,工程流体力学,
第三章 流体动力学基础
§ 3.1 研究流体流动的方法
§ 3.2 流动的分类
§ 3.3 迹线与流线
§ 3.4 流管 流束 流量
§ 3.5 系统与控制体
§ 3.6 连续方程
§ 3.7 动量方程与动量矩方程
§ 3.8 能量方程
§ 3.9 伯努利方程及其应用
§ 3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
§ 3.11 粘性流体总流的 伯努利方程
§ 3.1 研究流体流动的方法
● 方法概要
◆ 欧拉法着眼于 流场中各空间点 上的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，
来获得整个流场的运动特性。
● 研究对象流体流场,充满运动流体的空间。
● 运动描述流速场：
压强场：
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxuu
tzyxuu
tzyxuu
zz
yy
xx
),,,( tzyxpp?
密度场：
),,,( tzyx
其他物理量（ N）场：
),,,(NN tzyx?
● 加速度及其他物理量的时间变化率
（ 1）加速度
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
dva xxxxxx
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
vvtva
)(
或
vvtva
)(
当地加速度。 表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；
迁移加速度。 表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率 。
：tv
：vv )(
（ 2）其他物理量的时间变化率
vtt?dd
密度, ）（
v
tt
d
d
zvyvxvtt x?
yyd
d
● 方法概要
◆ 拉格朗日法
● 研究对象流体质点着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。
● 运动描述流体质点坐标：
流体质点速度：
流体质点加速度：
),,,(
),,,(
),,,(
tcbazz
tcbayy
tcbaxx
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx,，
2
2
2
2
2
2
dt
zda
dt
yda
dt
xda
zyx,，
◆ 两种方法的比较拉格朗日法 欧拉法分别描述有限质点的轨迹表达式复杂不能直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的同时描述所有质点的瞬时参数表达式简单直接反映参数的空间分布适合描述流体微元的运动变形特性流体力学最常用的解析方法
§ 3.2 流动的分类
◆ 按照流体性质分：
理想流体的流动和粘性流体的流动
不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动
◆ 按照流动状态分：
定常流动和非定常流动
有旋流动和无旋流动
层流流动和紊流流动
◆ 按照流动空间的坐标数目分：
一维流动、二维流动和三维流动
◆ 定常流动和非定常流动
● 定常流动流动参量 不随时间 变化的流动。
),,(
),,(
),,(
zyx
zyxpp
zyxvv
特点,流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。
0＝（） t即：
● 非定常流动流动参量随时间变化的流动。
特点,流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。
0 t（）
即：
),,,(
),,,(
),,,(
tzyx
tzyxpp
tzyxvv
◆ 一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
)(xvv
),,( zyxvv
),( yxvv
一维流动二维流动三维流动
● 定义
● 实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。
§ 3.3 迹线与流线
◆ 迹线流体质点的运动轨迹。
是 拉格朗日方法 研究的内容。
● 定义
◆ 流线在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于 欧拉方法。
● 定义
u
2
1
uu
2
1
3
3u
6
5
4
5u
4
6u
流线
● 流线微分方程
u
2
1
uu
2
1
3
3u 65
4
5u
4
6u
流线
0d sv
ds
d
v
v
zv
ds
dy
v
v
yv
ds
dx
v
v
xv
z
y
x
),c o s (
),c o s (
),c o s (
zyx v
dz
v
dy
v
dx
● 流线的性质
* 流线彼此不能相交。
* 流线是一条光滑的曲线，
不可能出现折点。
* 定常流动时流线形状不变，
非定常流动时流线形状发生变化。
v1
v2 s1
s2
交点
v1
v2折点
s
§ 3.4 流管 流束 流量
◆ 流管 流束
● 流管 流束流管,在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。
流束,流管内部的流体称为流束。 封闭曲线 无限小 时所形成的流管,
● 微元流管微元流管,封闭曲线 无限小 时所形成的流管微元流管的极限为 流线
◆ 缓变流 急变流缓变流,流线平行或接近平行的流动缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流急变流,流线间相互不平行，有夹角的流动
◆ 有效截面 流量 平均流速
● 有效截面处处与流线相垂直的流束截面单位时间内流经某一规定表面的流体量
● 流量
dAxvvq
Av
),co s ( dAvq
A
v● 平均流速流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商
Aqv va?
