第五节 线性方程组解的结构
１．解向量的概念设有齐次线性方程组
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
21
22221
11211
n
x
x
x
x
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x若 为方程 的0?Ax
解，则
1
21
11
1
n
x
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 x,x 0?Ax
21x
0?Ax也是 的解,
证明
02121 AAA
00 21 A,A?
.Axx 的解也是故 021
（ 2）若 为 的解,为实数，则也是 的解．
1x 0?Ax k
1?kx? 0?Ax
证明,kkAkA 0011
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21?Axt; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是?Axt
.
,,,0)2( 21
出线性表的任一解都可由 tAx
１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果
0
Ax
Axt
,,
0,,,21
ttkkkx2211
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
２．线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
~
,1
,111
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
n
rnrr
rn
x
x
x
bb
bb
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
0?Ax?
现对 取下列 组数：nr x,,x?1? rn?
n
r
r
x
x
x
2
1
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
分别代入
.,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
依次得?
rx
x
1
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
0
1
0
2
12
2
r
b
b
,
b
b
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
1
,
b
b
r
2
12
,
b
b
r
1
11
,?
下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基．
rn,,,21
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
由于 个 维向量rn? rn?
线性无关，
所以 个 维向量 亦线性无关,rn? n rn,,,21
.,,,)1( 21 线性无关证明 rn
.
,,,2)( 21
线性表示可由证明解空间的任一解都 rn
.
11
方程组的一个解为上述设 Tnrrx
,,,,rn 的线性组合再作21
rnnrr2211
由于 是 的解 故 也是 的解,
rn,,,21 0?Ax? 0?Ax,
.下面来证明
0
0
1
1
11
1
r
r
b
b
0
1
0
2
12
2
r
r
b
b
1
0
0
1
rn,r
rn,
n
b
b
rnnrr2211
n
r
r
r
c
c
2
1
1
,Ax 的解都是方程与由于 0 又等价于而 0?Ax
nrnrrrr
nrnr
xbxbx
xbxbx
,11
,11111
,都是此方程组的解与所以
n
r
r
r
c
c
2
1
1
n
r
r
r
2
1
1
由
.c,,c rr11
方程组故 是齐次线性方程组解空间的一个基,rn,,1
说明
１．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的 基础解系,
.kkkx rnrn2211
３．若 是 的基础解系，则其 通解 为
rn,,,21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
定理 1
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当 nAR?
,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例 1 求齐次线性方程组
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有
A
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3?
及令
x
x,
74
73
75
72
2
1?
及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
并由此得到通解例 2 解线性方程组
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
解
76513
12311
55312
34111
A
对系数矩阵施行初等行变换
00000
00000
13110
34111
~
,rn,n,rAR 352即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量,
5432
54321
3
34
xxxx
xxxxx代入
26220
26220
13110
34111
~
5
4
3
x
x
x
令,
0
1
0
,
0
0
1
.
1
0
0
所以原方程组的一个基础解系为
,
0
0
1
1
2
1
故原方程组的通解为,kkkx 332211
.k,k,k 为任意常数其中 321
,xx?
1
2
2
1依次得,?
1
2,?
3
1
,
0
1
0
3
1
2
,
1
0
0
1
2
3
例 3 ).()( ARAAR T?证明证,,维列向量为矩阵为设 nxnmA?;0)(
,0)(,0
xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(
AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 xAAAx T
).()( ARAAR T? 因此
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明 AAA,0 bb
.的解是方程所以 bAxx
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
.11 rnrnkkx?
其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
rnrnkk11
２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
３．与方程组 有解等价的命题bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
４．线性方程组的解法
（ 1）应用克莱姆法则
（ 2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，
计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．
例 4 求解方程组?
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
并有故方程组有解可见,,2)()( BRAR
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 xx取,2131 xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
xx
xxx
,1001
4
2?
及
x
x,
2
1
0
1
3
1?
