第8章 电路的暂态分析含有动态元件L和C的线性电路，当电路发生换路时，由于动态元件上的能量不能发生跃变，电路从原来的一种相对稳态过渡到另一种相对稳态需要一定的时间，在这段时间内电路中所发生的物理过程称为暂态，揭示暂态过程中响应的规律称为暂态分析。
本章的学习重点：
暂态、稳态、换路等基本概念；
换路定律及其一阶电路响应初始值的求解；
零输入响应、零状态响应及全响应的分析过程；
一阶电路的三要素法；
阶跃响应。
8.1 换路定律
1、学习指导
（1）基本概念从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态需要一定的时间，在这一定的时间内所发生的物理过程称为暂态；在含有动态元件的电路中，当电路参数发生变化或开关动作等能引起的电路响应发生变化的现象称为换路；代表物体所处状态的可变化量称为状态变量，如iL和uC就是状态变量，状态变量的大小显示了储能元件上能量储存的状态。
（2）基本定律换路定律是暂态分析中的一条重要基本规律，其内容为：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流iL和电容元件的极间电压uC，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。此规律揭示了能量不能跃变的事实。
（3）换路定律及其响应初始值的求解一阶电路响应初始值的求解步骤一般如下。
根据换路前一瞬间的电路及换路定律求出动态元件上响应的初始值。
根据动态元件初始值的情况画出t=0＋时刻的等效电路图：当iL(0＋)=0时，电感元件在图中相当于开路；若iL(0＋)≠0时，电感元件在图中相当于数值等于iL(0＋)的恒流源；当
uC(0＋)=0时，电容元件在图中相当于短路；若uC(0＋)≠0，则电容元件在图中相当于数值等于uC(0＋)的恒压源。
根据t= 0＋时的等效电路图，求出各待求响应的初始值。
2、学习检验结果解析
（1）何谓暂态？何谓稳态？您能说出多少实际生活中存在的过渡过程现象？
解析：在含有动态元件电容的电路中，电容未充电，原始储能为零时是一种稳态，电容充电完毕，储能等于某一数值时也是一种稳态。电容由原始储能为零开始充电，直至充电完毕，使得储存电场能量达到某一数值时所经历的物理过程称为暂态。水是一种稳态，冰是一种稳态，水凝结成冰所经历的物理过程和冰溶化成水所经历的物理过程都是暂态；火车在站内静止时是一种稳态，火车加速至速度为v时也是一种稳态，从静止加速到速度v中间所经历的加速过程是暂态……。
（2）从能量的角度看，暂态分析研究问题的实质是什么？
解析：含有动态元件的电路在换路时才会出现暂态过程，这是由于L和C是储能元件，而储能就必然对应一个吸收与放出能量的过程，即储存和放出能量都是需要时间的。在L和C是上能量的建立和消失是不能跃变的。因此，暂态分析研究问题的实质实际上是为了寻求储能元件在能量发生变化时所遵循的规律。掌握了这些规律，人们才可能在实际当中尽量缩短暂态过程经历的时间，最大限度地减少暂态过程中可能带来的危害。
（3）何谓换路？换路定律阐述问题的实质是什么？换路定律是否也适用于暂态电路中的电阻元件？
解析：在含有动态元件的电路中，当元件参数发生变化、电路或电路某处接通和断开或短路时，只要能引起电路响应发生变化的所有情况，统称为电路发生了换路。换路定律阐述问题的实质是动态元件所储存的能量不能发生跃变，必须经历一定的时间，在这一定的时间（暂态过程）内，能量的变化必须遵循一定的规律，暂态分析就是研究和认识这些基本规律。
换路定律不适合暂态电路中的电阻元件，因为电阻元件不是储能元件。
（4）动态电路中，在什么情况下电感L相当于短路？电容C相当于开路？又在什么情况下，L相当于一个恒流源？C相当于一个恒压源？
解析：当动态电路换路后重新达到稳态时，电感L中通过的电流不再发生变化，由公式可知，L两端的自感电压此时为零，在这种情况下L相当于短路；同理，电容C两端的电压重新达到稳态后，由可知，电容支路中电流为零，这种情况下电容C相当于开路。求动态电路中响应的初始值时，如果L在t=0＋时已有原始储能，即电流在换路瞬间不为零，根据换路定律可知，此时电感L相当于一个恒流源；同理，如果C在t=0＋时已有原始储能，即它两端的电压在换路瞬间不为零，根据换路定律可知，此时电容C相当于一个恒压源。
8.2 一阶电路的暂态分析
1、学习指导
（1）一阶电路的零输入响应外激励为零，仅在动态元件的原始储能下所引起的电路响应称为零输入响应。
（2）一阶电路的零状态响应动态元件上的原始储能为零，仅在外激励下所引起电路响应称为零状态响应。
（3）一阶电路的全响应电路既有外激励，动态元件上又有原始能量，这种情况下引起的电路响应称为全响应。
（4）电路响应求解中需要注意的问题在介绍了初始值求解方法的基础上，本章对一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应进行了经典分析，其中重点阐述了一阶电路时间常数的概念：一阶电路的时间常数τ，在数值上等于响应经历了总变化的63.2%所需用的时间，讨论中一般认为，暂态过程经过3～5τ的时间就基本结束了，因此时间常数τ反映了暂态过程进行的快慢程度。对零输入响应而言，不需求解响应的稳态值，只要求出响应的初始值和时间常数即可；对零状态响应而言，只需求出响应的稳态值和时间常数即可；若动态电路既有外激励，又有原始储能的情况下，这时的电路响应称为全响应。全响应一般有两种分析方法：
全响应=零状态响应＋零输入响应
② 全响应=稳态分量＋暂态分量根据题目要求的不同及侧重点的不同，我们可以选择上述两种求解方法中合适的一种方法进行动态电路全响应的分析，在分析中应牢固掌握一阶电路响应的指数规律，并且注意理解响应iC和uL任何情况下都只有暂态分量而没有稳态分量的问题。
