工程力学土木工程与建筑学院力学教研室彭芸
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13547117153
实验
郭怀仁（老师）
8706264
第六章 工程材料的基本力学性能
§ 6-1 变形固体力学的基本概念一、应力
一点的应力,当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：
dA
dF
A
Fp?
l i m
0A
A
Fp
平均应力,某范围内单位面积上内力的平均集度。
应力总量 P 可以分解成,
垂直于截面的分量 σ （正应力）
平行于截面的分量 τ （切应力）
应力的正负号,σ —— 拉正压负
τ —— 顺时针转动为正应力的单位,1 N/m2 = 1 Pa（帕斯卡）
1 MPa = 106 Pa
1 GPa = 109 Pa
应力 —— 分布内力的集度。
dA
dF
A
Fp?
lim
0A
五
F
C’
D’
E’
位移 线位移角位移变形 线变形角变形应变 线（正）应变剪（切）应变
A
A’
ECDDC E
CDDC
CD
CDDC
m
CD? CD CDDC lim?
ECDm 2 ECD2lim CD?
CE?
C D
E
AA?
二、变形和应变三、材料的力学性能
§ 6-2 工程材料在常温静载下的拉压力学性能力学性能 —— 在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。
1 0,1 0 0od m m l m m
一、试件和试验条件
静载、常温低碳钢的拉伸二、低碳钢的拉伸应力 -应变曲线
o
a
b
c
e
f
明显的四个阶段
1、弹性阶段 ob
—P? 比例极限
E?
—e? 弹性极限
ta nE
2、屈服阶段 bc（失去抵抗变形的能力）
—s? 屈服极限
3、强化阶段 ce（恢复抵抗变形的能力）
强度极限—b?
4、局部变形阶段 ef
P?e?
s?
b?
延性或塑性指标两个塑性指标,
%1 00
0
01
l
ll?断后伸长率 断面收缩率 %100
0
10
A
AA?
%5 为塑性材料 %5 为脆性材料低碳钢的 %3020 — %60 为塑性材料
0
卸载定律及冷作硬化
1、弹性范围内卸载、再加载
o
a
b
c
e
f
P?
e? s?
b?
2、过弹性范围卸载、再加载
d
d? g hf?
即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，
这就是 卸载定律 。
材料的比例极限增高，
延伸率降低，称之为 冷作硬化或加工硬化 。
注意！
o
a
b
c
e
f E?
ta nE
P?e?
s?
b?
d
d? g hf?
1,服从胡克定律,oa段
2,两个强度指标
—s? 屈服极限强度极限—b?
3,两个塑性指标
%1 00
0
01
l
ll?断后伸长率 断面收缩率 01
0
100%AAA
4,卸载定律和冷作硬化三、其他材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用 名义屈服极限 σ r0.2来表示。
o
%2.0
0.2r?
1）,屈服阶段不明显
2）,脆性材料的力学性质
o
bt?
对于脆性材料（ 铸铁 ），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和缩颈现象，试件突然拉断。断后伸长率约为 0.45%。
为典型的脆性材料。
σ bt—拉伸强度极限 （约为 140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
四、材料在压缩时的力学性能屈服极限—
S?
比例极限—
p?
弹性极限—
e?
拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。
E --- 弹性摸量
1.低碳钢的压缩
o
bt?
bc?
脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限
btbc
2,脆性材料的压缩
1）铸铁
2）混凝土
3）木材、石材
F F
l
l1
b
b1
l
l?
线应变 （纵向线应变）
轴向 （纵向） 变形量 1l l l 横向变形量 1b b b
b
b?
横向线应变由实验曲线得：
0 0.5泊松比：
五、横向变形和泊松比注,由泊松比所产生的横向应变与轴向应变不同，它并不产生相应的应力，除非变形受到阻碍。
2.用三种不同材料（材料 1、材料 2、
材料 3）制成尺寸相同的试件，在相同的试验条件下进行拉伸试验，得到的曲线如图 2所示。比较三条曲线，可知拉伸强度最高的为材料,刚度最大的为材料,塑性最好的为材料 。
1,板状试件的表面，沿纵向和横向粘贴两个应变片 ε 1和
ε 2，在力 F的作用下，若测得 ε 1,ε 2的值，则该试件的泊松比为,若已知该试件材料的剪切模量 G，则弹性模量 E为 。
2
1
21
EG
1? 2?