有效截面：
◆ 湿周 水力半径
● 湿周在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长
● 水力半径
R
=2?R?=AB+BC+CD
A
B C
D
=ABC
A
B
C
有效截面积与湿周之比称为水力半径
X
AR
h?
§ 3.5 系统与控制体
◆ 系统 控制体
● 系统一团流体质点的集合，拉格朗日法研究流体运动的研究对象。
● 控制体流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象。
始终包含确定的流体质点
有确定的质量
系统的表面常常是不断变形的
控制体的周界称为控制面
一旦选定后，其形状和位置就固定不变
x
y
z
II
o
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
t时刻 t+?t时刻系统控制体
◆ 输运公式
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
将 拉格朗日法 求系统内物理量的时间变化率转换为按 欧拉法 去计算的公式推导过程：
符号说明,
N,t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、
动量等）
n,单位质量流体所具有的物理量系统所占有的空间体积控制体所占有的空间体积
t时刻
t+?t时刻
II
II’+III
II
II’+I
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
推导过程（续）：
t
dVdV
V t
tVttVdV
dt
d
dt
dN
0
lim
t
dVdV
tt
dVdV
t
tIttIIItIIttII
dt
dN
00 limlim
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
推导过程（续）：
t
dVdV
tt
dVdV
t
tIttIIItIIttIIdtdN?
00 limlim
dV
tt
dVdV
t
tIIttII
0lim
22 c o sl i m 0 CS nCSt
dV
t dAvdAv
ttIII
11
co sl i m 0
CS
n
CSt
dV
t dAvdAv
tI
CV CS
n dAvdVtdt
dN
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
物理意义：
CV CS
n dAvdVtdt
dN
系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，
等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，
而不必知道系统内部流动的详细情况。
dAvdtdN
CS
n
定常流动：
§ 3.6 连续方程
◆ 连续方程（积分形式）
本质：质量守恒定律
CV CS
n dAvdVtdt
dN
mdVN
V
1
0?dtdm
CV CS
n dAvdVt 0
单位质量系统的质量
◆ 连续方程的其它形式定常流动,
CS
n dAv 0?
定常流动条件下，通过控制面的流体质量等于零,
一维定常流：
21
21
A
n
A
n dAvdAv
常数 2211 AvAv aa
不可压缩一维定常流,常数?Ava
在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的 质量流量 是常量 。
在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的 体积流量 是常量 。
◆ 惯性坐标系中的动量方程（积分形式）
本质：动量定理－－动量的时间变化率等于外力的矢量和,
CV CS
n dAvdVtdt
dN
V dVvN
v
CV V CS
n
CS
n dApdVfdAvvdVvt
动量定理
§ 3.7 动量方程与动量矩方程单位质量流体的动量流体系统的动量系统上外力的矢量和 A nV dApdVf
定常流动的动量方程
V CS
n
CS
n dApdVfdAvv
定常流动条件下，控制体内质量力的主矢量与控制面上表面力的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量通量的主矢量。
◆ 惯性坐标系中的动量矩方程（积分形式）
本质,动量矩定理－－动量矩的时间变化率等于外力矩的矢量和
CV CS
n dAvdVtdt
dN
V dVvrN
vr
动量矩定理
CS nCVCS nCV dAprdVfrdAvrvdVvrt
单位质量流体的动量矩流体系统的动量矩系统上外力矩的矢量和 A nV dAprdVfr
定常流动的动量矩方程定常流动条件下，控制体内质量力矩的主矢量与控制面上表面力矩的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量矩通量的主矢量 。
CS nCVCS n dAprdVfrdAvrv
◆ 旋转坐标系中的动量方程（积分形式）
由相对运动理论，在旋转坐标系中：
绝对加速度 =相对加速度 +牵连加速度 +哥氏加速度
rrger vrdt
vdaaaa 22
rrger vrdtvdaaaa
22
动量的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
0)()( dmdtddVdtd?
