第二章流体流动与输送第三节 流体流动系统的质量衡算第四节 流体流动系统的能量衡算教学要求熟练掌握连续性方程、柏努利方程的内容及其在流体动力学中的应用。
本节重点连续性方程式和柏努利方程式的不同形式及其应用条件。
本节难点柏努利方程式的应用：正确选取截面及基准面，
解决流体流动问题。
1
1 2
1’ 2’
u1 A1?1= u2 A2?2=常数对于 不可压缩流体,密度可视为不变第三节 流体流动系统的质量衡算 —— 连续性方程连续性方程式是质量守恒定律的一种表现形式，本节通过物料衡算进行推导。
对于圆形管道内不可压缩流体的稳定流动，可得到上两式。
对稳定流动系统，
在任意两流道截面间作物料衡算 21 mm
qq?
2
u1 A1= u2 A2 u1 /u2 = (d2/d1)2
连续性方程式反映了一定流量下，管路各截面上流速的变化规律。
〖 结论 〗 不可压缩流体流经各截面的体积流量也不变；流量一定时，不可压缩流体的流速与管内径平方成反比 。
〖 说明 〗
1,上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排及管路上是否装有管件、阀门或输送设备等无关；
2.上述公式适用于连续介质 。
3
1 2 3
d1= 2.5cm
d2=10cm
d3= 5cm
(1)当流量为 4升 /秒时,
各段流速?
(2)当流量为 8升 /秒时,
各段流速?
2
2
1
12 )( d
d
uu?
2)
100
5.2
(785.0
004.0
A
qu V?
1
sm /15.8?
2)
10
5.2(15.8?
sm /51.0?
[例题 2-7]如下图的变径管路
4
(1)
1 2 3
d1=2.5cm
d2=10cm
d3=5cm
(1)当流量为 4升 /秒时,各段流速?
(2)当流量为 8升 /秒时,各段流速?
∵
∴ u’ = 2u
u1’= 16.3m/s
u2’=1.02m/s
u3’=4.08m/s
sm
d
d
uu
/04.2
)( 2
3
1
13
例题 2-7:如下图的变径管路
VV qq 2
5
(2)
第四节 流体流动系统的能量衡算柏努利方程式 (Bernoulli′s equation)
柏努利方程式的推导方法一般有两种
（ 1） 流体力学法依据牛顿第二定律，从力和运动的关系，导出能量之间的关系。
（ 2） 能量衡算法依据热力学第一、二定律，直接考虑流体流动过程中的能量关系。
本节采用后者。
推导思路：从解决流体输送问题的实际需要出发，采取逐渐简化的方法，即先进行流体系统的总能量衡算（包括热能和内能），再进行流动系统的机械能衡算（消去热能和内能），然后得出不可压缩流体稳定流动的机械能衡算 — 柏努利方程式。
6
柏努利方程式推导的基本 假设流体在流动过程中无摩擦损失；
流体在管道内作稳定流动；
在管截面上流体质点的速度分布是均匀的；
流体的压力、密度都取在管截面上的平均值；
流体质量流量为,管截面积为 A。
mq
7
一,流动系统的总能量衡算如图所示的流体流动系统中，
在稳定条件下，以单位时间为衡算基准，设在单位时间内有质量为 m的流体通过管截面 1进入划定体积的管路系统，因是稳定流动，则必有质量为 m的流体从截面 2输出。下面先对该系统进行总能量衡算。
8
1kg 流体进、出系统时输入和输出的能量能 量形 式意 义 １ kg流体的能量 J/kg
输 入 输 出内能 物质内部能量的总和 U1 U2
位能 将 1kg的流体自基准水平面升举到某高度 Z所作的功 gz1 gz2
动能 将 1kg的流体从静止加速到速度 u
所作的功静压能 1kg流体克服截面压力 p所作的功 p
1v1 p2v2
热 换热器向 1kg流体供应的或从 1kg
流体取出的热量
Qe（ 外界向系统为正）
外功 1kg流体通过泵 (或其他输送设备 )
所获得的有效能量 We
(1/2)u12 (1/2)u22
9
静压能（压力能）
将流体送入截面 1需要对抗静压力做功，所做的功成为流体的静压能输入划定体积。
在截面 1，流体的静压力为 p1，
整个截面所受到的总压力为
p1A1，若质量为 m的流体的体积为 V1，则流体通过截面 1所经过的距离 l1为,l1 =V1/A1
质量为 m的流体在力 p1A1的作用下走了 l1的距离所做的功为
p1A1l1= p1A1,V1/A1= p1.V1
这种功是流体在流动过程中才产生的，故也称为流动功。
从截面 2伴随流体输出压力能 p2V2。
A1V
1
10
一类是 机械能,包括 位能、动能、静压能 三项。此类能量在流体流动过程中可以相互转变，也可以转变为热或流体的内能。
另一类为内能和热，这二者在流动系统内不能直接转变为用于输送流体的机械能。
22
2
22211
2
111 2
1
2
1 vpugzUWQvpugzU
ee
ee QWpvuzgU 2 2
列出 总能量衡算式
11
据热力学第二定律, 2
1
v
ve pdvQU
21vv pdv —— 1kg流体从 1-1’ 至 2-2’ 中，因体积膨胀而作的功。
eQ?
