工程力学土木工程与建筑学院力学教研室彭芸
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13547117153
内力应力变形轴力正应力伸缩量轴向拉压杆弯矩、剪力正应力、切应力挠度、转角梁扭矩切应力扭角轴回顾与比较内力
NF
A
应力
F
Ay FS
M
FAx
F
FAy FS
M
FBFS
M
FS 剪力 —— 平行于横截面的内力的合力。
M 弯矩 —— 垂直于横截面的内力系的合力偶矩。
回顾与比较
τ
σ
限制,平面弯曲、服从胡克定律
具有纵向对称面
外力都作用在此面内
弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
纯弯曲
内力只有弯矩。
横力弯曲
内力既有弯矩又有剪力。
第十章 梁弯曲的工程理论 (Ⅰ ):应力分析和强度设计
§ 10-1 对称截面梁纯弯曲时的正应力
梁 —— 主要承受弯曲变形的杆件。
FS
x
M
x
1、实验现象中性层纵向对称面中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
中性层,中间一层纤维长度不变。
中性轴,中性层与横截面的交线。
⑴ 平截面假定
⑵ 单一应力假定
z
y
x
2、假定和推断
⑶ 推断横截面上同一层高度处变形相同。
横截面上只有正应力，无切应力。
4、物理关系
3、几何关系
E
yE?
变形前变形后变化量
5、静力学条件
yE?
z
1 M
EI?
梁弯曲正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
静力学关系
z
1 M
EI?
z
My
I
为梁弯曲变形后的曲率?1为曲率半径?
yE?
z
My
I
m a xm a x
z
My
I
z
m a x
z
IW
y
m a x
z
M
W
Wz—— 梁截面的弯曲截面系数。
m a x
m a x
z
M
W
计算矩形截面的惯性矩 Iz。
例题 10-1,（ P296 例 10-1）
y
z
b
hy
dy
dA b dy
2z
AI y dA
2 2
2
h
h y bdy
3 2
2
3
h
h
yb
3
12
bh?
解,
3
12y
hbI?
计算圆截面和圆环截面对直径轴的惯性矩 Iy和 Iz。
例题 10-2,（ P297 例 10-2）
2dA d
2p
AI dA
2 3
0 2
D d 4
32
D
p z yI I I zyII?且,
4
64zy
DII
对于圆环截面，
z zzI I I大 小
44
6 4 6 4
Dd4 41
64
D
dD其 中,
解,
ρ
dρ
y
z
D
d
同理：
y
z
y
z
z z zI I I外 空常见截面的 Iz 和 Wz
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
2
z
A
I y dA
Z
m axy
z
IW?
4
z 64
dI 3
32z
dW
4
4
z (1 )64
DI 3 4(1 )
32z
DW
3
z 12
bhI? 2
6z
bhW?
3 3
00
z 1 2 1 2
bh bhI 3 300
0( ) /( / 2 )1 2 1 2z
bh bhWh
梁弯曲正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
静力学关系
z
1 M
EI?
z
My
I
为梁弯曲变形后的曲率?1为曲率半径?
yE?
常见截面的 Iz 和 Wz
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
2
z
A
I y dA
Z
m axy
z
IW?
4
z 64
dI 3
32z
dW
4
4
z (1 )64
DI 3 4(1 )
32z
DW
3
z 12
bhI? 2
6z
bhW?
3 3
00
z 1 2 1 2
bh bhI 3 300
0( ) /( / 2 )1 2 1 2z
bh bhWh
平行轴定理
2
z CzI I a A
1,Zc轴过截面形心,z轴与 Zc轴的距离为 a,A
为截面面积。
2,在互相平行的坐标轴上，截面对形心轴的惯性矩最小。
其中,
例题 10-3：
（ P297 例 10-3）计算 T型截面对中性轴 z轴的惯性矩。 20
60
20
60
z
y
z’
横力弯曲正应力公式 弯曲正应力分布
ZI
My
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM
横力弯曲最大正应力
§ 10-2 关于对称截面梁弯曲正应力的进一步讨论
例题 10-4：
承受均布荷载的简支梁如图所示。已知：梁的截面为矩形，矩形的宽度 b=20mm，高度 h=30mm，均布荷载
q=10kN/m；梁的长度 l=450mm。求梁最大弯矩截面上
1,2点两点处的正应力。
A B
q
l
y
z
b
h
h/4
C
2
1FAy FB
FAx x
y
例 10-5 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。
解,1,得到计算简图
400 800
A
200 300
C D B E
5kN 3kN 3kN
0.4m 0.8m 0.2m 0.3m
5kN
C
3kN
D
3kN
EA
B
FA FB
x
y
2,建立坐标系
3,计算支座约束力
3.357,AF kN? 7.643BF kN?
4,计算最大正应力
m a x
m a x
AB
AB
zA B
M
W
AB段,3
3
1.343 10
0.0632?
BE段：
m ax
m ax
BE
BE
zB E
M
W
3
34
0,9 10
0,06 132
63.3 MPa?
62.1 MPa? 0,0 4 5 0,0 6 0,7 5dD其 中,
υ 60 υ 45
作业
P331 习题
10.5（ M>0）
10.7
补充,切应力互等定律的证明切应力互等定律
—— 单元体互相垂直平面上的切应力大小相等，其方向都指向或背向两平面的交线。
τ
τ
y
x
z dx
dz
dy
一、矩形截面上的切应力
m
m n
n
x
y
x dx
§ 10-3 对称截面梁横力弯曲时的切应力
m
m
n
n xy
O
FS
τ
q
p
r
⑴ FS与 y轴重合假设：
⑵ 切应力方向与 FS平行
⑶ 切应力沿截面宽度方向均匀分布
r p
nm
σ2σ1
τ ’
ττ
bdx
dxSz
z
FS
Ib?