（5）一阶电路的三要素法在学习一阶电路经典法的基础上，引入了一阶电路简化的分析计算方法——三要素法。所谓的三要素法，就是对待求的电路响应求出其初始值、稳态值及时间常数τ，然后代入公式
应用三要素法求解一阶电路的响应，关键在三要素（响应的初始值f（0＋）、响应的稳态值f（∞）和一阶电路中的时间常数τ）的正确求解，注意动态元件状态变量的初始值求解应根据换路前一瞬间的电路进行；其它响应的初始值求解则要根据换路后一瞬间的等效电路进行；响应稳态值的求解要根据换路后重新达到稳态时的等效电路进行；时间常数的求解要在稳态时的电路基础上除源，然后将动态元件断开后求出其无源二端网络的入端电阻R，代入时间常数的计算公式中即可。在求解在三要素的过程中，注意各种情况下等效电路的正确性是解题的关键。
2、学习检验结果解析
（1）一阶电路的时间常数τ由什么来决定？其物理意义是什么？
解析：一阶电路中时间常数τ仅由一阶电路中的电路参数R、L、C来决定，与状态变量和激励无关。时常常数τ决定了状态变化的快慢程度，在暂态分析中起关键作用。时间常数τ实际上反映了响应经历了过渡过程的63.2%所需要的时间。
（2）一阶电路响应的规律是什么？电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压有无稳态值？为什么？
解析：一阶电路响应的规律是指数规律。电容元件上通过的电流不是充电电流就是放电电流，即只存在于充、放电的暂态过程中；电感元件两端的电压只有在通过电感元件的电流发生变化时才产生，即也只存在于暂态过程中，因此电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压都没有稳态值。
（3）能否说一阶电路响应的暂态分量等于它的零输入响应？稳态分量等于它的零状态响应？为什么？
解析：这样的说法是不正确的。因为零状态响应中一般均包括有暂态分量和稳态分量。
（4）一阶电路的零输入响应规律如何？零状态响应规律又如何？全响应的规律呢？
解析：一阶电路无论是零输入响应还是零状态响应以及全响应，响应的规律均为指数规律。
（5）你能正确画出一阶电路t=0-和t=∞时的等效电路图吗？图中动态元件如何处理？
解析：一阶电路在t=0时的等效电路图中，动态元件L如果没有原始储能，按开路处理，如果有原始储能，则用一个恒流源iL(0＋)代替；动态元件C如果没有原始储能，按短路处理，如果有原始储能，则用一个恒压源uC(0＋)代替。一阶电路在t=∞时的等效电路图中，动态元件L按短路处理；C按开路处理。
（6）何谓一阶电路的三要素？试述其物理意义。试述三要素法中的几个重要环节应如何掌握？
解析：一阶电路的三要素是指：响应的初始值f（0＋）、响应的稳态值f（∞）和时间常数τ。初始值反映了响应在换路前一瞬间的数值；稳态值反映了响应换路后重新达到稳态时响应的数值；时间常数τ则反映了响应经历了过渡过程的63.2%所需要的时间。在应用三要素法求解电路响应时应注意：
求响应的初始值时：
① 先由换路前的电路求出动态元件的uC(0－)或iL(0－)，然后根据换路定律求出它们的初始值；② 根据动态元件的初始值对动态元件加以处理，画出其t=0＋的等效电路图；③ 根据t=0＋的等效电路图，用前面学过的电路分析方法求出其它各响应的初始值。
求响应的稳态值时：
① 画出动态电路稳态时的等效电路。在这个等效电路中，电容元件开路处理，电感元件短路处理；② 根据稳态时的等效电路应用前面所学过的电路分析方法求出各响应的稳态值。
求时间常数τ时：
① RC一阶电路的时间常数τ=RC；RC一阶电路的时间常数；② 求解时间常数的公式中，其电阻R应为断开动态元件后，由断开两端所呈现的戴维南等效电路的等效内阻。
（7）一阶电路中的0、0－、0＋这三个时刻有何区别？t=∞是个什么概念？它们的实质各是什么？在具体分析时如何取值？
解析：换路发生在0时刻； 0－是换路前一瞬间的时刻，和0的时间间隔无限趋近于0但不等于0，0＋则是换路后一瞬间的时刻，和0的时间间隔也无限趋近于0且不等于0。理论上讲过渡过程完成需要无限长时间，所以把过渡过程结束时的稳态值用f（∞）表示，t=∞的概念就是过渡过程结束。
8.3 一阶电路的阶跃响应
1、学习指导
（1）阶跃响应当电路中的激励是阶跃形式时，在电路中引起的响应称为阶跃响应。
（2）阶跃函数单位阶跃函数ε（t）属于奇异函数，在学习时必须辨明ε（t）和延时阶跃函数ε（t-t0）的差别以及理解一个函数f（t）乘以一个阶跃函数ε（t）的意义。在讨论阶跃函数在电路中引起响应的求解方法时，应对叠加定理在其中的作用加以理解和掌握。
2、学习检验结果解析
（1）单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？
解析：单位阶跃函数属于一种奇异函数，定义为
由定义式可看出，单位阶跃函数说明它在（0－，0＋）时域内发生了单位阶跃。用单位阶跃函数可以描述电路中开关的动作，它表示在t=0时把电路接到单位直流电源上。
（2）说说（－t）、（t＋2）和（t－2）各对应时间轴上的哪一点？
解析：（－t）表示函数阶跃的时间与时间轴箭头方向相反；（t＋2）表示阶跃发生在0时刻的前2个时间单位；（t－2）表示阶跃延时2个时间单位才发生。用下面几个图可以说明。
（3）试用阶跃函数分别表示图示电流和电压的波形。
解析：图（a）阶跃函数
图（b）阶跃函数
8.4 二阶电路的零输入响应
1、学习指导零输入状态下RLC电路过渡过程的性质，取决于电路元件的参数。若
时，电路发生非振荡过程，也称“过阻尼”状态；
时，电路出现振荡过程，称之为“欠阻尼”状态；
时，电路为临界非振荡过程，称“临界阻尼”状态；
当电阻为零时，电路出现等幅振荡。在RLC串联的零输入电路中产生振荡的必要条件是。如果或时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。
2、学习检验结果解析
