第4章 相量分析法在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路（即教材第9章所讨论的非正弦周期电流电路）。
相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
本章的学习重点：
正弦量的相量表示法；
相量分析法的解题思路；
复功率及有功功率、无功功率、视在功率。
4．1 复数及其运算
1、学习指导
（1）复数及其表示方法复数A是复平面上的一个点，复数A在实轴上的投影a1是它的实部数值，复数在虚轴上的投影a2是它的虚部数值，由实部和虚部构成复数的代数形式a1+ja2；复数到坐标原点的线段长度是复数的模值a，复数与正向实轴之间的夹角是复数的幅角，由模和幅角可以表示为复数的指数形式和极坐标形式；复数的代数形式和极坐标形式（或指数形式）之间可以相互转换，复数代数形式的虚部和实部数值与极坐标形式的模值和幅角之间的关系为：
和；
复数代数形式化为极坐标形式时的转换公式为：
和
（2）复数运算法则复数加、减运算时应用代数形式进行；复数乘除运算时应用极坐标形式进行。复数运算中要特别注意正确判断复数的幅角在第几象限。
2、学习检验结果解析
（1）已知：复数A＝4+j5，B=6-j2。试求A+B，A－B，AⅹB和A÷B。
解析：复数的加、减法一般采用复数的代数形式比较方便，即
A＋B＝（4＋6）＋j[5＋（－2）]＝10＋j3
A－B＝（4－6）＋j[5－（－2）]＝－2＋j7
复数的乘、除法一般采用复数的极坐标形式比较方便，即
A＝4+j5＝6.4/51.3° B＝5－j2＝5.39/78.7°
A×B＝6.4/51.3°×5.39/－78.7°＝6.4×5.39/51.3°＋(－78.7°)≈34.5/－27.4°
A÷B＝6.4/51.3°÷5.39/－78.7°＝6.4÷5.39/51.3°－(－78.7°)≈1.19/130°
（2）已知：复数A=17/24°和B=6/－65°，试求A＋B，A－B，A×B和A÷B。
解析,A＝17/24°≈15.5＋j6.91 B＝6/－65°≈2.54－j5.44
A＋B＝（15.5＋2.54）＋j（6.91－5.44）＝18.04＋j1.47
A－B＝（15.5－2.54）＋j[6.91－（－5.44）]＝12.96＋j12.35
A×B＝17/24°×6/－65°＝17×6/24°＋(－65°) ＝102/－41°
A÷B＝17/24°÷6/－65°＝17÷6/24°－(－65°)≈2.83/89°
4．2 相量和复阻抗
1、学习指导
（1）同频率正弦量的表示由于在一个正弦稳态电路中，所有变量都是同频率的正弦量，且几个同频率正弦量加减乘除的结果仍是一个同频率的正弦量。受这种启发，我们在对一个正弦稳态电路进行分析研究时，完全可以不考虑各正弦量的频率，只由正弦量的振幅和初相就可以确定其中的任意一个正弦量，由此引入了正弦量的相量表示法。
（2）正弦量的相量用复数的模值对应地表示正弦量的振幅（或有效值）；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说，正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。为区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“·”。值得注意的是，一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量频率相同而省掉了频率而已（如上面1.所述）。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。
（3）复阻抗复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。依此类推可得：RL串联电路的复阻抗为：R+jXL；RLC串联电路的复阻抗为：R+j（XL－XC）。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。
2、学习检验结果解析
（1）指出下列各式的错误并改正：
（1）
（2）
（3）
解析：（1）式中解析式是不等于相量式的，电压的单位是V而不是A，应改为
（2）式中解析式不等于相量式，应改为
（3）式中电压的有效值符号应改为相量符号，即
2．把下列正弦量表示为有效值相量：
（1）A
（2）V
（3）V
解析：
4．3 相量分析法
1、学习指导
（1）相量分析法需要把握的要点当把一个正弦交流电路的所有变量都用相量来表示，电路中各元件的阻抗均化为复数表示的阻抗形式（简称为复阻抗），则任何一个正弦交流稳态电路的响应都可以采用前面所介绍的、直流电路中应用的定理、定律和分析法进行求解，这就是相量分析法。利用相量法分析来计算正弦交流电路，能将复杂的三角运算变换成较为简单的复数的代数运算。学习相量分析法，作好相量图是分析解决问题的关键环节，也是一种基本的技能训练。在正弦稳态电路的分析中，利用相量图的帮助来分析和解决实际问题的例子很多，相量图不仅能形象地表征出电路中各量间的数量和相位关系，有时通过对相量图能把隐含的问题浅显化，藉助相量图往往可以方便地定性分析电路中的某些特性，使复杂问题从相量图的分析中显示的一目了然，甚至能够起着四两拨千斤的效果。