其中,Sz*—— 横截面 部分面积 对中性轴的静矩。
例题 10-6：
计算矩形截面的静矩。
y
z
b
h
y
dy1
y1
2
2
24z
bhSy
1
Z1
A
S y dA
Sz
z
FS
Ib
m a x
3
2
SF
bh
二、圆形截面梁三、工字形截面梁
Sz
z
FS
Ib
m ax 243 SFr min 0
Sz
z
FS
Ib
11
SF
bh 1
Sz
z
FS
Ib
例题 10-7：
（ P331 习题 10-11）试计算图示矩形截面简支梁的 1-1截面上点 a和点 b的正应力和切应力。
A B
1200
y
z
75
150
40
C
aF=8kN
1
1
1000
1000
10
bF
Ay FB
FAx x
y
例题 10-8：
（ P305 例 10-4）矩形截面简支梁在跨中受集中力 F作用。试求最大切应力 σmax与最大弯曲正应力 τmax的比值。
A B
l b
h
F
FAy FB
FAx x
y
弯曲正应力强度条件
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料 抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
ttm a x,ccm a x,
3.变截面梁要综合考虑 与M zI
σ
I
yM
σ
z
maxmax
max
弯曲切应力强度条件
1.弯矩较小，剪力较大（如支座附近）。
2.工字梁的腹板（薄而高）。
3.对焊接、铆接或胶合而成的梁，需对焊缝、
铆钉或胶合面进行剪切计算。
m ax
例 10-9 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若 [σ ]=160MPa，
试求许可载荷 F。 解,1,建立坐标系
A C D B
F
F2m 2m
2m
x
y
FAy FB
FAx
2,计算支反力
0,AxF? 1,3AyFF? 13BFF
3,内力计算
x
FS/N
F/3
2F/3
F/3
x
M/N·m
2F/3
2F/3
4,强度 计算
max
Z
M
W
max
2
3MF?
max
查表得：
其中，
3237ZW cm?
6
6
23 1 6 0 1 0
2 3 7 1 0
F
56880FN? 56.88kN?
例 10-10 长度为 l =2.5m的外伸梁，梁上作用均匀荷载 q=24kN/m，许用应力 [σ ]=160MPa,[τ]=100MPa，试选工字钢型号。
解,1,建立坐标系
A C
q
x
y
2m 0.5m
B
FAy FB
FAx 2,计算支反力
0,AxF? 22.5,AyF kN? 37.5BF kN?
3,计算 Mmax
x
FS/kN
x
M/kN·m
22.5
25.5
12
Mmax
x
22,5 25,5
2xx
15
16xm?
m a x
1 1522,5
2 16M
10.55kN m
4,强度 计算
m ax
m ax
Z
M
W
365.8ZW cm?
查表得,12.6号例 10-10 长度为 l =2.5m的外伸梁，梁上作用均匀荷载 q=24kN/m，许用应力 [σ ]=160MPa,[τ]=100MPa，试选工字钢型号。
解,
x
x
x
A C
qy
2m 0.5m
B
FS/kN
M/kN·m
22.5
25.5
12
Mmax
x
4,强度 计算
max 12.6号
m ax
m ax
1
sz
z
FS
Ib?
查表,12.6号
11 0,8,5zzI S c m b m m
切应力校核：
3
m a x 23
2 5,5 1 0
1 0,8 1 0 5 1 0
47.2MPa?
作业
P331 习题
10.12
10.13
弯曲中心
又称,剪力中心（弯心、剪心）
横向力通过弯曲中心,梁不发生扭转，只发生弯曲
对称截面 —— 对称轴上（形心）
非对称截面 —— 计算
Z
m a x
m a x W
M ][
1,降低 Mmax 合理安排支座合理布置载荷
§ 10-4 梁强度的合理设计合理布置支座
F
F
Mmax = Fl/4
合理布置支座合理布置载荷 F
Fl/4 Fl/8
Z
m a x
m a x W
M ][
2,增大 WZ 合理设计截面合理放置截面合理设计截面
2
6Z
bhW?
左
2
6Z
hbW?
右合理放置截面
3、等强度梁
b
xh
Fl/4
本章小结
弯曲正应力及其强度条件
弯曲切应力及其强度条件
截面几何参数
提高梁强度的措施
弯曲中心
z
M x y
I
Sz
z
FS
Ib
2
2
24z
bhSy
圆截面矩形截面
64
4
Z
dI
12
3
Z
bhI?
研究目的
解决梁的弯曲 变形计算 和 刚度校核 问题；
解决超静定梁的强度和变形计算问题；
解决弹性振动的计算问题。
第十一章 梁弯曲的工程理论 (Ⅱ ):变形分析和刚度设计
§ 11-1 平面弯曲直梁的变形
受弯构件
强度、刚度绵阳,第一楼,
新益大厦
Fq
C
C’
⊿ x
w
挠度 w —— 横截面形心在垂直轴线方向的线位移。
转角 θ —— 横截面绕中性轴转过的角度。
一、挠度和转角由于小变形，横截面形心的轴向位移 ⊿ x忽略不计。
w
x
F
x
w
C
q
C’
二、挠曲轴挠曲轴方程：
()w f x?
挠度和转角关系为：
ta n dw fxdxq
由于小变形，横截面形心的轴向位移忽略不计。
ta n dw fxdx
平截面假定
w
三、挠曲轴的近似微分方程推导纯弯曲正应力公式时，
得到：
zEI
M
ρ
1?
对横力弯曲，忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
1.忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：
2
2
23
1
[1 ( ) ]
dw
dx
dw
dx
略去高阶小量，得
2
2
1 dw
dx
所以 2
2
()
z
d w M x
d x E I
2,曲率计算的近似由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲轴的二阶导数符号一致，所以挠曲轴的近似微分方程为：
2
2
()
z
d w M x
d x E I
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
§ 11-2 弯曲位移的计算挠曲轴的近似微分方程为：
2
2
()
z
d w M x
d x E I?
积分一次得转角方程为：
()zzdwE I E I M x d x Cdx q
2
2 ()z
dwE I M x
dx?
再积分一次得挠度方程为：
()zE I w M x d x d x C x D
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
0Aw?
0Aw?
0Aq?
Aw
位移边界条件
－弹簧变形?