（1）二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的表达式如何？条件是什么？
解析：二阶电路的零输入响应状态的性质，取决于电路元件的参数。归纳起来有以下三种情况（式中A1、A2为待定的积分常数）：
① 时，电路发生非振荡暂态过程，也称“过阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是两个实部为负的共轭复数，响应表达式的形式为：；
② 时，电路暂态过程是振荡性的，称之为“欠阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是两个不等的负实根，响应表达式的形式为：；
③ 时，电路暂态过程仍属于非振荡性，称“临界阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是一对相等的负实数，响应表达式的形式为：。
当二阶电路中的电阻R=0时，则响应是等幅振荡的正弦函数，是二阶零输入响应的理想情况，也称为“无阻尼”情况。
在二阶零输入响应电路中产生振荡的必要条件是。如果或时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。
（2）．图8.20所示电路处于临界阻尼状态，如将开关S闭合，问电路将成为过阻尼还是欠阻尼状态？
解析：由图可知，当开关S闭合时，电路中的总电容由1F增大到2F，由情况转变到，电路也由临界阻尼状态变为过阻尼状态。
第8章 章后习题解析
8.1图示各电路已达稳态，开关S在时动作，试求各电路中的各元件电压的初始值。
解：（a）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（b）图电路：换路前达稳态时
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（c）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（d）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
8.2 图示电路在时开关S闭合，闭合开关之前电路已达稳态。求。
解：由题意可知，此电路的暂态过程中不存在独立源，因此是零输入响应电路。首先根据换路前的电路求出电容电压为
uC(0－)=US=126V
根据换路定律可得初始值
uC(0＋)= uC(0－)=126V
换路后，126V电源及3KΩ电阻被开关短路，因此电路的时间常数
τ=3×103×100×10-6=0.3s
代入零输入响应公式后可得
V
8.3 图示电路在开关S动作之前已达稳态，在时由位置a投向位置b。求过渡过程中的。
解：由电路图可知，换路后电路中不再存在独立源，因此该电路也是零输入响应电路。根据换路前的电路可得
根据换路定律可得
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
把t=0＋等效电路中的恒流源断开，求戴维南等效电路的入端电阻为
R=[(2＋4)∥6]＋3=6Ω
求得电路的时间常数为
将初始值和时间常数代入零输入响应公式后可得
8.4 在图8.24所示电路中，R1 = R2 =100KΩ，C=1μF，US =3V。开关S闭合前电容元件上原始储能为零，试求开关闭合后0.2秒时电容两端的电压为多少？
解：由于动态元件的原始储能为零，所以此电路是零状态响应电路。此类电路应先求出响应的稳态值和时间常数。电路重新达稳态时，电容处于开路状态，其端电压等于与它相并联的电阻端电阻端电压，即
求时间常数的等效电路如图示，可得
代入公式后可得
在开关闭合后0.2秒时电容两端的电压为
V≈1.5V
经过了0.2秒，实际上暂态过程经历了4τ时间，可以认为暂态过程基本结束，因此电容电压十分接近稳态值。
8.5 在图8.25所示电路中，R1 =6Ω，R2 =2Ω，L=0.2H，US =12V，换路前电路已达稳态。t=0时开关S闭合。求响应iL（t）。并求出电流达到 4.5A时需用的时间。
解：响应iL（t）的初始值、稳态值及时间常数分别为
应用三要素法求得响应为
电流达到4.5A时所需用的时间根据响应式可求得，即
8.6 图示电路在换路前已达稳态。试求开关S闭合后开关两端的电压。
解：根据换路前的电路及换路定律可求出动态元件响应的初始值为
iL(0＋)= iL(0－)=IS,uC(0＋)=uC(0－)=0
画出t=0＋的等效电路如图示。由图可求得
R2L构成的一阶电路部分，时间常数为
uK在这部分只存在暂态响应，且为
开关左半部分只存在零状态响应而不存在零输入响应，因此只需对电路求出其稳态值与时间常数τ2，即
所以，开关两端电压响应为
8.7 电路在开关S闭合前已达稳态，试求换路后的全响应，并画出它的曲线。
解：根据换路前的电路求初始值为
画出换路后的等效电路如图示。求稳态值与时间常数τ
全响应为
画出其曲线如图示。
8.8 图示电路，已知，在时开关S打开，试求换路后的零状态响应。
解：响应的稳态值为
时间常数为
零状态响应为
8.9 图示电路在换路前已达稳态，时开关S闭合。试求电路响应。
解：响应的初始值为
响应的稳态值为
电路的时间常数
全响应为,V
8.10 图示电路在换路前已达稳态，时开关S动作。试求电路响应。
解：响应的初始值为
V
响应的稳态值为
V
电路的时间常数
s
全响应为,V
8.11 用三要素法求解图8.31所示电路中电压u和电流i的全响应。
解,对换路前的电路求解电感电流的初始值为
画出t=0＋的等效电路图，根据电路图可得响应的初始值为
画出t=∞的等效电路图，根据电路图可得响应的稳态值为
时间常数为
应用三要素法可得响应为
8.12 图8.32（a）所示电路中，已知H，输入电压波形如图（b）所示，试求电路响应。