3,现有低碳钢和铸铁两种材料，图示结构中，杆 1和杆 2直径相同，从承载能力和经济效益两方面考虑，图示结构两杆的合理选材方案是 。
A,杆 1和杆 2均为低碳钢 B,杆 1和杆 2均为铸铁
C,杆 1为低碳钢、杆 2为铸铁 D,杆 1为铸铁、杆 2为低碳钢
§ 6-3 薄壁圆筒扭转试验和剪切胡克定律一、薄壁圆筒扭转时的应力和变形薄壁圆筒：壁厚
010
1 R
R0 —— 为平均半径 /中径
0R
1.试验现象：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
2.变化：
① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，
只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
M
M
① 无正应力 ；
② 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力?,沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
3.结论,
4,? 与? 关系
lRRl / 00
0R
MM
l5,薄壁圆筒? 大小
0
2
0
2
0
0
2
0
00
22
2
d
A
T
R
T
TR
TdRRAR
A
A0 — 平均半径 R0所作圆的面积二,剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时 (τ≤τp)，切应力与切应变成 正比 关系。
G
G是材料的一个弹性常数，称为切变模量,G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，
钢材 的 G值约为 80GPa。
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
G,E 和 是表明材料弹性性质的三个常数。对 各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系：
§ 6-4 材料失效与强度设计准则一、材料失效与失效判据材料失效形式：屈服 —— 塑性材料断裂 —— 脆性材料二、构件的强度失效与设计准则
1,构件失效：强度失效刚度失效稳定性失效
2,构件强度设计
ub
us
m a x u n
本章小结
应力和应变
正应力、切应力、线应变、切应变
胡克定律
拉压、剪切
工程材料的基本力学性能：应力 -应变曲线
两种失效形式,断裂和屈服
温度、加载速度和循环加载对材料力学性能的影响（自学）
§ 7-1 轴向拉压杆的应力和强度第七章 简单情形下的强度和变形计算
F F
F F
F F
一、横截面上的应力
F F
F F
1.纵向线伸长实验现象：
2.横向线缩短
3.横向线、纵向线均为直线平截面假定,杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
平截面假定,杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
杆件整个横截面上的 轴向变形 —— 伸长或缩短都是 均匀 的。
由于，完全弹性和线弹性假定，得到由此知道，
杆件整个横截面上的 内力分布也是均匀 的。
F F
m
m
FN
x
σm
m
F F
σ
0xF 0AF
NF
A
x
NFF?
且，
F F
q q
F/2
F/2
F/2
F/2
正应力公式的适用性
1.载荷的形式 2.截面形状的变化
F F
x
例 7-1 阶梯状杆各横截面面积 A1=100mm2,A2=200mm2,
A3=400mm2，求各横截面上的应力。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,
① 由例 5.2
得到轴力
10
20
10
FN/kN
x
1 10NF F kN
2 10NF F k N
3 2 2 0NF F kN
② 计算应力
1
1
1
NF
A
3
6
10 10
10 0 10?
100 MPa?
2
2
2
NF
A
3
6
10 10
20 0 10?
50 MPa
3
3
3
NF
A
3
6
20 10
40 0 10?
50MPa?
例 7-2 图示为一悬臂吊车的简图，斜杆 AB为直径 d=20mm的钢杆，
载荷 W=15kN。当 W移到 A点时，求斜杆 AB横截面上的应力。
y
x
B
C A
α
W
1.9m
0.8m
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力 A
W
α
FNAC
FNAB
0xF
0yF
c o s 0N A B N A CFF
s in 0N A BFW
sinNA B
WF
38.7kN?
3.计算应力
NAB
AB
AB
F
A
61 2 3 1 0 Pa
2
4
NABF
d?
3
26
3 8,7 1 0
2 0 1 0
4
123 MP a?
F F
横截面上的应力：
m
m
α
NF
A
F
A?
斜截面上的应力：
Fp
A
其中,FF
cos
AA
cosFp A所以,cos
F Fα
α
m
m
pα
m
m
F
α
pα
cosp
sinp
二、斜截面上的应力
cosFp A所以,cos
F
m
m
α pα
cosp sinp
cosp
sinp
2cos
sin 22co s sin
NFF
AA
且有，
① 当 α =0o时，
② 当 α =45o时，
③ 当 α =90o时，
max 0
2?
max 2?
