其它物体对构件作用的力。例如支座约束力，
荷载等 。
2,内力,固有内力 ——分子内力，它是由构成物体的材料的物理性质所决定的。
附加内力 ——由于外力作用而引起的受力构件内部各质点间相互作用力的改变量。
工程力学研究 ----附加内力
（简称内力）
随外力产生或消失随外力改变而改变但有一定限度截 面 法三、内力的计算方法根据空间任意力系的六个平衡方程
0xF 0yF 0zF
0xM 0yM 0zM
求出内力分量计算步骤：
1、截开 2、代替 3、平衡刚化原理 —— 变形体 在某一力系作用下处于平衡状态，
若将其 视为刚体,其 平衡不受影响 。
轴向拉伸或压缩变形受力特点：合力作用线与杆轴线重合引起的。
拉 伸压 缩变形特点：杆件沿合力方向伸长或缩短，
主要变形是长度的改变
F F
m
m
F
m
m
FN
x
x
0xF 0NFF NFF?
—— 轴力
1.正负规定,拉正压负
2.轴力图
x
FN拉压杆的内力 FN
§ 5-2 拉压杆的内力
计算轴力的 步骤
1,建立直角坐标系
2,取分离体为研究对象
用假想截面取出
3,受力分析
外力同刚体
内力用未知力代替（拉压杆 —— 轴力）
4,列平衡方程
5,解方程
6,作出内力图
A B
2
2
例 5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面 1-1，
2-2,3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1kN 2kN4kN 5kN
A B C D
1
1
2
2
3
3
x
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
1kN
A
1
1
xFN1
0xF 1 10NF
1 1NF kN?
3.计算 2-2截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
1kN
4kN
xFN2
0xF 2 4 1 0NF
2 3NF kN
A B C
3
3
例 5-1 一直杆受如图所示的几个轴向外力的作用。计算直杆横截面 1-1，
2-2,3-3的内力，并画出杆件的轴力图。
1kN
2kN
4kN 5kN
x
解,4.计算 3-3截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
xFN3
0xF 3 5 4 1 0NF
3 2NF kN?
1kN 4kN 5kN
A B C D
1
1
2
2
3
3
2kN
D
3
3
FN3 x
0xF
320NF
3 2NF kN?
5.轴力图
21
3
x
FN/kN
或：
x
2
2
例 5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
xFN1
0xF 1 0NFF
1 10NF F kN
3.计算 2-2截面的内力
F=10kN
xFN2 2F F=10kN
0xF 220NF F F
2 10NF F k N
1
1 4.计算 3-3截面的内力
3
3
xFN3 F=10kN
3F 2F
0xF
32 3 0NF F F F
3 2 2 0NF F k N
x
例 5-2 计算图示杆件指定截面上的轴力，并画出杆件的轴力图。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,5.轴力图
10
20
10
FN/kN
x
1 10NF F kN
2 10NF F k N
3 2 2 0NF F kN
F=10kN2F
1
1
2
2
3
3
x10
10
FN/kN
*截面变化对轴力无影响 *
例 5-3 （ P160 习题 5.2（ a））画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，
横截面面积为 A，密度为 ρ 。
解,
1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
F
l
x
O
1 1
F
x
O
1 1
FN
xρgAx
0xF
0NF F g A x
NF F gA x
0 xl其中：
3.轴力图
O
x
FN
F gAl
F
例 5-3 （ P160 习题 5.2（ b））画出杆件的轴力图。考虑杆的自重，横截面面积为 A，密度为 ρ 。 解,
