第二章 流体静力学
§ 2.1 流体静压强及其特性流体处于绝对静止或相对静止时的压强
◆ 流体的静压强
dA
dP
A
Pp
A
l i m
◆ 流体静压强的两个特性
● 方向性流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
即垂直指向作用面。
(2)因流体几乎不能承受拉力，故 p指向受压面。
原 因,(1)静止流体不能承受剪力，即 τ=0,故 p垂直受压面；
● 大小性静止流 体中任何一点上各个方向的静压力大小相等与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
0ddd61),c o s (ddd21 zyxfxnApzyp xnx?
0d
3
1
0d
3
1
0d
3
1
xfpp
xfpp
xfpp
znz
yny
xnx
nzyx pppp
略去无穷小项
xp
yp
np
zp
o
z
xdz
dx
dy
y
B
D
C
0d31 xfpp xnx?
§ 2.2 流体平衡微分方程式
◆ 平衡微分方程式设六面体形心处 a(x,y,z)点的密度为 ρ，压强为 p，所受质量力为 f。 则作用在左面上的总压力为：
在静止流体中任取一微元六面体，其边长分别为 dx,dy,dz，坐标的选取如下图。
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy
b a c
f,p,ρ d y d zdxxppp b?
2
1
d y d zdxxppp c 21
则作用在右面上的总压力为：
以 x方向为例,列力平衡方程式
d x d y d zxppp cb表面力：
ρ d xd y d zf x?质量力,
,0xF据
0 d x d y d zxpd x d y d zρf x
01 xpf x?
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy
b a c
f,p,ρ
同理，考虑 y,z方向，可得,
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
上式即为 流体平衡微分方程
(欧拉平衡微分方程 )
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy b a c
f,p,ρ（ 1）
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
上式即为 流体平衡微分方程
(欧拉平衡微分方程 )
物理意义：
在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围：
所有静止流体或相对静止的流体。
流体静压强的增量决定于质量力。
● 压强差公式
)( dzfdyfdxfdp zyx
dzzpdyypdxxpdp
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
z
y
x
f
z
p
f
y
p
f
x
p
物理意义：
◆ 力的势函数和有势力
● 力的势函数
)( dzfdyfdxfpddp zyx根据不可压缩流体的压强差公 式
000 xfyfzfxfyfzf yxxzzy
上式表明存在势函数 W（ x,y,z）满足,zWfyWfxWf zyx,，
s
zyx
fddW
dz
z
W
dy
y
W
dx
x
W
dzfdyfdxfdp
＝
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。
（ 2）
（ 3）
◆ 等压面
● 定义流场中压强相等的各点组成的面。 0?dp
● 微分方程
0 dzfdyfdxf zyx 0sfd?
1 ()
0
x y zd p f d x f d y f d z
dp
● 性质或
1.等压面恒与质量力正交。
0dsf? dsf?
2.等压面也是等势面。
§ 2.3 流体静力学基本方程式
◆ 流体静力学基本方程式
* 作用在流体上的质量力只有重力
gf
f
f
z
y
x
－
0
0
0 gdpdz?
* 均匀的不可压缩流体
gdzdp
积分得,Cgpz
g
pz
g
pz
2211
z
x
p1
1
基准面
z2
p2
2
p0
g
o
z1
● 基本方程式
)( dzfdyfdxfdp zyx
（ 4）（ 5）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。
（ 4）
（ 5）
● 物理意义
o
x
z
a
p
p 0
z
h p
h
Cgpz
位势能压强势能
hp
总势能在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流体的 总势能保持不变 。
● 几何意义
Cgpz
位臵水头压强水头静水头在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。
p0
2p2
z2
z1 1
p1
完全真空
z1 1
2
z2
pe2/?g
AA
A'A'
基准面
pe1/?g
pa/?g
p2/?gp
1/?g
p1
p0 p
2
pa
● 帕斯卡原理
g
phz
g
pz
0) （
在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。
o
x
z
a
p
p 0
z
h p
h
a点压强：
ghpp 0
§ 2.4 绝对压强、相对压强、真空值、
液柱式测压计
◆ 压强的计量
● 绝对压强,以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。
● 相对压强,以当地大气压作为零点计量的压强值。
absP
reP
● 真空度,以当地大气压作为零点计量的小于大气压的数值。
VP
从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正，而相对压强的数值则可正可负。如右图，三者的关系可表达为：
rea b sav
aa b sre
reaa b s
pppp
ppp
ppp
A
B
完全真空 p=0
大气压强
p
o
表压
p>pa
aP<Pa
真空度
absP reP?
reP P=Pa
◆ 液柱式测压计
● 测压管测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。
p a
p 0
A
h
h
p a
p v
表压真空
ghp er
ghpv
优点,结构简单缺点,只能测量较小的压强
app?
app?