CCww?左 右
CCqq?左 右
积分法解题步骤
1,用整体平衡条件 求出 梁的 支座反力 ；
2,用截面法求出梁的 弯矩方程 ；
3,对挠曲线近似微分方程 积分两次 ；
4,利用边界等条件 确定积分常数 ；
5,确定 转角方程和挠度方程 ；
6,求出 指定截面 的挠度和转角。
例 11-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
0,AxF? ( ),AyFF ()AM F l?
2）写出 x截面的弯矩方程
( ) ( ) ( )M x F l x F x l
3）列挠曲轴近似微分方程并积分
2
2 ( ) ( )
dwE I M x F x l
dx
21 ()
2
dwE I E I F x l C
dx q
31 ()
6E I w F x l Cx D
积分一次再积分一次
Bq
A B x
w
x
l
F
Bw
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0Axw
0,0Ax q
2311,
26C F l D F l
代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
2211()
22E I F x l F lq
3 2 31 1 1()
6 2 6E I w F x l F l x F l
23
m a x m a x,,23BB
F l F lx l w w
E I E Iqq
Bq
A B x
w
x
l
F
Bw
例 11-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
0,,A x A y B yF b F aF F Fll
2）弯矩方程
1,0Ay FbM x F x x x al
AC 段：
2 ( ) ( ),Ay FbM x F x F x a x F x a a x ll
CB 段：
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
3）列挠曲轴近似微分方程并积分
2
1
12 ()
dw FbE I M x x
d x l
21
1() 2
dw FbE I E I x x C
d x lq
3
1 1 16
FbE Iw x C x D
l
AC 段,0 xa
2
2 2
2 ( ) ( )
dw FbE I M x x F x a
d x l
222
2( ) ( )22
dw F b FE I E I x x x a C
d x lq
33
2 2 2()66
F b FE I w x x a C x D
l
CB 段,a x l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
4）由边界条件确定积分常数
2,( ) 0x l w l
10,( 0 ) 0xw
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
12,( ) ( )x a a aqq
12,( ) ( )x a w a w a
3
12
1
66
FbC C F b l
l
12 0DD
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
5）确定转角方程和挠度方程
2 2 2
1 ()26
F b F bE I x l b
llq
3 2 2
1 ()66
F b F bE I w x l b x
ll
AC 段,0 xa
2 2 2 2
2 ( ) ( )2 2 6
F b F F bE I x x a l b
llq
3 3 2 2
2 ( ) ( )6 6 6
F b F F bE I w x x a l b x
ll
CB 段,a x l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
6）确定最大转角和最大挠度令 得，0d
dx
q?
m a x,( ) ( )6B
F a bxl
EIl laqq
令 得，0dw
dx?
2 2 322
m a x
(),( )
3 93D
F b l blbx w w
E I l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
例 11-3 变截面悬臂梁受力如图，用 直接积分法 求自由端处的挠度和转角。
l/2 l/2
B
F
I 2I
A
C
w
x
例 11-3 计算自由端的挠度和转角。
解 1）弯矩方程
1,0 2lM x F x xAC 段：
2,2lM x F x x lCB 段：
2）列挠曲线近似微分方程并积分
2
1
12 ()
dwE I M x F x
dx
21
112
dw FE I E I x C
dx q
3
1 1 16
FE I w x C x D
AC 段,0
2
lx CB 段,2l xl
2
2
222 ( )
dwE I M x F x
dx
22
2222 2
dw FE I E I x C
dx q
3
2 2 22 6
FE I w x C x D
l/2 l/2 B
F
I 2I
A C
w
x
解 3）边界条件
2,0x l w
l/2 l/2 B
F
I 2I
A C
w
x
2,0q?
12,2
lx qq 12,ww?
2
1
5
16C Fl?
2
2
1
2C Fl?
3
1
3
16D F l
3
2
1
3D Fl
4）确定方程例 11-3 计算自由端的挠度和转角。
22
1
5
2 1 6
FE I x F lq
3 2 3
1
53
6 1 6 1 6
FE I w x F l x F l
AC 段,0
2
lx
CB 段,2l xl
22
2
12
22
FE I x F lq
3 2 3
2
112
6 2 3
FE I w x F l x F l
5）自由端挠度、转角
10,0Ax w w 2516FlEI?
10,0Ax qq 3316FlEI
作业
P375 习题
11.2
直接积分法的 优点
可以得到任意截面的挠度和转角
直接积分法的 缺点
计算复杂
得到某特定截面的挠度和转角方法不直接
直接积分法的 关键
弯矩方程
边界条件
1
,
n
i
i
qq
1
n
i
i
ww
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
叠加法,
解题思路
把梁上的载荷 分解成几个简单载荷,查表 得到指定截面上各载荷单独作用时的挠度和转角，再按 代数和叠加,
即得到梁在复杂载荷作用下产生的挠度和转角。
解题步骤
1,载荷的分解 2,查表求解 3,叠加求和
§ 11-3 叠加法计算弯曲位移例 11-4 已知简支梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 wC ； B截面的转角 qB
1）将梁上的载荷分解
1 2 3C C C Cw w w w
321 BBBB qqqq
2）查表得 3种情形下 C截面的挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1?q
3
2 16B
ql
EIq?
EI
ql
B 3
3
3q
4
1
5
384C
qlw
EI
4
2 48C
qlw
EI
4
3 16C
qlw
EI?
解
w
x
wC1
wC2
wC3
w
w
w
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和
1 2 3
4 4 4
4
5
384 48 16
11
()
384
C C C C
w w w w
ql ql ql
EI EI EI
ql
EI
1 2 3
3 3 3
3
24 16 3
11
()
48
B B B B
ql ql ql
EI EI EI
ql
EI
q q q q
wC1
wC2
wC3
w
w
w
w
例 11-5 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求
C 截面的挠度 wC和转角 qC
1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在 AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。
Cw
解
w
w
Cw
2Cw
1Cw
2Bw
4
1,8C
qlw
EI
2 2 2
43
2
,
128 48 2
C B B
l
ww
ql ql l
E I E I
q
EI
ql
C 6
3
1q
EI
ql
C 48
3
2?q
42
1
41
384C C ii
qlww
EI
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
qq
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自 C截面的挠度和转角。
w
w
w
例 11-6 变截面悬臂梁受力如图，用 叠加法求自由端处的挠度和转角。
l/2 l/2
B
F
I 2I
A
C
w
x
叠加法的 优点
简便、快捷
叠加法的 缺点
有局限
计算挠曲轴方程不方便
叠加法的 关键
载荷的分解
查表求解
叠加求和一、刚度设计
m a xw
w
m a xqq?
qq
刚度校核截面设计确定许用载荷
§ 11-4 梁刚度的合理设计二、提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
2）改善结构形式，减少弯矩数值
3）采用超静定结构
%5.62
1
2?
