说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量?x
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
一、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,1
的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
Ax
A
xAx
xnnA
0.3 EA?
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
次方程为未知数的一元称以 n? 0 EA?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 EAf 称其
,的为方阵 A特征多项式
则有的特征值为阶方阵设
,
,,,.4 21
n
ijaAn
;)1( 221121 nnn aaa
.)2( 21 An
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
;d et,1 EAA的特征多项式计算
;,,
,,0det,2 21
的全部特征值就是的全部根求特征方程
A
EA
n?
.,
0,.3
的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值
i
ii xEA
解例 1,31
13 的特征值和特征向量求?
A
的特征多项式为A
31
13
1)3( 2
)2)(4(68 2
.4,2 21的特征值为所以 A
,
0
0
231
123
,2
2
1
1
x
x
对应的特征向量应满足时当?
.0
,0
21
21
xx
xx 即
,21 xx?解得,11 1?
p取为所以对应的特征向量可
,
0
0
11
11
,
0
0
431
143
,4
2
1
2
1
2
x
x
x
x
即由时当?
.
1
1
,
2
21
p
xx 取为所以对应的特征向量可解得例２
.
201
034
011
的特征值和特征向量求矩阵
A
解,)1()2(
201
034
011
2
EA
A 的特征多项式为
.1,2 321的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 xEA?
,
000
010
001
001
014
013
2 ~
EA
,
1
0
0
1
p 得基础解系
.2)0( 11 的全部特征值是对应于所以kpk
由解方程时当,0)(,132 xEA
,
000
210
101
101
024
012
~
EA
,
1
2
1
2
p 得基础解系
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以kpk
例３ 设
,
314
020
112
A
求 A的特征值与特征向量．
解
314
020
112
EA
,2)1( 2
02)1( 2令
.2,1 321的特征值为得 A
由解方程时当,0,11 xEA?
,
000
010
101
414
030
111
~
EA
,
1
0
1
1
p得基础解系的全体特征向量为故对应于 11
).0( 1?kpk
由解方程时当,02,232 xEA
,
000
000
114
114
000
114
2 ~
EA
得基础解系为：
,
4
0
1
,
1
1
0
32
pp
:232 的全部特征向量为所以对应于
).0,( 323322 不同时为kk pkpk?
例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于的特征向量，则
x
,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 AA?
证明 xAx1
xAxxAAxA xxA 22
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm
.
,
征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA
可得由 xAx
xAxAAxA 111
xxA 11
,0,2可逆时当 A
.
,1111
的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA
.,,,,
,,,.,
,,,,,,1
21
21
2121
线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理
m
mm
m
ppp
p
ppmA
证明 使设有常数 mxxx,,,21?
.02211 mm pxpxpx?
则,02211 mm pxpxpxA?即
,0222111 mmm pxpxpx
类推之，有,0222111 mmkmkk pxpxpx
1,,2,1 mk?
二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
pxpxpx
0,,0,0
于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩
.
,0,,i?
,0,,0,0,,,2211mm pxpxpx
.,,2,10 mjpx jj即,0?jp但.,,2,10 mjx j故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp?
注意
１,属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
２,属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３,矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
Ax
xAxxAx 21,
xx 21
,021 x
,021由于,0?x则,与定义矛盾例 5 设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
0111 aaaAEf nnnA
.的特征多项式求 A T
解 AEf TA T
0111 aaa nnn
TAE
AE
.,0d e t,2
,0A3Ed e t,4
的一个特征值求满足条件阶方阵设
AAEAA
A
T
思考题思考题解答知由可逆故因为 0)3d e t (,,0d e t EAAA解
,3 的一个特征值是 A?
.
3
1
1
值的一个特征是从而 A
即得又由,16)2d e t()d e t( 2 EAAEAA TT
,4
d e t,0d e t,4d e t,16)( d e t 2
A
AAA 因此但于是
.34有一个特征值为故 A?
