第 二 章货币时间价值第二章货币时间价值第一节基本概念第二节终值和现值倾天大厦屹立风雨之中,依赖于其深厚的基础工程。货币时间价值是财务管理的基本价值观念，是今后各章学习的前提第三节年金第四节复利期间和有效利率第二章货币时间价值第一节 基本概念货币时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资后所增加的价值。
第二章货币时间价值第一节 基本概念首先，货币时间价值的真正来源是工人创造的剩余价值 ;
其次，货币时间价值是在生产经营中产生的 ;
最后，货币时间价值的表示形式有两种
2.货币时间价值率
1.货币时间价值额第二章货币时间价值第一节 基本概念单利,是计算利息的一种方法。单利制下，只对本金计算利息，所生利息不再计入本金重复计算利息。
第二章货币时间价值第一节 基本概念利率,是指利息与本金之比，通常指每年利息与本金之比。
复利,是计算利息的另一种方法，是指每经过一个计算期，将所生利息计入本金重复计算利息，逐期累计，俗称,利滚利,。
第二节 终值和现值第二章货币时间价值
I=p × n × i 单利利息公式,
单利终值公式,s=p × （ 1+ i × n）
单利现值公式,p= nis+1 ·
第二章货币时间价值第二节 终值和现值
P－－现值，又称期初额或本金；
i－－利率 （现值中称为贴现率）；
I－－利息；
S－－本金与利息之和，又称终值或本利和；
n－－计息期数；
单利法例题 1
某企业有一张带息期票，面额为 2000元，票面利率为 6%，出票日期 5月 20日,8月 19日到期
（共 90天），则到期时利息和终值为：
I＝ 2000× 6%× =30元
s＝ 2000× （ 1＋ 6％ × 90/360）＝ 2030元
90
360
第二章货币时间价值注：一般给出的利率为年利率。
第二节 终值和现值例题 2
接上例，假设持票企业急需用款，凭该期票于 7
月 20日到银行办理贴现，银行规定的贴现率为 8
％，该期票贴现天数为 30天，银行应付给企业的金额为：（票据贴现属单利现值计算）
解：
P=2030÷ (1＋ 8％ × 30/360)=2016.56元贴现：是一种票据转让方式，是指持票人在需要资金时，将其持有的商业汇票，经过背书转让给银行，银行从票面金额中扣除贴现利息后，
将余款支付给申请贴现人的票据行为。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值根据国际惯例，若时间在两期或两期以上，通常均按复利计算，即每期期末结息一次，并随即把利息并入本金，作为下期计息的基础。
复利的计算包括复利终值、复利现值和复利利息。
复利法第二章货币时间价值第二节 终值和现值
1．复利终值复利终值是按复利计息方式，经过若干个计息期后包括本金和利息在内的未来价值。
复利终值公式,s=p × （ 1+i） n
（ 1+i） n—— 复利终值系数或 1元复利终值，用符号 （ s/p,i,n） 表示，可通过,复利终值系数表,查得其数值。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题 1
某人有 1200元，拟投入报酬率为 8％的投资机会，经过多少年才可使现有货币增加 1倍？
S＝ 1200× 2＝ 2400元
S＝ 1200× （ 1＋ 8％） n
2400＝ 1200× （ 1＋ 8％） n
(S/P,8%,n)＝ 2
从“复利终值系数表”查得，在 i＝ 8％项下寻找 2，最接近的值为：
（ S/P,8%,9）＝ 1.999
所以,n＝ 9，即 9年后可使现有货币增加 1倍。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题 2
假定公司决定用 40000元进行投资，希望 5年后能得到两倍半的钱用来对原生产设备进行技术改造，那么该公司在选择投资方案时，其可接受的投资报酬率应为多少？
S＝ P（ 1＋ i） n
40000× 2.5＝ 40000（ 1＋ i） 5＝ 40000（ S/P,i,5）
（ S/P,i,5）＝ ＝ 2.5
从,1元的复利终值系数表”,n＝ 5，查得 ﹤ 2.5的终值系数为 2.488,i＝ 20％,﹥ 2.5终值系数为 2.932,i＝ 24