—— 1kg流体从 1-1’ 至 2-2’ 所获得的总热量。
fee hQQ
而其中 —— 每 1kg流体从 1-1’至 2-2’过程中为克服流动阻力而消耗的机械能变成了热，使流体温度升高。 fh
21vvfe pdvhQU
2121)( vvpp pdvv d ppv?
而
fepp hWv d puzg 2
12
2?
∴
故此即为流动系统的 总 机械能衡算式
12
二、柏努利方程式
22
2
22
2
2
11
1
upgzupgz
1.不可压缩的理想流体理想流体,流动过程中无流动阻力 。且设 。0 fh 0?
eW
则有讨论：
1)应用条件不可压缩 的 理想流体 作 稳定流动 而 无外加能量 输入。
2)物理意义总机械能守恒，各种形式的机械能（位能、动能、静压能）可互相转换。
3)各项机械能的单位皆为 J/kg。
4)流体静止，此方程即为静力学方程。
13
5）柏努利方程式应用于气体时如何处理？
对于气体，若管道两截面间压力差很小，如
p1－ p2≤0.2p1，密度 ρ变化也很小，此时柏努利方程式仍可适用。计算时密度可采用两截面的平均值，可以作为不可压缩流体处理。
14
当气体在两截面间的压力差较大时，应考虑流体压缩性的影响，必须根据过程的性质
（等温或绝热）按热力学方法处理，在此不再作进一步讨论能量的转换连通变径管
h2
h1 h3
h4
15
gu 221
gu 222
gp?1
gp?2
H
z22
1
0
16
二,柏努利方程式
2.实际流体（不可压缩）
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1 [ / ]J kg
1) 1kg流体
2) 1N流体
fe Hg
u
g
pzH
g
u
g
pz
22
2
22
2
2
11
1
mNJ?/
各项单位为 m：表示单位重量流体具有的机械能,
相当把单位重量流体升举的高度。各项称为 压头 。
17
二,柏努利方程式
2.实际流体（不可压缩）
fh
upgzWupgz
22
2
2
22
2
1
11
3) 1m3流体
PamJ?3/
各项单位为 Pa：表示单位体积流体具有的机械能。
上面三式是柏努利方程式的引申，习惯上也称柏努利方程式。
18
实际流体的柏努利方程式的讨论
应用条件,不可压缩流体的稳定流动过程。
方程式中 gz,u2/2,p/ρ指某截面流体具有的能量,W、
∑hf指流体在两截面间所获得和消耗的能量。
能量损失 (阻力损失 ) ∑hf,
总机械能从某一截面到另一截面的损失量；是永久损失，
不能恢复；,∑”指直管和局部阻力损失量之和。
外功 W：
补充流体的总机械能；是输送设备对单位质量流体所做的有效功。因此，根据这一数据可以选择流体输送设备。
19
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1
1、截面的选择 —— 关键
1）两截面间流体必须 连续；
2）两截面与流动方向相 垂直 （平行流处，不要选取阀门、弯头等部位）；
3）所求的 未知量应在截面上或在两截面之间 出现；
4） 截面上已知量较多 （除所求取的未知量外，都应是已知的或能计算出来，且两截面上的 u,p、
z与两截面间的 ∑hf都应相互对应一致 )。
三,柏努利方程式应用注意事项
20
三,柏努利方程式应用注意事项
2,选取基准水平面原则上基准水平面可以任意选取，但为了计算方便，常取确定系统的两个截面中较低的一个作为基准水平面。如衡算系统为水平管道，
则基准水平面通过管道的中心线。
若所选截面平行于基准面，以两截面间的垂直距离为位头 z值；若所选截面不平行于基准面，
则以截面中心位置到基准面的垂直距离为 z值。
z1,z2可正可负，但要注意正负。
21
三,柏努利方程式应用注意事项
3,各物理量取值及采用单位方程中的压强 p、速度 u是指整个截面的平均值，
对大截面 u =0；
