计算与证明
★1若市场需求曲线为Q=120-5P,求价格P=4时需求价格的点弹性,并说明怎样调整价格才能使得总收益增加。
解：当价格P=4时,需求量Q=100。根据需求价格弹性系数的定义有
Ed=-dQ/dP×P/Q=5×4/100=0.2
由于价格弹性系数小于1,即缺乏弹性,故提高价格会使得总收益增加。
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★31已知厂商的生产函数为Y=10L-3L2,其中L为雇用工人数。求：①厂商限定劳动投入量的合理区域?②若企业生产的产品价格P=5,现行工资率rL=10,企业应雇用多少工人?
解：①由生产函数可以求得厂商的平均产量和边际产量
APL=(10L-3L2)/L=10-3L (1)
MPL=10-6L (2)
当平均产量与边际产量相交,即
APL=MPL 时,决定最低的劳动投入量:将(1)、(2)代入,10-3L=10-6L 得 L=0
当边际产量为零,即MPL=0时,决定劳动投入量的最大值:
10-6L=0 得L=5/3
可见,该厂商的合理投入区为[0,5/3]。
②厂商雇用劳动的最优条件为
P×MPL=rL 5(10-6L)=10 L=4/3 即劳动的最优投入量为4/3个单位。
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★32厂商的生产函数为Y=24L1/2K2/3,生产要素L和K的价格分别为rL=1和rK=2。求：①厂商的最优生产要素组合?②如果资本的数量K=27,厂商的短期成本函数?③厂商的长期成本函数?
解：①根据生产要素最优组合的条件
MPL/rL=MPK/rK
得(12L-1/2K2/3)/1=(16L1/2K-2/3)/2
得2L=3K,即为劳动与资本最优组合。
②短期成本函数由下列二方程组所决定,y=f(L,K) c=rLL+rK
即 y=24L1/2×272/3 c=L+2×27
解得c=(y/216)2+54
③长期成本函数由下列三条件方程组所决定：
y=f(L,K) c=rLL+rKK MPL/rL=MPK/rK
即 y=24L1/2K2/3 c=L+2K 2L=3K
从生产函数和最优组合这两个方程中求得L=y6/7/15362/7
和 K=(2/3)×(y6/7/15362/7)
代入到第二个方程中得到厂商的成本函数为 c=5/(3×15362/7) ×y6/7
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★4◆已知垄断厂商面临的需求曲线是Q=50-3P,①厂商的边际收益函数?②若厂商的边际成本等于4,求厂商利润最大化的产量和价格?
解:(1)由需求曲线得 P=(50-Q)/3
从而 TR=PQ=(50Q-Q2)/3
MR=50/3-Q×2/3
(2)根据厂商的利润最大化原则
MR=MC,又MC=4,于是
50/3-Q×2/3=4 Q=19
代入到反需求函数中得到
P=(50-19)/3=31/3
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★★9已知消费函数C=200+0.8Y,投资为自主投资,I=50。求：①均衡国民收入Y。②均衡储蓄量S。③如果充分就业的国民收入水平为Yf=2000,那么,为使该经济达到充分就业的均衡状态,投资量应如何变化?④投资乘数k?
解：①根据产品市场的均衡条件,可以得到Y=C+I 从而Y=200+0.8Y+50
解得 Y=1250
②S=I时市场处于均衡,因而均衡储蓄量为S=50。
③如果充分就业的国民收入水平为Yf=2000,则投资量应该达到下列条件所满足的数量,即Yf=200+0.8Yf+I
从而 I=200
④投资乘数：k=1/(1-β)=1/(1-0.8)=5
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★★10已知消费函数C=200+0.5Y(或储蓄函数),投资函数I=800-5000r,货币需求L=0.2Y-4000r,货币供给m=100。请写出：①IS曲线方程；②LM曲线方程；③IS-LM模型的具体方程,并求解均衡国民收入Y和均衡利息率r。④如果自主投资由800增加到950,均衡国民收入会如何变动？你的结果与乘数定理的结论相同吗？请给出解释。
解：①通过消费函数求解储蓄函数S=Y-C 并带入到I=S中：
Y- (200+0.5Y) = 800-5000r
得Y+10000r =2000 此为IS曲线方程。
②由 m=L 得 100=0.2Y-4000r
Y -20000r =500 此为LM曲线方程。
③联立上述二曲线方程,可得到Y=1500和r=5%,即为产品市场和货币市场同时均衡时的国民收入和利息率。
④Y- (200+0.5Y)=950-5000r
得 Y+10000r=2300 ……IS方程
与上述LM方程联立，解得
r=6%,Y=1700，
△Y=200
这一结果小于乘数定理的结论。根据乘数原理，在简单模型中的乘数应是1/(1-0.5)=2，自主投资增加150带来的收入增加是150×2=300。两者不一致的原因是，IS-LM模型中允许利率变化，当自主投资支出增加导致收入增加时，收入增加导致货币需求增加，从而导致利率上升，投资减少，挤掉了投资支出增加的效应，这就是所谓的挤出效应。