％。即确定所求的 i必处于 20％～ 24％之间，用插入法进行测算：
得,i=20.11％
n
100000
40000
2.5 00 2.4 88 20%
2.9 32 2.4 88 24% 20%
i
第二章货币时间价值第二节 终值和现值
2．复利现值复利现值是指未来一定时期的资金按复利计算的现在价值，是复利终值的逆运算，也叫贴现。
p =s × （ 1+i） -n复利现值公式,
（ 1+i） -n称为复利现值系数或 1元复利现值，
用符号 （ p/s,i,n） 表示，可通过查,复利现值系数表,得知其数值,
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题
5年后拟得到本利和为 50 000元，年利率为 5％，
现在应存本金多少？
P＝ S× （ P/S,i,n）
＝ 50 000× （ P/S,5％,5）
＝ 50 000× 0.7835（ P/S,5%,5查复利现值系数表为 0.7835）
＝ 39 175元第二章货币时间价值第二节 终值和现值
3．复利利息复利利息是在复利计息方式下所产生的货币时间价值，即复利终值与复利现值的差额。
I=s－ p复利利息公式,
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题本金 1 000元，投资 5年，利率 8％，每年复利一次，其本利和与复利息是：
S＝ 1 000× （ 1＋ 8％） 5
＝ 1 000× 1.469
＝ 1 469元
I＝ 1 469－ 1 000＝ 469元第二章货币时间价值第二节 终值和现值第三节 年金第二章货币时间价值年金是指等额、定期的系列货币收支。
如 租金、利息、养老金、分期付款赊购、
分期偿还贷款等通常都采取年金的形式。
年金按发生的时点不同，可分为普通年金、
预付年金、递延年金和永续年金。
第二章货币时间价值第三节 年金
1．普通年金普通年金又称后付年金,是指 是一定时期内每期 期末 收付的年金,其计算包括终值和现值计算。
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金终值,是指每期收付款项的复利终值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)0
A·(1+i)1
A·(1+i)2
A·(1+i)n-2
A·(1+i)n-1
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金终值公式推导过程：
s=A（ 1+i)0+A（ 1+i)1+ +A（ 1+i)n-2 +A（ 1+i)n-1……
等式两端同乘以 (1+i),
(1+i)s=A(1+i)+A(1+i)2 + +A(1+i)n-1+A(1+i)n……
上述两式相减,
i·s=A(1+i)n -A s=A ii
n 1)1(?+
第二章货币时间价值式中,A— 每期期末等额收（或付）款项第三节 年金普通年金终值公式,s=A
i
i n 1)1(?+
称为普通年金终值系数或 1元年金 终值，它反映的是 1元年金在利率为 i时，
经过 n期的复利终值，用符号（ s/A,i,n）
表示，可查,年金终值系数表,得知其数值。
i
i n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金偿债基金,是指为使年金终值达到既定金额，
每年应支付的年金数额。
S＝ A×
A＝ S×
－－年金终值系数的倒数，称为 偿债基金系数,记作（ A/S,i,n）
i
i n 1)1(?+
(1 ) 1n
i
i+?
(1 ) 1n
i
i+?
第二章货币时间价值第三节 年金例题某公司董事会决定自今年起建立偿债基金，即在今后 5年内每年年末存入银行等额款项，用来偿还该公司在第六年年初到期的债务 2 000 000元。假定，银行存款利率为 9％
（每年复利一次），试问公司每年年末需存入银行多少等额款项？
解：由于第六年年初 2 000 000元，属于年金终值 S为已知，
现在要求确定每年年末存入银行的等额款项，即求年金 A
A＝ S×
查,1元的年金终值表”得知,(S/A,9%,5)＝ 5.985
所以，
A＝ 2 000 000× ＝ 334 168.76元
(1 ) 1n
i
i+?