0
正负号规定拉正压负?：
顺时针转动趋势为正?：
x轴逆时针转动为正?：
上次课内容
F FN
m
m
F F
m
m
m
m
α
横截面上的应力：
NF
A
F
A?
斜截面上的应力：
2cos sin 2
2?
平截面假定：
杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
均匀的变形 均匀的内力
σ
1,图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形 a和 b，则受力后正方形 a,b分别变为 。
A,菱形、矩形 ;
B,菱形、正方形 ;
C,正方形、正方形 ;
D,矩形、正方形,
2,图示平板，两端受均布载荷 q作用，若变形前在板面划上两条平行线段 AB和 CD，则变形后 。
A,AB∥ CD、角减小 ;
B,AB∥ CD、角不变；
C,AB∥ CD、角增大 ;
D,AB不平行于 CD。
三、轴向拉压杆的强度计算
AF Nm a x
AF Nm a x
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题：
1、强度校核：
NFA?2、设计截面：
AF N?3、确定许用载荷：
计算步骤
1,受力分析，计算内力（轴力）
2,计算应力
3,强度计算
AF Nm a x
NF
A
例 7-3（ a） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
AC和 BC杆直径均为 d=40mm,F=100kN，试 校核两杆的强度 。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NAC
AC
AC
F
A
159.2 MP a?
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
200 kN?
1 0 0 3kN
2
4
NACF
d?
3
26
2 0 0 1 0
4 0 1 0
4
NBC
BC
BC
F
A
137.8 M Pa
3
26
1 0 0 3 1 0
4 0 1 0
4
2
4
NBCF
d?
例 7-3（ a） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
AC和 BC杆直径均为 d=40mm,F=100kN，试 校核两杆的强度 。
解,3.计算应力
NAC
AC
AC
F
A
159.2 MP a?
A
B C
30o
F
y
x
NBC
BC
BC
F
A
137.8 M Pa
4.强度校核
1 5 9,2AC M P at 200 MPa?
1 3 7,8BC M P ac 150 MPa?
强度满足例 7-3（ b） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
F=100kN，试 确定 AC,BC的直径 d1和 d2。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NACAC
AC
F
A
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
200 kN?
1 0 0 3kN
2
14
NACF
d?
NBCBC
BC
F
A
2
24
NBCF
d?
4.确定直径
AC t 1 35.7d mm?
BC c
2
14
NAC
t
F
d
2 38.3d mm
2
24
NB C
c
F
d
例 7-3（ c） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力
F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa,AC
和 BC杆直径均为 d=40mm，试 确定结构的许用载荷 F。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NACAC
AC
F
A
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
2
2
4
F
d?
NBCBC
BC
F
A
2
3
4
F
d?
4.确定 Fmax
AC t 125.7F kN?
BC c
2
2
4
t
F
d
108.8F kN
2
3
4
c
F
d
m ax 1 0 8,8F kN?
作业
P227 习题 7.4
P228 习题 7.8
一、应变的概念
F F
l
l1
b
b1
l
l?
线应变 （纵向线应变）
轴向 （纵向） 变形量 1l l l 横向变形量 1b b b
b
b?
横向线应变由实验曲线得：
0 0.5泊松比：
§ 7-2 轴向拉压杆的变形二、拉（压）杆的变形应力 -应变曲线,E
其中,E
拉压胡克定理
—— 弹性模量,表示抵抗变形的能力。
由于，
l
l?
线应变
NF
A
正应力
NFlE
Al
NFll
EA
EA —— 抗拉（压）刚度。
2,截面尺寸、轴力沿轴向（ x方向）变化的杆件：
0
l NF x dxl
EA x
Ni i
i
ii ii
Flll
EA
3,对阶梯形直杆，整根杆件的变形：
1,等截面直杆、轴力不变
NFll EA
拉（压）杆的变形计算例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,1.建立如图坐标系
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
2.计算内力
BC D
F2 F1FNAC
0xF 12 0N A CF F F
6NACF kN?
BD
F1FNCB
0xF 1 0NCBFF
4NCBF kN
6
4
FN/kN
x
例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,
3.计算位移
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
6
4
FN/kN
x
B A C C D D Bl l l
NFll
EA
NAC AC
AC
Fl
EA?