解：首先对电路求解其单位阶跃响应。
写出电源电压的表达式为
将上式代入单位阶跃响应中可得
试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1,态是指从一种 态过渡到另一种 态所经历的过程。
2、换路定律指出：在电路发生换路后的一瞬间,元件上通过的电流和 元件上的端电压，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。
3、换路前，动态元件中已经储有原始能量。换路时，若外激励等于,仅在动态元件 作用下所引起的电路响应，称为 响应。
4、只含有一个 元件的电路可以用 方程进行描述，因而称作一阶电路。仅由外激励引起的电路响应称为一阶电路的 响应；只由元件本身的原始能量引起的响应称为一阶电路的 响应；既有外激励、又有元件原始能量的作用所引起的电路响应叫做一阶电路的 响应。
5、一阶RC电路的时间常数τ = ；一阶RL电路的时间常数τ = 。时间常数τ的取值决定于电路的 和 。
6、一阶电路全响应的三要素是指待求响应的 值,值和 。
7、二阶电路过渡过程的性质取决于电路元件的参数。当电路发生非振荡过程的“过阻尼状态时，R ；当电路出现振荡过程的“欠阻尼”状态时，R ；当电路为临界非振荡过程的“临界阻尼”状态时，R ；R=0时，电路出现
振荡。
8、在电路中，电源的突然接通或断开，电源瞬时值的突然跳变，某一元件的突然接入或被移去等，统称为 。
9、换路定律指出：一阶电路发生的路时，状态变量不能发生跳变。该定律用公式可表示为 和 。
10、由时间常数公式可知，RC一阶电路中，C一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越 ；RL一阶电路中，L一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越 。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、换路定律指出：电感两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。 （ ）
2、换路定律指出：电容两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。 （ ）
3、单位阶跃函数除了在t=0处不连续，其余都是连续的。 （ ）
4、一阶电路的全响应，等于其稳态分量和暂态分量之和。 （ ）
5、一阶电路中所有的初始值，都要根据换路定律进行求解。 （ ）
6、RL一阶电路的零状态响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
7、RC一阶电路的零状态响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
8、RL一阶电路的零输入响应，按指数规律衰减，按指数规律衰减。 （ ）
9、RC一阶电路的零输入响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
10、二阶电路出现等幅振荡时必有XL=XC，电路总电流只消耗在电阻上。 （ ）
三、单项选择题（建议每小题2分）
1、动态元件的初始储能在电路中产生的零输入响应中（ ）
A、仅有稳态分量 B、仅有暂态分量 C、既有稳态分量，又有暂态分量
2、在换路瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A、电感电流不能跃变 B、电感电压必然跃变 C、电容电流必然跃变
3、工程上认为R＝25Ω、L=50mH的串联电路中发生暂态过程时将持续（ C ）
A、30～50ms B、37.5～62.5ms C、6～10ms
4、图3.4电路换路前已达稳态，在t=0时断开开关S，则该电路（ C ）
A、电路有储能元件L，要产生过渡过程
B、电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程
C、因为换路时元件L的电流储能不发生变化，所以该电路不产生过渡过程。
5、图3.5所示电路已达稳态，现增大R值，则该电路（ ）
A、因为发生换路，要产生过渡过程
B、因为电容C的储能值没有变，所以不产生过渡过程
C、因为有储能元件且发生换路，要产生过渡过程
6、图3.6所示电路在开关S断开之前电路已达稳态，若在t=0时将开关S断开，则电路中L上通过的电流为（ ）
A、2A
B、0A
C、－2A
7、图3.6所示电路，在开关S断开时，电容C两端的电压为（ ）
A、10V B、0V C、按指数规律增加
四、简答题（建议每小题3～5分）
1、何谓电路的过渡过程？包含有哪些元件的电路存在过渡过程？
2、什么叫换路？在换路瞬间，电容器上的电压初始值应等于什么？
3、在RC充电及放电电路中，怎样确定电容器上的电压初始值？
4、“电容器接在直流电源上是没有电流通过的”这句话确切吗？试完整地说明。
5、RC充电电路中，电容器两端的电压按照什么规律变化？充电电流又按什么规律变化？RC放电电路呢？
6、RL一阶电路与RC一阶电路的时间常数相同吗？其中的R是指某一电阻吗？
7、RL一阶电路的零输入响应中，电感两端的电压按照什么规律变化？电感中通过的电流又按什么规律变化？RL一阶电路的零状态响应呢？
8、通有电流的RL电路被短接，电流具有怎样的变化规律？
9、试说明在二阶电路中，过渡过程的性质取决于什么因素？
10、怎样计算RL电路的时间常数？试用物理概念解释：为什么L越大、R越小则时间常数越大？
五、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、电路如图5.1所示。开关S在t＝0时闭合。则
iL（0＋）为多大？