1
5.985
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金现值,是指为每期期末取得相等金额的款项，现需投入的金额。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)-1
A·(1+i)-2
A·(1+i)-(n-2)
A·(1+i)-(n-1)
A·(1+i)-n
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金现值公式推导过程：
p=A(1+i)-1+A(1+i)-2+ +A(1+i)-(n-1)+A(1+i)-n……
等式两端同乘以 (1+i),
(1+i)p=A+A(1+i)-1 + +A(1+i)-(n-2)+A(1+i)-(n-1)……
上述两式相减,
i·p=A-A(1+i)-n p=A i
i n?+? )1(1
第二章货币时间价值第三节 年金
p=A
i
i n?+? )1(1
称为年金现值系数或 1元年金现值，它表示 1元年金在利率为 i时，经过 n
期复利的现值，记为（ p/A,i,n），可通过
,普通年金现值系数表,查得其数值。
为普通年金现值系数的倒数，称为投资回收系数 。
i
i n?+? )1(1
普通年金现值公式,
第二章货币时间价值
1 (1 ) n
i
i+
第三节 年金例题 1
某人出国 3年，请你代付房租，每年租金 100元，
设银行存款利率 10%,他应当现在给你在银行存入多少钱？
P=100× （ P/A,10%,3）
=100× 2.487
=248.70元第二章货币时间价值第三节 年金例题 2
某公司于今年年初向银行借款 200万元购买成套设备，
订立借款合同时，言明全部借款本息自今年年末起分 5
年偿清，每年年末等额支付一次，若银行借款利率为 12
％，试问该公司每年年末需还款多少？
P＝ A× （ P/A,i,n）
A=P×
＝ 2 000 000×
查,1元的年金现值系数表”得：（ P/A,12%,5）＝
3.605
A= 2 000 000× =554 785.02元
1
( /,,)P A i n
1
( /,1 2 %,5 )PA
1
3.605
第二章货币时间价值第三节 年金
2,预付 年金预付年金 是 指每期期初等额支付的年金，又称即付年金或先付年金。
第二章货币时间价值第三节 年金预付年金终值,是指每期期初等额收付款项的复利终值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)1
A·(1+i)2
A·(1+i)n-2
A·(1+i)n-1
A·(1+i)n
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金预付 年金终值公式推导过程：
s=A(1+i)1+A(1+i)2+ +A(1+i)n ①…… ………
根据等比数列求和公式可得下式：
s= )1(1 ])1(1)[1( i iiA
n
+?
+?+
i
i n 1)1( 1?+ +=A[ -1] …………… ②
第二章货币时间价值第三节 年金
① 式右端提出公因子（ 1+i），可得下式：
s=(1+i)[A+A(1+i)1+A(1+i)2+…… +A(1+i)n]
=A （ 1+i） ……………… ③ii
n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金
② 式中 [ -1]是预付年金终值系数，
记为 [（ s/A,i,n+1） -1]，与普通年金终值系数相比,期数加 1，系数减 1；
③ 式中 （ 1+i）是预付年金终值系数，
记作（ s/A,i,n）（ 1+i），是普通年金终值系数的（ 1+i）倍。
(
i
i n 1)1 1?+ +
i
i n 1)1(?+
i
i n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金例题某人连续 6年于每年年初存入银行 100 000元，
在年利率为 8％的情况下，第 6年年末可一次取出本利和为多少？
S＝ A× [ ]＝ A× [（ S/A,i,n+1） -1]
＝ 100 000× [（ S/A,8％,7） -1]
＝ 100 000× (8.9228-1)＝ 792 280元
1(1 ) 1
1
ni
i
++?
第二章货币时间价值第三节 年金预付年金现值,是指每期期初等额收付款项的复利现值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)0
A·(1+i)-1
A·(1+i)-2
A·(1+i)-(n-2)
A·(1+i)-(n-1)
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金预付 年金 现 值公式推导过程：
p=A+A(1+i)-1+A(1+i)-2+…… +A(1+i)-(n-1) …… ④
根据等比数列求和公式可得下式：
p=A· =A·[ +1]1)1(1 )1(1?
+?
+?
i
i n
i
i n )1()1(1+?
第二章货币时间价值第三节 年金
④ 式两端同乘以 (1+i)，得：
(1+i)p= A(1+i)+A+A(1+i)-1+… +A(1+i)-(n –2)
与 ④ 式相减，得：
p=A· (1+i)i i
n?+? )1(1
i·p=A(1+i)-A(1+i)-(n-1)
第二章货币时间价值第三节 年金注,上式中 [ +1]与 × (1+i)
都是预付年金现值系数，分别记作 [（ p/A,i，
n— 1） +1]和（ p/A,i,n）（ 1+i），与普通年金现值系数的关系可表述为：预付年金现值系数是普通年金现值系数 期数减 1，系数加 1；或预付年金现值系数是普通年金现值系数的（ 1+i）倍。
i
i n )1()1(1+?