2
NAC ACFl
EA?
3
5 6 4
6 1 0 0,5
2 1 0 1 0 4 1 0?
3
5 6 4
4 1 0 0,5
2 1 0 1 0 4 1 0?
3
5 6 4
4 1 0 0,5
2 1 0 1 0 2 1 0?
NCD CD
CD
Fl
EA?
NDB DB
DB
Fl
EA?
2
NCB CDFl
EA? 1
NCB DBFl
EA?
40,3 7 5 1 0 m 0.0375 mm
例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,
4.计算最大正应力
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
6
4
FN/kN
x
NF
A
NAC
AC
AC
F
A
3
4
6 10
4 10?
15MPa?
NCD
CD
CD
F
A
3
4
4 10
4 10?
10 MPa
NDB
DB
DB
F
A
3
4
4 10
2 10?
20 MPa
m ax 20 M P a
所以,
作业
P228 习题 7.9
例 7-5 试求自由悬挂的等直杆由于自重引起的 最大正应力和总伸长 。
设杆长 l，横截面面积 A，密度 ρ，弹性模量 E均 为 已知。
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
l
x
O
1 1
x
O
1 1
FN
xρgAx
0xF 0NF gA x
NF gAx
0 xl其中：
3.计算最大正应力
O
x
FN
gAl?
NF
A
m axm ax NF
A
gAl
A
gl
gAx
A
gx max glNFA
4.计算总伸长
NF dxdl EA
0
l NF dxl
EA
2
2
gl
E
或：
例 7-6 图示三角托架 。 AB为钢杆,A1=4cm2,E1=2× 105MPa； BC为木杆，
A2=100cm2,E2=10× 103MPa，在 A,B,C连接处均可视为铰接，荷载 F=30kN。
试求托架节点 B的水平位移 ⊿ H，竖直位移 ⊿ V和总位移 ⊿ 。
解,1.建立如图坐标系
2.受力分析
A B30o
C
F
2m
y
x
FN1
B30oF
N2
F
0xF
0yF
12 c o s 3 0 0oNNFF
2 s in 3 0 0oNFF
1 3NFF?
2 2NFF
51.96kN?
60kN
3.计算变形 11
1
11
NFll
EA
3
5 6 4
5 1,9 6 1 0 2
2 1 0 1 0 4 1 0?
31,2 9 9 1 0 m
22
2
22
NFll
EA
3
3 6 4
6 0 1 0 2 c o s 3 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
o
31,3 8 6 1 0 m
①
②
例 7-6 图示三角托架 。 AB为钢杆,A1=4cm2,E1=2× 105MPa； BC为木杆，
A2=100cm2,E2=10× 103MPa，在 A,B,C连接处均可视为铰接，荷载 F=30kN。
试求托架节点 B的水平位移 ⊿ H，竖直位移 ⊿ V和总位移 ⊿ 。
解,3.计算变形
31 1,2 9 9 1 0lm
32 1,3 8 6 1 0
4.计算位移
A
C
B30o
⊿ l1
H
D
B’
30o
⊿ H
⊿ V
H BD 1l
31,2 9 9 1 0 m
1.299mm?
V BD
K
G
BK? BG GK
2
sin 30 o
lBG
1ta n 30 olGK
5,0 2V mm
22HV5.18mm?
①
②
本章小结
轴向拉压杆的应力计算
轴向拉压杆的强度计算
轴向拉压杆的变形计算
公式法
NF
A
AF Nm a x
NFll
EA
应力集中的概念一、应力集中的概念二、各种材料的应力集中因杆件外形突然变化，而引起的局部应力急剧增大的现象。
1、塑性材料
2、脆性材料
F F
F
max
m
1理论应力集中系数
Nm FA
净
apple_yunpeng@163.com
13547117153
实验
郭怀仁（老师）
8706264
第六章 工程材料的基本力学性能
§ 6-1 变形固体力学的基本概念一、应力
一点的应力,当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：
dA
dF
A
Fp?
l i m
0A
A
Fp
平均应力,某范围内单位面积上内力的平均集度。
应力总量 P 可以分解成,
垂直于截面的分量 σ （正应力）
平行于截面的分量 τ （切应力）
应力的正负号,σ —— 拉正压负
τ —— 顺时针转动为正应力的单位,1 N/m2 = 1 Pa（帕斯卡）
1 MPa = 106 Pa
1 GPa = 109 Pa
应力 —— 分布内力的集度。
dA
dF
A
Fp?
lim
0A
五
F
C’
D’
E’
位移 线位移角位移变形 线变形角变形应变 线（正）应变剪（切）应变
A
A’
ECDDC E
CDDC
CD
CDDC
m
CD? CD CDDC lim?