VVV dVdtdvdVdtvddVvdtd )(
rr vrdt
vda
dt
vd 22
V rrV dVvrdtvddVvdtd )22 （
动量的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
V rrV dVvrdtvddVvdtd )22 （
外力的矢量和
A nV dApdVf
CS nCV rCV r dApdVvrfdVdtvd )2( 2
CS nCV rCS rrnCV r dApdVvrfvvdVvt )2( 2
动量定理
◆ 旋转坐标系中的动量矩方程（积分形式）
rrger vrdtvdaaaa
22
VVV
dVdtdvrdVdt vrddVvrdtd )(
动量矩的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
0)()( dmdtddVdtd?
rr vrrrdt vrdardt vrd 22
V
rr
V
dVvrrrdt vrddVvrdtd 22（
动量矩的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
外力矩的矢量和
A
n
V
dAprdVfr
动量矩定理
V
rr
V
dVvrrrdt vrddVvrdtd
22（
CS nCV rCS rrnCV r dAprdVvrfrvrvdVvrt )2( 2
◆ 定常管流的动量方程
npfAA FFdAvvdAvv
1122
12
zpfzzzV
ypfyyyV
xpfxxxV
n
n
n
FFvvq
FFvvq
FFvvq
)(
)(
)(
12
12
12
◆ 涡轮机械基本方程式
)()( ii
CS
n vrdAvvr
)( 1122 rrVz vrvrqM
◆ 能量方程（积分形式）
本质,能量守恒定理
CV CS n dAvdVtdtdN
V
dVvuN )2( 2
2
2v
u
§ 3.8 能量方程单位质量流体的能量流体系统的能量单位时间质量力和表面力对系统所做的功单位时间外界与系统交换的热量
A nV dAvpdVvf
Q?
CV CS nCS nV QdAvpdVvfdAvuvdVvut )2()2( 22
定常流动
CV CS
n
CS
n QdAvpdVvfdA
vuv )
2(
2
◆ 一维流动的能量方程假设条件,(1)不考虑与外界的热量交换，
(2)质量力仅有重力,gf
0?Q?
CV CS nCS nV QdAvpdVvfdAvuvdVvut )2()2( 22
重力作功＝位势能
CS nCS nV dAvpdAgzvuvdVgzvut)2()2( 22
CSCS nCSCS dAvdApvdAvdAvnp
nppp nnn
CSCS nV
dAvdApgzvuvdVgzvut )2()2( 22
CS n dAvp
CSCS nV dAvdApgzvuvdVgzvut )2()2( 22
管道内一维流动的能量方程理想流体：
粘性流体：
00 v
管壁：
进、出截面：
00 vv
0 vv 垂直于
0)2()2( 22 dApgzvuvdVgzvut
CS nV?
0＝
CS
dAv
定常流动条件下：
0)2( 2 dApgzvuvCS n
0)2()2(
12
22 dApgzvuvdApgzvuv
AA?
§ 3.9 伯努利方程及其应用
◆ 伯努利方程不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。
0)2()2(
12
22?
dApgzvuvdApgzvuv
AA?
沿流线积分
1
11
2
11
2
22
2
22 22 pgzvupgzvu
常数pgzvu 22
常数pgzv22
常数pgzv2
2
物理意义：
应用范围：
不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位质量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。
(1) 不可压缩理想流体在重力场中的定常流动；
(2) 同一条流线上的不同的点；沿不同的流线时，积分常数的值一般不相同。
Hpgzv 常数?2
2
b
c
1
a a'
2
c'
b'
H
总水头线静水头线
gv 2/21
gp?/1
1z
gv 2/22
gp?/2
2z
速度水头位置水头压强水头总水头不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重力流体的总水头线为一平行于基准线的水平线。
◆ 伯努利方程的应用原理,弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流，另一端的开口向上，管内液面高出水面 h，
水中的 A端距离水面 H0。
● 皮托管
B A
h
H0
由 B至 A建立伯努利方程
ABB ppv
2
2
0gHpB )( 0 hHgp A
ghppv BAB 2)(2
动压管：
)(2 BA ppv
静压管与皮托管组合成一体，
由差压计给出总压和静压的差值，
从而测出测点的流速。
● 文丘里管原理,文丘里管由收缩段和扩张段组成，在入口前直管段上的截面 1和喉 部截面 2两处测量静压差，根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。
h
1
2△ z
1
2
由 1至 2建立伯努利方程
2
22
21
21
1 22
pvgzpvgz
2121 vAAv?
])(1[
2)(2
212212 AA
zgppv
])(1[
2)(2
2
12
212
AA
zgppAq
v?