各物理量必须采用 一致的单位制 。尤其两截面上的压强不仅要求单位一致，还要求表示方法一致，即均用绝压、均用表压表或真空度。
4,衡算范围内所含的外部功及阻力损失应完全考虑进去，
不应遗漏。
5．连续性方程可作为一已知条件用。（ ）
6．静力学方程也可作为一个已知条件用。
（ ）
2211 AuAu?
ghpp 0
22
四,柏努利方程式的应用应用柏努利方程式解题步骤
绘出示意图根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向。
正确选取截面定出上、下游截面，以明确流动系统的衡算范围。
选取基准水平面
计算截面上的各能量,求解
23
利用柏努利方程式解决工程上的实际问题
1.确定容器的相对位置
2.确定流体流量由柏努利方程求流速 u(u2或 u1)，流量。
3.确定输送设备的有效功率由柏努利方程求外加功 Ｗ,有效功率 Pe=W·ws 。
4.确定流体在某截面处的压强由柏努利方程求 p(p1或 p2)。
24
[例 2-8]用泵将贮槽 (通大气 )中的稀碱液送到蒸发器中进行浓缩，
如附图 所示。泵的进口管为 φ89× 3.5mm的钢管，碱液在进口管的流速为 1.5m/s，泵的出口管为 φ76 × 2.5mm的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发器入口处的垂直距离为 7m，碱液经管路系统的能量损失为 40J/kg，蒸发器内碱液蒸发压力（表压）保持在 20kPa，碱液的密度为 1100kg/m3。试计算所需的外加能量。
25
解,解题要求规范化设贮槽的液面为 1－ 1截面，蒸发器入口处为 2－ 2截面，在两截面之间列柏努利方程：
已知 z1=0(基准面 ),z2 =7m； p1=0(表压 ),p2 =20kPa (表压 ),
u1?0（大截面）,
u2=u(d2/d1)2=1.5( (89-2× 3.5) /(76-2× 2.5))2=2.0m/s
KgJh f /40 3/1 1 0 0 mKg
将以上数据代入柏努利方程得：
kgJW e /12940206.21100 102081.97
23
26
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1
[例 2-9]容器 B 内保持一定真空度，溶液从敞口容器 A 经内径为 30mm导管自动流入容器 B 中。
容器 A 的液面距导管出口的高度为 1.5m，管路阻力损失可按
hf = 5.5u2 计算（不包括导管出口的局部阻力），溶液密度为
1100kg/m3。
试计算：送液量每小时为 3m3 时，
容器 B 内应保持的真空度 p真 。
B
A
1 1
2 2
1,5 m
抽真空
a
p
p
真解：取容器 A的液面 1-1截面为基准面，导液管出口为 2-2截面，
在该两截面间列柏努利方程，有
fh
ugzpugzp
22
2
2
2
2
2
1
1
1
27
smdqu V 18.103.0785.0 360034 222
222 5.55.5 uuh f
aP
u
u
gzp
42
2
2
2
2
2
1054.2110018.10.681.95.1
5.5
2
真已知 )(
1 绝压app? )(2 绝压真ppp a
0,5.1,0 121 umzz
28
或 )(
2 表压真pp)(01 表压?p
作业,P67,T5,T6,P68:T12。
29
本节重点连续性方程式和柏努利方程式的不同形式及其应用条件。
本节难点柏努利方程式的应用：正确选取截面及基准面，
解决流体流动问题。
1
1 2
1’ 2’
u1 A1?1= u2 A2?2=常数对于 不可压缩流体,密度可视为不变第三节 流体流动系统的质量衡算 —— 连续性方程连续性方程式是质量守恒定律的一种表现形式，本节通过物料衡算进行推导。
对于圆形管道内不可压缩流体的稳定流动，可得到上两式。
对稳定流动系统，
在任意两流道截面间作物料衡算 21 mm
qq?