表压：
真空：
ghppp aer
eav pppp
● U形管测压计
21 pp?
11 ghpp
222 ghpp a
122 ghghpp aabs
p
h 1
1 2
A h 2
ρ2
ρ
pa
122 ghghp er
优点,可以测量较大的压强
● U形管差压计测量同一容器两个不同位臵的压差或不同容器的压强差。
1
A
△
z
2
h 2
h
B
2?
)( 21 hhgpp A
222 )( ghzhgpp B
222 )()( ghzhgphhgp BA
)()( 22222 hhgzgghhzgpp BA
21 pp?
● 倾斜微压计
)( s in
2
121
A
Alhhh
p2
l p1
h1
0
h2
A2 A
1
2
12
A
Alh?
sin1 lh?
lAAgghppp )( s in
2
1
21
优点,可以测量较小的压强
● 补偿式微压计
pa
p
h?
pa
pa
hgpp a
hgp e
§ 2.5 几种质量力作用下流体的平衡
◆ 等加速水平运动容器中液体的相对平衡流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动。 所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。
质量力
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
gf
f
af
z
y
x
0
容器以等加速度 a向右作水平直线运动
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 等压面方程
0)()( gdzadxdzfdxfdp zx
积分
Cgzax
等压面是一簇平行的斜面。
g
aa rctg
自由液面,000 Czx
xgazs
0 dzfdyfdxf zyx据
0 sgzax
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 静压强分布规律
)()( gdzadxdzffxd xdp z
Cgzaxp )(?
积分
000 ppzx
得：
0pC?
)(0 gzaxpp
利用边界条件：
ghpzzgp
zx
g
agpgzaxpp
s
00
00
)(
)()(
0 sgzax
)( dzfdyfdxfdp zyx
据
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 与绝对静止情况比较
（ 2）压强分布
（ 1）等压面绝对静止：
ghpp 0
相对静止,ghpzzgpp s 00 )(
绝对静止：
cz?
相对静止：
cxgaz
水平面斜面
h－任一点距离自由液面的淹深
◆ 等角速旋转容器中液体的相对平衡质量力容器以等角速度 ω 旋转
z
zs
hzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
gf
yrf
xrf
z
y
x
22
22
s in
c o s
质量力
● 等压面方程
积分等压面是一簇绕 z轴的旋转抛物面。
自由液面,000 Czx
gfyrfxrf zyx 2222 s i nc o s
022 gdzyd yxd xdp
Cgzyx 22 2222 Cgzr2 22?
Cgzr s2 22?
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
0 dzfdyfdxf zyx据
● 静压强分布规律
积分
000 ppzx
得,0pC?
利用边界条件：
ghpzzgpp s 00 )(
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
)( 22 gdzy d yx d xdp
Cgzyxp )22( 2222 Czgrgp )2( 22
)2( 220 zgrgpp
02 22 sgzr?
)( dzfdyfdxfdp zyx
据
● 与绝对静止情况比较
（ 2）压强分布
（ 1）等压面绝对静止：
ghpp 0
相对静止,ghpzzgpp
s 00 )(
绝对静止：
cz?
相对静止：
水平面旋转抛物面
h－任一点距离自由液面的淹深
Cgzr2 22?
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
§ 2.6 静止液体作用在平面上的总压力各点压强大小：
◆ 水平平面上的液体总压力处处相等各点压强方向,方向一致
b c
da
p a
A
a
b
A
p a
d
c c
A
b
a
p a
d
b
a
p a
A
c
d
h
g h AApF e
各点压强大小：
◆ 倾斜 平面上的液体总压力处处不相等各点压强方向,方向一致作用在微分面积 dA上的压力：
hD hC
y y
C y
D
h
dAygg h d Ap d AdF p )s i n(
作用在平面 ab上的总压力：
AA pp AgFF yds ind
● 总压力的大小
● 总压力的方向总压力的方向垂直于受压的平面
hD hC
y y
C y
D
h
作用在平面 ab上的总压力：
AA pp AgFF yds ind
由工程力学知：
AyA cA yd
故
AygF Cp )s i n(
sincc yh?