ECDm 2 ECD2lim CD?
CE?
C D
E
AA?
二、变形和应变三、材料的力学性能
§ 6-2 工程材料在常温静载下的拉压力学性能力学性能 —— 在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。
1 0,1 0 0od m m l m m
一、试件和试验条件
静载、常温低碳钢的拉伸二、低碳钢的拉伸应力 -应变曲线
o
a
b
c
e
f
明显的四个阶段
1、弹性阶段 ob
—P? 比例极限
E?
—e? 弹性极限
ta nE
2、屈服阶段 bc（失去抵抗变形的能力）
—s? 屈服极限
3、强化阶段 ce（恢复抵抗变形的能力）
强度极限—b?
4、局部变形阶段 ef
P?e?
s?
b?
延性或塑性指标两个塑性指标,
%1 00
0
01
l
ll?断后伸长率 断面收缩率 %100
0
10
A
AA?
%5 为塑性材料 %5 为脆性材料低碳钢的 %3020 — %60 为塑性材料
0
卸载定律及冷作硬化
1、弹性范围内卸载、再加载
o
a
b
c
e
f
P?
e? s?
b?
2、过弹性范围卸载、再加载
d
d? g hf?
即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，
这就是 卸载定律 。
材料的比例极限增高，
延伸率降低，称之为 冷作硬化或加工硬化 。
注意！
o
a
b
c
e
f E?
ta nE
P?e?
s?
b?
d
d? g hf?
1,服从胡克定律,oa段
2,两个强度指标
—s? 屈服极限强度极限—b?
3,两个塑性指标
%1 00
0
01
l
ll?断后伸长率 断面收缩率 01
0
100%AAA
4,卸载定律和冷作硬化三、其他材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用 名义屈服极限 σ r0.2来表示。
o
%2.0
0.2r?
1）,屈服阶段不明显
2）,脆性材料的力学性质
o
bt?
对于脆性材料（ 铸铁 ），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和缩颈现象，试件突然拉断。断后伸长率约为 0.45%。
为典型的脆性材料。
σ bt—拉伸强度极限 （约为 140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
四、材料在压缩时的力学性能屈服极限—
S?
比例极限—
p?
弹性极限—
e?
拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。
E --- 弹性摸量
1.低碳钢的压缩
o
bt?
bc?
脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限
btbc
2,脆性材料的压缩
1）铸铁
2）混凝土
3）木材、石材
F F
l
l1
b
b1
l
l?
线应变 （纵向线应变）
轴向 （纵向） 变形量 1l l l 横向变形量 1b b b
b
b?
横向线应变由实验曲线得：
0 0.5泊松比：
五、横向变形和泊松比注,由泊松比所产生的横向应变与轴向应变不同，它并不产生相应的应力，除非变形受到阻碍。
2.用三种不同材料（材料 1、材料 2、
材料 3）制成尺寸相同的试件，在相同的试验条件下进行拉伸试验，得到的曲线如图 2所示。比较三条曲线，可知拉伸强度最高的为材料,刚度最大的为材料,塑性最好的为材料 。
1,板状试件的表面，沿纵向和横向粘贴两个应变片 ε 1和
ε 2，在力 F的作用下，若测得 ε 1,ε 2的值，则该试件的泊松比为,若已知该试件材料的剪切模量 G，则弹性模量 E为 。
2
1
21
EG
1? 2?