1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
Fl
x
O
1 1
x
O
1 1
FN1
xρgAx
0xF 1 0NF gA x
1NF gAx
0 2lx
其中：
4.轴力图
l/2
2 2
3.计算 2-2截面的内力
0xF
2
l xl其中：
2 0NF F g A x
2NF F g A x
x
O
2 2
FN2
F x
x
O FN
F gAl
2F gAl
2gAl? ρgAx
二、平面简单桁架昆明世博园演艺广场顶篷桁架类型平行弦桁架折弦桁架三角形桁架拱式桁架联合桁架三、理想桁架
1,计算模型
各杆都是直杆，轴线过节点
节点处均为光滑铰链连接
所有外力都作用在节点上
2,受力特点
各杆皆为二力杆，只受轴向拉压
各节点处受汇交力系作用
3,计算方法
取分离体
受力分析（先判断零力杆）
列平衡方程
解方程
节点法
用一个闭合的截面把桁架的某个节点截取出来，
取节点为研究对象。
平面汇交力系
可求出全部杆件的内力
F2F1 F3
F4
例 5-4（ P160 习题 5.3（ a））
用节点法求图示桁架的内力。
P
E
C
A
B
D
a a
a/2
a/2
零力杆
若节点上连有三根杆件，且其中两杆位于一直线上，且节点上无外载，则第三杆为零力杆。
若节点上连有两根杆件，且节点上无外载，则两根杆均为零力杆。
若节点上连有两根杆件，外载作用线沿其中一根杆的轴线，则另一根杆为零力杆。
F
例 5-5 指出桁架中的零力杆。
（ a）
（ b）
截面法
选取一个截面，将整个桁架截开，将要求解内力的杆件截断，然后取其中一部分为研究对象。
平面一般力系
求解指定杆件的内力
F1
F2
F3
例 5-6（ P160 习题 5.4（ a））
用截面法求图示桁架指定杆的内力。
F1=3kN,F2=2kN,a=3m,求杆 BC,GF,BF的内力
C
D
BA
G
F
G
a a a
F1F1
F2
30o 30o60o 60o60o 60o
作业
习题 P160
5.1(a)(c)
5.4(b)
受力特点,大小相等、转向相反，且作用面垂直于杆件轴线。
变形特点,杆件的任意两个横截面绕轴线发生相对转动。
轴 ——主要承受扭转变形的细长杆件。
扭转变形 ——杆件的横截面绕轴线产生转动。
§ 5-3 轴的内力计算一、外力偶矩
m in
9549 kW
Nm
r
P
M
n?
m
m
x
二、横截面上的内力
M
M
m
m M
Tx
0xM 0TM TM?
—— 扭矩杆件扭转的内力 T
扭矩计算方法
计算外力偶矩
取截面受力分析、列方程、解方程
内力图例题 5-7,传动轴。转速 n = 300r/min，输入功率 PA =
42kW，输出功率 PB = PC = 12kW,PD = 18kW。画扭矩图。
解：
2,先计算外力偶矩：
9549
1337
9549
382
9549
573
A
A
B
BC
D
D
P
M N m
n
P
M M N m
n
P
M N m
n
11 0,3 8 2BBT M T M N mBC 段：
图 5-10（ a）
DMM CBM
B C A D
M A
MBM C T
M B T DT MⅠ Ⅲ
Ⅱ
图 5-10（ b）
3,再用截面法计算各段扭矩：
22 0,7 6 4B C B CT M M T M M N mCA 段：
330,5 7 3DDM T T M N mAD 段：
1,建立坐标系：
x
4,作扭矩图：
382
/N mT 573
764
x
－
+
图 5-10（ c）
1337
382
764
x
M
T
M B
C
DM
M A
－
/N m
图 5-10（ d）
改变主、从动轮的位置，则轴的 扭矩分布也将改变。如：主动轮安装在轴的右侧。
AD段内力变化。
最大扭矩在 AD段,Tmax=1337N·m
显然，第一种放置方式较合理。
例题 5-7,传动轴。转速 n = 300r/min，输入功率 PA =
42kW，输出功率 PB = PC = 12kW,PD = 18kW。画扭矩图。
解：
m a x 764T N m最大扭矩在 CA 段：
1
1
例 5-8 试作扭矩图。
解,1.建立如图坐标系t=2M/l
2.计算 1-1截面的内力
① 截 ② 代 ③ 平
T1 0
xM 1 0T M tx
1T M tx
M
M1
1
l
M
t=2M/l
x
1
2 MT M x