Aghc?
cac ghpp
App ac )(?
即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。
受压面面积 A对 OX轴的静矩
hD hC
y y
C y
D
h
● 总压力的作用点合力矩定理,合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。
ydFyF pDp
ADc dAygAyyg 2s i ns i n
Ay
Iy
Ay
I
Ay
dAyy
c
cxc
c
x
c
D
2
A xIAy d2 受压面 A对 ox轴的惯性矩。
cxI
受压面 A对过形心点 C且平行于 ox轴的轴线的惯性矩。
压力中心 D必位于受压面形心 c之下。
§ 2.7 静止液体作用在曲面上的总压力各点压强大小,大小不等各点压强方向,方向不同因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解 。
◆ 总压力 的大小和方向作用在微分面积 dA上的压力：
ghdApdAdF p x
Az dcPao
hc h
Ax
z b
a
dA
AdFp
dFp dFpz
dFpxdA dAx
dAz
x
Az
dc
Pa
o
hc h
A x
z
b
a
dA
AdF p
dFp dFpz
dFpxdA dAx
dAz
● 水平分力
αρ g h d AαdFdF ppx c o sc o s xghdA
xdAαdA?co s
xCxC
A
xpx AppAghhdAgF
x
)( 0
作用在曲面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强 pC-p0与其在垂直坐标面 oyz的投影面积 Ax的乘积。
● 垂直分力
αρ g h d AαdFdF ppz s i ns i n zghdA
zdAαdA?sin
p
A
zpz gVh d AgF
z
作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力
x
A z
dc
P a
o
h c h
A x
z
b
a
dA
A
dF p
dFp dFpz
dFpx
dA dAx
dAz
zA zp AhV d式中：
为曲面 ab上的液柱体积
abcd的 体积，称为 压力体。
● 总压力
22 pypxp FFF
pz
px
F
Ftg
大小：
总压力与垂线间的夹角方向：
A x
z
b
a
P a A z
x
dFp
D
D'
（ 1）水平分力 Fpx的作用线通过 Ax的压力中心；
（ 4）将 Fp的作用线延长至受压面，其交点 D即为总压力在曲面上的作用点。
（ 3）总压力 Fp的作用线由 Fpx,Fpz的交点和 确定；
px
pzFFtg 1
（ 2）铅垂分力 Fpz的作用线通过 Vp的重心；
确定方法：
◆ 总压力 的作用点
◆ 压力体的两点说明压力体仅表示 的积分结果 (体积 )，与该体积内是否有液体存在无关。zA Ah
z? d
● 压力体的虚实性实压力体,压力体 abc包含 液体体积,垂直分力方向垂直 向下 。
虚压力体：压力体 abc不包含 液体体积，垂直分力方向垂直 向上 。
b
c a
b
ac
● 压力体的组成
* 受压曲面 （ 压力体的底面 ）
* 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面 （ 压力体的侧面 ）
压力体一般是由三种面所围成的体积。
* 自由液面或自由液面的延长面 （ 压力体的顶面 ）
x
dco
b
a
§ 2.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力浮体,W<?gV，物体上升，浮出液体表面。
潜体,W=?gV，物体在液体中到处处于平衡状态。
沉体,W>?gV，物体下沉，直至液体底部。
物体沉没在静止液体中
adbfgpz gVF1
021 pxpxpx FFF
acbfgpz gVF2
adbcpzpzpz gVFFF 12
1pxF 2pxF
1pzF
2pzF
a b
c
d
g f
X方向：
Y方向：
阿基米德原理：
液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力，该力又称为浮力。
其中 Z和 均具有长度量纲,Z表示某点所在的位臵距基准面的垂直高度称为位臵水头,称为压力水头,
称为测压管水头 。 由静力学基本方程可以看出静止流体中各点位臵水头和压力水头可以相互转换,但各点测压管水头相等并为一水平线,如图
1,2两点的测压管液位在同一位臵高度 。
p
p
pz? cpz
§ 2.5 液体的相对平衡下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除重力外，还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律。
在这种情况下，液体相对于地球虽然是运动的，但液体质点之间、质点与器壁之间都没有相对运动，所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。
一、直线等加速器皿中液体的相对平衡如后图，盛有液体的容器在与水平面成 α角的斜面由上向下作匀加速直线运动，加速度为 a。 当 α为零时，显然液面为水平面 。设 加速度为 a时液面 与 水 平面成 β角倾斜。设定 xoz坐标，坐标原点取在自由液面的中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力,另一是与加速度反向的单位质量惯性力 。单位质量力的三个坐标方向上的分量