流速：
体积流量：
§ 3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
◆ 速度沿流线主法线方向的变化分析流线主法线方向所受的力：
端面压力：
重力分量：
法线方向的加速度：
Ap App )(?
cosW
rv /2
c o s)(2 WApApprvAr
牛顿第二定律
rzcos ArgW
)(2 gpzrgrv
假设全场伯努利常数不变
0)2( 2 gvgpzr?
0 rvrv? rCv?
积分
B
B'
z?z
p+?
p
p
r
W
r
M?
A
速度分布
B
B'
z?z
p+?
p
p
r
W
r
M?
A
◆ 压力沿流线主法线方向的变化
（水平面内的流动）
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力：
重力分量：
法线方向的加速度：
Ap App )(?
0 rv /2
牛顿第二定律
r
Cv?代入 积分
ApApApprvAr )(2
r
v
r
p 21?
21 2 r
CCp
压强分布速度分布
◆ 直线流动时沿流线主法线方向的变化直线流动r r z
流线
p2
2 p1
1
0)( gpzr?
g
pz
g
pz
2211
)(2 gpzrgrv
在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式。
水平面内的直线流动：
忽略重力影响的直线流动，沿垂直于流线方向的压强梯度为零，
即没有压强差 。
0rp
§ 3.11 粘性流体总流的伯努利方程重力场中一维定常流能量方程的积分形式：
缓变流截面 常数 gpz )()( gpzgqdAgpzgv
vA
)2()2()(12 2232 gvgqagvgqdAvvAdAgvgv avA av
aA
0)2()2(
12
22
dApgzvuvdApgzvuv
AA?
wq vvAAv hdquugqdAgugvdAgugvgq v )(1)(1 1212
waa hg
pz
g
va
g
pz
g
va
22
2221
1
211
22
能量损失
waa hg
pz
g
va
g
pz
g
va
22
2221
1
211
22
◆ 不可压缩粘性流体总流的伯努利方程应用范围：
重力作用下不可压缩粘性流体定常流动任意两 缓变流 截面
dA
静水头线总水头线
gva a2
21
1
gp?1
1z
gva a2
22
2
gp?2
2z
wh
第三章 流体动力学基础
§ 3.1 研究流体流动的方法
§ 3.2 流动的分类
§ 3.3 迹线与流线
§ 3.4 流管 流束 流量
§ 3.5 系统与控制体
§ 3.6 连续方程
§ 3.7 动量方程与动量矩方程
§ 3.8 能量方程
§ 3.9 伯努利方程及其应用
§ 3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
§ 3.11 粘性流体总流的 伯努利方程
§ 3.1 研究流体流动的方法
● 方法概要
◆ 欧拉法着眼于 流场中各空间点 上的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，
来获得整个流场的运动特性。
● 研究对象流体流场,充满运动流体的空间。
● 运动描述流速场：
压强场：
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxuu
tzyxuu
tzyxuu
zz
yy
xx
),,,( tzyxpp?
密度场：
),,,( tzyx
其他物理量（ N）场：
),,,(NN tzyx?
● 加速度及其他物理量的时间变化率
（ 1）加速度
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
dva xxxxxx
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
a
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
vvtva
)(
或
vvtva
)(
当地加速度。 表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；
迁移加速度。 表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率 。
：tv
：vv )(
（ 2）其他物理量的时间变化率
vtt?dd
密度, ）（
v
tt
d
d
zvyvxvtt x?