2
u1 A1= u2 A2 u1 /u2 = (d2/d1)2
连续性方程式反映了一定流量下，管路各截面上流速的变化规律。
〖 结论 〗 不可压缩流体流经各截面的体积流量也不变；流量一定时，不可压缩流体的流速与管内径平方成反比 。
〖 说明 〗
1,上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排及管路上是否装有管件、阀门或输送设备等无关；
2.上述公式适用于连续介质 。
3
1 2 3
d1= 2.5cm
d2=10cm
d3= 5cm
(1)当流量为 4升 /秒时,
各段流速?
(2)当流量为 8升 /秒时,
各段流速?
2
2
1
12 )( d
d
uu?
2)
100
5.2
(785.0
004.0
A
qu V?
1
sm /15.8?
2)
10
5.2(15.8?
sm /51.0?
[例题 2-7]如下图的变径管路
4
(1)
1 2 3
d1=2.5cm
d2=10cm
d3=5cm
(1)当流量为 4升 /秒时,各段流速?
(2)当流量为 8升 /秒时,各段流速?
∵
∴ u’ = 2u
u1’= 16.3m/s
u2’=1.02m/s
u3’=4.08m/s
sm
d
d
uu
/04.2
)( 2
3
1
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例题 2-7:如下图的变径管路
VV qq 2
5
(2)
第四节 流体流动系统的能量衡算柏努利方程式 (Bernoulli′s equation)
柏努利方程式的推导方法一般有两种
（ 1） 流体力学法依据牛顿第二定律，从力和运动的关系，导出能量之间的关系。
（ 2） 能量衡算法依据热力学第一、二定律，直接考虑流体流动过程中的能量关系。
本节采用后者。
推导思路：从解决流体输送问题的实际需要出发，采取逐渐简化的方法，即先进行流体系统的总能量衡算（包括热能和内能），再进行流动系统的机械能衡算（消去热能和内能），然后得出不可压缩流体稳定流动的机械能衡算 — 柏努利方程式。
6
柏努利方程式推导的基本 假设流体在流动过程中无摩擦损失；
流体在管道内作稳定流动；
在管截面上流体质点的速度分布是均匀的；
流体的压力、密度都取在管截面上的平均值；
流体质量流量为,管截面积为 A。
mq
7
一,流动系统的总能量衡算如图所示的流体流动系统中，
在稳定条件下，以单位时间为衡算基准，设在单位时间内有质量为 m的流体通过管截面 1进入划定体积的管路系统，因是稳定流动，则必有质量为 m的流体从截面 2输出。下面先对该系统进行总能量衡算。
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1kg 流体进、出系统时输入和输出的能量能 量形 式意 义 １ kg流体的能量 J/kg
输 入 输 出内能 物质内部能量的总和 U1 U2
位能 将 1kg的流体自基准水平面升举到某高度 Z所作的功 gz1 gz2
动能 将 1kg的流体从静止加速到速度 u
所作的功静压能 1kg流体克服截面压力 p所作的功 p
1v1 p2v2
热 换热器向 1kg流体供应的或从 1kg
流体取出的热量
Qe（ 外界向系统为正）
外功 1kg流体通过泵 (或其他输送设备 )
所获得的有效能量 We
(1/2)u12 (1/2)u22
9
静压能（压力能）
将流体送入截面 1需要对抗静压力做功，所做的功成为流体的静压能输入划定体积。
在截面 1，流体的静压力为 p1，
整个截面所受到的总压力为
p1A1，若质量为 m的流体的体积为 V1，则流体通过截面 1所经过的距离 l1为,l1 =V1/A1
质量为 m的流体在力 p1A1的作用下走了 l1的距离所做的功为
p1A1l1= p1A1,V1/A1= p1.V1
这种功是流体在流动过程中才产生的，故也称为流动功。
从截面 2伴随流体输出压力能 p2V2。
A1V
1
10
一类是 机械能,包括 位能、动能、静压能 三项。此类能量在流体流动过程中可以相互转变，也可以转变为热或流体的内能。
另一类为内能和热，这二者在流动系统内不能直接转变为用于输送流体的机械能。
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2
22211
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111 2
1
2
1 vpugzUWQvpugzU
ee
ee QWpvuzgU 2 2
列出 总能量衡算式
11
据热力学第二定律, 2
1
v
ve pdvQU
21vv pdv —— 1kg流体从 1-1’ 至 2-2’ 中，因体积膨胀而作的功。
eQ?