（2）RLC串联电路的相量模型分析相量分析法中，借助相量图分析电路很关键。相量图的画法，可根据具体问题的不同，选择合适的一个电路变量作为参考相量，串联电路的参考相量一般选用电流相量，再根据各元件上电压与电流的相位关系定性地画出各电压，各电压比例尺应相同，由这样的相量图可把各元件电压之间的相位关系和数量关系、各电压与电流之间的相位关系一目了然。注意相量图分析中只有电压三角形是相量图，阻抗三角形不是相量图，它只反映了各元件参数的数量关系。
（3）RLC并联电路的相量模型分析正弦并联电路采用相量分析法解题时，一般选取电压为电路的参考相量。然后根据R、L、C单个元件上的电压、电流关系，确定电路中其余变量的相量与参考相量之间的对应关系；最后运用矢量图遵循的平行四边形法则或多角形法则，定性地画出电路的相量图，根据相量图分析各参数之间的关系，依据电路方程求出电路响应。
2、学习检验结果解析
（1）一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V正弦电源上，可以用一个电阻、或一个电感、或一个电容和它串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到220V直流电源上，这三种情况的后果分别如何？
解析：这盏白炽灯的灯丝电阻为
把它接在50Hz、220V正弦电源上和一个电阻相串联时，所串联电阻的阻值应与灯丝电阻相同，即R=202Ω；换接在直流上时情况不变。
白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电感相串联时，其电感的数值为
白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电容相串联时，其电容的电容量为
2．判断下列结论的正确性：
（1）RLC串联电路：
（2）RLC并联电路：
解析：（1）中的电压解析式是错误的。只能根据阻抗和电流有效值的乘积来决定电压有效值，根据电流初相和阻抗角决定电压的初相，而不能直接将复阻抗与电流解析式相乘。
（2）式的两个表达式都是错误的，第1个式子少写了复导纳虚部符号j；2式虚部中的两项位置应倒过来。
4．4 复功率
1、学习指导
（1）复功率本章在对正弦交流电路的功率进行讨论时，引入了复功率的概念，复功率的实部在数值上等于电路中的有功功率P，复功率的虚部在数值等于电路的无功功率Q，复功率的模值等于正弦交流电路中的视在功率S。要注意的是，电路中各个元件上的有功功率可以相加，无功功率可以相加减，但电路各部分的视在功率一般不能直接相加减，其中原因由读者自己考虑。
（2）功率因数的提高由对功率的讨论我们引入了提高功率因数的问题。提高功率因数是指提高线路总电压与总电流之间的相位差的余弦值。应明确，用并联电容法提高功率因数，对感性负载本身的功率因数是没有影响的，提高的是我们所研究的整个二端网络的功率因数。
2、学习检验结果解析
（1）RL串联电路接到220V的直流电源时功率为1.2KW，接到220V的工频电源时功率为0.6kW，试求它的R、L。
解析：直流下L相当于短路，因此根据接到直流电源上的数值可求得电阻
根据在工频交流电时的数据可求得电感
2．下列结论是否正确？（1）； （2）。
解析：两式均是错误的，复功率等于复电压和复电流共轭复数的乘积。
3．已知无源一端口
（1）；
（2）；
试求：复阻抗、阻抗角、复功率、视在功率、有功功率、无功功率和功率因数。
解析：（1）
（2）
第4章 章后习题解析
4.1已知RL串联电路的端电压V，通过它的电流I=5A且滞后电压45°，求电路的参数R和L各为多少？
解：
4.2 已知一线圈在工频50V情况下测得通过它的电流为1A，在100Hz、50V下测得电流为0.8A，求线圈的参数R和L各为多少？
解：|Z|50＝50÷1＝50Ω,|Z|100＝50÷0.8＝62.5Ω
据题意可列出方程组如下
4.3 电阻R=40Ω，和一个25微法的电容器相串联后接到V的电源上。试求电路中的电流并画出相量图。
解：
画出电压、电流相量示意图如右图所示。
4.4 电路如图4.17所示。已知电容C=0.1μF，输入电压U1=5V，f=50Hz，若使输出电压U2滞后输入电压60°，问电路中电阻应为多大？
解：根据电路图可画出相量示意图如图所示，由相量图中的电压三角形又可导出阻抗三角形，由阻抗三角形可得
电路中电阻约为55KΩ。
4.5 已知RLC串联电路的参数为R=20Ω，L=0.1H，C=30μF，当信号频率分别为50Hz、1000Hz时，电路的复阻抗各为多少？两个频率下电路的性质如何？
解：①当信号频率为50Hz时
②当信号频率为1000Hz时
4.6 已知RLC串联电路中，电阻R=16Ω，感抗XL=30Ω，容抗XC=18Ω，电路端电压为220V，试求电路中的有功功率P、无功功率Q、视在功率S及功率因数。
解,
电路中的有功功率为1936W，无功功率为1452var，视在功率为2420VA，功率因数为0.8。
4.7 已知正弦交流电路中Z1=30+j40Ω，Z2=8－j6Ω，并联后接入V的电源上。求各支路电流，作电路相量图。
解,
作出相量图如图示。
4.8已知图4.18（a）中电压表读数V1为 30V；V2为 60V。图（b）中电压表读数V1为15V；V2为 80V；V3为 100V。求图中电压US。
解：（a）图 V
（b）图 V
4.9 已知图4.19所示正弦电流电路中电流表的读数分别为A1=5A；A2=20A；A3= 25A。求(1)电流表A的读数；(2)如果维持电流表A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。
解：（1）电流表A的读数即电路中总电流，即
A