C
Cww
本章小结
挠度、转角
挠曲轴近似微分方程
直接积分法
叠加法
梁的刚度设计
提高刚度的合理措施
2
2
()
z
d w M x
d x E I?
2 2z dwE I M xdx?
m axw
w
m axqq?
qq
T
γ
n
n
m
m
§ 12-1 圆轴扭转时的应力分析和强度计算第十二章 扭转及圆轴的强度和刚度设计平截面假定,杆件的横截面在变形时仍 保持为平面,并与轴线垂直，其形状大小不变，直径仍保持为直线，且相邻两截面之间距离不变，
各横截面绕轴线转过不同的角度 。
所以，
且,沿轴线及周线的长度均无变化（无轴线方向的伸缩、横向胀缩），即只产生切应变，无线应变。
杆件整个横截面上包括轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有 切于截面的切应力,它的合成结果是与外加力偶 M 相平衡的扭矩 T 。
变形几何关系
物理关系
静力关系
dR
dx
d
dx?
dGG
dx
p
dT G I
dx
p
T
I?
1、切应力计算令 抗扭截面系数
2,Ip 与 Wp 的计算实心轴空心轴令 则实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比外力偶矩：
m in
9549 kWNm
r
P
M
n?
强度设计
m a x
已知,实心圆轴的直径 D=80mm，外力偶矩如图所示。
求,试确定 1-1截面上的 A,B,O三点处的切应力值。
例题 12-1
2kN·m x
2kN·m
4kN·m
1
1
y
zOB
20mm
A
已知,P ＝ 7.5kW,n =100r/min，最大切应力 不得超过 40MPa，空心圆轴的内外直径之比? = 0.5。二轴长度相同。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外直径 D2；确定二轴的重量之比。
例题 12-2
扭角
两横截面之间的相对扭转角
§ 12-2 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
p
dT
d x G I
p
Td d x
GI
0
l
p
T dx
GI p
Tl
GI
刚度设计
m a xqq?
180
p
dT
d x G I
q
单位长度的扭角
1
1
x
M
M
例 12-3 一电机传动轴，传递功率为 40kW，转速为 n = 1400r/min。
轴用钢材制成，材料的切变模量 G = 8× 104MPa，扭转许用切应力 [τ ] =
40MPa，许用单位长度扭转角 [θ] = 1.5o/m。求轴的直径。
解,1.建立如图坐标系
2.计算外加力偶
T
0xM 0TM
TM?
1
1
M 0.273 kN m
4.强度计算
3.计算 1-1截面的内力
9 5 4 9 2 7 3 0,2 7 3PM N m k N mn
x
T/kN·m
0.273max2
P
DT
I
4
2
32
D
T
D
3 2,6D m m?
1
1
x
M
M
解,
T
1
1
M
4.强度计算
x
T/kN·m
0.273
max 3 2,6D m m?
5.刚度计算
maxqq180
P
T
GI q
4 180
32
T
DG
q
3 3,9D m m?
m in 3 3,9D m m?
例 12-3 一电机传动轴，传递功率为 40kW，转速为 n = 1400r/min。
轴用钢材制成，材料的切变模量 G = 8× 104MPa，扭转许用切应力 [τ ] =
40MPa，许用单位长度扭转角 [θ] = 1.5o/m。求轴的直径。
本章小结
圆轴扭转的强度计算
切应力
m axp
T
I?
圆轴扭转的刚度计算
扭角
m axqq?180
p
dT
d x G I
q
绪论
工程构件的四种类型
杆、板、壳、块体
工程构件的三种失效形式
强度失效
刚度失效
稳定性失效
工程力学的五个基本假定第一部分 静力分析
受力分析
力系的等效和简化
平衡方程的建立受力分析
选取分离体
画主动力
画约束力
约束力的确定 —— 关键
二力杆力系的等效和简化
力矩和力偶的区分
力对点之矩、力对轴之矩
力偶
主矢和主矩
主矢 —— 力系中各力的矢量和
主矩 —— 力系中各力对某点的力矩的矢量和
等效定理力系的等效和简化
简化的最终结果
平衡力系、合力、合力偶、力螺旋
平衡力系、合力、合力偶
形心的计算
一般先考虑对称性简化计算
分布载荷求合力，及其对某点之矩平衡方程的建立
平面任意力系 （ 3个）
平面平行力系 （ 2个）
平面汇交力系 （ 2个）
平面力偶系 （ 1个）
约束力的计算第二部分 变形体的内力、强度和刚度内力应力变形轴力正应力伸缩量轴向拉压杆弯矩、剪力正应力、切应力挠度、转角梁扭矩切应力扭角轴轴向拉压杆
受力形式
只受沿其轴线方向的外力作用的杆。
变形形式
均匀伸缩
内力 —— 轴力
应力 —— 正应力
变形 —— 伸缩量梁
受力形式
载荷位于纵向对称面的杆。
变形形式
横截面绕中性轴转过一个角度。
内力 —— 弯矩、剪力
应力 —— 正应力、切应力
变形 —— 挠度、转角
直接积分法 —— 边界条件
合理提高强度、刚度的措施（ P320 P366）
轴
受力形式
力偶作用面与杆件的轴线垂直。
变形形式
各横截面绕杆件轴线转过不同的角度。
内力 —— 扭矩
应力 —— 切应力、强度计算
变形 —— 扭角，单位长度的扭角材料的力学性能
胡克定律
拉压胡克定律
剪切胡克定律
低碳钢和铸铁
根据杆件的受力选取材料（低碳钢、铸铁）
根据 σ-ε曲线判断材料的强度、刚度和韧性
apple_yunpeng@163.com
13547117153
内力应力变形轴力正应力伸缩量轴向拉压杆弯矩、剪力正应力、切应力挠度、转角梁扭矩切应力扭角轴回顾与比较内力
NF
A
应力
F
Ay FS
M
FAx
F
FAy FS
M
FBFS
M
FS 剪力 —— 平行于横截面的内力的合力。
M 弯矩 —— 垂直于横截面的内力系的合力偶矩。
回顾与比较
τ
σ
限制,平面弯曲、服从胡克定律
具有纵向对称面
外力都作用在此面内
弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
纯弯曲
内力只有弯矩。
横力弯曲
内力既有弯矩又有剪力。
第十章 梁弯曲的工程理论 (Ⅰ ):应力分析和强度设计
§ 10-1 对称截面梁纯弯曲时的正应力
梁 —— 主要承受弯曲变形的杆件。
FS
x
M
x
1、实验现象中性层纵向对称面中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
中性层,中间一层纤维长度不变。
中性轴,中性层与横截面的交线。
⑴ 平截面假定
⑵ 单一应力假定
z
y
x
2、假定和推断
⑶ 推断横截面上同一层高度处变形相同。
横截面上只有正应力，无切应力。
4、物理关系
3、几何关系
E
yE?