gaf
f
af
z
y
x
s in
0
c o s
由等压面方程
dzfdyfdxf
dp
zyx
0
有将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程这是一族平行平面，它们对水平面的倾角显然，自由表面还是等压面，自由表面上的 z坐标用
zs表示，按自由表面的边界条件 x=0,z=0，定出积分常数 c=0，故自由表面方程应是
0s inc o s dzgadxa
0s i nc o s cgazax ＋
s in
c o s11
ag
atg
dx
dztg
0s inc o s gazax s
或直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程积分得出积分常数可由边界条件 x=0,z=0处 p=p0得出于是为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。
s in
c o s
ag
axz
s
dzgadxadp s inc o s
cgazaxp s inc o s
s
s
hagp
zzagp
gazaxpp
s i n
s i n
s i nc o s
0
0
0
ss hzz
例题,容器内盛有液体垂直向下作 a＝ 4.9035m/s2的加速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律。
解：自由表面方程由 得出现,说明自由表面依然是水平面。
压强分布规律则由可得出，现由于,并在本情况中,故
s in
c o s
ag
axz
s
0090c o s90 sz，＝，＝?
shagpp s in0
190s in9000,＝,?app
hhs?
hghhagp 2121
§ 2.1 流体静压强及其特性流体处于绝对静止或相对静止时的压强
◆ 流体的静压强
dA
dP
A
Pp
A
l i m
◆ 流体静压强的两个特性
● 方向性流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
即垂直指向作用面。
(2)因流体几乎不能承受拉力，故 p指向受压面。
原 因,(1)静止流体不能承受剪力，即 τ=0,故 p垂直受压面；
● 大小性静止流 体中任何一点上各个方向的静压力大小相等与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
0ddd61),c o s (ddd21 zyxfxnApzyp xnx?
0d
3
1
0d
3
1
0d
3
1
xfpp
xfpp
xfpp
znz
yny
xnx
nzyx pppp
略去无穷小项
xp
yp
np
zp
o
z
xdz
dx
dy
y
B
D
C
0d31 xfpp xnx?
§ 2.2 流体平衡微分方程式
◆ 平衡微分方程式设六面体形心处 a(x,y,z)点的密度为 ρ，压强为 p，所受质量力为 f。 则作用在左面上的总压力为：
在静止流体中任取一微元六面体，其边长分别为 dx,dy,dz，坐标的选取如下图。
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy
b a c
f,p,ρ d y d zdxxppp b?
2
1
d y d zdxxppp c 21
则作用在右面上的总压力为：
以 x方向为例,列力平衡方程式
d x d y d zxppp cb表面力：
ρ d xd y d zf x?质量力,
,0xF据
0 d x d y d zxpd x d y d zρf x
01 xpf x?
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy
b a c
f,p,ρ
同理，考虑 y,z方向，可得,
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
上式即为 流体平衡微分方程
(欧拉平衡微分方程 )
p-?p/?x?dx/2 p+?p/?x?dx/2
y
z
o
x
x
z
ydx
dz
dy b a c
f,p,ρ（ 1）
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
上式即为 流体平衡微分方程
(欧拉平衡微分方程 )
物理意义：
在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围：
所有静止流体或相对静止的流体。
流体静压强的增量决定于质量力。
● 压强差公式
)( dzfdyfdxfdp zyx
dzzpdyypdxxpdp
0
1
0
1
0
1
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
z
y
x
f
z
p
f
y
p
f
x
p
物理意义：
◆ 力的势函数和有势力
● 力的势函数
)( dzfdyfdxfpddp zyx根据不可压缩流体的压强差公 式
000 xfyfzfxfyfzf yxxzzy
上式表明存在势函数 W（ x,y,z）满足,zWfyWfxWf zyx,，
s
zyx
fddW
dz
z
W
dy
y
W
dx
x
W
dzfdyfdxfdp
＝
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。
（ 2）
（ 3）
◆ 等压面
● 定义流场中压强相等的各点组成的面。 0?dp
● 微分方程
0 dzfdyfdxf zyx 0sfd?