（2）频率提高一倍时，感抗增大一倍而使得通过电感的电流减半，即A2读数为10A；容抗则减半而使通过电容的电流加倍，即A3读数为50A。所以总电流表A的读数为
A
4.10 已知图4.20所示电路中，求电压，并作相量图。
解：
4.11 已知图4.21示电路中Z1＝j60Ω，各交流电压表的读数分别为V=100V； V1=171V； V2=240V。求阻抗Z2。
解：由KVL定律可知，三个电压可构成一个电压三角形，对这个电压三角形可运用余弦定理求出电压U1和总电压U之间的夹角θ（如相量图示）为：
由相量图可看出，由于Z2端电压滞后于电流，所以推出阻抗Z2是一个容性设备，又由Z1＝j60Ω可知，Z1是一个纯电感元件，设电路中电流为参考相量，则
4.12 已知图4.22所示电路中Ｕ＝8V，Z=（1－j0.5）Ω，Z1＝（1+j1） Ω，Z2＝（3-j1）Ω。求各支路的电流和电路的输入导纳，画出电路的相量图。
解：
4.13 图4.23所示电路中，IS＝10A，ω＝5000rad/s，R1＝R2＝10Ω,C=10μF,μ= 0.5。求各支路电流，并作相量图。
解：
对右回路列KVL方程
解得
4.14 已知如图4.24所示电路中，R1=100Ω，L1=1H，R2=200 Ω，L2=1H，电流I2=0，电压US=100V，,ω=100rad/s，求其它各支路电流。
解：电流I2=0，说明电路中A、B两点等电位，电源电压激发的电流沿R1、jωL1流动，即
4.15 试求图4.25所示电路二端网络的戴维南等效电路。
解：（a）图：
有源二端网络对外部电路相当于开路。
（b）图：
4.16 求图4.26所示电路中R2的端电压。
解：对左回路列KVL方程（顺时针绕行），有
4.17 图4.27所示电路中，Z1＝(10＋j50)Ω，Z2＝-j50Ω。求Z1、Z2吸收的复功率。
解：
4.18 图4.28所示电路中，U＝20V，Z1＝3＋j4Ω，开关S合上前、后的有效值相等，开关合上后的与同相。试求Z2，并作相量图。
解：开关S合上前、后的有效值相等，说明电路总阻抗的模值等于Z1支路的阻抗模值；开关合上后的与同相，说明Z1、Z2两阻抗虚部的数值相等且性质相反，因此
且
即
得 G2=0.08
所以
且
4.19 图4.29所示电路中，R1=5Ω，R2= XL，端口电压为100V，XC的电流为10A，R2的电流为10A。试求XC、R2、XL。
解：设并联支路端电压为参考相量，则
因为并联支路端电压初相为零，所以总电压初相也为零，即U并=100－50=50V，因此
即 R2=2.5Ω,XL=2.5Ω。
4.20 有一个U＝220V、P=40W、的日光灯，为了提高功率因数，并联一个C＝4.75μF的电容器，试求并联电容后电路的电流和功率因数（电源频率为50Hz）。
解：并联电容支路电流为
原功率因数角
原日光灯电路电流的无功分量为
并电容后补偿的是日光灯电路电流的无功分量，所以
解得并联电容后电路的电流和功率因数分别为
I=0.186A,
4.21 功率为 60W，功率因数为0.5的日光灯负载与功率为 100W的白炽灯各 50只并联在 220V的正弦电源上（电源频率为50Hz）。如果要把电路的功率因数提高到0.92，应并联多大的电容？
解：设电源电压为参考相量。日光灯电路、白炽灯电路中的电流分别为
电路中的总电流为
并联电容器以后，电路的总有功功率不变，则总电流减少为
画出电路相量图进行分析：
试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1、与正弦量具有一一对应关系的复数电压、复数电流称之为 。最大值 的模对应于正弦量的 值，有效值 的模对应正弦量的 值，它们的幅角对应正弦量的 。
2、单一电阻元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；单一电感元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；单一电容元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电感相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电容相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电感电容相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= 。
3、单一电阻元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；单一电感元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；单一电容元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；电阻电感电容相并联的正弦交流电路中，复导纳Y= 。
4、按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为 图。
5、相量分析法，就是把正弦交流电路用相量模型来表示，其中正弦量用 代替，R、L、C电路参数用对应的 表示，则直流电阻性电路中所有的公式定律均适用于对相量模型的分析，只是计算形式以 运算代替了代数运算。
6、有效值相量图中，各相量的线段长度对应了正弦量的 值，各相量与正向实轴之间的夹角对应正弦量的 。相量图直观地反映了各正弦量之间的 关系和 关系。