变形前变形后变化量
5、静力学条件
yE?
z
1 M
EI?
梁弯曲正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
静力学关系
z
1 M
EI?
z
My
I
为梁弯曲变形后的曲率?1为曲率半径?
yE?
z
My
I
m a xm a x
z
My
I
z
m a x
z
IW
y
m a x
z
M
W
Wz—— 梁截面的弯曲截面系数。
m a x
m a x
z
M
W
计算矩形截面的惯性矩 Iz。
例题 10-1,（ P296 例 10-1）
y
z
b
hy
dy
dA b dy
2z
AI y dA
2 2
2
h
h y bdy
3 2
2
3
h
h
yb
3
12
bh?
解,
3
12y
hbI?
计算圆截面和圆环截面对直径轴的惯性矩 Iy和 Iz。
例题 10-2,（ P297 例 10-2）
2dA d
2p
AI dA
2 3
0 2
D d 4
32
D
p z yI I I zyII?且,
4
64zy
DII
对于圆环截面，
z zzI I I大 小
44
6 4 6 4
Dd4 41
64
D
dD其 中,
解,
ρ
dρ
y
z
D
d
同理：
y
z
y
z
z z zI I I外 空常见截面的 Iz 和 Wz
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
2
z
A
I y dA
Z
m axy
z
IW?
4
z 64
dI 3
32z
dW
4
4
z (1 )64
DI 3 4(1 )
32z
DW
3
z 12
bhI? 2
6z
bhW?
3 3
00
z 1 2 1 2
bh bhI 3 300
0( ) /( / 2 )1 2 1 2z
bh bhWh
梁弯曲正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
静力学关系
z
1 M
EI?
z
My
I
为梁弯曲变形后的曲率?1为曲率半径?
yE?
常见截面的 Iz 和 Wz
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
2
z
A
I y dA
Z
m axy
z
IW?
4
z 64
dI 3
32z
dW
4
4
z (1 )64
DI 3 4(1 )
32z
DW
3
z 12
bhI? 2
6z
bhW?
3 3
00
z 1 2 1 2
bh bhI 3 300
0( ) /( / 2 )1 2 1 2z
bh bhWh
平行轴定理
2
z CzI I a A
1,Zc轴过截面形心,z轴与 Zc轴的距离为 a,A
为截面面积。
2,在互相平行的坐标轴上，截面对形心轴的惯性矩最小。
其中,
例题 10-3：
（ P297 例 10-3）计算 T型截面对中性轴 z轴的惯性矩。 20
60
20
60
z
y
z’
横力弯曲正应力公式 弯曲正应力分布
ZI
My
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM
横力弯曲最大正应力
§ 10-2 关于对称截面梁弯曲正应力的进一步讨论
例题 10-4：
承受均布荷载的简支梁如图所示。已知：梁的截面为矩形，矩形的宽度 b=20mm，高度 h=30mm，均布荷载
q=10kN/m；梁的长度 l=450mm。求梁最大弯矩截面上
1,2点两点处的正应力。
A B
q
l
y
z
b
h
h/4
C
2
1FAy FB
FAx x
y
例 10-5 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。
解,1,得到计算简图
400 800
A
200 300
C D B E
5kN 3kN 3kN
0.4m 0.8m 0.2m 0.3m
5kN
C
3kN
D
3kN
EA
B
FA FB
x
y
2,建立坐标系
3,计算支座约束力
3.357,AF kN? 7.643BF kN?
4,计算最大正应力
m a x
m a x
AB
AB
zA B
M
W
AB段,3
3
1.343 10
0.0632?
BE段：
m ax
m ax
BE
BE
zB E
M
W
3
34
0,9 10
0,06 132
63.3 MPa?
62.1 MPa? 0,0 4 5 0,0 6 0,7 5dD其 中,
υ 60 υ 45
作业
P331 习题
10.5（ M>0）
10.7
补充,切应力互等定律的证明切应力互等定律
—— 单元体互相垂直平面上的切应力大小相等，其方向都指向或背向两平面的交线。
τ
τ
y
x
z dx
dz
dy
一、矩形截面上的切应力
m
m n
n
x
y
x dx
§ 10-3 对称截面梁横力弯曲时的切应力
m
m
n
n xy
O
FS
τ
q
p
r
⑴ FS与 y轴重合假设：
⑵ 切应力方向与 FS平行
⑶ 切应力沿截面宽度方向均匀分布
r p
nm
σ2σ1
τ ’
ττ
bdx
dxSz
z
FS
Ib?