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★14根据哈---多模型G＝S/V计算。已知:G1、G2、V1、S1＝S2,求V2。
解：依G=S/V,
知：G1=S1/V1，S1=G1×V1，G2=S2/V2，V2=S2/G2。
由已知条件,V2=S2/G2=S1/G2=G1×V1/G2。
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★12假定一个经济的消费函数C=1000+0.8Y,投资函数I=1000-2000r,货币需求函数L=0.5Y-1000r,若央行的名义货币供给量M=5000。求总需求函数。
解：总需求源于IS-LM模型，
即I(r)=S(Y) L1(Y)+L2(r)=M/P
将已知条件代入，得到
1000-2000r=Y-1000-0.8Y 0.5Y-1000r=5000/P
得Y=60000+300000/P,即总需求函数。
若P=1,Y=360000；若P=2,Y=210000；若P=3,Y=160000,……。说明总需求与物价水平向相反方向变动。
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★14假定某一经济最初的通胀率为20%,如果衰退对通胀的影响系数为h=0.4,那么政府通过制造10%的衰退如何实现通胀率不超过4%的目标?
解：假定人们按上一年的通胀率形成下年度的预期,那么该经济的价格调整方程为可以一般地表示为πt=πt-1-0.4ut
式中,πt为通胀率,ut为衰退的速度。
这样,在政府作用下,第一年,尽管人们对通胀率的预期为20%,但衰退使通胀率下降到
π1=20%-0.4×10%=20%-4%=16%
第二年,人们的预期由20%下降到16%。若政府继续人为地制造衰退,则该年度的通胀率为 π2=16%-4%=12%
第三年：π3=12%-4%=8%
第四年：π4=8%-4%=4%
可见,按假定,经过4年,即可实现目标。
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★5在生产要素市场上,厂商的利润最大化原则是什么?证明之。
解：(1)利润最大化要求任何经济活动的“边际收益”和“边际成本”必须相等。(2)假定除了劳动这一要素之外,其他生产要素都不会发生变动。这样,厂商的利润可表示为：л=TR-TC
所以,厂商利润最大化的条件为
dл/dL=dTR/dL-dTC/dL
(3)从厂商使用要素的“边际收益”方面看,当厂商增加一种生产要素劳动的投入数量时,一方面,带来产品的增加,另一方面,带来收益增加量。结果,增加一单位要素投入所增加的总收益为：TR/△L=△TR/△Q×△Q/△L=MR×MP
即要素(劳动)的边际收益产品MRP。
(4)从使用要素的边际成本方面看,如果其他投入数量保持不变,则厂商的总成本取决于变动投入的数量。经济学中增加一单位要素的边际成本被定义为边际要素成本,表示为MFC。
(5)于是,厂商使用生产要素的利润最大化原则表示为 MRP=MFC
否则,若MRP>MFC,厂商会增加要素投入；反之,则减少；直到相等。
特别地,如果厂商是产品市场上的完全竞争者,则产品的边际收益等于产品的价格,从而要素的边际收益产品等于边际产品价值；如果厂商是要素市场的完全竞争者,则要素的边际成本就等于该要素的价格。
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★6纯交换经济符合帕累托最优状态的条件是什么?证明之。
答：①条件是，任意两个消费者消费者A和B消费任意任意两种商品1和2 时的边际替代率都相等,即：RCSA1,2=RCSB1,2。
②如果不相等,那么在两种商品总量一定情况下,两个消费者还可以通过交换在不影响他人的条件下,至少使一个人的状况得到改善。
假定RCSA1,2=2,RCSB1,2=1,这表明,在A看来,1单位第一种商品可以替换2单位第二种商品；在B看来,1 单位第一种商品可以替换1单位第二种商品。
这时,如果B放弃1单位第一种商品,他需要1单位的第二种商品,即可以原有的效率水平相等。把1单位的第一种商品让给A,这时A愿拿出2单位第二种商品。这样,把其中的1个单位补偿给B,则在A、B均保持原有效用水平不变的条件下,还有1单位第二种商品可供A和B分配。故,存在一个帕累托改进的余地。
这说明,只有两个消费者对任意两种商品的边际替代率都相等,才会实现帕累托最优状态。
★1若市场需求曲线为Q=120-5P,求价格P=4时需求价格的点弹性,并说明怎样调整价格才能使得总收益增加。
解：当价格P=4时,需求量Q=100。根据需求价格弹性系数的定义有
Ed=-dQ/dP×P/Q=5×4/100=0.2
由于价格弹性系数小于1,即缺乏弹性,故提高价格会使得总收益增加。
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★31已知厂商的生产函数为Y=10L-3L2,其中L为雇用工人数。求：①厂商限定劳动投入量的合理区域?②若企业生产的产品价格P=5,现行工资率rL=10,企业应雇用多少工人?
