第二节 向量组的线性相关性
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立才有时则只有当线性无关若
nn
n
n
.
,2,
线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义３
一、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
是两向量共线义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．
m,,,21? 2?m
m,,,21?
1?m
证明 充分性设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21? ma
即有
112211 mmma
二、线性相关性的判定故 01112211 mmm a
因 这 个数不全为 0,1,,,,121mm
故 线性相关,m,,,21?
必要性 设 线性相关,m,,,21?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk?
.02211 mmkkk
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21?
不妨设 则有,01?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用
).,,(,
0 A,0
21
2211
m
mm
A
xxxx
A
其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组结论
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
A
m
m
必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组
定理 4
下面举例说明定理的应用,
维向量组n
TnTT eee 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21,
.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n
解
.
),,,(
21
阶单位矩阵是的矩阵维单位坐标向量组构成
n
eeeE
n
n
.)(01 nERE,知由
.
)(
向量组是线性无关的知此，故由定理等于向量组中向量个数即 4ER
例１
，，，
7
4
2
5
2
0
1
1
1
321
.21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组
解
.
,
即可得出结论）的秩，利用定理，及（
），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵
），施行初等行变换变，，对矩阵（
4
21
321
321
已知例２
分析
751
421
201
),,( 321
~ 23 2
5 rr?,
000
220
201
.,,2),(
,,2),,(
2121
321321
线性无关向量组线性相关；，向量组可见
R
R
751
220
201
~ 12
rr?
13
12~
rr
rr
550
220
201
.,,,,
,,,,
321133322
211321
线性无关试证线性无关已知向量组
bbbbb
b
例3
0
,,
332211
321
bxbxbx
xxx 使设有
,0)()( 133322211 xxx ）（即
,0)()() 332221131 xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因 321
.0
,0
,0
32
21
31
xx
xx
xx
证
02
110
011
101
列式由于此方程组的系数行
.,,
0
321
321
线性无关向量组，所以故方程组只有零解
bbb
xxx
.,
,.,,,,
,,,,( 1)
11
21
也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
定理 5
）设（ 2
),,,2,1(,,
,1
2
1
2
1
mj
a
a
a
a
b
a
a
a
jr
rj
j
j
j
rj
j
j
j
.
,.
,,,,,
,,.
21
21
性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：则向量组线性无关
：若向量组添上一个分量后得向量即
AB
bbbB
Ab
mm
jj
.
3
时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（
m
nnm
.,
,,,,:
,,,,,( 4 )
1
21
且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
.2
,,11)()()(2
,.1)()(
),,,(),,,( 1
111
线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理线性相关若向量组
，有记）（
B
mARBRmAR
AARBR
aaaBaaA
mmm
证明
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（
说明列），只有因但从而有
，则线性无关若向量组有
，）记（
mBmBRmBR
mARABRAR
bbBA mmrmmr
()(.)(
)(,).()(
),,,(),(2 1)1(1
.B)( 线性无关，因此向量组故 mBR?
.,
12
结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明
.,,,
,)(,.)(),,,(
,,,3
21
21
21
线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（
m
m
mnm
m
mARmnnAR
Anm
.)(1
)(.1)(;)().()(
),,,,,(),,,,()4(
2121
mBRm
BRmmBRB
mARABRAR
bBA
mm
，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记
.
),,,(
,)()(
21
一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组由
A
bbx
mBRAR
m?
１,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
三、小结
.,
)3(
0 )2(
0 )1(
:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明
kk
思考题证明 （１）、（２）略．
（３） 充分性
.
,,0,0
,,,,
即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关
x
y
k
x
y
xyx
yx
必要性
.,
,0)(1,
线性相关知由定义则有不妨设
kk
思考题解答
0
,,,
,,,,,
2211
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mm
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使全为零的数如果存在不给定向量组注意
.0
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1
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成立才有时则只有当线性无关若
nn
n
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.
,2,
线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义３
一、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
是两向量共线义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．
m,,,21? 2?m
m,,,21?
1?m
证明 充分性设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21? ma
即有
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二、线性相关性的判定故 01112211 mmm a
因 这 个数不全为 0,1,,,,121mm
故 线性相关,m,,,21?
必要性 设 线性相关,m,,,21?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk?
.02211 mmkkk
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21?
不妨设 则有,01?k
.
1
3
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2
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2
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k
k
k
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即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用
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21
2211
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其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组结论
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,,,
21
21
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m
A
m
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必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组
定理 4
下面举例说明定理的应用,
维向量组n
TnTT eee 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21,
.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n
解
.
),,,(
21
阶单位矩阵是的矩阵维单位坐标向量组构成
n
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n
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.)(01 nERE,知由
.
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向量组是线性无关的知此，故由定理等于向量组中向量个数即 4ER
例１
，，，
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1
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321
.21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组
解
.
,
即可得出结论）的秩，利用定理，及（
），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵
），施行初等行变换变，，对矩阵（
4
21
321
321
已知例２
分析
751
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~ 23 2
5 rr?,
000
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201
.,,2),(
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2121
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线性无关向量组线性相关；，向量组可见
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13
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,,,,
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211321
线性无关试证线性无关已知向量组
bbbbb
b
例3
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,,
332211
321
bxbxbx
xxx 使设有
,0)()( 133322211 xxx ）（即
,0)()() 332221131 xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因 321
.0
,0
,0
32
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31
xx
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xx
证
02
110
011
101
列式由于此方程组的系数行
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0
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321
线性无关向量组，所以故方程组只有零解
bbb
xxx
.,
,.,,,,
,,,,( 1)
11
21
也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若
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定理 5
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时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（
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1
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且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
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111
线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理线性相关若向量组
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B
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.
.
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:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（
说明列），只有因但从而有
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12
结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明
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线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（
m
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2121
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，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记
.
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21
一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组由
A
bbx
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m?
１,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
三、小结
.,
)3(
0 )2(
0 )1(
:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明
kk
思考题证明 （１）、（２）略．
（３） 充分性
.
,,0,0
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即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关
x
y
k
x
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必要性
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,0)(1,
线性相关知由定义则有不妨设
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思考题解答