i
i n?+? )1(1
第二章货币时间价值第三节 年金例题
6年分期付款购物，每年初付 200元，设银行利率为 10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
P=A× [(P/A,i,n-1)+1]
=200× (3.791+1)=958.20元第二章货币时间价值第三节 年金
3．递延年金递延年金是等额系列收付款项发生在第一期以后的年金,即最初若干期没有收付款项 。 没有收付款项的若干期称为递延期 。
…… AA
1 2 m m+1
……
m+n
A A
递延年金示意图第二章货币时间价值第三节 年金递延年金终值递延年金终值的计算与递延期无关，故递延年金终值的计算不考虑递延期。
其计算方法与普通年金终值类似。
第二章货币时间价值第三节 年金例题递延期 m＝ 3。第一次支付在第四期期末，连续支付 4次，即 n＝ 4，每次支付的金额为 100元,假定银行年利率为 10％。求递延年金的终值。
S ＝ A× （ S/A,i,n）
＝ 100× (S/A,10%,4)
＝ 100× 4.6410＝ 464.10元第二章货币时间价值第三节 年金递延年金现值：计算方法有两种第 Ⅰ 方法,是把递延年金视为 n期普通年金，求出递延期末的年金现值，然后再按复利计算到第一期的现值。
p=A× （ p/A,i,n） × （ p/s,i,m）
第 Ⅱ 方法,是假设递延期中也进行年金支付，先求出（ m＋ n）期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期（ m）的年金现值，即可得出最终结果。
p=A[（ p/A,i,m+n）－（ p/A,i,m） ]
第二章货币时间价值第三节 年金例题递延期 m＝ 3。第一次支付在第四期期末，连续支付 4次，
即 n＝ 4，每次支付的金额为 100元,假定银行年利率为
10％。求递延年金的现值。
解,第 Ⅰ 方法：
p＝ A× （ p/A,i,n） × （ p/s,i,m）
＝ 100× （ p/A,10%,4)× （ p/s,10%,3)
＝ 100× 3.1699× 0.7513＝ 238.15
第 Ⅱ 方法：
p=A[（ p/A,i,m+n） -（ p/A,i,m） ]
＝ 100× [（ p/A,10%,3+4)-(p/A,10%,3)]
＝ 100× (4.8684-2.4869)=238.15
第二章货币时间价值第三节 年金永续年金是指无限期定额支付的年金,如优先股股利,存本取息等 。
p=A·i1
4.永续年金其现值可通过普通年金现值公式推导：
p=A· i i
n?+? )1(1
当 n→∞ 时，（ 1+i）极限为零
n?
第二章货币时间价值永续年金没有终止时间，故无终值；
第三节 年金例题 1
拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发
10000元奖金，若利率为 10%，现应存入多少钱？
P=10000× =100 000元
1
10%
第二章货币时间价值第三节 年金例题 2
如果一股优先股，每季分得股息 2元，而利率是每年 6％。
对于一个准备买这种股票的人来说，他愿意出多少钱来购买此优先股？
解,①根据题意（每季分得股息 2元）：
p＝ 2÷ 1.5％＝ 133.33（元）
得：该优先股的价值是 133.33元。
②如果上述优先股息是每年 2元，而年利率 6％，该优先股的价值是：
p＝ 2÷ 6％＝ 33.33（元）
第二章货币时间价值第三节 年金第四节 复利期间和有效利率第二章货币时间价值当 1年复利若干次时，实际利率高于名义利率，二者之间的换算关系如下：
i =（ 1+ ） － 1mr m
第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率名义利率与实际利率的换算式中：
r— 给定的名义利率；
m— 一年中复利次数；
i— 实际利率；
例题如果名义利率是 12％，每月复利计息，你所拥有的 1
元投资年末价值为多少？
解,i =（ 1+ ） － 1mr m
1212%(1 ) 1
12+?