1 ()
0
x y zd p f d x f d y f d z
dp
● 性质或
1.等压面恒与质量力正交。
0dsf? dsf?
2.等压面也是等势面。
§ 2.3 流体静力学基本方程式
◆ 流体静力学基本方程式
* 作用在流体上的质量力只有重力
gf
f
f
z
y
x
－
0
0
0 gdpdz?
* 均匀的不可压缩流体
gdzdp
积分得,Cgpz
g
pz
g
pz
2211
z
x
p1
1
基准面
z2
p2
2
p0
g
o
z1
● 基本方程式
)( dzfdyfdxfdp zyx
（ 4）（ 5）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。
（ 4）
（ 5）
● 物理意义
o
x
z
a
p
p 0
z
h p
h
Cgpz
位势能压强势能
hp
总势能在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流体的 总势能保持不变 。
● 几何意义
Cgpz
位臵水头压强水头静水头在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。
p0
2p2
z2
z1 1
p1
完全真空
z1 1
2
z2
pe2/?g
AA
A'A'
基准面
pe1/?g
pa/?g
p2/?gp
1/?g
p1
p0 p
2
pa
● 帕斯卡原理
g
phz
g
pz
0) （
在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。
o
x
z
a
p
p 0
z
h p
h
a点压强：
ghpp 0
§ 2.4 绝对压强、相对压强、真空值、
液柱式测压计
◆ 压强的计量
● 绝对压强,以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。
● 相对压强,以当地大气压作为零点计量的压强值。
absP
reP
● 真空度,以当地大气压作为零点计量的小于大气压的数值。
VP
从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正，而相对压强的数值则可正可负。如右图，三者的关系可表达为：
rea b sav
aa b sre
reaa b s
pppp
ppp
ppp
A
B
完全真空 p=0
大气压强
p
o
表压
p>pa
aP<Pa
真空度
absP reP?
reP P=Pa
◆ 液柱式测压计
● 测压管测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。
p a
p 0
A
h
h
p a
p v
表压真空
ghp er
ghpv
优点,结构简单缺点,只能测量较小的压强
app?
app?
表压：
真空：
ghppp aer
eav pppp
● U形管测压计
21 pp?
11 ghpp
222 ghpp a
122 ghghpp aabs
p
h 1
1 2
A h 2
ρ2
ρ
pa
122 ghghp er
优点,可以测量较大的压强
● U形管差压计测量同一容器两个不同位臵的压差或不同容器的压强差。
1
A
△
z
2
h 2
h
B
2?
)( 21 hhgpp A
222 )( ghzhgpp B
222 )()( ghzhgphhgp BA
)()( 22222 hhgzgghhzgpp BA
21 pp?
● 倾斜微压计
)( s in
2
121
A
Alhhh
p2
l p1
h1
0
h2
A2 A
1
2
12
A
Alh?
sin1 lh?
lAAgghppp )( s in
2
1
21
优点,可以测量较小的压强
● 补偿式微压计
pa
p
h?
pa
pa
hgpp a
hgp e
§ 2.5 几种质量力作用下流体的平衡
◆ 等加速水平运动容器中液体的相对平衡流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动。 所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。
质量力
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
gf
f
af
z
y
x
0
容器以等加速度 a向右作水平直线运动
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 等压面方程
0)()( gdzadxdzfdxfdp zx
积分
Cgzax
等压面是一簇平行的斜面。
g
aa rctg
自由液面,000 Czx
xgazs
0 dzfdyfdxf zyx据
0 sgzax
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 静压强分布规律
)()( gdzadxdzffxd xdp z
Cgzaxp )(?
积分
000 ppzx
得：
0pC?