3,现有低碳钢和铸铁两种材料，图示结构中，杆 1和杆 2直径相同，从承载能力和经济效益两方面考虑，图示结构两杆的合理选材方案是 。
A,杆 1和杆 2均为低碳钢 B,杆 1和杆 2均为铸铁
C,杆 1为低碳钢、杆 2为铸铁 D,杆 1为铸铁、杆 2为低碳钢
§ 6-3 薄壁圆筒扭转试验和剪切胡克定律一、薄壁圆筒扭转时的应力和变形薄壁圆筒：壁厚
010
1 R
R0 —— 为平均半径 /中径
0R
1.试验现象：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
2.变化：
① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，
只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
M
M
① 无正应力 ；
② 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力?,沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
3.结论,
4,? 与? 关系
lRRl / 00
0R
MM
l5,薄壁圆筒? 大小
0
2
0
2
0
0
2
0
00
22
2
d
A
T
R
T
TR
TdRRAR
A
A0 — 平均半径 R0所作圆的面积二,剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时 (τ≤τp)，切应力与切应变成 正比 关系。
G
G是材料的一个弹性常数，称为切变模量,G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，
钢材 的 G值约为 80GPa。
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
G,E 和 是表明材料弹性性质的三个常数。对 各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系：
§ 6-4 材料失效与强度设计准则一、材料失效与失效判据材料失效形式：屈服 —— 塑性材料断裂 —— 脆性材料二、构件的强度失效与设计准则
1,构件失效：强度失效刚度失效稳定性失效
2,构件强度设计
ub
us
m a x u n
本章小结
应力和应变
正应力、切应力、线应变、切应变
胡克定律
拉压、剪切
工程材料的基本力学性能：应力 -应变曲线
两种失效形式,断裂和屈服
温度、加载速度和循环加载对材料力学性能的影响（自学）
§ 7-1 轴向拉压杆的应力和强度第七章 简单情形下的强度和变形计算
F F
F F
F F
一、横截面上的应力
F F
F F
1.纵向线伸长实验现象：
2.横向线缩短
3.横向线、纵向线均为直线平截面假定,杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
平截面假定,杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
杆件整个横截面上的 轴向变形 —— 伸长或缩短都是 均匀 的。
由于，完全弹性和线弹性假定，得到由此知道，
杆件整个横截面上的 内力分布也是均匀 的。
F F
m
m
FN
x
σm
m
F F
σ
0xF 0AF
NF
A
x
NFF?
且，
F F
q q
F/2
F/2
F/2
F/2
正应力公式的适用性
1.载荷的形式 2.截面形状的变化
F F
x
例 7-1 阶梯状杆各横截面面积 A1=100mm2,A2=200mm2,
A3=400mm2，求各横截面上的应力。
F=10kN3F 2F
1
1
2
2
3
3
解,
① 由例 5.2
得到轴力
10
20
10
FN/kN
x
1 10NF F kN
2 10NF F k N
3 2 2 0NF F kN
② 计算应力
1
1
1
NF
A
3
6
10 10
10 0 10?
100 MPa?
2
2
2
NF
A
3
6
10 10
20 0 10?
50 MPa
3
3
3
NF
A
3
6
20 10
40 0 10?
50MPa?
例 7-2 图示为一悬臂吊车的简图，斜杆 AB为直径 d=20mm的钢杆，
载荷 W=15kN。当 W移到 A点时，求斜杆 AB横截面上的应力。
y
x
B
C A
α
W
1.9m
0.8m
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力 A
W
α
FNAC
FNAB
0xF
0yF
c o s 0N A B N A CFF
s in 0N A BFW
sinNA B
WF
38.7kN?
3.计算应力
NAB
AB
AB
F
A
61 2 3 1 0 Pa
2
4
NABF
d?
3
26
3 8,7 1 0
2 0 1 0
4
123 MP a?
F F
横截面上的应力：
m
m
α
NF
A
F
A?
斜截面上的应力：
Fp
A
其中,FF
cos
AA
cosFp A所以,cos
F Fα
α
m
m
pα
m
m
F
α
pα
cosp
sinp
二、斜截面上的应力
cosFp A所以,cos
F
m
m
α pα
cosp sinp
cosp
sinp
2cos
sin 22co s sin
NFF
AA
且有，
① 当 α =0o时，
② 当 α =45o时，
③ 当 α =90o时，
max 0
2?
max 2?
0
正负号规定拉正压负?：
顺时针转动趋势为正?：
x轴逆时针转动为正?：
上次课内容
F FN
m
m
F F
m
m
m
m
α
横截面上的应力：
NF
A
F
A?
斜截面上的应力：
2cos sin 2
2?