其中,Sz*—— 横截面 部分面积 对中性轴的静矩。
例题 10-6：
计算矩形截面的静矩。
y
z
b
h
y
dy1
y1
2
2
24z
bhSy
1
Z1
A
S y dA
Sz
z
FS
Ib
m a x
3
2
SF
bh
二、圆形截面梁三、工字形截面梁
Sz
z
FS
Ib
m ax 243 SFr min 0
Sz
z
FS
Ib
11
SF
bh 1
Sz
z
FS
Ib
例题 10-7：
（ P331 习题 10-11）试计算图示矩形截面简支梁的 1-1截面上点 a和点 b的正应力和切应力。
A B
1200
y
z
75
150
40
C
aF=8kN
1
1
1000
1000
10
bF
Ay FB
FAx x
y
例题 10-8：
（ P305 例 10-4）矩形截面简支梁在跨中受集中力 F作用。试求最大切应力 σmax与最大弯曲正应力 τmax的比值。
A B
l b
h
F
FAy FB
FAx x
y
弯曲正应力强度条件
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料 抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
ttm a x,ccm a x,
3.变截面梁要综合考虑 与M zI
σ
I
yM
σ
z
maxmax
max
弯曲切应力强度条件
1.弯矩较小，剪力较大（如支座附近）。
2.工字梁的腹板（薄而高）。
3.对焊接、铆接或胶合而成的梁，需对焊缝、
铆钉或胶合面进行剪切计算。
m ax
例 10-9 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若 [σ ]=160MPa，
试求许可载荷 F。 解,1,建立坐标系
A C D B
F
F2m 2m
2m
x
y
FAy FB
FAx
2,计算支反力
0,AxF? 1,3AyFF? 13BFF
3,内力计算
x
FS/N
F/3
2F/3
F/3
x
M/N·m
2F/3
2F/3
4,强度 计算
max
Z
M
W
max
2
3MF?
max
查表得：
其中，
3237ZW cm?
6
6
23 1 6 0 1 0
2 3 7 1 0
F
56880FN? 56.88kN?
例 10-10 长度为 l =2.5m的外伸梁，梁上作用均匀荷载 q=24kN/m，许用应力 [σ ]=160MPa,[τ]=100MPa，试选工字钢型号。
解,1,建立坐标系
A C
q
x
y
2m 0.5m
B
FAy FB
FAx 2,计算支反力
0,AxF? 22.5,AyF kN? 37.5BF kN?
3,计算 Mmax
x
FS/kN
x
M/kN·m
22.5
25.5
12
Mmax
x
22,5 25,5
2xx
15
16xm?
m a x
1 1522,5
2 16M
10.55kN m
4,强度 计算
m ax
m ax
Z
M
W
365.8ZW cm?
查表得,12.6号例 10-10 长度为 l =2.5m的外伸梁，梁上作用均匀荷载 q=24kN/m，许用应力 [σ ]=160MPa,[τ]=100MPa，试选工字钢型号。
解,
x
x
x
A C
qy
2m 0.5m
B
FS/kN
M/kN·m
22.5
25.5
12
Mmax
x
4,强度 计算
max 12.6号
m ax
m ax
1
sz
z
FS
Ib?
查表,12.6号
11 0,8,5zzI S c m b m m
切应力校核：
3
m a x 23
2 5,5 1 0
1 0,8 1 0 5 1 0
47.2MPa?
作业
P331 习题
10.12
10.13
弯曲中心
又称,剪力中心（弯心、剪心）
横向力通过弯曲中心,梁不发生扭转，只发生弯曲
对称截面 —— 对称轴上（形心）
非对称截面 —— 计算
Z
m a x
m a x W
M ][
1,降低 Mmax 合理安排支座合理布置载荷
§ 10-4 梁强度的合理设计合理布置支座
F
F
Mmax = Fl/4
合理布置支座合理布置载荷 F
Fl/4 Fl/8
Z
m a x
m a x W
M ][
2,增大 WZ 合理设计截面合理放置截面合理设计截面
2
6Z
bhW?
左
2
6Z
hbW?
右合理放置截面
3、等强度梁
b
xh
Fl/4
本章小结
弯曲正应力及其强度条件
弯曲切应力及其强度条件
截面几何参数
提高梁强度的措施
弯曲中心
z
M x y
I
Sz
z
FS
Ib
2
2
24z
bhSy
圆截面矩形截面
64
4
Z
dI
12
3
Z
bhI?
研究目的
解决梁的弯曲 变形计算 和 刚度校核 问题；
解决超静定梁的强度和变形计算问题；
解决弹性振动的计算问题。
第十一章 梁弯曲的工程理论 (Ⅱ ):变形分析和刚度设计
§ 11-1 平面弯曲直梁的变形
受弯构件
强度、刚度绵阳,第一楼,
新益大厦
Fq
C
C’
⊿ x
w
挠度 w —— 横截面形心在垂直轴线方向的线位移。
转角 θ —— 横截面绕中性轴转过的角度。
一、挠度和转角由于小变形，横截面形心的轴向位移 ⊿ x忽略不计。
w
x
F
x
w
C
q
C’
二、挠曲轴挠曲轴方程：
()w f x?
挠度和转角关系为：
ta n dw fxdxq
由于小变形，横截面形心的轴向位移忽略不计。
ta n dw fxdx
平截面假定
w
三、挠曲轴的近似微分方程推导纯弯曲正应力公式时，
得到：
zEI
M
ρ
1?
对横力弯曲，忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
1.忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：
2
2
23
1
[1 ( ) ]
dw
dx
dw
dx
略去高阶小量，得
2
2
1 dw
dx
所以 2
2
()
z
d w M x
d x E I
2,曲率计算的近似由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲轴的二阶导数符号一致，所以挠曲轴的近似微分方程为：
2
2
()
z
d w M x
d x E I
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
§ 11-2 弯曲位移的计算挠曲轴的近似微分方程为：
2
2
()
z
d w M x
d x E I?
积分一次得转角方程为：
()zzdwE I E I M x d x Cdx q
2
2 ()z
dwE I M x
dx?
再积分一次得挠度方程为：
()zE I w M x d x d x C x D
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
0Aw?
0Aw?
0Aq?
Aw
位移边界条件
－弹簧变形?