i=
=1.2682-1=0.2682
即：实际利率为 26.82％
第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率本金 名义利率复利计息次数 本利和 实际利率
1000 10％ 每年一次 1 100 10%
1000 10％ 每半年一次 1 102.50 10.25%
1000 10％ 每季度一次 1 103.61 10.381%
1000 10％ 每日一次 1 105.16 10.516%
假设本金 1000元，年利率 10％，两者关系：第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率
第二章货币时间价值第一节 基本概念首先，货币时间价值的真正来源是工人创造的剩余价值 ;
其次，货币时间价值是在生产经营中产生的 ;
最后，货币时间价值的表示形式有两种
2.货币时间价值率
1.货币时间价值额第二章货币时间价值第一节 基本概念单利,是计算利息的一种方法。单利制下，只对本金计算利息，所生利息不再计入本金重复计算利息。
第二章货币时间价值第一节 基本概念利率,是指利息与本金之比，通常指每年利息与本金之比。
复利,是计算利息的另一种方法，是指每经过一个计算期，将所生利息计入本金重复计算利息，逐期累计，俗称,利滚利,。
第二节 终值和现值第二章货币时间价值
I=p × n × i 单利利息公式,
单利终值公式,s=p × （ 1+ i × n）
单利现值公式,p= nis+1 ·
第二章货币时间价值第二节 终值和现值
P－－现值，又称期初额或本金；
i－－利率 （现值中称为贴现率）；
I－－利息；
S－－本金与利息之和，又称终值或本利和；
n－－计息期数；
单利法例题 1
某企业有一张带息期票，面额为 2000元，票面利率为 6%，出票日期 5月 20日,8月 19日到期
（共 90天），则到期时利息和终值为：
I＝ 2000× 6%× =30元
s＝ 2000× （ 1＋ 6％ × 90/360）＝ 2030元
90
360
第二章货币时间价值注：一般给出的利率为年利率。
第二节 终值和现值例题 2
接上例，假设持票企业急需用款，凭该期票于 7
月 20日到银行办理贴现，银行规定的贴现率为 8
％，该期票贴现天数为 30天，银行应付给企业的金额为：（票据贴现属单利现值计算）
解：
P=2030÷ (1＋ 8％ × 30/360)=2016.56元贴现：是一种票据转让方式，是指持票人在需要资金时，将其持有的商业汇票，经过背书转让给银行，银行从票面金额中扣除贴现利息后，
将余款支付给申请贴现人的票据行为。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值根据国际惯例，若时间在两期或两期以上，通常均按复利计算，即每期期末结息一次，并随即把利息并入本金，作为下期计息的基础。
复利的计算包括复利终值、复利现值和复利利息。
复利法第二章货币时间价值第二节 终值和现值
1．复利终值复利终值是按复利计息方式，经过若干个计息期后包括本金和利息在内的未来价值。
复利终值公式,s=p × （ 1+i） n
（ 1+i） n—— 复利终值系数或 1元复利终值，用符号 （ s/p,i,n） 表示，可通过,复利终值系数表,查得其数值。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题 1
某人有 1200元，拟投入报酬率为 8％的投资机会，经过多少年才可使现有货币增加 1倍？
S＝ 1200× 2＝ 2400元
S＝ 1200× （ 1＋ 8％） n
2400＝ 1200× （ 1＋ 8％） n
(S/P,8%,n)＝ 2
从“复利终值系数表”查得，在 i＝ 8％项下寻找 2，最接近的值为：
（ S/P,8%,9）＝ 1.999
所以,n＝ 9，即 9年后可使现有货币增加 1倍。
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题 2
假定公司决定用 40000元进行投资，希望 5年后能得到两倍半的钱用来对原生产设备进行技术改造，那么该公司在选择投资方案时，其可接受的投资报酬率应为多少？
S＝ P（ 1＋ i） n
40000× 2.5＝ 40000（ 1＋ i） 5＝ 40000（ S/P,i,5）
（ S/P,i,5）＝ ＝ 2.5