2、求图5.2所示电路中开关S在“1”和“2”位置时的时间常数。
3、图5.3所示电路换路前已达稳态，在t=0时将开关S断开，试求换路瞬间各支路电流及储能元件上的电压初始值。
4、求图5.3所示电路中电容支路电流的全响应。
本章的学习重点：
暂态、稳态、换路等基本概念；
换路定律及其一阶电路响应初始值的求解；
零输入响应、零状态响应及全响应的分析过程；
一阶电路的三要素法；
阶跃响应。
8.1 换路定律
1、学习指导
（1）基本概念从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态需要一定的时间，在这一定的时间内所发生的物理过程称为暂态；在含有动态元件的电路中，当电路参数发生变化或开关动作等能引起的电路响应发生变化的现象称为换路；代表物体所处状态的可变化量称为状态变量，如iL和uC就是状态变量，状态变量的大小显示了储能元件上能量储存的状态。
（2）基本定律换路定律是暂态分析中的一条重要基本规律，其内容为：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流iL和电容元件的极间电压uC，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。此规律揭示了能量不能跃变的事实。
（3）换路定律及其响应初始值的求解一阶电路响应初始值的求解步骤一般如下。
根据换路前一瞬间的电路及换路定律求出动态元件上响应的初始值。
根据动态元件初始值的情况画出t=0＋时刻的等效电路图：当iL(0＋)=0时，电感元件在图中相当于开路；若iL(0＋)≠0时，电感元件在图中相当于数值等于iL(0＋)的恒流源；当
uC(0＋)=0时，电容元件在图中相当于短路；若uC(0＋)≠0，则电容元件在图中相当于数值等于uC(0＋)的恒压源。
根据t= 0＋时的等效电路图，求出各待求响应的初始值。
2、学习检验结果解析
（1）何谓暂态？何谓稳态？您能说出多少实际生活中存在的过渡过程现象？
解析：在含有动态元件电容的电路中，电容未充电，原始储能为零时是一种稳态，电容充电完毕，储能等于某一数值时也是一种稳态。电容由原始储能为零开始充电，直至充电完毕，使得储存电场能量达到某一数值时所经历的物理过程称为暂态。水是一种稳态，冰是一种稳态，水凝结成冰所经历的物理过程和冰溶化成水所经历的物理过程都是暂态；火车在站内静止时是一种稳态，火车加速至速度为v时也是一种稳态，从静止加速到速度v中间所经历的加速过程是暂态……。
（2）从能量的角度看，暂态分析研究问题的实质是什么？
解析：含有动态元件的电路在换路时才会出现暂态过程，这是由于L和C是储能元件，而储能就必然对应一个吸收与放出能量的过程，即储存和放出能量都是需要时间的。在L和C是上能量的建立和消失是不能跃变的。因此，暂态分析研究问题的实质实际上是为了寻求储能元件在能量发生变化时所遵循的规律。掌握了这些规律，人们才可能在实际当中尽量缩短暂态过程经历的时间，最大限度地减少暂态过程中可能带来的危害。
（3）何谓换路？换路定律阐述问题的实质是什么？换路定律是否也适用于暂态电路中的电阻元件？
解析：在含有动态元件的电路中，当元件参数发生变化、电路或电路某处接通和断开或短路时，只要能引起电路响应发生变化的所有情况，统称为电路发生了换路。换路定律阐述问题的实质是动态元件所储存的能量不能发生跃变，必须经历一定的时间，在这一定的时间（暂态过程）内，能量的变化必须遵循一定的规律，暂态分析就是研究和认识这些基本规律。
换路定律不适合暂态电路中的电阻元件，因为电阻元件不是储能元件。
（4）动态电路中，在什么情况下电感L相当于短路？电容C相当于开路？又在什么情况下，L相当于一个恒流源？C相当于一个恒压源？
解析：当动态电路换路后重新达到稳态时，电感L中通过的电流不再发生变化，由公式可知，L两端的自感电压此时为零，在这种情况下L相当于短路；同理，电容C两端的电压重新达到稳态后，由可知，电容支路中电流为零，这种情况下电容C相当于开路。求动态电路中响应的初始值时，如果L在t=0＋时已有原始储能，即电流在换路瞬间不为零，根据换路定律可知，此时电感L相当于一个恒流源；同理，如果C在t=0＋时已有原始储能，即它两端的电压在换路瞬间不为零，根据换路定律可知，此时电容C相当于一个恒压源。
8.2 一阶电路的暂态分析
1、学习指导
（1）一阶电路的零输入响应外激励为零，仅在动态元件的原始储能下所引起的电路响应称为零输入响应。
（2）一阶电路的零状态响应动态元件上的原始储能为零，仅在外激励下所引起电路响应称为零状态响应。
（3）一阶电路的全响应电路既有外激励，动态元件上又有原始能量，这种情况下引起的电路响应称为全响应。
（4）电路响应求解中需要注意的问题在介绍了初始值求解方法的基础上，本章对一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应进行了经典分析，其中重点阐述了一阶电路时间常数的概念：一阶电路的时间常数τ，在数值上等于响应经历了总变化的63.2%所需用的时间，讨论中一般认为，暂态过程经过3～5τ的时间就基本结束了，因此时间常数τ反映了暂态过程进行的快慢程度。对零输入响应而言，不需求解响应的稳态值，只要求出响应的初始值和时间常数即可；对零状态响应而言，只需求出响应的稳态值和时间常数即可；若动态电路既有外激励，又有原始储能的情况下，这时的电路响应称为全响应。全响应一般有两种分析方法：
全响应=零状态响应＋零输入响应
② 全响应=稳态分量＋暂态分量根据题目要求的不同及侧重点的不同，我们可以选择上述两种求解方法中合适的一种方法进行动态电路全响应的分析，在分析中应牢固掌握一阶电路响应的指数规律，并且注意理解响应iC和uL任何情况下都只有暂态分量而没有稳态分量的问题。
