定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
一、初等矩阵的概念
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE?
对调两行或两列、1
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm )(),(
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，
AjiEn n ),(
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03?k
，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
1
1
1
1
))((
k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
1
222221
111111
))((
定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
初等变换 初等矩阵初等逆变换 初等逆矩阵二、初等矩阵的应用
),(),( 1 ；则的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
则
，的逆变换为变换
1))(,(,))((,1),(
))(,())(,(
) ),(())((),,(),(
kjiEkkiEjiE
kijEkjiE
kiEkiEjiEjiE
T
TT
初等阵是非奇异阵阵初等阵的转置仍是初等定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP使证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP?
APEPPPP lrr 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA?21 0
,11111 EAPPP ll,111111 AEPPP ll?及
EPPPAPPP llll 1111111111
1 AE
EAPPP ll 11111
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
AA 求设解例１
103620
012520
001321
1034
010122
001321
EA
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
111100
012520
011201
21 rr?
23 rr?
111100
563020
231001
31 2rr?
32 5rr?
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22r
）（ 13r
,
1 BA?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1?
即初等行变换例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX,其中使求矩阵解,1 BAXA可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
2301
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
31 2rr?
32 5rr?
，
31100
32010
23001
.
31
32
23
X
）（ 22r
）（ 13r
31100
64020
23001
31 2rr?
32 5rr?
.1 CAY即可得作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求?
C
ACAY
,CA 1?
CA
E列变换
),)(,(),1 TTTT CAECA?（ 行变换
TT1 C)( AY T即可得,C)( T1 TA
.Y即可求得
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求方阵已知
解例 3
,02A?,可逆A?
.1* AAA且
10001000
01001100
00101110
00012222
EA
10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
A
,2 1* AA?
n
ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 nn
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
;1?
E
AEA 或构造矩阵?
.,,
(,
,2
1
1
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对?