7,三角形是相量图，因此可定性地反映各电压相量之间的 关系及相位关系,三角形和 三角形不是相量图，因此它们只能定性地反映各量之间的 关系。
8、R、L、C串联电路中，电路复阻抗虚部大于零时，电路呈 性；若复阻抗虚部小于零时，电路呈 性；当电路复阻抗的虚部等于零时，电路呈 性，此时电路中的总电压和电流相量在相位上呈 关系，称电路发生串联 。
9、R、L、C并联电路中，电路复导纳虚部大于零时，电路呈 性；若复导纳虚部小于零时，电路呈 性；当电路复导纳的虚部等于零时，电路呈 性，此时电路中的总电流、电压相量在相位上呈 关系，称电路发生并联 。
10、R、L串联电路中，测得电阻两端电压为120V，电感两端电压为160V，则电路总电压是 V。
11、R、L、C并联电路中，测得电阻上通过的电流为3A，电感上通过的电流为8A，电容元件上通过的电流是4A，总电流是 A，电路呈 性。
12、复功率的实部是 功率，单位是 ；复功率的虚部是 功率，单位是 ；复功率的模对应正弦交流电路的 功率，单位是 。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、正弦量可以用相量来表示，因此相量等于正弦量。 （ ）
2、几个复阻抗相加时，它们的和增大；几个复阻抗相减时，其差减小。 （ ）
3、串联电路的总电压超前电流时，电路一定呈感性。 （ ）
4、并联电路的总电流超前路端电压时，电路应呈感性。 （ ）
5、电感电容相串联，UL=120V，UC=80V，则总电压等于200V。 （ ）
6、电阻电感相并联，IR=3A，IL=4A，则总电流等于5A。 （ ）
7、提高功率因数，可使负载中的电流减小，因此电源利用率提高。 （ ）
8、避免感性设备的空载，减少感性设备的轻载，可自然提高功率因数。 （ ）
9、只要在感性设备两端并联一电容器，即可提高电路的功率因数。 （ ）
10、视在功率在数值上等于电路中有功功率和无功功率之和。 （ ）
三、单项选择题（建议每小题2分）
1、标有额定值为“220V、100W”和“220V、25W”白炽灯两盏，将其串联后接入220V工频交流电源上，其亮度情况是（ ）
A、100W的灯泡较亮 B、25W的灯泡较亮 C、两只灯泡一样亮
2、在RL串联的交流电路中，R上端电压为16V，L上端电压为12V，则总电压为（ ）
A、28V B、20V C、4V
3、R、L串联的正弦交流电路中，复阻抗为（ ）
A、 B、 C、
4、已知电路复阻抗Z＝（3－j4）Ω，则该电路一定呈（ ）
A、感性 B、容性 C、阻性
5、电感、电容相串联的正弦交流电路，消耗的有功功率为（ ）
A、UI B、I2X C、0
6、在右图所示电路中，R＝XL＝XC，并已知安培表A1的读数为3A，则安培表A2、A3的读数应为（ ）
A、1A、1A B、3A、0A C、4.24A、3A
7、每只日光灯的功率因数为0.5，当N只日光灯相并联时，总的功率因数（ ）；若再与M只白炽灯并联，则总功率因数（ ）
A、大于0.5 B、小于0.5 C、等于0.5
8、日光灯电路的灯管电压与镇流器两端电压和电路总电压的关系为（ ）
A、两电压之和等于总电压 B、两电压的相量和等于总电压
四、简答题（建议每小题3～5分）
1、额定电压相同、额定功率不等的两个白炽灯，能否串联使用？
2、试述提高功率因数的意义和方法。
3、相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？
4、电压、电流相位如何时只吸收有功功率？只吸收无功功率时二者相位又如何？
5、阻抗三角形和功率三角形是相量图吗？电压三角形呢？
6、并联电容器可以提高电路的功率因数，并联电容器的容量越大，功率因数是否被提得越高？为什么？会不会使电路的功率因数为负值？是否可以用串联电容器的方法提高功率因数？
五、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、RL串联电路接到220V的直流电源时功率为1.2KW，接在220V、50 Hz的电源时功率为0.6KW，试求它的R、L值。
2、已知交流接触器的线圈电阻为200Ω，电感量为7.3H，接到工频220V的电源上。求线圈中的电流I=?如果误将此接触器接到U=220V的直流电源上，线圈中的电流又为多少？如果此线圈允许通过的电流为0.1A，将产生什么后果？
3、在电扇电动机中串联一个电感线圈可以降低电动机两端的电压，从而达到调速的目的。已知电动机电阻为190Ω，感抗为260Ω，电源电压为工频220V。现要使电动机上的电压降为180V，求串联电感线圈的电感量L'应为多大(假定此线圈无损耗电阻)？能否用串联电阻来代替此线圈？试比较两种方法的优缺点。
4、已知右图所示电路中，R＝XC＝10Ω，UAB＝UBC，且电路中路端电压与总电流同相，求复阻抗Z。
5、下图所示电路中，已知Z＝(30＋j30)Ω，jXL＝j10Ω，又知UZ=85V，求路端电压有效值U＝？
6、在下图所示电路中，已知u＝141.4cos314tV，电流有效值I＝IC＝IL，电路消耗的有功功率为866W，求i、iL、iC。
7、已知感性负载两端电压u＝311cos314tV，，测得电路中的有功功率为7.5KW，无功功率为5.5KVar，试求感性负载的功率因数及其串联和并联等效参数。
8、在下图所示电路中，已知复阻抗Z2＝j60Ω，各交流电压的有效值分别为：US=100V，U1＝171V，U2＝240V，求复阻抗Z1。
9、如下图所示电路中，已知电路中电流I2＝2A，US＝7.07V，求电路中总电流I、电感元件电压两端电压UL及电压源US与总电流之间的相位差角。