（5）一阶电路的三要素法在学习一阶电路经典法的基础上，引入了一阶电路简化的分析计算方法——三要素法。所谓的三要素法，就是对待求的电路响应求出其初始值、稳态值及时间常数τ，然后代入公式
应用三要素法求解一阶电路的响应，关键在三要素（响应的初始值f（0＋）、响应的稳态值f（∞）和一阶电路中的时间常数τ）的正确求解，注意动态元件状态变量的初始值求解应根据换路前一瞬间的电路进行；其它响应的初始值求解则要根据换路后一瞬间的等效电路进行；响应稳态值的求解要根据换路后重新达到稳态时的等效电路进行；时间常数的求解要在稳态时的电路基础上除源，然后将动态元件断开后求出其无源二端网络的入端电阻R，代入时间常数的计算公式中即可。在求解在三要素的过程中，注意各种情况下等效电路的正确性是解题的关键。
2、学习检验结果解析
（1）一阶电路的时间常数τ由什么来决定？其物理意义是什么？
解析：一阶电路中时间常数τ仅由一阶电路中的电路参数R、L、C来决定，与状态变量和激励无关。时常常数τ决定了状态变化的快慢程度，在暂态分析中起关键作用。时间常数τ实际上反映了响应经历了过渡过程的63.2%所需要的时间。
（2）一阶电路响应的规律是什么？电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压有无稳态值？为什么？
解析：一阶电路响应的规律是指数规律。电容元件上通过的电流不是充电电流就是放电电流，即只存在于充、放电的暂态过程中；电感元件两端的电压只有在通过电感元件的电流发生变化时才产生，即也只存在于暂态过程中，因此电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压都没有稳态值。
（3）能否说一阶电路响应的暂态分量等于它的零输入响应？稳态分量等于它的零状态响应？为什么？
解析：这样的说法是不正确的。因为零状态响应中一般均包括有暂态分量和稳态分量。
（4）一阶电路的零输入响应规律如何？零状态响应规律又如何？全响应的规律呢？
解析：一阶电路无论是零输入响应还是零状态响应以及全响应，响应的规律均为指数规律。
（5）你能正确画出一阶电路t=0-和t=∞时的等效电路图吗？图中动态元件如何处理？
解析：一阶电路在t=0时的等效电路图中，动态元件L如果没有原始储能，按开路处理，如果有原始储能，则用一个恒流源iL(0＋)代替；动态元件C如果没有原始储能，按短路处理，如果有原始储能，则用一个恒压源uC(0＋)代替。一阶电路在t=∞时的等效电路图中，动态元件L按短路处理；C按开路处理。
（6）何谓一阶电路的三要素？试述其物理意义。试述三要素法中的几个重要环节应如何掌握？
解析：一阶电路的三要素是指：响应的初始值f（0＋）、响应的稳态值f（∞）和时间常数τ。初始值反映了响应在换路前一瞬间的数值；稳态值反映了响应换路后重新达到稳态时响应的数值；时间常数τ则反映了响应经历了过渡过程的63.2%所需要的时间。在应用三要素法求解电路响应时应注意：
求响应的初始值时：
① 先由换路前的电路求出动态元件的uC(0－)或iL(0－)，然后根据换路定律求出它们的初始值；② 根据动态元件的初始值对动态元件加以处理，画出其t=0＋的等效电路图；③ 根据t=0＋的等效电路图，用前面学过的电路分析方法求出其它各响应的初始值。
求响应的稳态值时：
① 画出动态电路稳态时的等效电路。在这个等效电路中，电容元件开路处理，电感元件短路处理；② 根据稳态时的等效电路应用前面所学过的电路分析方法求出各响应的稳态值。
求时间常数τ时：
① RC一阶电路的时间常数τ=RC；RC一阶电路的时间常数；② 求解时间常数的公式中，其电阻R应为断开动态元件后，由断开两端所呈现的戴维南等效电路的等效内阻。
（7）一阶电路中的0、0－、0＋这三个时刻有何区别？t=∞是个什么概念？它们的实质各是什么？在具体分析时如何取值？
解析：换路发生在0时刻； 0－是换路前一瞬间的时刻，和0的时间间隔无限趋近于0但不等于0，0＋则是换路后一瞬间的时刻，和0的时间间隔也无限趋近于0且不等于0。理论上讲过渡过程完成需要无限长时间，所以把过渡过程结束时的稳态值用f（∞）表示，t=∞的概念就是过渡过程结束。
8.3 一阶电路的阶跃响应
1、学习指导
（1）阶跃响应当电路中的激励是阶跃形式时，在电路中引起的响应称为阶跃响应。
（2）阶跃函数单位阶跃函数ε（t）属于奇异函数，在学习时必须辨明ε（t）和延时阶跃函数ε（t-t0）的差别以及理解一个函数f（t）乘以一个阶跃函数ε（t）的意义。在讨论阶跃函数在电路中引起响应的求解方法时，应对叠加定理在其中的作用加以理解和掌握。
2、学习检验结果解析
（1）单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？
解析：单位阶跃函数属于一种奇异函数，定义为
由定义式可看出，单位阶跃函数说明它在（0－，0＋）时域内发生了单位阶跃。用单位阶跃函数可以描述电路中开关的动作，它表示在t=0时把电路接到单位直流电源上。
（2）说说（－t）、（t＋2）和（t－2）各对应时间轴上的哪一点？
解析：（－t）表示函数阶跃的时间与时间轴箭头方向相反；（t＋2）表示阶跃发生在0时刻的前2个时间单位；（t－2）表示阶跃延时2个时间单位才发生。用下面几个图可以说明。
（3）试用阶跃函数分别表示图示电流和电压的波形。
解析：图（a）阶跃函数
图（b）阶跃函数
8.4 二阶电路的零输入响应
1、学习指导零输入状态下RLC电路过渡过程的性质，取决于电路元件的参数。若
时，电路发生非振荡过程，也称“过阻尼”状态；
时，电路出现振荡过程，称之为“欠阻尼”状态；
时，电路为临界非振荡过程，称“临界阻尼”状态；
当电阻为零时，电路出现等幅振荡。在RLC串联的零输入电路中产生振荡的必要条件是。如果或时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。
2、学习检验结果解析