平截面假定：
杆件的横截面在变形时仍保持为平面。
均匀的变形 均匀的内力
σ
1,图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形 a和 b，则受力后正方形 a,b分别变为 。
A,菱形、矩形 ;
B,菱形、正方形 ;
C,正方形、正方形 ;
D,矩形、正方形,
2,图示平板，两端受均布载荷 q作用，若变形前在板面划上两条平行线段 AB和 CD，则变形后 。
A,AB∥ CD、角减小 ;
B,AB∥ CD、角不变；
C,AB∥ CD、角增大 ;
D,AB不平行于 CD。
三、轴向拉压杆的强度计算
AF Nm a x
AF Nm a x
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题：
1、强度校核：
NFA?2、设计截面：
AF N?3、确定许用载荷：
计算步骤
1,受力分析，计算内力（轴力）
2,计算应力
3,强度计算
AF Nm a x
NF
A
例 7-3（ a） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
AC和 BC杆直径均为 d=40mm,F=100kN，试 校核两杆的强度 。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NAC
AC
AC
F
A
159.2 MP a?
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
200 kN?
1 0 0 3kN
2
4
NACF
d?
3
26
2 0 0 1 0
4 0 1 0
4
NBC
BC
BC
F
A
137.8 M Pa
3
26
1 0 0 3 1 0
4 0 1 0
4
2
4
NBCF
d?
例 7-3（ a） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
AC和 BC杆直径均为 d=40mm,F=100kN，试 校核两杆的强度 。
解,3.计算应力
NAC
AC
AC
F
A
159.2 MP a?
A
B C
30o
F
y
x
NBC
BC
BC
F
A
137.8 M Pa
4.强度校核
1 5 9,2AC M P at 200 MPa?
1 3 7,8BC M P ac 150 MPa?
强度满足例 7-3（ b） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力 F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa，
F=100kN，试 确定 AC,BC的直径 d1和 d2。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NACAC
AC
F
A
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
200 kN?
1 0 0 3kN
2
14
NACF
d?
NBCBC
BC
F
A
2
24
NBCF
d?
4.确定直径
AC t 1 35.7d mm?
BC c
2
14
NAC
t
F
d
2 38.3d mm
2
24
NB C
c
F
d
例 7-3（ c） 图示结构,AC和 BC杆均为圆杆，在节点 C处受集中力
F作用。已知许用拉应力 [σ t]=200MPa，许用压应力 [σc]=150MPa,AC
和 BC杆直径均为 d=40mm，试 确定结构的许用载荷 F。
解,1.建立如图坐标系
2.计算两杆内力
3.计算应力
NACAC
AC
F
A
A
B C
30o
F
y
x
C
F
30o
FNBC
FNAC
0xF
0yF
c o s 3 0 0oN A C N B CFF
s in 3 0 0oN A CFF
2NACFF?
3N B CFF
2
2
4
F
d?
NBCBC
BC
F
A
2
3
4
F
d?
4.确定 Fmax
AC t 125.7F kN?
BC c
2
2
4
t
F
d
108.8F kN
2
3
4
c
F
d
m ax 1 0 8,8F kN?
作业
P227 习题 7.4
P228 习题 7.8
一、应变的概念
F F
l
l1
b
b1
l
l?
线应变 （纵向线应变）
轴向 （纵向） 变形量 1l l l 横向变形量 1b b b
b
b?
横向线应变由实验曲线得：
0 0.5泊松比：
§ 7-2 轴向拉压杆的变形二、拉（压）杆的变形应力 -应变曲线,E
其中,E
拉压胡克定理
—— 弹性模量,表示抵抗变形的能力。
由于，
l
l?
线应变
NF
A
正应力
NFlE
Al
NFll
EA
EA —— 抗拉（压）刚度。
2,截面尺寸、轴力沿轴向（ x方向）变化的杆件：
0
l NF x dxl
EA x
Ni i
i
ii ii
Flll
EA
3,对阶梯形直杆，整根杆件的变形：
1,等截面直杆、轴力不变
NFll EA
拉（压）杆的变形计算例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,1.建立如图坐标系
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
2.计算内力
BC D
F2 F1FNAC
0xF 12 0N A CF F F
6NACF kN?
BD
F1FNCB
0xF 1 0NCBFF
4NCBF kN
6
4
FN/kN
x
例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,
3.计算位移
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
6
4
FN/kN
x
B A C C D D Bl l l
NFll
EA
NAC AC
AC
Fl
EA?