10、电路如图所示。已知mA，C= 100pF，L=100μH，电路消耗的功率P=100mW，试求电阻R和电压u（t）。
相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
本章的学习重点：
正弦量的相量表示法；
相量分析法的解题思路；
复功率及有功功率、无功功率、视在功率。
4．1 复数及其运算
1、学习指导
（1）复数及其表示方法复数A是复平面上的一个点，复数A在实轴上的投影a1是它的实部数值，复数在虚轴上的投影a2是它的虚部数值，由实部和虚部构成复数的代数形式a1+ja2；复数到坐标原点的线段长度是复数的模值a，复数与正向实轴之间的夹角是复数的幅角，由模和幅角可以表示为复数的指数形式和极坐标形式；复数的代数形式和极坐标形式（或指数形式）之间可以相互转换，复数代数形式的虚部和实部数值与极坐标形式的模值和幅角之间的关系为：
和；
复数代数形式化为极坐标形式时的转换公式为：
和
（2）复数运算法则复数加、减运算时应用代数形式进行；复数乘除运算时应用极坐标形式进行。复数运算中要特别注意正确判断复数的幅角在第几象限。
2、学习检验结果解析
（1）已知：复数A＝4+j5，B=6-j2。试求A+B，A－B，AⅹB和A÷B。
解析：复数的加、减法一般采用复数的代数形式比较方便，即
A＋B＝（4＋6）＋j[5＋（－2）]＝10＋j3
A－B＝（4－6）＋j[5－（－2）]＝－2＋j7
复数的乘、除法一般采用复数的极坐标形式比较方便，即
A＝4+j5＝6.4/51.3° B＝5－j2＝5.39/78.7°
A×B＝6.4/51.3°×5.39/－78.7°＝6.4×5.39/51.3°＋(－78.7°)≈34.5/－27.4°
A÷B＝6.4/51.3°÷5.39/－78.7°＝6.4÷5.39/51.3°－(－78.7°)≈1.19/130°
（2）已知：复数A=17/24°和B=6/－65°，试求A＋B，A－B，A×B和A÷B。
解析,A＝17/24°≈15.5＋j6.91 B＝6/－65°≈2.54－j5.44
A＋B＝（15.5＋2.54）＋j（6.91－5.44）＝18.04＋j1.47
A－B＝（15.5－2.54）＋j[6.91－（－5.44）]＝12.96＋j12.35
A×B＝17/24°×6/－65°＝17×6/24°＋(－65°) ＝102/－41°
A÷B＝17/24°÷6/－65°＝17÷6/24°－(－65°)≈2.83/89°
4．2 相量和复阻抗
1、学习指导
（1）同频率正弦量的表示由于在一个正弦稳态电路中，所有变量都是同频率的正弦量，且几个同频率正弦量加减乘除的结果仍是一个同频率的正弦量。受这种启发，我们在对一个正弦稳态电路进行分析研究时，完全可以不考虑各正弦量的频率，只由正弦量的振幅和初相就可以确定其中的任意一个正弦量，由此引入了正弦量的相量表示法。
（2）正弦量的相量用复数的模值对应地表示正弦量的振幅（或有效值）；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说，正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。为区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“·”。值得注意的是，一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量频率相同而省掉了频率而已（如上面1.所述）。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。
（3）复阻抗复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。依此类推可得：RL串联电路的复阻抗为：R+jXL；RLC串联电路的复阻抗为：R+j（XL－XC）。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。
2、学习检验结果解析
（1）指出下列各式的错误并改正：
（1）
（2）
（3）
解析：（1）式中解析式是不等于相量式的，电压的单位是V而不是A，应改为
（2）式中解析式不等于相量式，应改为
（3）式中电压的有效值符号应改为相量符号，即
2．把下列正弦量表示为有效值相量：
（1）A
（2）V
（3）V
解析：
4．3 相量分析法
1、学习指导
（1）相量分析法需要把握的要点当把一个正弦交流电路的所有变量都用相量来表示，电路中各元件的阻抗均化为复数表示的阻抗形式（简称为复阻抗），则任何一个正弦交流稳态电路的响应都可以采用前面所介绍的、直流电路中应用的定理、定律和分析法进行求解，这就是相量分析法。利用相量法分析来计算正弦交流电路，能将复杂的三角运算变换成较为简单的复数的代数运算。学习相量分析法，作好相量图是分析解决问题的关键环节，也是一种基本的技能训练。在正弦稳态电路的分析中，利用相量图的帮助来分析和解决实际问题的例子很多，相量图不仅能形象地表征出电路中各量间的数量和相位关系，有时通过对相量图能把隐含的问题浅显化，藉助相量图往往可以方便地定性分析电路中的某些特性，使复杂问题从相量图的分析中显示的一目了然，甚至能够起着四两拨千斤的效果。