)(0 gzaxpp
利用边界条件：
ghpzzgp
zx
g
agpgzaxpp
s
00
00
)(
)()(
0 sgzax
)( dzfdyfdxfdp zyx
据
gf
a
h
zs
z
p
0o
z
a
xm
● 与绝对静止情况比较
（ 2）压强分布
（ 1）等压面绝对静止：
ghpp 0
相对静止,ghpzzgpp s 00 )(
绝对静止：
cz?
相对静止：
cxgaz
水平面斜面
h－任一点距离自由液面的淹深
◆ 等角速旋转容器中液体的相对平衡质量力容器以等角速度 ω 旋转
z
zs
hzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
gf
yrf
xrf
z
y
x
22
22
s in
c o s
质量力
● 等压面方程
积分等压面是一簇绕 z轴的旋转抛物面。
自由液面,000 Czx
gfyrfxrf zyx 2222 s i nc o s
022 gdzyd yxd xdp
Cgzyx 22 2222 Cgzr2 22?
Cgzr s2 22?
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
0 dzfdyfdxf zyx据
● 静压强分布规律
积分
000 ppzx
得,0pC?
利用边界条件：
ghpzzgpp s 00 )(
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
)( 22 gdzy d yx d xdp
Cgzyxp )22( 2222 Czgrgp )2( 22
)2( 220 zgrgpp
02 22 sgzr?
)( dzfdyfdxfdp zyx
据
● 与绝对静止情况比较
（ 2）压强分布
（ 1）等压面绝对静止：
ghpp 0
相对静止,ghpzzgpp
s 00 )(
绝对静止：
cz?
相对静止：
水平面旋转抛物面
h－任一点距离自由液面的淹深
Cgzr2 22?
z?
zshzmp0o
o
y
2y
2r?2xx
x
y
r
y
§ 2.6 静止液体作用在平面上的总压力各点压强大小：
◆ 水平平面上的液体总压力处处相等各点压强方向,方向一致
b c
da
p a
A
a
b
A
p a
d
c c
A
b
a
p a
d
b
a
p a
A
c
d
h
g h AApF e
各点压强大小：
◆ 倾斜 平面上的液体总压力处处不相等各点压强方向,方向一致作用在微分面积 dA上的压力：
hD hC
y y
C y
D
h
dAygg h d Ap d AdF p )s i n(
作用在平面 ab上的总压力：
AA pp AgFF yds ind
● 总压力的大小
● 总压力的方向总压力的方向垂直于受压的平面
hD hC
y y
C y
D
h
作用在平面 ab上的总压力：
AA pp AgFF yds ind
由工程力学知：
AyA cA yd
故
AygF Cp )s i n(
sincc yh?
Aghc?
cac ghpp
App ac )(?
即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。
受压面面积 A对 OX轴的静矩
hD hC
y y
C y
D
h
● 总压力的作用点合力矩定理,合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。
ydFyF pDp
ADc dAygAyyg 2s i ns i n
Ay
Iy
Ay
I
Ay
dAyy
c
cxc
c
x
c
D
2
A xIAy d2 受压面 A对 ox轴的惯性矩。
cxI
受压面 A对过形心点 C且平行于 ox轴的轴线的惯性矩。
压力中心 D必位于受压面形心 c之下。
§ 2.7 静止液体作用在曲面上的总压力各点压强大小,大小不等各点压强方向,方向不同因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解 。
◆ 总压力 的大小和方向作用在微分面积 dA上的压力：
ghdApdAdF p x
Az dcPao
hc h
Ax
z b
a
dA
AdFp
dFp dFpz
dFpxdA dAx
dAz
x
Az
dc
Pa
o
hc h
A x
z
b
a
dA
AdF p
dFp dFpz
dFpxdA dAx
dAz
● 水平分力
αρ g h d AαdFdF ppx c o sc o s xghdA
xdAαdA?co s
xCxC
A
xpx AppAghhdAgF
x
)( 0
作用在曲面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强 pC-p0与其在垂直坐标面 oyz的投影面积 Ax的乘积。
● 垂直分力
αρ g h d AαdFdF ppz s i ns i n zghdA
zdAαdA?sin
p
A
zpz gVh d AgF
z
作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力
x
A z
dc
P a
o
h c h
A x
z
b
a
dA
A
dF p
dFp dFpz
dFpx
dA dAx