2
NAC ACFl
EA?
3
5 6 4
6 1 0 0,5
2 1 0 1 0 4 1 0?
3
5 6 4
4 1 0 0,5
2 1 0 1 0 4 1 0?
3
5 6 4
4 1 0 0,5
2 1 0 1 0 2 1 0?
NCD CD
CD
Fl
EA?
NDB DB
DB
Fl
EA?
2
NCB CDFl
EA? 1
NCB DBFl
EA?
40,3 7 5 1 0 m 0.0375 mm
例 7-4 图示阶梯杆，两端的横截面面积为 A1=2cm2,A2=4cm2。杆端的荷载 F1=4kN,C截面的荷载 F2=10kN，材料的弹性模量 E=2× 105MPa。试求 ①
杆端 B点的水平位移 ⊿ B； ② 杆件的最大正应力 σ max。
解,
4.计算最大正应力
xF2 F1
A B
C D
0.5m 0.5m 0.5m
6
4
FN/kN
x
NF
A
NAC
AC
AC
F
A
3
4
6 10
4 10?
15MPa?
NCD
CD
CD
F
A
3
4
4 10
4 10?
10 MPa
NDB
DB
DB
F
A
3
4
4 10
2 10?
20 MPa
m ax 20 M P a
所以,
作业
P228 习题 7.9
例 7-5 试求自由悬挂的等直杆由于自重引起的 最大正应力和总伸长 。
设杆长 l，横截面面积 A，密度 ρ，弹性模量 E均 为 已知。
解,1.建立如图坐标系
2.计算 1-1截面的内力
l
x
O
1 1
x
O
1 1
FN
xρgAx
0xF 0NF gA x
NF gAx
0 xl其中：
3.计算最大正应力
O
x
FN
gAl?
NF
A
m axm ax NF
A
gAl
A
gl
gAx
A
gx max glNFA
4.计算总伸长
NF dxdl EA
0
l NF dxl
EA
2
2
gl
E
或：
例 7-6 图示三角托架 。 AB为钢杆,A1=4cm2,E1=2× 105MPa； BC为木杆，
A2=100cm2,E2=10× 103MPa，在 A,B,C连接处均可视为铰接，荷载 F=30kN。
试求托架节点 B的水平位移 ⊿ H，竖直位移 ⊿ V和总位移 ⊿ 。
解,1.建立如图坐标系
2.受力分析
A B30o
C
F
2m
y
x
FN1
B30oF
N2
F
0xF
0yF
12 c o s 3 0 0oNNFF
2 s in 3 0 0oNFF
1 3NFF?
2 2NFF
51.96kN?
60kN
3.计算变形 11
1
11
NFll
EA
3
5 6 4
5 1,9 6 1 0 2
2 1 0 1 0 4 1 0?
31,2 9 9 1 0 m
22
2
22
NFll
EA
3
3 6 4
6 0 1 0 2 c o s 3 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
o
31,3 8 6 1 0 m
①
②
例 7-6 图示三角托架 。 AB为钢杆,A1=4cm2,E1=2× 105MPa； BC为木杆，
A2=100cm2,E2=10× 103MPa，在 A,B,C连接处均可视为铰接，荷载 F=30kN。
试求托架节点 B的水平位移 ⊿ H，竖直位移 ⊿ V和总位移 ⊿ 。
解,3.计算变形
31 1,2 9 9 1 0lm
32 1,3 8 6 1 0
4.计算位移
A
C
B30o
⊿ l1
H
D
B’
30o
⊿ H
⊿ V
H BD 1l
31,2 9 9 1 0 m
1.299mm?
V BD
K
G
BK? BG GK
2
sin 30 o
lBG
1ta n 30 olGK
5,0 2V mm
22HV5.18mm?
①
②
本章小结
轴向拉压杆的应力计算
轴向拉压杆的强度计算
轴向拉压杆的变形计算
公式法
NF
A
AF Nm a x
NFll
EA
应力集中的概念一、应力集中的概念二、各种材料的应力集中因杆件外形突然变化，而引起的局部应力急剧增大的现象。
1、塑性材料
2、脆性材料
F F
F
max
m
1理论应力集中系数
Nm FA
净