（2）RLC串联电路的相量模型分析相量分析法中，借助相量图分析电路很关键。相量图的画法，可根据具体问题的不同，选择合适的一个电路变量作为参考相量，串联电路的参考相量一般选用电流相量，再根据各元件上电压与电流的相位关系定性地画出各电压，各电压比例尺应相同，由这样的相量图可把各元件电压之间的相位关系和数量关系、各电压与电流之间的相位关系一目了然。注意相量图分析中只有电压三角形是相量图，阻抗三角形不是相量图，它只反映了各元件参数的数量关系。
（3）RLC并联电路的相量模型分析正弦并联电路采用相量分析法解题时，一般选取电压为电路的参考相量。然后根据R、L、C单个元件上的电压、电流关系，确定电路中其余变量的相量与参考相量之间的对应关系；最后运用矢量图遵循的平行四边形法则或多角形法则，定性地画出电路的相量图，根据相量图分析各参数之间的关系，依据电路方程求出电路响应。
2、学习检验结果解析
（1）一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V正弦电源上，可以用一个电阻、或一个电感、或一个电容和它串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到220V直流电源上，这三种情况的后果分别如何？
解析：这盏白炽灯的灯丝电阻为
把它接在50Hz、220V正弦电源上和一个电阻相串联时，所串联电阻的阻值应与灯丝电阻相同，即R=202Ω；换接在直流上时情况不变。
白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电感相串联时，其电感的数值为
白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电容相串联时，其电容的电容量为
2．判断下列结论的正确性：
（1）RLC串联电路：
（2）RLC并联电路：
解析：（1）中的电压解析式是错误的。只能根据阻抗和电流有效值的乘积来决定电压有效值，根据电流初相和阻抗角决定电压的初相，而不能直接将复阻抗与电流解析式相乘。
（2）式的两个表达式都是错误的，第1个式子少写了复导纳虚部符号j；2式虚部中的两项位置应倒过来。
4．4 复功率
1、学习指导
（1）复功率本章在对正弦交流电路的功率进行讨论时，引入了复功率的概念，复功率的实部在数值上等于电路中的有功功率P，复功率的虚部在数值等于电路的无功功率Q，复功率的模值等于正弦交流电路中的视在功率S。要注意的是，电路中各个元件上的有功功率可以相加，无功功率可以相加减，但电路各部分的视在功率一般不能直接相加减，其中原因由读者自己考虑。
（2）功率因数的提高由对功率的讨论我们引入了提高功率因数的问题。提高功率因数是指提高线路总电压与总电流之间的相位差的余弦值。应明确，用并联电容法提高功率因数，对感性负载本身的功率因数是没有影响的，提高的是我们所研究的整个二端网络的功率因数。
2、学习检验结果解析
（1）RL串联电路接到220V的直流电源时功率为1.2KW，接到220V的工频电源时功率为0.6kW，试求它的R、L。
解析：直流下L相当于短路，因此根据接到直流电源上的数值可求得电阻
根据在工频交流电时的数据可求得电感
2．下列结论是否正确？（1）； （2）。
解析：两式均是错误的，复功率等于复电压和复电流共轭复数的乘积。
3．已知无源一端口
（1）；
（2）；
试求：复阻抗、阻抗角、复功率、视在功率、有功功率、无功功率和功率因数。
解析：（1）
（2）
第4章 章后习题解析
4.1已知RL串联电路的端电压V，通过它的电流I=5A且滞后电压45°，求电路的参数R和L各为多少？
解：
4.2 已知一线圈在工频50V情况下测得通过它的电流为1A，在100Hz、50V下测得电流为0.8A，求线圈的参数R和L各为多少？
解：|Z|50＝50÷1＝50Ω,|Z|100＝50÷0.8＝62.5Ω
据题意可列出方程组如下
4.3 电阻R=40Ω，和一个25微法的电容器相串联后接到V的电源上。试求电路中的电流并画出相量图。
解：
画出电压、电流相量示意图如右图所示。
4.4 电路如图4.17所示。已知电容C=0.1μF，输入电压U1=5V，f=50Hz，若使输出电压U2滞后输入电压60°，问电路中电阻应为多大？
解：根据电路图可画出相量示意图如图所示，由相量图中的电压三角形又可导出阻抗三角形，由阻抗三角形可得
电路中电阻约为55KΩ。
4.5 已知RLC串联电路的参数为R=20Ω，L=0.1H，C=30μF，当信号频率分别为50Hz、1000Hz时，电路的复阻抗各为多少？两个频率下电路的性质如何？
解：①当信号频率为50Hz时
②当信号频率为1000Hz时
4.6 已知RLC串联电路中，电阻R=16Ω，感抗XL=30Ω，容抗XC=18Ω，电路端电压为220V，试求电路中的有功功率P、无功功率Q、视在功率S及功率因数。
解,
电路中的有功功率为1936W，无功功率为1452var，视在功率为2420VA，功率因数为0.8。
4.7 已知正弦交流电路中Z1=30+j40Ω，Z2=8－j6Ω，并联后接入V的电源上。求各支路电流，作电路相量图。
解,
作出相量图如图示。
4.8已知图4.18（a）中电压表读数V1为 30V；V2为 60V。图（b）中电压表读数V1为15V；V2为 80V；V3为 100V。求图中电压US。
解：（a）图 V
（b）图 V
4.9 已知图4.19所示正弦电流电路中电流表的读数分别为A1=5A；A2=20A；A3= 25A。求(1)电流表A的读数；(2)如果维持电流表A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。
解：（1）电流表A的读数即电路中总电流，即
A