从,1元的复利终值系数表”,n＝ 5，查得 ﹤ 2.5的终值系数为 2.488,i＝ 20％,﹥ 2.5终值系数为 2.932,i＝ 24
％。即确定所求的 i必处于 20％～ 24％之间，用插入法进行测算：
得,i=20.11％
n
100000
40000
2.5 00 2.4 88 20%
2.9 32 2.4 88 24% 20%
i
第二章货币时间价值第二节 终值和现值
2．复利现值复利现值是指未来一定时期的资金按复利计算的现在价值，是复利终值的逆运算，也叫贴现。
p =s × （ 1+i） -n复利现值公式,
（ 1+i） -n称为复利现值系数或 1元复利现值，
用符号 （ p/s,i,n） 表示，可通过查,复利现值系数表,得知其数值,
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题
5年后拟得到本利和为 50 000元，年利率为 5％，
现在应存本金多少？
P＝ S× （ P/S,i,n）
＝ 50 000× （ P/S,5％,5）
＝ 50 000× 0.7835（ P/S,5%,5查复利现值系数表为 0.7835）
＝ 39 175元第二章货币时间价值第二节 终值和现值
3．复利利息复利利息是在复利计息方式下所产生的货币时间价值，即复利终值与复利现值的差额。
I=s－ p复利利息公式,
第二章货币时间价值第二节 终值和现值例题本金 1 000元，投资 5年，利率 8％，每年复利一次，其本利和与复利息是：
S＝ 1 000× （ 1＋ 8％） 5
＝ 1 000× 1.469
＝ 1 469元
I＝ 1 469－ 1 000＝ 469元第二章货币时间价值第二节 终值和现值第三节 年金第二章货币时间价值年金是指等额、定期的系列货币收支。
如 租金、利息、养老金、分期付款赊购、
分期偿还贷款等通常都采取年金的形式。
年金按发生的时点不同，可分为普通年金、
预付年金、递延年金和永续年金。
第二章货币时间价值第三节 年金
1．普通年金普通年金又称后付年金,是指 是一定时期内每期 期末 收付的年金,其计算包括终值和现值计算。
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金终值,是指每期收付款项的复利终值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)0
A·(1+i)1
A·(1+i)2
A·(1+i)n-2
A·(1+i)n-1
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金终值公式推导过程：
s=A（ 1+i)0+A（ 1+i)1+ +A（ 1+i)n-2 +A（ 1+i)n-1……
等式两端同乘以 (1+i),
(1+i)s=A(1+i)+A(1+i)2 + +A(1+i)n-1+A(1+i)n……
上述两式相减,
i·s=A(1+i)n -A s=A ii
n 1)1(?+
第二章货币时间价值式中,A— 每期期末等额收（或付）款项第三节 年金普通年金终值公式,s=A
i
i n 1)1(?+
称为普通年金终值系数或 1元年金 终值，它反映的是 1元年金在利率为 i时，
经过 n期的复利终值，用符号（ s/A,i,n）
表示，可查,年金终值系数表,得知其数值。
i
i n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金偿债基金,是指为使年金终值达到既定金额，
每年应支付的年金数额。
S＝ A×
A＝ S×
－－年金终值系数的倒数，称为 偿债基金系数,记作（ A/S,i,n）
i
i n 1)1(?+
(1 ) 1n
i
i+?
(1 ) 1n
i
i+?
第二章货币时间价值第三节 年金例题某公司董事会决定自今年起建立偿债基金，即在今后 5年内每年年末存入银行等额款项，用来偿还该公司在第六年年初到期的债务 2 000 000元。假定，银行存款利率为 9％
（每年复利一次），试问公司每年年末需存入银行多少等额款项？
解：由于第六年年初 2 000 000元，属于年金终值 S为已知，
现在要求确定每年年末存入银行的等额款项，即求年金 A
A＝ S×
查,1元的年金终值表”得知,(S/A,9%,5)＝ 5.985
所以，
A＝ 2 000 000× ＝ 334 168.76元
(1 ) 1n
i
i+?