l
3.作扭矩图T/N·m
xM
M
例 5-9（ P162 习题 5.7）
作图示钢轴的扭矩图。
M1=2kN·m,M2=4kN·m,mx=0.5kN·m/m,其中长度单位为 m。
0.3 0.3 0.5
M1 M2
0.4
mx
x
O
作业
P160 习题
5.8
行车吊车梁电葫芦镗刀杆
梁 ——主要承受弯曲变形的杆件。
§ 5-4 梁的弯曲内力
1 2 1 2
常见弯曲构件截面
具有纵向对称面
外力都作用在此面内
弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线对称弯曲一、受弯杆件的简化
1,杆件的简化：
用轴线表示实际的梁。
2,载荷的简化：
横向集中力
横向分布力
集中力偶
3,支座的简化
固定铰支座
可动铰支座
固定端行车简化
Fq
均布载荷 集中力镗刀杆
F
简支梁外伸梁悬臂梁
4.静定梁的基本形式
FAx
FAy FB
FAx
FAy FB
FAx
FAy MA
输气管线
5.超静定梁
FAx
FAy MA
FBx
FBy MB
管架梁结构F
Ax
FAy MA FB
FAy
FN
FS
M
FBy
FN
FS
M
二、内力分量 ——剪力、弯矩
1,FS剪力 —— 平行于横截面的内力合力。
M 弯矩 —— 垂直于横截面的内力系的合力偶矩。
（ 1）截面上的剪力对梁上任意一点的矩为 顺时针 转向时,剪力为正； 反之 为负。
（ 2） 截面上的弯矩使得梁呈 凹形 为正； 反之 为负。 +
_
+ _
左上右下为正； 反之 为负左顺右逆为正； 反之 为负
2.剪力、弯矩的正负号
3,计算方法
计算支座反力
一般取整体为研究对象，利用平衡方程
取截面受力分析（分段）
需要建立坐标系
列方程
解方程
画内力图
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解,1、建坐标系，画受力图，列平衡方程求支反力 kN
m
A
6 m
m3
C
6
D B
mkN10 30
xy
F
kN kN
F Ay
Ax
A
m3010
DC B
NBF
y
x
0,3 0 1 0 6 1 5 0 2A N B N BM F F k N
0,0 Axx FF
0,1 0 0 8y A y N B A yF F F F k N
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
F
=AyF kN8
x S
M
A
解：
AC 段：
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，
求 Fs,M。
kNxFxFF SSAy 8)(0)(
mkNxxMxFxM Ay )8()(0)(
0＜ x＜ 6
y x
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解：
CD 段：
F Ay kN= 8
A
x
F S
M
6 m
kN10
C
6＜ x＜ 9
mkNxxM )260()(
y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
1 0 ( ) 0A y SF F x kNxF S 2)(
( ) 1 0 ( 6 ) 0AyM x x x F
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，求 Fs,M。
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解：
DB段：
m6
8 kN
kN
3
x
m
C
kN10
D
30
F S
m
M
A
1 0 ( ) 0 ( ) 2A y S SF F x F x k N
9＜ x＜ 15
mkNxxM )230()(
y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
( ) 3 0 1 0 ( 6 ) 0AyM x x x F
2、按 x 轴正向，逐次使用截面法，列各段平衡方程，求 Fs,M。
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
解,3、作剪力图和弯矩图
8
m
2
x /O
Fs / kN
M kN
12
mx
/
/O
48
42
m
kNxF S 8)(?