（2）频率提高一倍时，感抗增大一倍而使得通过电感的电流减半，即A2读数为10A；容抗则减半而使通过电容的电流加倍，即A3读数为50A。所以总电流表A的读数为
A
4.10 已知图4.20所示电路中，求电压，并作相量图。
解：
4.11 已知图4.21示电路中Z1＝j60Ω，各交流电压表的读数分别为V=100V； V1=171V； V2=240V。求阻抗Z2。
解：由KVL定律可知，三个电压可构成一个电压三角形，对这个电压三角形可运用余弦定理求出电压U1和总电压U之间的夹角θ（如相量图示）为：
由相量图可看出，由于Z2端电压滞后于电流，所以推出阻抗Z2是一个容性设备，又由Z1＝j60Ω可知，Z1是一个纯电感元件，设电路中电流为参考相量，则
4.12 已知图4.22所示电路中Ｕ＝8V，Z=（1－j0.5）Ω，Z1＝（1+j1） Ω，Z2＝（3-j1）Ω。求各支路的电流和电路的输入导纳，画出电路的相量图。
解：
4.13 图4.23所示电路中，IS＝10A，ω＝5000rad/s，R1＝R2＝10Ω,C=10μF,μ= 0.5。求各支路电流，并作相量图。
解：
对右回路列KVL方程
解得
4.14 已知如图4.24所示电路中，R1=100Ω，L1=1H，R2=200 Ω，L2=1H，电流I2=0，电压US=100V，,ω=100rad/s，求其它各支路电流。
解：电流I2=0，说明电路中A、B两点等电位，电源电压激发的电流沿R1、jωL1流动，即
4.15 试求图4.25所示电路二端网络的戴维南等效电路。
解：（a）图：
有源二端网络对外部电路相当于开路。
（b）图：
4.16 求图4.26所示电路中R2的端电压。
解：对左回路列KVL方程（顺时针绕行），有
4.17 图4.27所示电路中，Z1＝(10＋j50)Ω，Z2＝-j50Ω。求Z1、Z2吸收的复功率。
解：
4.18 图4.28所示电路中，U＝20V，Z1＝3＋j4Ω，开关S合上前、后的有效值相等，开关合上后的与同相。试求Z2，并作相量图。
解：开关S合上前、后的有效值相等，说明电路总阻抗的模值等于Z1支路的阻抗模值；开关合上后的与同相，说明Z1、Z2两阻抗虚部的数值相等且性质相反，因此
且
即
得 G2=0.08
所以
且
4.19 图4.29所示电路中，R1=5Ω，R2= XL，端口电压为100V，XC的电流为10A，R2的电流为10A。试求XC、R2、XL。
解：设并联支路端电压为参考相量，则
因为并联支路端电压初相为零，所以总电压初相也为零，即U并=100－50=50V，因此
即 R2=2.5Ω,XL=2.5Ω。
4.20 有一个U＝220V、P=40W、的日光灯，为了提高功率因数，并联一个C＝4.75μF的电容器，试求并联电容后电路的电流和功率因数（电源频率为50Hz）。
解：并联电容支路电流为
原功率因数角
原日光灯电路电流的无功分量为
并电容后补偿的是日光灯电路电流的无功分量，所以
解得并联电容后电路的电流和功率因数分别为
I=0.186A,
4.21 功率为 60W，功率因数为0.5的日光灯负载与功率为 100W的白炽灯各 50只并联在 220V的正弦电源上（电源频率为50Hz）。如果要把电路的功率因数提高到0.92，应并联多大的电容？
解：设电源电压为参考相量。日光灯电路、白炽灯电路中的电流分别为
电路中的总电流为
并联电容器以后，电路的总有功功率不变，则总电流减少为
画出电路相量图进行分析：
试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1、与正弦量具有一一对应关系的复数电压、复数电流称之为 。最大值 的模对应于正弦量的 值，有效值 的模对应正弦量的 值，它们的幅角对应正弦量的 。
2、单一电阻元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；单一电感元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；单一电容元件的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电感相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电容相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= ；电阻电感电容相串联的正弦交流电路中，复阻抗Z= 。
3、单一电阻元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；单一电感元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；单一电容元件的正弦交流电路中，复导纳Y= ；电阻电感电容相并联的正弦交流电路中，复导纳Y= 。
4、按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为 图。
5、相量分析法，就是把正弦交流电路用相量模型来表示，其中正弦量用 代替，R、L、C电路参数用对应的 表示，则直流电阻性电路中所有的公式定律均适用于对相量模型的分析，只是计算形式以 运算代替了代数运算。
6、有效值相量图中，各相量的线段长度对应了正弦量的 值，各相量与正向实轴之间的夹角对应正弦量的 。相量图直观地反映了各正弦量之间的 关系和 关系。
7,三角形是相量图，因此可定性地反映各电压相量之间的 关系及相位关系,三角形和 三角形不是相量图，因此它们只能定性地反映各量之间的 关系。