（1）二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的表达式如何？条件是什么？
解析：二阶电路的零输入响应状态的性质，取决于电路元件的参数。归纳起来有以下三种情况（式中A1、A2为待定的积分常数）：
① 时，电路发生非振荡暂态过程，也称“过阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是两个实部为负的共轭复数，响应表达式的形式为：；
② 时，电路暂态过程是振荡性的，称之为“欠阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是两个不等的负实根，响应表达式的形式为：；
③ 时，电路暂态过程仍属于非振荡性，称“临界阻尼”状态。其响应的特征根p1、p2是一对相等的负实数，响应表达式的形式为：。
当二阶电路中的电阻R=0时，则响应是等幅振荡的正弦函数，是二阶零输入响应的理想情况，也称为“无阻尼”情况。
在二阶零输入响应电路中产生振荡的必要条件是。如果或时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。
（2）．图8.20所示电路处于临界阻尼状态，如将开关S闭合，问电路将成为过阻尼还是欠阻尼状态？
解析：由图可知，当开关S闭合时，电路中的总电容由1F增大到2F，由情况转变到，电路也由临界阻尼状态变为过阻尼状态。
第8章 章后习题解析
8.1图示各电路已达稳态，开关S在时动作，试求各电路中的各元件电压的初始值。
解：（a）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（b）图电路：换路前达稳态时
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（c）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
（d）图电路：换路前
根据换路定律可得：
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
8.2 图示电路在时开关S闭合，闭合开关之前电路已达稳态。求。
解：由题意可知，此电路的暂态过程中不存在独立源，因此是零输入响应电路。首先根据换路前的电路求出电容电压为
uC(0－)=US=126V
根据换路定律可得初始值
uC(0＋)= uC(0－)=126V
换路后，126V电源及3KΩ电阻被开关短路，因此电路的时间常数
τ=3×103×100×10-6=0.3s
代入零输入响应公式后可得
V
8.3 图示电路在开关S动作之前已达稳态，在时由位置a投向位置b。求过渡过程中的。
解：由电路图可知，换路后电路中不再存在独立源，因此该电路也是零输入响应电路。根据换路前的电路可得
根据换路定律可得
画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得
把t=0＋等效电路中的恒流源断开，求戴维南等效电路的入端电阻为
R=[(2＋4)∥6]＋3=6Ω
求得电路的时间常数为
将初始值和时间常数代入零输入响应公式后可得
8.4 在图8.24所示电路中，R1 = R2 =100KΩ，C=1μF，US =3V。开关S闭合前电容元件上原始储能为零，试求开关闭合后0.2秒时电容两端的电压为多少？
解：由于动态元件的原始储能为零，所以此电路是零状态响应电路。此类电路应先求出响应的稳态值和时间常数。电路重新达稳态时，电容处于开路状态，其端电压等于与它相并联的电阻端电阻端电压，即
求时间常数的等效电路如图示，可得
代入公式后可得
在开关闭合后0.2秒时电容两端的电压为
V≈1.5V
经过了0.2秒，实际上暂态过程经历了4τ时间，可以认为暂态过程基本结束，因此电容电压十分接近稳态值。
8.5 在图8.25所示电路中，R1 =6Ω，R2 =2Ω，L=0.2H，US =12V，换路前电路已达稳态。t=0时开关S闭合。求响应iL（t）。并求出电流达到 4.5A时需用的时间。
解：响应iL（t）的初始值、稳态值及时间常数分别为
应用三要素法求得响应为
电流达到4.5A时所需用的时间根据响应式可求得，即
8.6 图示电路在换路前已达稳态。试求开关S闭合后开关两端的电压。
解：根据换路前的电路及换路定律可求出动态元件响应的初始值为
iL(0＋)= iL(0－)=IS,uC(0＋)=uC(0－)=0
画出t=0＋的等效电路如图示。由图可求得
R2L构成的一阶电路部分，时间常数为
uK在这部分只存在暂态响应，且为
开关左半部分只存在零状态响应而不存在零输入响应，因此只需对电路求出其稳态值与时间常数τ2，即
所以，开关两端电压响应为
8.7 电路在开关S闭合前已达稳态，试求换路后的全响应，并画出它的曲线。
解：根据换路前的电路求初始值为
画出换路后的等效电路如图示。求稳态值与时间常数τ
全响应为
画出其曲线如图示。
8.8 图示电路，已知，在时开关S打开，试求换路后的零状态响应。
解：响应的稳态值为
时间常数为
零状态响应为
8.9 图示电路在换路前已达稳态，时开关S闭合。试求电路响应。
解：响应的初始值为
响应的稳态值为
电路的时间常数
全响应为,V
8.10 图示电路在换路前已达稳态，时开关S动作。试求电路响应。
解：响应的初始值为
V
响应的稳态值为
V
电路的时间常数
s
全响应为,V
8.11 用三要素法求解图8.31所示电路中电压u和电流i的全响应。
解,对换路前的电路求解电感电流的初始值为
画出t=0＋的等效电路图，根据电路图可得响应的初始值为
画出t=∞的等效电路图，根据电路图可得响应的稳态值为
时间常数为
应用三要素法可得响应为
8.12 图8.32（a）所示电路中，已知H，输入电压波形如图（b）所示，试求电路响应。
解：首先对电路求解其单位阶跃响应。
写出电源电压的表达式为