mkNxxM )8()(
mkNxxM )260()(
mkNxxM )230()(
DB段,9＜ x＜ 15
CD段,6＜ x＜ 9
AC段,0＜ x＜ 6 y x
F
10 kN 30 kN
Ax
m
NBFAyF
6m6 m
3 m
DCA B
kNxF S 2)(
kNxF S 2)(
例题 5-10,简支梁。截面法作 FS 图,M 图。
例题 5-11,化工反应塔受风载作用，作 FS图,M图。
解,反应塔简化为 悬臂梁,建坐标系，画受力图，
2
( ) ( )
1( ) ( )
2
SF x q l x
M x q l x
q
q l /22
M
x－ x
lF S q
+
作剪力图、弯矩图
力学建模,悬臂梁 ；
分布力 不能先简化；
F
M A
A
q
A
x
l
B
y
x
取截面 右侧 为分离体，
计算剪力和弯矩，得：
习题 5.14
列出图示各构件的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图 和 弯矩图 。各梁尺寸和受载如图。
例题 5-12：
y
x
FAy
FAx
FB
解,得到剪力方程和弯矩方程
1SF qa 1M qax
2
2
31
44M q a q a x
2
3
11
44M q a q a x
CB段,2a＜ x＜ 3a
AC段,a＜ x＜ 2a
DA段,0＜ x＜ a
3
1
4SF qa
2
1
4SF qa
x
y
BE段,3a＜ x＜ 4a
4 4SF q a x 24 1 42M q a x
FS
x
qa
1/4qa
qa
M
x
5/4qa2
1/4qa2
1/2qa2qa2
弯曲内力计算的 特点
载荷突变情况下,应取截面分段处理。
集中力作用处（支座）,剪力发生 间断,其间断值 =集中力大小，剪力图的升降（沿 x轴）
与集中力方向一致；且弯矩图对应处出现 尖点 。
集中力偶作用处,弯矩发生 间断,其间断值 =
集中力偶大小，弯矩图对应集中力偶是,顺升逆降,（沿 x轴）；但对剪力 无影响 。
均布载荷处,剪力图线性变化，弯矩图曲线。
“间断,的解释
注意：
S2
F
S1
F
+
－
=F
x
q x×
作业
P163
5.14 （ c）（ f）
SSF x dF x?
M x dM x?
SFx
Mx
qx
C
0yF
0CM
0S S SF x F x dF x q x dx
02S dxM x M x d M x F x d x q x d x
Sd F x q x d x?
Sd M x F x d x?
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
§ 5-5 利用微分关系作剪力图和弯矩图 ·叠加法作弯矩图
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
Sd F x qx
dx?
S
d M x Fx
dx?
2
2
d M x qx
dx?
x
y
E
F1 F2Mo
q
q
A B C D
G H
FS
x
M
x
利用微分关系直接作内力图
剪力图、弯矩图
1,建立坐标系
2,计算支座反力
3,确定控制面，并计算其剪力和弯矩
4,利用微分关系作剪力、弯矩图
)()()(2
2
xqdx xdFdx xMd s
F
A
CB D
a a 2a
2F
例题 5-13：
x
y
FAy
FAx
P165 习题 5.16（ a）
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。
FB
M=qa2
A
C
B
D
a a a
q
例题 5-14：
x
y
FAy
FAx
P165 习题 5.16（ e）
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。
FB
习题 5.14
利用微分关系作 剪力图 和 弯矩图 。各梁尺寸和受载如图。
例题 5-15：
FAy
FAx
FB
x
y
小变形情形下,梁在若干个载荷共同作用时的内力，等于在各个载荷单独作用时的内力的代数和。
叠加法作内力图作业
P165
5.16 （ d）（ f）
本章小结
基本概念 —— 内力、刚化原理
内力的计算方法 —— 截面法
变形体的内力
轴力 —— 拉压杆的内力 （拉正压负）
扭矩 —— 轴的内力 （与外法线方向一致为正）
剪力,弯矩 —— 梁的内力
剪力 ——左上右下为正
弯矩 ——左顺右逆为正
利用微分关系作梁的内力图
)()()(2
2
xqdx xdFdx xMd s