8、R、L、C串联电路中，电路复阻抗虚部大于零时，电路呈 性；若复阻抗虚部小于零时，电路呈 性；当电路复阻抗的虚部等于零时，电路呈 性，此时电路中的总电压和电流相量在相位上呈 关系，称电路发生串联 。
9、R、L、C并联电路中，电路复导纳虚部大于零时，电路呈 性；若复导纳虚部小于零时，电路呈 性；当电路复导纳的虚部等于零时，电路呈 性，此时电路中的总电流、电压相量在相位上呈 关系，称电路发生并联 。
10、R、L串联电路中，测得电阻两端电压为120V，电感两端电压为160V，则电路总电压是 V。
11、R、L、C并联电路中，测得电阻上通过的电流为3A，电感上通过的电流为8A，电容元件上通过的电流是4A，总电流是 A，电路呈 性。
12、复功率的实部是 功率，单位是 ；复功率的虚部是 功率，单位是 ；复功率的模对应正弦交流电路的 功率，单位是 。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、正弦量可以用相量来表示，因此相量等于正弦量。 （ ）
2、几个复阻抗相加时，它们的和增大；几个复阻抗相减时，其差减小。 （ ）
3、串联电路的总电压超前电流时，电路一定呈感性。 （ ）
4、并联电路的总电流超前路端电压时，电路应呈感性。 （ ）
5、电感电容相串联，UL=120V，UC=80V，则总电压等于200V。 （ ）
6、电阻电感相并联，IR=3A，IL=4A，则总电流等于5A。 （ ）
7、提高功率因数，可使负载中的电流减小，因此电源利用率提高。 （ ）
8、避免感性设备的空载，减少感性设备的轻载，可自然提高功率因数。 （ ）
9、只要在感性设备两端并联一电容器，即可提高电路的功率因数。 （ ）
10、视在功率在数值上等于电路中有功功率和无功功率之和。 （ ）
三、单项选择题（建议每小题2分）
1、标有额定值为“220V、100W”和“220V、25W”白炽灯两盏，将其串联后接入220V工频交流电源上，其亮度情况是（ ）
A、100W的灯泡较亮 B、25W的灯泡较亮 C、两只灯泡一样亮
2、在RL串联的交流电路中，R上端电压为16V，L上端电压为12V，则总电压为（ ）
A、28V B、20V C、4V
3、R、L串联的正弦交流电路中，复阻抗为（ ）
A、 B、 C、
4、已知电路复阻抗Z＝（3－j4）Ω，则该电路一定呈（ ）
A、感性 B、容性 C、阻性
5、电感、电容相串联的正弦交流电路，消耗的有功功率为（ ）
A、UI B、I2X C、0
6、在右图所示电路中，R＝XL＝XC，并已知安培表A1的读数为3A，则安培表A2、A3的读数应为（ ）
A、1A、1A B、3A、0A C、4.24A、3A
7、每只日光灯的功率因数为0.5，当N只日光灯相并联时，总的功率因数（ ）；若再与M只白炽灯并联，则总功率因数（ ）
A、大于0.5 B、小于0.5 C、等于0.5
8、日光灯电路的灯管电压与镇流器两端电压和电路总电压的关系为（ ）
A、两电压之和等于总电压 B、两电压的相量和等于总电压
四、简答题（建议每小题3～5分）
1、额定电压相同、额定功率不等的两个白炽灯，能否串联使用？
2、试述提高功率因数的意义和方法。
3、相量等于正弦量的说法对吗？正弦量的解析式和相量式之间能用等号吗？
4、电压、电流相位如何时只吸收有功功率？只吸收无功功率时二者相位又如何？
5、阻抗三角形和功率三角形是相量图吗？电压三角形呢？
6、并联电容器可以提高电路的功率因数，并联电容器的容量越大，功率因数是否被提得越高？为什么？会不会使电路的功率因数为负值？是否可以用串联电容器的方法提高功率因数？
五、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、RL串联电路接到220V的直流电源时功率为1.2KW，接在220V、50 Hz的电源时功率为0.6KW，试求它的R、L值。
2、已知交流接触器的线圈电阻为200Ω，电感量为7.3H，接到工频220V的电源上。求线圈中的电流I=?如果误将此接触器接到U=220V的直流电源上，线圈中的电流又为多少？如果此线圈允许通过的电流为0.1A，将产生什么后果？
3、在电扇电动机中串联一个电感线圈可以降低电动机两端的电压，从而达到调速的目的。已知电动机电阻为190Ω，感抗为260Ω，电源电压为工频220V。现要使电动机上的电压降为180V，求串联电感线圈的电感量L'应为多大(假定此线圈无损耗电阻)？能否用串联电阻来代替此线圈？试比较两种方法的优缺点。
4、已知右图所示电路中，R＝XC＝10Ω，UAB＝UBC，且电路中路端电压与总电流同相，求复阻抗Z。
5、下图所示电路中，已知Z＝(30＋j30)Ω，jXL＝j10Ω，又知UZ=85V，求路端电压有效值U＝？
6、在下图所示电路中，已知u＝141.4cos314tV，电流有效值I＝IC＝IL，电路消耗的有功功率为866W，求i、iL、iC。
7、已知感性负载两端电压u＝311cos314tV，，测得电路中的有功功率为7.5KW，无功功率为5.5KVar，试求感性负载的功率因数及其串联和并联等效参数。
8、在下图所示电路中，已知复阻抗Z2＝j60Ω，各交流电压的有效值分别为：US=100V，U1＝171V，U2＝240V，求复阻抗Z1。
9、如下图所示电路中，已知电路中电流I2＝2A，US＝7.07V，求电路中总电流I、电感元件电压两端电压UL及电压源US与总电流之间的相位差角。
10、电路如图所示。已知mA，C= 100pF，L=100μH，电路消耗的功率P=100mW，试求电阻R和电压u（t）。