yyd
d
● 方法概要
◆ 拉格朗日法
● 研究对象流体质点着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。
● 运动描述流体质点坐标：
流体质点速度：
流体质点加速度：
),,,(
),,,(
),,,(
tcbazz
tcbayy
tcbaxx
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx,，
2
2
2
2
2
2
dt
zda
dt
yda
dt
xda
zyx,，
◆ 两种方法的比较拉格朗日法 欧拉法分别描述有限质点的轨迹表达式复杂不能直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的同时描述所有质点的瞬时参数表达式简单直接反映参数的空间分布适合描述流体微元的运动变形特性流体力学最常用的解析方法
§ 3.2 流动的分类
◆ 按照流体性质分：
理想流体的流动和粘性流体的流动
不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动
◆ 按照流动状态分：
定常流动和非定常流动
有旋流动和无旋流动
层流流动和紊流流动
◆ 按照流动空间的坐标数目分：
一维流动、二维流动和三维流动
◆ 定常流动和非定常流动
● 定常流动流动参量 不随时间 变化的流动。
),,(
),,(
),,(
zyx
zyxpp
zyxvv
特点,流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。
0＝（） t即：
● 非定常流动流动参量随时间变化的流动。
特点,流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。
0 t（）
即：
),,,(
),,,(
),,,(
tzyx
tzyxpp
tzyxvv
◆ 一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
)(xvv
),,( zyxvv
),( yxvv
一维流动二维流动三维流动
● 定义
● 实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。
§ 3.3 迹线与流线
◆ 迹线流体质点的运动轨迹。
是 拉格朗日方法 研究的内容。
● 定义
◆ 流线在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于 欧拉方法。
● 定义
u
2
1
uu
2
1
3
3u
6
5
4
5u
4
6u
流线
● 流线微分方程
u
2
1
uu
2
1
3
3u 65
4
5u
4
6u
流线
0d sv
ds
d
v
v
zv
ds
dy
v
v
yv
ds
dx
v
v
xv
z
y
x
),c o s (
),c o s (
),c o s (
zyx v
dz
v
dy
v
dx
● 流线的性质
* 流线彼此不能相交。
* 流线是一条光滑的曲线，
不可能出现折点。
* 定常流动时流线形状不变，
非定常流动时流线形状发生变化。
v1
v2 s1
s2
交点
v1
v2折点
s
§ 3.4 流管 流束 流量
◆ 流管 流束
● 流管 流束流管,在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。
流束,流管内部的流体称为流束。 封闭曲线 无限小 时所形成的流管,
● 微元流管微元流管,封闭曲线 无限小 时所形成的流管微元流管的极限为 流线
◆ 缓变流 急变流缓变流,流线平行或接近平行的流动缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流急变流,流线间相互不平行，有夹角的流动
◆ 有效截面 流量 平均流速
● 有效截面处处与流线相垂直的流束截面单位时间内流经某一规定表面的流体量
● 流量
dAxvvq
Av
),co s ( dAvq
A
v● 平均流速流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商
Aqv va?
有效截面：
◆ 湿周 水力半径
● 湿周在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长
● 水力半径
R
=2?R?=AB+BC+CD
A
B C
D
=ABC
A
B
C
有效截面积与湿周之比称为水力半径
X
AR
h?
§ 3.5 系统与控制体
◆ 系统 控制体
● 系统一团流体质点的集合，拉格朗日法研究流体运动的研究对象。
● 控制体流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象。
始终包含确定的流体质点
有确定的质量
系统的表面常常是不断变形的
控制体的周界称为控制面
一旦选定后，其形状和位置就固定不变
x
y
z
II
o
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
t时刻 t+?t时刻系统控制体
◆ 输运公式
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
将 拉格朗日法 求系统内物理量的时间变化率转换为按 欧拉法 去计算的公式推导过程：
符号说明,
N,t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、
动量等）
n,单位质量流体所具有的物理量系统所占有的空间体积控制体所占有的空间体积
t时刻
t+?t时刻
II
II’+III
II
II’+I
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
推导过程（续）：
t
dVdV
V t
tVttVdV
dt
d
dt
dN
0
lim
t
dVdV
tt
dVdV
t
tIttIIItIIttII
dt
dN
00 limlim
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
推导过程（续）：
t
dVdV
tt
dVdV
t
tIttIIItIIttIIdtdN?
00 limlim
dV
tt
dVdV
t
tIIttII
0lim
22 c o sl i m 0 CS nCSt
dV
t dAvdAv
ttIII
11
co sl i m 0
CS
n
CSt
dV
t dAvdAv
tI
CV CS
n dAvdVtdt
dN
II '
z
x
y
n
v
n
v
o
III
I
物理意义：
CV CS
n dAvdVtdt
dN
系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，
等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，
而不必知道系统内部流动的详细情况。
dAvdtdN
CS
n
定常流动：
§ 3.6 连续方程
◆ 连续方程（积分形式）
本质：质量守恒定律
CV CS
n dAvdVtdt
dN
mdVN
V
1
0?dtdm
CV CS
n dAvdVt 0
单位质量系统的质量
◆ 连续方程的其它形式定常流动,
CS
n dAv 0?