解：①由生产函数可以求得厂商的平均产量和边际产量
APL=(10L-3L2)/L=10-3L (1)
MPL=10-6L (2)
当平均产量与边际产量相交,即
APL=MPL 时,决定最低的劳动投入量:将(1)、(2)代入,10-3L=10-6L 得 L=0
当边际产量为零,即MPL=0时,决定劳动投入量的最大值:
10-6L=0 得L=5/3
可见,该厂商的合理投入区为[0,5/3]。
②厂商雇用劳动的最优条件为
P×MPL=rL 5(10-6L)=10 L=4/3 即劳动的最优投入量为4/3个单位。
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★32厂商的生产函数为Y=24L1/2K2/3,生产要素L和K的价格分别为rL=1和rK=2。求：①厂商的最优生产要素组合?②如果资本的数量K=27,厂商的短期成本函数?③厂商的长期成本函数?
解：①根据生产要素最优组合的条件
MPL/rL=MPK/rK
得(12L-1/2K2/3)/1=(16L1/2K-2/3)/2
得2L=3K,即为劳动与资本最优组合。
②短期成本函数由下列二方程组所决定,y=f(L,K) c=rLL+rK
即 y=24L1/2×272/3 c=L+2×27
解得c=(y/216)2+54
③长期成本函数由下列三条件方程组所决定：
y=f(L,K) c=rLL+rKK MPL/rL=MPK/rK
即 y=24L1/2K2/3 c=L+2K 2L=3K
从生产函数和最优组合这两个方程中求得L=y6/7/15362/7
和 K=(2/3)×(y6/7/15362/7)
代入到第二个方程中得到厂商的成本函数为 c=5/(3×15362/7) ×y6/7
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★4◆已知垄断厂商面临的需求曲线是Q=50-3P,①厂商的边际收益函数?②若厂商的边际成本等于4,求厂商利润最大化的产量和价格?
解:(1)由需求曲线得 P=(50-Q)/3
从而 TR=PQ=(50Q-Q2)/3
MR=50/3-Q×2/3
(2)根据厂商的利润最大化原则
MR=MC,又MC=4,于是
50/3-Q×2/3=4 Q=19
代入到反需求函数中得到
P=(50-19)/3=31/3
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★★9已知消费函数C=200+0.8Y,投资为自主投资,I=50。求：①均衡国民收入Y。②均衡储蓄量S。③如果充分就业的国民收入水平为Yf=2000,那么,为使该经济达到充分就业的均衡状态,投资量应如何变化?④投资乘数k?
解：①根据产品市场的均衡条件,可以得到Y=C+I 从而Y=200+0.8Y+50
解得 Y=1250
②S=I时市场处于均衡,因而均衡储蓄量为S=50。
③如果充分就业的国民收入水平为Yf=2000,则投资量应该达到下列条件所满足的数量,即Yf=200+0.8Yf+I
从而 I=200
④投资乘数：k=1/(1-β)=1/(1-0.8)=5
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★★10已知消费函数C=200+0.5Y(或储蓄函数),投资函数I=800-5000r,货币需求L=0.2Y-4000r,货币供给m=100。请写出：①IS曲线方程；②LM曲线方程；③IS-LM模型的具体方程,并求解均衡国民收入Y和均衡利息率r。④如果自主投资由800增加到950,均衡国民收入会如何变动？你的结果与乘数定理的结论相同吗？请给出解释。
解：①通过消费函数求解储蓄函数S=Y-C 并带入到I=S中：
Y- (200+0.5Y) = 800-5000r
得Y+10000r =2000 此为IS曲线方程。
②由 m=L 得 100=0.2Y-4000r
Y -20000r =500 此为LM曲线方程。
③联立上述二曲线方程,可得到Y=1500和r=5%,即为产品市场和货币市场同时均衡时的国民收入和利息率。
④Y- (200+0.5Y)=950-5000r
得 Y+10000r=2300 ……IS方程
与上述LM方程联立，解得
r=6%,Y=1700，
△Y=200
这一结果小于乘数定理的结论。根据乘数原理，在简单模型中的乘数应是1/(1-0.5)=2，自主投资增加150带来的收入增加是150×2=300。两者不一致的原因是，IS-LM模型中允许利率变化，当自主投资支出增加导致收入增加时，收入增加导致货币需求增加，从而导致利率上升，投资减少，挤掉了投资支出增加的效应，这就是所谓的挤出效应。