1
5.985
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金现值,是指为每期期末取得相等金额的款项，现需投入的金额。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)-1
A·(1+i)-2
A·(1+i)-(n-2)
A·(1+i)-(n-1)
A·(1+i)-n
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金普通年金现值公式推导过程：
p=A(1+i)-1+A(1+i)-2+ +A(1+i)-(n-1)+A(1+i)-n……
等式两端同乘以 (1+i),
(1+i)p=A+A(1+i)-1 + +A(1+i)-(n-2)+A(1+i)-(n-1)……
上述两式相减,
i·p=A-A(1+i)-n p=A i
i n?+? )1(1
第二章货币时间价值第三节 年金
p=A
i
i n?+? )1(1
称为年金现值系数或 1元年金现值，它表示 1元年金在利率为 i时，经过 n
期复利的现值，记为（ p/A,i,n），可通过
,普通年金现值系数表,查得其数值。
为普通年金现值系数的倒数，称为投资回收系数 。
i
i n?+? )1(1
普通年金现值公式,
第二章货币时间价值
1 (1 ) n
i
i+
第三节 年金例题 1
某人出国 3年，请你代付房租，每年租金 100元，
设银行存款利率 10%,他应当现在给你在银行存入多少钱？
P=100× （ P/A,10%,3）
=100× 2.487
=248.70元第二章货币时间价值第三节 年金例题 2
某公司于今年年初向银行借款 200万元购买成套设备，
订立借款合同时，言明全部借款本息自今年年末起分 5
年偿清，每年年末等额支付一次，若银行借款利率为 12
％，试问该公司每年年末需还款多少？
P＝ A× （ P/A,i,n）
A=P×
＝ 2 000 000×
查,1元的年金现值系数表”得：（ P/A,12%,5）＝
3.605
A= 2 000 000× =554 785.02元
1
( /,,)P A i n
1
( /,1 2 %,5 )PA
1
3.605
第二章货币时间价值第三节 年金
2,预付 年金预付年金 是 指每期期初等额支付的年金，又称即付年金或先付年金。
第二章货币时间价值第三节 年金预付年金终值,是指每期期初等额收付款项的复利终值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)1
A·(1+i)2
A·(1+i)n-2
A·(1+i)n-1
A·(1+i)n
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金预付 年金终值公式推导过程：
s=A(1+i)1+A(1+i)2+ +A(1+i)n ①…… ………
根据等比数列求和公式可得下式：
s= )1(1 ])1(1)[1( i iiA
n
+?
+?+
i
i n 1)1( 1?+ +=A[ -1] …………… ②
第二章货币时间价值第三节 年金
① 式右端提出公因子（ 1+i），可得下式：
s=(1+i)[A+A(1+i)1+A(1+i)2+…… +A(1+i)n]
=A （ 1+i） ……………… ③ii
n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金
② 式中 [ -1]是预付年金终值系数，
记为 [（ s/A,i,n+1） -1]，与普通年金终值系数相比,期数加 1，系数减 1；
③ 式中 （ 1+i）是预付年金终值系数，
记作（ s/A,i,n）（ 1+i），是普通年金终值系数的（ 1+i）倍。
(
i
i n 1)1 1?+ +
i
i n 1)1(?+
i
i n 1)1(?+
第二章货币时间价值第三节 年金例题某人连续 6年于每年年初存入银行 100 000元，
在年利率为 8％的情况下，第 6年年末可一次取出本利和为多少？
S＝ A× [ ]＝ A× [（ S/A,i,n+1） -1]
＝ 100 000× [（ S/A,8％,7） -1]
＝ 100 000× (8.9228-1)＝ 792 280元
1(1 ) 1
1
ni
i
++?
第二章货币时间价值第三节 年金预付年金现值,是指每期期初等额收付款项的复利现值之和。
计算示意图
…………A A A A A
A·(1+i)0
A·(1+i)-1
A·(1+i)-2
A·(1+i)-(n-2)
A·(1+i)-(n-1)
1 2 n-1 n
第二章货币时间价值第三节 年金预付 年金 现 值公式推导过程：
p=A+A(1+i)-1+A(1+i)-2+…… +A(1+i)-(n-1) …… ④
根据等比数列求和公式可得下式：
p=A· =A·[ +1]1)1(1 )1(1?
+?
+?
i
i n
i
i n )1()1(1+?
第二章货币时间价值第三节 年金
④ 式两端同乘以 (1+i)，得：
(1+i)p= A(1+i)+A+A(1+i)-1+… +A(1+i)-(n –2)
与 ④ 式相减，得：
p=A· (1+i)i i
n?+? )1(1
i·p=A(1+i)-A(1+i)-(n-1)
第二章货币时间价值第三节 年金注,上式中 [ +1]与 × (1+i)
都是预付年金现值系数，分别记作 [（ p/A,i，
n— 1） +1]和（ p/A,i,n）（ 1+i），与普通年金现值系数的关系可表述为：预付年金现值系数是普通年金现值系数 期数减 1，系数加 1；或预付年金现值系数是普通年金现值系数的（ 1+i）倍。
i
i n )1()1(1+?