CCww?左 右
CCqq?左 右
积分法解题步骤
1,用整体平衡条件 求出 梁的 支座反力 ；
2,用截面法求出梁的 弯矩方程 ；
3,对挠曲线近似微分方程 积分两次 ；
4,利用边界等条件 确定积分常数 ；
5,确定 转角方程和挠度方程 ；
6,求出 指定截面 的挠度和转角。
例 11-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
0,AxF? ( ),AyFF ()AM F l?
2）写出 x截面的弯矩方程
( ) ( ) ( )M x F l x F x l
3）列挠曲轴近似微分方程并积分
2
2 ( ) ( )
dwE I M x F x l
dx
21 ()
2
dwE I E I F x l C
dx q
31 ()
6E I w F x l Cx D
积分一次再积分一次
Bq
A B x
w
x
l
F
Bw
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0Axw
0,0Ax q
2311,
26C F l D F l
代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
2211()
22E I F x l F lq
3 2 31 1 1()
6 2 6E I w F x l F l x F l
23
m a x m a x,,23BB
F l F lx l w w
E I E Iqq
Bq
A B x
w
x
l
F
Bw
例 11-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
0,,A x A y B yF b F aF F Fll
2）弯矩方程
1,0Ay FbM x F x x x al
AC 段：
2 ( ) ( ),Ay FbM x F x F x a x F x a a x ll
CB 段：
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
3）列挠曲轴近似微分方程并积分
2
1
12 ()
dw FbE I M x x
d x l
21
1() 2
dw FbE I E I x x C
d x lq
3
1 1 16
FbE Iw x C x D
l
AC 段,0 xa
2
2 2
2 ( ) ( )
dw FbE I M x x F x a
d x l
222
2( ) ( )22
dw F b FE I E I x x x a C
d x lq
33
2 2 2()66
F b FE I w x x a C x D
l
CB 段,a x l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
4）由边界条件确定积分常数
2,( ) 0x l w l
10,( 0 ) 0xw
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
12,( ) ( )x a a aqq
12,( ) ( )x a w a w a
3
12
1
66
FbC C F b l
l
12 0DD
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
5）确定转角方程和挠度方程
2 2 2
1 ()26
F b F bE I x l b
llq
3 2 2
1 ()66
F b F bE I w x l b x
ll
AC 段,0 xa
2 2 2 2
2 ( ) ( )2 2 6
F b F F bE I x x a l b
llq
3 3 2 2
2 ( ) ( )6 6 6
F b F F bE I w x x a l b x
ll
CB 段,a x l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
6）确定最大转角和最大挠度令 得，0d
dx
q?
m a x,( ) ( )6B
F a bxl
EIl laqq
令 得，0dw
dx?
2 2 322
m a x
(),( )
3 93D
F b l blbx w w
E I l
maxw
a b
x
x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
w
B
例 11-3 变截面悬臂梁受力如图，用 直接积分法 求自由端处的挠度和转角。
l/2 l/2
B
F
I 2I
A
C
w
x
例 11-3 计算自由端的挠度和转角。
解 1）弯矩方程
1,0 2lM x F x xAC 段：
2,2lM x F x x lCB 段：
2）列挠曲线近似微分方程并积分
2
1
12 ()
dwE I M x F x
dx
21
112
dw FE I E I x C
dx q
3
1 1 16
FE I w x C x D
AC 段,0
2
lx CB 段,2l xl
2
2
222 ( )
dwE I M x F x
dx
22
2222 2
dw FE I E I x C
dx q
3
2 2 22 6
FE I w x C x D
l/2 l/2 B
F
I 2I
A C
w
x
解 3）边界条件
2,0x l w
l/2 l/2 B
F
I 2I
A C
w
x
2,0q?
12,2
lx qq 12,ww?
2
1
5
16C Fl?
2
2
1
2C Fl?
3
1
3
16D F l
3
2
1
3D Fl
4）确定方程例 11-3 计算自由端的挠度和转角。
22
1
5
2 1 6
FE I x F lq
3 2 3
1
53
6 1 6 1 6
FE I w x F l x F l
AC 段,0
2
lx
CB 段,2l xl
22
2
12
22
FE I x F lq
3 2 3
2
112
6 2 3
FE I w x F l x F l
5）自由端挠度、转角
10,0Ax w w 2516FlEI?
10,0Ax qq 3316FlEI
作业
P375 习题
11.2
直接积分法的 优点
可以得到任意截面的挠度和转角
直接积分法的 缺点
计算复杂
得到某特定截面的挠度和转角方法不直接
直接积分法的 关键
弯矩方程
边界条件
1
,
n
i
i
1
n
i
i
ww
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
叠加法,
解题思路
把梁上的载荷 分解成几个简单载荷,查表 得到指定截面上各载荷单独作用时的挠度和转角，再按 代数和叠加,
即得到梁在复杂载荷作用下产生的挠度和转角。
解题步骤
1,载荷的分解 2,查表求解 3,叠加求和
§ 11-3 叠加法计算弯曲位移例 11-4 已知简支梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 wC ； B截面的转角 qB
1）将梁上的载荷分解
1 2 3C C C Cw w w w
321 BBBB qqqq
2）查表得 3种情形下 C截面的挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1?q
3
2 16B
ql
EIq?
EI
ql
B 3
3
3q
4
1
5
384C
qlw
EI
4
2 48C
qlw
EI
4
3 16C
qlw
EI?
解
w
x
wC1
wC2
wC3
w
w
w
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和
1 2 3
4 4 4
4
5
384 48 16
11
()
384
C C C C
w w w w
ql ql ql
EI EI EI
ql
EI
1 2 3
3 3 3
3
24 16 3
11
()
48
B B B B
ql ql ql
EI EI EI
ql
EI
q q q q
wC1
wC2
wC3
w
w
w
w
例 11-5 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求
C 截面的挠度 wC和转角 qC
1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在 AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。
Cw
解
w
w
Cw
2Cw
1Cw
2Bw
4
1,8C
qlw
EI
2 2 2
43
2
,
128 48 2
C B B
l
ww
ql ql l
E I E I
q
EI
ql
C 6
3
1q
EI
ql
C 48
3
2?q
42
1
41
384C C ii
qlww
EI
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自 C截面的挠度和转角。
w
w
w
例 11-6 变截面悬臂梁受力如图，用 叠加法求自由端处的挠度和转角。
l/2 l/2
B
F
I 2I
A
C
w
x
叠加法的 优点
简便、快捷
叠加法的 缺点
有局限
计算挠曲轴方程不方便
叠加法的 关键
载荷的分解
查表求解
叠加求和一、刚度设计
m a xw
w
m a xqq?