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★14根据哈---多模型G＝S/V计算。已知:G1、G2、V1、S1＝S2,求V2。
解：依G=S/V,
知：G1=S1/V1，S1=G1×V1，G2=S2/V2，V2=S2/G2。
由已知条件,V2=S2/G2=S1/G2=G1×V1/G2。
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★12假定一个经济的消费函数C=1000+0.8Y,投资函数I=1000-2000r,货币需求函数L=0.5Y-1000r,若央行的名义货币供给量M=5000。求总需求函数。
解：总需求源于IS-LM模型，
即I(r)=S(Y) L1(Y)+L2(r)=M/P
将已知条件代入，得到
1000-2000r=Y-1000-0.8Y 0.5Y-1000r=5000/P
得Y=60000+300000/P,即总需求函数。
若P=1,Y=360000；若P=2,Y=210000；若P=3,Y=160000,……。说明总需求与物价水平向相反方向变动。
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★14假定某一经济最初的通胀率为20%,如果衰退对通胀的影响系数为h=0.4,那么政府通过制造10%的衰退如何实现通胀率不超过4%的目标?
解：假定人们按上一年的通胀率形成下年度的预期,那么该经济的价格调整方程为可以一般地表示为πt=πt-1-0.4ut
式中,πt为通胀率,ut为衰退的速度。
这样,在政府作用下,第一年,尽管人们对通胀率的预期为20%,但衰退使通胀率下降到
π1=20%-0.4×10%=20%-4%=16%
第二年,人们的预期由20%下降到16%。若政府继续人为地制造衰退,则该年度的通胀率为 π2=16%-4%=12%
第三年：π3=12%-4%=8%
第四年：π4=8%-4%=4%
可见,按假定,经过4年,即可实现目标。
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★5在生产要素市场上,厂商的利润最大化原则是什么?证明之。
解：(1)利润最大化要求任何经济活动的“边际收益”和“边际成本”必须相等。(2)假定除了劳动这一要素之外,其他生产要素都不会发生变动。这样,厂商的利润可表示为：л=TR-TC
所以,厂商利润最大化的条件为
dл/dL=dTR/dL-dTC/dL
(3)从厂商使用要素的“边际收益”方面看,当厂商增加一种生产要素劳动的投入数量时,一方面,带来产品的增加,另一方面,带来收益增加量。结果,增加一单位要素投入所增加的总收益为：TR/△L=△TR/△Q×△Q/△L=MR×MP
即要素(劳动)的边际收益产品MRP。
(4)从使用要素的边际成本方面看,如果其他投入数量保持不变,则厂商的总成本取决于变动投入的数量。经济学中增加一单位要素的边际成本被定义为边际要素成本,表示为MFC。
(5)于是,厂商使用生产要素的利润最大化原则表示为 MRP=MFC
否则,若MRP>MFC,厂商会增加要素投入；反之,则减少；直到相等。
特别地,如果厂商是产品市场上的完全竞争者,则产品的边际收益等于产品的价格,从而要素的边际收益产品等于边际产品价值；如果厂商是要素市场的完全竞争者,则要素的边际成本就等于该要素的价格。
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★6纯交换经济符合帕累托最优状态的条件是什么?证明之。
答：①条件是，任意两个消费者消费者A和B消费任意任意两种商品1和2 时的边际替代率都相等,即：RCSA1,2=RCSB1,2。
②如果不相等,那么在两种商品总量一定情况下,两个消费者还可以通过交换在不影响他人的条件下,至少使一个人的状况得到改善。
假定RCSA1,2=2,RCSB1,2=1,这表明,在A看来,1单位第一种商品可以替换2单位第二种商品；在B看来,1 单位第一种商品可以替换1单位第二种商品。
这时,如果B放弃1单位第一种商品,他需要1单位的第二种商品,即可以原有的效率水平相等。把1单位的第一种商品让给A,这时A愿拿出2单位第二种商品。这样,把其中的1个单位补偿给B,则在A、B均保持原有效用水平不变的条件下,还有1单位第二种商品可供A和B分配。故,存在一个帕累托改进的余地。
这说明,只有两个消费者对任意两种商品的边际替代率都相等,才会实现帕累托最优状态。