—— 1kg流体从 1-1’ 至 2-2’ 所获得的总热量。
fee hQQ
而其中 —— 每 1kg流体从 1-1’至 2-2’过程中为克服流动阻力而消耗的机械能变成了热，使流体温度升高。 fh
21vvfe pdvhQU
2121)( vvpp pdvv d ppv?
而
fepp hWv d puzg 2
12
2?
∴
故此即为流动系统的 总 机械能衡算式
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二、柏努利方程式
22
2
22
2
2
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1
upgzupgz
1.不可压缩的理想流体理想流体,流动过程中无流动阻力 。且设 。0 fh 0?
eW
则有讨论：
1)应用条件不可压缩 的 理想流体 作 稳定流动 而 无外加能量 输入。
2)物理意义总机械能守恒，各种形式的机械能（位能、动能、静压能）可互相转换。
3)各项机械能的单位皆为 J/kg。
4)流体静止，此方程即为静力学方程。
13
5）柏努利方程式应用于气体时如何处理？
对于气体，若管道两截面间压力差很小，如
p1－ p2≤0.2p1，密度 ρ变化也很小，此时柏努利方程式仍可适用。计算时密度可采用两截面的平均值，可以作为不可压缩流体处理。
14
当气体在两截面间的压力差较大时，应考虑流体压缩性的影响，必须根据过程的性质
（等温或绝热）按热力学方法处理，在此不再作进一步讨论能量的转换连通变径管
h2
h1 h3
h4
15
gu 221
gu 222
gp?1
gp?2
H
z22
1
0
16
二,柏努利方程式
2.实际流体（不可压缩）
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1 [ / ]J kg
1) 1kg流体
2) 1N流体
fe Hg
u
g
pzH
g
u
g
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22
2
22
2
2
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1
mNJ?/
各项单位为 m：表示单位重量流体具有的机械能,
相当把单位重量流体升举的高度。各项称为 压头 。
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二,柏努利方程式
2.实际流体（不可压缩）
fh
upgzWupgz
22
2
2
22
2
1
11
3) 1m3流体
PamJ?3/
各项单位为 Pa：表示单位体积流体具有的机械能。
上面三式是柏努利方程式的引申，习惯上也称柏努利方程式。
18
实际流体的柏努利方程式的讨论
应用条件,不可压缩流体的稳定流动过程。
方程式中 gz,u2/2,p/ρ指某截面流体具有的能量,W、
∑hf指流体在两截面间所获得和消耗的能量。
能量损失 (阻力损失 ) ∑hf,
总机械能从某一截面到另一截面的损失量；是永久损失，
不能恢复；,∑”指直管和局部阻力损失量之和。
外功 W：
补充流体的总机械能；是输送设备对单位质量流体所做的有效功。因此，根据这一数据可以选择流体输送设备。
19
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1
1、截面的选择 —— 关键
1）两截面间流体必须 连续；
2）两截面与流动方向相 垂直 （平行流处，不要选取阀门、弯头等部位）；
3）所求的 未知量应在截面上或在两截面之间 出现；
4） 截面上已知量较多 （除所求取的未知量外，都应是已知的或能计算出来，且两截面上的 u,p、
z与两截面间的 ∑hf都应相互对应一致 )。
三,柏努利方程式应用注意事项
20
三,柏努利方程式应用注意事项