刚度校核截面设计确定许用载荷
§ 11-4 梁刚度的合理设计二、提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
2）改善结构形式，减少弯矩数值
3）采用超静定结构
%5.62
1
2?
C
Cww
本章小结
挠度、转角
挠曲轴近似微分方程
直接积分法
叠加法
梁的刚度设计
提高刚度的合理措施
2
2
()
z
d w M x
d x E I?
2 2z dwE I M xdx?
m axw
w
m axqq?
T
γ
n
n
m
m
§ 12-1 圆轴扭转时的应力分析和强度计算第十二章 扭转及圆轴的强度和刚度设计平截面假定,杆件的横截面在变形时仍 保持为平面,并与轴线垂直，其形状大小不变，直径仍保持为直线，且相邻两截面之间距离不变，
各横截面绕轴线转过不同的角度 。
所以，
且,沿轴线及周线的长度均无变化（无轴线方向的伸缩、横向胀缩），即只产生切应变，无线应变。
杆件整个横截面上包括轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有 切于截面的切应力,它的合成结果是与外加力偶 M 相平衡的扭矩 T 。
变形几何关系
物理关系
静力关系
dR
dx
d
dx?
dGG
dx
p
dT G I
dx
p
T
I?
1、切应力计算令 抗扭截面系数
2,Ip 与 Wp 的计算实心轴空心轴令 则实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比外力偶矩：
m in
9549 kWNm
r
P
M
n?
强度设计
m a x
已知,实心圆轴的直径 D=80mm，外力偶矩如图所示。
求,试确定 1-1截面上的 A,B,O三点处的切应力值。
例题 12-1
2kN·m x
2kN·m
4kN·m
1
1
y
zOB
20mm
A
已知,P ＝ 7.5kW,n =100r/min，最大切应力 不得超过 40MPa，空心圆轴的内外直径之比? = 0.5。二轴长度相同。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外直径 D2；确定二轴的重量之比。
例题 12-2
扭角
两横截面之间的相对扭转角
§ 12-2 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
p
dT
d x G I
p
Td d x
GI
0
l
p
T dx
GI p
Tl
GI
刚度设计
m a xqq?
180
p
dT
d x G I
q
单位长度的扭角
1
1
x
M
M
例 12-3 一电机传动轴，传递功率为 40kW，转速为 n = 1400r/min。
轴用钢材制成，材料的切变模量 G = 8× 104MPa，扭转许用切应力 [τ ] =
40MPa，许用单位长度扭转角 [θ] = 1.5o/m。求轴的直径。
解,1.建立如图坐标系
2.计算外加力偶
T
0xM 0TM
TM?
1
1
M 0.273 kN m
4.强度计算
3.计算 1-1截面的内力
9 5 4 9 2 7 3 0,2 7 3PM N m k N mn
x
T/kN·m
0.273max2
P
DT
I
4
2
32
D
T
D
3 2,6D m m?
1
1
x
M
M
解,
T
1
1
M
4.强度计算
x
T/kN·m
0.273
max 3 2,6D m m?
5.刚度计算
maxqq180
P
T
GI q
4 180
32
T
DG
q
3 3,9D m m?
m in 3 3,9D m m?
例 12-3 一电机传动轴，传递功率为 40kW，转速为 n = 1400r/min。
轴用钢材制成，材料的切变模量 G = 8× 104MPa，扭转许用切应力 [τ ] =
40MPa，许用单位长度扭转角 [θ] = 1.5o/m。求轴的直径。
本章小结
圆轴扭转的强度计算
切应力
m axp
T
I?
圆轴扭转的刚度计算
扭角
m axqq?180
p
dT
d x G I
q
绪论
工程构件的四种类型
杆、板、壳、块体
工程构件的三种失效形式
强度失效
刚度失效
稳定性失效
工程力学的五个基本假定第一部分 静力分析
受力分析
力系的等效和简化
平衡方程的建立受力分析
选取分离体
画主动力
画约束力
约束力的确定 —— 关键
二力杆力系的等效和简化
力矩和力偶的区分
力对点之矩、力对轴之矩
力偶
主矢和主矩
主矢 —— 力系中各力的矢量和
主矩 —— 力系中各力对某点的力矩的矢量和
等效定理力系的等效和简化
简化的最终结果
平衡力系、合力、合力偶、力螺旋
平衡力系、合力、合力偶
形心的计算
一般先考虑对称性简化计算
分布载荷求合力，及其对某点之矩平衡方程的建立
平面任意力系 （ 3个）
平面平行力系 （ 2个）
平面汇交力系 （ 2个）
平面力偶系 （ 1个）
约束力的计算第二部分 变形体的内力、强度和刚度内力应力变形轴力正应力伸缩量轴向拉压杆弯矩、剪力正应力、切应力挠度、转角梁扭矩切应力扭角轴轴向拉压杆
受力形式
只受沿其轴线方向的外力作用的杆。
变形形式
均匀伸缩
内力 —— 轴力
应力 —— 正应力
变形 —— 伸缩量梁
受力形式
载荷位于纵向对称面的杆。
变形形式
横截面绕中性轴转过一个角度。
内力 —— 弯矩、剪力
应力 —— 正应力、切应力
变形 —— 挠度、转角
直接积分法 —— 边界条件
合理提高强度、刚度的措施（ P320 P366）
轴
受力形式
力偶作用面与杆件的轴线垂直。
变形形式
各横截面绕杆件轴线转过不同的角度。
内力 —— 扭矩
应力 —— 切应力、强度计算
变形 —— 扭角，单位长度的扭角材料的力学性能
胡克定律
拉压胡克定律
剪切胡克定律
低碳钢和铸铁
根据杆件的受力选取材料（低碳钢、铸铁）
根据 σ-ε曲线判断材料的强度、刚度和韧性