定常流动条件下，通过控制面的流体质量等于零,
一维定常流：
21
21
A
n
A
n dAvdAv
常数 2211 AvAv aa
不可压缩一维定常流,常数?Ava
在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的 质量流量 是常量 。
在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的 体积流量 是常量 。
◆ 惯性坐标系中的动量方程（积分形式）
本质：动量定理－－动量的时间变化率等于外力的矢量和,
CV CS
n dAvdVtdt
dN
V dVvN
v
CV V CS
n
CS
n dApdVfdAvvdVvt
动量定理
§ 3.7 动量方程与动量矩方程单位质量流体的动量流体系统的动量系统上外力的矢量和 A nV dApdVf
定常流动的动量方程
V CS
n
CS
n dApdVfdAvv
定常流动条件下，控制体内质量力的主矢量与控制面上表面力的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量通量的主矢量。
◆ 惯性坐标系中的动量矩方程（积分形式）
本质,动量矩定理－－动量矩的时间变化率等于外力矩的矢量和
CV CS
n dAvdVtdt
dN
V dVvrN
vr
动量矩定理
CS nCVCS nCV dAprdVfrdAvrvdVvrt
单位质量流体的动量矩流体系统的动量矩系统上外力矩的矢量和 A nV dAprdVfr
定常流动的动量矩方程定常流动条件下，控制体内质量力矩的主矢量与控制面上表面力矩的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量矩通量的主矢量 。
CS nCVCS n dAprdVfrdAvrv
◆ 旋转坐标系中的动量方程（积分形式）
由相对运动理论，在旋转坐标系中：
绝对加速度 =相对加速度 +牵连加速度 +哥氏加速度
rrger vrdt
vdaaaa 22
rrger vrdtvdaaaa
22
动量的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
0)()( dmdtddVdtd?
VVV dVdtdvdVdtvddVvdtd )(
rr vrdt
vda
dt
vd 22
V rrV dVvrdtvddVvdtd )22 （
动量的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
V rrV dVvrdtvddVvdtd )22 （
外力的矢量和
A nV dApdVf
CS nCV rCV r dApdVvrfdVdtvd )2( 2
CS nCV rCS rrnCV r dApdVvrfvvdVvt )2( 2
动量定理
◆ 旋转坐标系中的动量矩方程（积分形式）
rrger vrdtvdaaaa
22
VVV
dVdtdvrdVdt vrddVvrdtd )(
动量矩的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
0)()( dmdtddVdtd?
rr vrrrdt vrdardt vrd 22
V
rr
V
dVvrrrdt vrddVvrdtd 22（
动量矩的时间变化率
CV CS n dAvdVtdtdN
外力矩的矢量和
A
n
V
dAprdVfr
动量矩定理
V
rr
V
dVvrrrdt vrddVvrdtd
22（
CS nCV rCS rrnCV r dAprdVvrfrvrvdVvrt )2( 2
◆ 定常管流的动量方程
npfAA FFdAvvdAvv
1122
12
zpfzzzV
ypfyyyV
xpfxxxV
n
n
n
FFvvq
FFvvq
FFvvq
)(
)(
)(
12
12
12
◆ 涡轮机械基本方程式
)()( ii
CS
n vrdAvvr
)( 1122 rrVz vrvrqM
◆ 能量方程（积分形式）
本质,能量守恒定理
CV CS n dAvdVtdtdN
V
dVvuN )2( 2
2
2v
u
§ 3.8 能量方程单位质量流体的能量流体系统的能量单位时间质量力和表面力对系统所做的功单位时间外界与系统交换的热量
A nV dAvpdVvf
Q?
CV CS nCS nV QdAvpdVvfdAvuvdVvut )2()2( 22
定常流动
CV CS
n
CS
n QdAvpdVvfdA
vuv )
2(
2
◆ 一维流动的能量方程假设条件,(1)不考虑与外界的热量交换，
(2)质量力仅有重力,gf
0?Q?
CV CS nCS nV QdAvpdVvfdAvuvdVvut )2()2( 22
重力作功＝位势能
CS nCS nV dAvpdAgzvuvdVgzvut)2()2( 22
CSCS nCSCS dAvdApvdAvdAvnp
nppp nnn
CSCS nV
dAvdApgzvuvdVgzvut )2()2( 22
CS n dAvp
CSCS nV dAvdApgzvuvdVgzvut )2()2( 22
管道内一维流动的能量方程理想流体：
粘性流体：
00 v
管壁：
进、出截面：
00 vv
0 vv 垂直于
0)2()2( 22 dApgzvuvdVgzvut
CS nV?
