第三章：矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大,
引例
)1(
消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
)( 3B
)( 4B
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
,
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
3
4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
矩阵的初等变换定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
）记作行乘（第 krki i?,
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为矩阵的 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或等价关系的性质：；反身性）（ A A 1?
A;B,B A 2 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
B
1
97963
21132
21112
41211
B?
21 rr?
23?r
3
31000
62000
01110
41211
B?
97963
21132
21112
41211
1
B
13
32
2rr
rr
14 3rr?
2
34330
63550
02220
41211
B?
13
32
2rr
rr
14 3rr?
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
5
00000
31000
30110
40101
B?
31000
62000
01110
41211
3
B
43 rr?
34 2rr?
4
00000
31000
01110
41211
B?
43 rr?
34 2rr?
21 rr?
32 rr?
对应的方程组为5B?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
方程组的解可记作或令,3 cx?
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
3
0
3
4
0
1
1
1
c
.为任意常数其中 c
.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
（ 2）、每个台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
.
1
5
的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
00000
31000
30110
40101
5
B
214 ccc
3215 334 cccc
例如,
F?
00000
00100
00010
00001
43 cc?
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm?
nm
r
OO
OEF
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,
A
F
三、小结
1.初等行 (列 )变换
;1 jiji ccrr
;2 kckr ii
.3 jiji kcckrr
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
3.矩阵等价具有的性质
;1 反身性 ;2 对称性,3 传递性
2,A 初等变换 B,~ BA?
引例
)1(
消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
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1
3
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2
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3
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,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
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xxx
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1
3
4
2
)( 3B
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,3
,62
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1
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3
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2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
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.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
,
3
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c
c
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x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
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4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
矩阵的初等变换定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
）记作行乘（第 krki i?,
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为矩阵的 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或等价关系的性质：；反身性）（ A A 1?
A;B,B A 2 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
B
1
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3
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.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
（ 2）、每个台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
.
1
5
的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
00000
31000
30110
40101
5
B
214 ccc
3215 334 cccc
例如,
F?
00000
00100
00010
00001
43 cc?
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm?
nm
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OO
OEF
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,
A
F
三、小结
1.初等行 (列 )变换
;1 jiji ccrr
;2 kckr ii
.3 jiji kcckrr
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
3.矩阵等价具有的性质
;1 反身性 ;2 对称性,3 传递性
2,A 初等变换 B,~ BA?