2,选取基准水平面原则上基准水平面可以任意选取，但为了计算方便，常取确定系统的两个截面中较低的一个作为基准水平面。如衡算系统为水平管道，
则基准水平面通过管道的中心线。
若所选截面平行于基准面，以两截面间的垂直距离为位头 z值；若所选截面不平行于基准面，
则以截面中心位置到基准面的垂直距离为 z值。
z1,z2可正可负，但要注意正负。
21
三,柏努利方程式应用注意事项
3,各物理量取值及采用单位方程中的压强 p、速度 u是指整个截面的平均值，
对大截面 u =0；
各物理量必须采用 一致的单位制 。尤其两截面上的压强不仅要求单位一致，还要求表示方法一致，即均用绝压、均用表压表或真空度。
4,衡算范围内所含的外部功及阻力损失应完全考虑进去，
不应遗漏。
5．连续性方程可作为一已知条件用。（ ）
6．静力学方程也可作为一个已知条件用。
（ ）
2211 AuAu?
ghpp 0
22
四,柏努利方程式的应用应用柏努利方程式解题步骤
绘出示意图根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向。
正确选取截面定出上、下游截面，以明确流动系统的衡算范围。
选取基准水平面
计算截面上的各能量,求解
23
利用柏努利方程式解决工程上的实际问题
1.确定容器的相对位置
2.确定流体流量由柏努利方程求流速 u(u2或 u1)，流量。
3.确定输送设备的有效功率由柏努利方程求外加功 Ｗ,有效功率 Pe=W·ws 。
4.确定流体在某截面处的压强由柏努利方程求 p(p1或 p2)。
24
[例 2-8]用泵将贮槽 (通大气 )中的稀碱液送到蒸发器中进行浓缩，
如附图 所示。泵的进口管为 φ89× 3.5mm的钢管，碱液在进口管的流速为 1.5m/s，泵的出口管为 φ76 × 2.5mm的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发器入口处的垂直距离为 7m，碱液经管路系统的能量损失为 40J/kg，蒸发器内碱液蒸发压力（表压）保持在 20kPa，碱液的密度为 1100kg/m3。试计算所需的外加能量。
25
解,解题要求规范化设贮槽的液面为 1－ 1截面，蒸发器入口处为 2－ 2截面，在两截面之间列柏努利方程：
已知 z1=0(基准面 ),z2 =7m； p1=0(表压 ),p2 =20kPa (表压 ),
u1?0（大截面）,
u2=u(d2/d1)2=1.5( (89-2× 3.5) /(76-2× 2.5))2=2.0m/s
KgJh f /40 3/1 1 0 0 mKg
将以上数据代入柏努利方程得：
kgJW e /12940206.21100 102081.97
23
26
fe h
upgzWupgz?
22
2
22
2
2
11
1
[例 2-9]容器 B 内保持一定真空度，溶液从敞口容器 A 经内径为 30mm导管自动流入容器 B 中。
容器 A 的液面距导管出口的高度为 1.5m，管路阻力损失可按
hf = 5.5u2 计算（不包括导管出口的局部阻力），溶液密度为
1100kg/m3。
试计算：送液量每小时为 3m3 时，
容器 B 内应保持的真空度 p真 。
B
A
1 1
2 2
1,5 m
抽真空
a
p
p
真解：取容器 A的液面 1-1截面为基准面，导液管出口为 2-2截面，
在该两截面间列柏努利方程，有
fh
ugzpugzp
22
2
2
2
2
2
1
1
1
27
smdqu V 18.103.0785.0 360034 222
222 5.55.5 uuh f
aP
u
u
gzp
42
2
2
2
2
2
1054.2110018.10.681.95.1
5.5
2
真已知 )(
1 绝压app? )(2 绝压真ppp a
0,5.1,0 121 umzz
28
或 )(
2 表压真pp)(01 表压?p
作业,P67,T5,T6,P68:T12。
29