i
i n?+? )1(1
第二章货币时间价值第三节 年金例题
6年分期付款购物，每年初付 200元，设银行利率为 10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
P=A× [(P/A,i,n-1)+1]
=200× (3.791+1)=958.20元第二章货币时间价值第三节 年金
3．递延年金递延年金是等额系列收付款项发生在第一期以后的年金,即最初若干期没有收付款项 。 没有收付款项的若干期称为递延期 。
…… AA
1 2 m m+1
……
m+n
A A
递延年金示意图第二章货币时间价值第三节 年金递延年金终值递延年金终值的计算与递延期无关，故递延年金终值的计算不考虑递延期。
其计算方法与普通年金终值类似。
第二章货币时间价值第三节 年金例题递延期 m＝ 3。第一次支付在第四期期末，连续支付 4次，即 n＝ 4，每次支付的金额为 100元,假定银行年利率为 10％。求递延年金的终值。
S ＝ A× （ S/A,i,n）
＝ 100× (S/A,10%,4)
＝ 100× 4.6410＝ 464.10元第二章货币时间价值第三节 年金递延年金现值：计算方法有两种第 Ⅰ 方法,是把递延年金视为 n期普通年金，求出递延期末的年金现值，然后再按复利计算到第一期的现值。
p=A× （ p/A,i,n） × （ p/s,i,m）
第 Ⅱ 方法,是假设递延期中也进行年金支付，先求出（ m＋ n）期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期（ m）的年金现值，即可得出最终结果。
p=A[（ p/A,i,m+n）－（ p/A,i,m） ]
第二章货币时间价值第三节 年金例题递延期 m＝ 3。第一次支付在第四期期末，连续支付 4次，
即 n＝ 4，每次支付的金额为 100元,假定银行年利率为
10％。求递延年金的现值。
解,第 Ⅰ 方法：
p＝ A× （ p/A,i,n） × （ p/s,i,m）
＝ 100× （ p/A,10%,4)× （ p/s,10%,3)
＝ 100× 3.1699× 0.7513＝ 238.15
第 Ⅱ 方法：
p=A[（ p/A,i,m+n） -（ p/A,i,m） ]
＝ 100× [（ p/A,10%,3+4)-(p/A,10%,3)]
＝ 100× (4.8684-2.4869)=238.15
第二章货币时间价值第三节 年金永续年金是指无限期定额支付的年金,如优先股股利,存本取息等 。
p=A·i1
4.永续年金其现值可通过普通年金现值公式推导：
p=A· i i
n?+? )1(1
当 n→∞ 时，（ 1+i）极限为零
n?
第二章货币时间价值永续年金没有终止时间，故无终值；
第三节 年金例题 1
拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发
10000元奖金，若利率为 10%，现应存入多少钱？
P=10000× =100 000元
1
10%
第二章货币时间价值第三节 年金例题 2
如果一股优先股，每季分得股息 2元，而利率是每年 6％。
对于一个准备买这种股票的人来说，他愿意出多少钱来购买此优先股？
解,①根据题意（每季分得股息 2元）：
p＝ 2÷ 1.5％＝ 133.33（元）
得：该优先股的价值是 133.33元。
②如果上述优先股息是每年 2元，而年利率 6％，该优先股的价值是：
p＝ 2÷ 6％＝ 33.33（元）
第二章货币时间价值第三节 年金第四节 复利期间和有效利率第二章货币时间价值当 1年复利若干次时，实际利率高于名义利率，二者之间的换算关系如下：
i =（ 1+ ） － 1mr m
第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率名义利率与实际利率的换算式中：
r— 给定的名义利率；
m— 一年中复利次数；
i— 实际利率；
例题如果名义利率是 12％，每月复利计息，你所拥有的 1
元投资年末价值为多少？
解,i =（ 1+ ） － 1mr m
1212%(1 ) 1
12+?
i=
=1.2682-1=0.2682
即：实际利率为 26.82％
第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率本金 名义利率复利计息次数 本利和 实际利率
1000 10％ 每年一次 1 100 10%
1000 10％ 每半年一次 1 102.50 10.25%
1000 10％ 每季度一次 1 103.61 10.381%
1000 10％ 每日一次 1 105.16 10.516%
假设本金 1000元，年利率 10％，两者关系：第二章货币时间价值第四节 复利期间和有效利率