将上式代入单位阶跃响应中可得
试题库一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分）
1,态是指从一种 态过渡到另一种 态所经历的过程。
2、换路定律指出：在电路发生换路后的一瞬间,元件上通过的电流和 元件上的端电压，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。
3、换路前，动态元件中已经储有原始能量。换路时，若外激励等于,仅在动态元件 作用下所引起的电路响应，称为 响应。
4、只含有一个 元件的电路可以用 方程进行描述，因而称作一阶电路。仅由外激励引起的电路响应称为一阶电路的 响应；只由元件本身的原始能量引起的响应称为一阶电路的 响应；既有外激励、又有元件原始能量的作用所引起的电路响应叫做一阶电路的 响应。
5、一阶RC电路的时间常数τ = ；一阶RL电路的时间常数τ = 。时间常数τ的取值决定于电路的 和 。
6、一阶电路全响应的三要素是指待求响应的 值,值和 。
7、二阶电路过渡过程的性质取决于电路元件的参数。当电路发生非振荡过程的“过阻尼状态时，R ；当电路出现振荡过程的“欠阻尼”状态时，R ；当电路为临界非振荡过程的“临界阻尼”状态时，R ；R=0时，电路出现
振荡。
8、在电路中，电源的突然接通或断开，电源瞬时值的突然跳变，某一元件的突然接入或被移去等，统称为 。
9、换路定律指出：一阶电路发生的路时，状态变量不能发生跳变。该定律用公式可表示为 和 。
10、由时间常数公式可知，RC一阶电路中，C一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越 ；RL一阶电路中，L一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越 。
二、判断下列说法的正确与错误（建议每小题1分）
1、换路定律指出：电感两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。 （ ）
2、换路定律指出：电容两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。 （ ）
3、单位阶跃函数除了在t=0处不连续，其余都是连续的。 （ ）
4、一阶电路的全响应，等于其稳态分量和暂态分量之和。 （ ）
5、一阶电路中所有的初始值，都要根据换路定律进行求解。 （ ）
6、RL一阶电路的零状态响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
7、RC一阶电路的零状态响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
8、RL一阶电路的零输入响应，按指数规律衰减，按指数规律衰减。 （ ）
9、RC一阶电路的零输入响应，按指数规律上升，按指数规律衰减。 （ ）
10、二阶电路出现等幅振荡时必有XL=XC，电路总电流只消耗在电阻上。 （ ）
三、单项选择题（建议每小题2分）
1、动态元件的初始储能在电路中产生的零输入响应中（ ）
A、仅有稳态分量 B、仅有暂态分量 C、既有稳态分量，又有暂态分量
2、在换路瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A、电感电流不能跃变 B、电感电压必然跃变 C、电容电流必然跃变
3、工程上认为R＝25Ω、L=50mH的串联电路中发生暂态过程时将持续（ C ）
A、30～50ms B、37.5～62.5ms C、6～10ms
4、图3.4电路换路前已达稳态，在t=0时断开开关S，则该电路（ C ）
A、电路有储能元件L，要产生过渡过程
B、电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程
C、因为换路时元件L的电流储能不发生变化，所以该电路不产生过渡过程。
5、图3.5所示电路已达稳态，现增大R值，则该电路（ ）
A、因为发生换路，要产生过渡过程
B、因为电容C的储能值没有变，所以不产生过渡过程
C、因为有储能元件且发生换路，要产生过渡过程
6、图3.6所示电路在开关S断开之前电路已达稳态，若在t=0时将开关S断开，则电路中L上通过的电流为（ ）
A、2A
B、0A
C、－2A
7、图3.6所示电路，在开关S断开时，电容C两端的电压为（ ）
A、10V B、0V C、按指数规律增加
四、简答题（建议每小题3～5分）
1、何谓电路的过渡过程？包含有哪些元件的电路存在过渡过程？
2、什么叫换路？在换路瞬间，电容器上的电压初始值应等于什么？
3、在RC充电及放电电路中，怎样确定电容器上的电压初始值？
4、“电容器接在直流电源上是没有电流通过的”这句话确切吗？试完整地说明。
5、RC充电电路中，电容器两端的电压按照什么规律变化？充电电流又按什么规律变化？RC放电电路呢？
6、RL一阶电路与RC一阶电路的时间常数相同吗？其中的R是指某一电阻吗？
7、RL一阶电路的零输入响应中，电感两端的电压按照什么规律变化？电感中通过的电流又按什么规律变化？RL一阶电路的零状态响应呢？
8、通有电流的RL电路被短接，电流具有怎样的变化规律？
9、试说明在二阶电路中，过渡过程的性质取决于什么因素？
10、怎样计算RL电路的时间常数？试用物理概念解释：为什么L越大、R越小则时间常数越大？
五、计算分析题（根据实际难度定分，建议每题在6～12分范围）
1、电路如图5.1所示。开关S在t＝0时闭合。则
iL（0＋）为多大？
2、求图5.2所示电路中开关S在“1”和“2”位置时的时间常数。
3、图5.3所示电路换路前已达稳态，在t=0时将开关S断开，试求换路瞬间各支路电流及储能元件上的电压初始值。
4、求图5.3所示电路中电容支路电流的全响应。