0＝
CS
dAv
定常流动条件下：
0)2( 2 dApgzvuvCS n
0)2()2(
12
22 dApgzvuvdApgzvuv
AA?
§ 3.9 伯努利方程及其应用
◆ 伯努利方程不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。
0)2()2(
12
22?
dApgzvuvdApgzvuv
AA?
沿流线积分
1
11
2
11
2
22
2
22 22 pgzvupgzvu
常数pgzvu 22
常数pgzv22
常数pgzv2
2
物理意义：
应用范围：
不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位质量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。
(1) 不可压缩理想流体在重力场中的定常流动；
(2) 同一条流线上的不同的点；沿不同的流线时，积分常数的值一般不相同。
Hpgzv 常数?2
2
b
c
1
a a'
2
c'
b'
H
总水头线静水头线
gv 2/21
gp?/1
1z
gv 2/22
gp?/2
2z
速度水头位置水头压强水头总水头不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重力流体的总水头线为一平行于基准线的水平线。
◆ 伯努利方程的应用原理,弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流，另一端的开口向上，管内液面高出水面 h，
水中的 A端距离水面 H0。
● 皮托管
B A
h
H0
由 B至 A建立伯努利方程
ABB ppv
2
2
0gHpB )( 0 hHgp A
ghppv BAB 2)(2
动压管：
)(2 BA ppv
静压管与皮托管组合成一体，
由差压计给出总压和静压的差值，
从而测出测点的流速。
● 文丘里管原理,文丘里管由收缩段和扩张段组成，在入口前直管段上的截面 1和喉 部截面 2两处测量静压差，根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。
h
1
2△ z
1
2
由 1至 2建立伯努利方程
2
22
21
21
1 22
pvgzpvgz
2121 vAAv?
])(1[
2)(2
212212 AA
zgppv
])(1[
2)(2
2
12
212
AA
zgppAq
v?
流速：
体积流量：
§ 3.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化
◆ 速度沿流线主法线方向的变化分析流线主法线方向所受的力：
端面压力：
重力分量：
法线方向的加速度：
Ap App )(?
cosW
rv /2
c o s)(2 WApApprvAr
牛顿第二定律
rzcos ArgW
)(2 gpzrgrv
假设全场伯努利常数不变
0)2( 2 gvgpzr?
0 rvrv? rCv?
积分
B
B'
z?z
p+?
p
p
r
W
r
M?
A
速度分布
B
B'
z?z
p+?
p
p
r
W
r
M?
A
◆ 压力沿流线主法线方向的变化
（水平面内的流动）
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力：
重力分量：
法线方向的加速度：
Ap App )(?
0 rv /2
牛顿第二定律
r
Cv?代入 积分
ApApApprvAr )(2
r
v
r
p 21?
21 2 r
CCp
压强分布速度分布
◆ 直线流动时沿流线主法线方向的变化直线流动r r z
流线
p2
2 p1
1
0)( gpzr?
g
pz
g
pz
2211
)(2 gpzrgrv
在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式。
水平面内的直线流动：
忽略重力影响的直线流动，沿垂直于流线方向的压强梯度为零，
即没有压强差 。
0rp
§ 3.11 粘性流体总流的伯努利方程重力场中一维定常流能量方程的积分形式：
缓变流截面 常数 gpz )()( gpzgqdAgpzgv
vA
)2()2()(12 2232 gvgqagvgqdAvvAdAgvgv avA av
aA
0)2()2(
12
22
dApgzvuvdApgzvuv
AA?
wq vvAAv hdquugqdAgugvdAgugvgq v )(1)(1 1212
waa hg
pz
g
va
g
pz
g
va
22
2221
1
211
22
能量损失
waa hg
pz
g
va
g
pz
g
va
22
2221
1
211
22
◆ 不可压缩粘性流体总流的伯努利方程应用范围：
重力作用下不可压缩粘性流体定常流动任意两 缓变流 截面
dA
静水头线总水头线
gva a2
21
1
gp?1
1z
gva a2
22
2
gp?2
2z
wh