dAz
zA zp AhV d式中：
为曲面 ab上的液柱体积
abcd的 体积，称为 压力体。
● 总压力
22 pypxp FFF
pz
px
F
Ftg
大小：
总压力与垂线间的夹角方向：
A x
z
b
a
P a A z
x
dFp
D
D'
（ 1）水平分力 Fpx的作用线通过 Ax的压力中心；
（ 4）将 Fp的作用线延长至受压面，其交点 D即为总压力在曲面上的作用点。
（ 3）总压力 Fp的作用线由 Fpx,Fpz的交点和 确定；
px
pzFFtg 1
（ 2）铅垂分力 Fpz的作用线通过 Vp的重心；
确定方法：
◆ 总压力 的作用点
◆ 压力体的两点说明压力体仅表示 的积分结果 (体积 )，与该体积内是否有液体存在无关。zA Ah
z? d
● 压力体的虚实性实压力体,压力体 abc包含 液体体积,垂直分力方向垂直 向下 。
虚压力体：压力体 abc不包含 液体体积，垂直分力方向垂直 向上 。
b
c a
b
ac
● 压力体的组成
* 受压曲面 （ 压力体的底面 ）
* 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面 （ 压力体的侧面 ）
压力体一般是由三种面所围成的体积。
* 自由液面或自由液面的延长面 （ 压力体的顶面 ）
x
dco
b
a
§ 2.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力浮体,W<?gV，物体上升，浮出液体表面。
潜体,W=?gV，物体在液体中到处处于平衡状态。
沉体,W>?gV，物体下沉，直至液体底部。
物体沉没在静止液体中
adbfgpz gVF1
021 pxpxpx FFF
acbfgpz gVF2
adbcpzpzpz gVFFF 12
1pxF 2pxF
1pzF
2pzF
a b
c
d
g f
X方向：
Y方向：
阿基米德原理：
液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力，该力又称为浮力。
其中 Z和 均具有长度量纲,Z表示某点所在的位臵距基准面的垂直高度称为位臵水头,称为压力水头,
称为测压管水头 。 由静力学基本方程可以看出静止流体中各点位臵水头和压力水头可以相互转换,但各点测压管水头相等并为一水平线,如图
1,2两点的测压管液位在同一位臵高度 。
p
p
pz? cpz
§ 2.5 液体的相对平衡下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除重力外，还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律。
在这种情况下，液体相对于地球虽然是运动的，但液体质点之间、质点与器壁之间都没有相对运动，所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。
一、直线等加速器皿中液体的相对平衡如后图，盛有液体的容器在与水平面成 α角的斜面由上向下作匀加速直线运动，加速度为 a。 当 α为零时，显然液面为水平面 。设 加速度为 a时液面 与 水 平面成 β角倾斜。设定 xoz坐标，坐标原点取在自由液面的中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力,另一是与加速度反向的单位质量惯性力 。单位质量力的三个坐标方向上的分量
gaf
f
af
z
y
x
s in
0
c o s
由等压面方程
dzfdyfdxf
dp
zyx
0
有将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程这是一族平行平面，它们对水平面的倾角显然，自由表面还是等压面，自由表面上的 z坐标用
zs表示，按自由表面的边界条件 x=0,z=0，定出积分常数 c=0，故自由表面方程应是
0s inc o s dzgadxa
0s i nc o s cgazax ＋
s in
c o s11
ag
atg
dx
dztg
0s inc o s gazax s
或直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程积分得出积分常数可由边界条件 x=0,z=0处 p=p0得出于是为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。
s in
c o s
ag
axz
s
dzgadxadp s inc o s
cgazaxp s inc o s
s
s
hagp
zzagp
gazaxpp
s i n
s i n
s i nc o s
0
0
0
ss hzz
例题,容器内盛有液体垂直向下作 a＝ 4.9035m/s2的加速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律。
解：自由表面方程由 得出现,说明自由表面依然是水平面。
压强分布规律则由可得出，现由于,并在本情况中,故
s in
c o s
ag
axz
s
0090c o s90 sz，＝，＝?
shagpp s in0
190s in9000,＝,?app
hhs?
hghhagp 2121