及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
1213438
2362120
231213
711111
B
例 5 求下述方程组的解
000000
000000
2362120
711111
~
,,知方程组有解由 BRAR,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
令依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1?
x
x
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
求特解
.223,29,0 21543 xxxxx 得令所以方程组的通解为故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法
1213438
2362120
231213
711111
B
000000
000000
2362120
711111
~
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
１．齐次线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
1
111
rn,rr
rn,
bb
bb
~A 四、小结
（ 1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形
A
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
11
11111
0
由于令
.,,,
x
x
x
n
r
r
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
（ 2）得出,同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量．
rAR?
rn?
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
b
b
r
0
1
0
2
12
2
,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
1
2
12
1
111
得为齐次线性方程组的一个基础解系,
有解0?Ax nAR?
个解向量此时基础解系中含有 ARn?
nBRAR
nBRAR,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx?
２,线性方程组解的情况
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
bAx
ARmA
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
思考题
,1)(,3 ARmA 矩阵是解?
思考题解答
.
2130
无关的解向量个线性的基础解系中含有 Ax
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
21
2
3
1
31
.0 的基础解系中的解向量为?Ax
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
１．解向量的概念设有齐次线性方程组
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
21
22221
11211
n
x
x
x
x
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x若 为方程 的0?Ax
解，则
1
21
11
1
n
x
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 x,x 0?Ax
21x
0?Ax也是 的解,
证明
02121 AAA
00 21 A,A?
.Axx 的解也是故 021
（ 2）若 为 的解,为实数，则也是 的解．
1x 0?Ax k
1?kx? 0?Ax
证明,kkAkA 0011
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21?Axt; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是?Axt
.
,,,0)2( 21
出线性表的任一解都可由 tAx
１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果
0
Ax
Axt
,,
0,,,21
ttkkkx2211
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
２．线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
~
,1
,111
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
n
rnrr
rn
x
x
x
bb
bb
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
0?Ax?
现对 取下列 组数：nr x,,x?1? rn?
n
r
r
x
x
x
2
1
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
分别代入
.,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
依次得?
rx
x
1
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
0
1
0
2
12
2
r
b
b
,
b
b
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
1
,
b
b
r
2
12
,
b
b
r
1
11
,?
下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基．
rn,,,21
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
由于 个 维向量rn? rn?
线性无关，
所以 个 维向量 亦线性无关,rn? n rn,,,21
.,,,)1( 21 线性无关证明 rn
.
,,,2)( 21
线性表示可由证明解空间的任一解都 rn
.
11
方程组的一个解为上述设 Tnrrx
,,,,rn 的线性组合再作21
rnnrr2211
由于 是 的解 故 也是 的解,
rn,,,21 0?Ax? 0?Ax,
.下面来证明
0
0
1
1
11
1
r
r
b
b
0
1
0
2
12
2
r
r
b
b
1
0
0
1
rn,r
rn,
n
b
b
rnnrr2211
n
r
r
r
c
c
2
1
1
,Ax 的解都是方程与由于 0 又等价于而 0?Ax
nrnrrrr
nrnr
xbxbx
xbxbx
,11
,11111
,都是此方程组的解与所以
n
r
r
r
c
c
2
1
1
n
r
r
r
2
1
1
由
.c,,c rr11
方程组故 是齐次线性方程组解空间的一个基,rn,,1
说明
１．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的 基础解系,
.kkkx rnrn2211
３．若 是 的基础解系，则其 通解 为
rn,,,21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
定理 1
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当 nAR?
,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例 1 求齐次线性方程组
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有
A
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3?
及令
x
x,
74
73
75
72
2
1?
及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
并由此得到通解例 2 解线性方程组
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
解
76513
12311
55312
34111
A
对系数矩阵施行初等行变换
00000
00000
13110
34111
~
,rn,n,rAR 352即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量,
5432
54321
3
34
xxxx
xxxxx代入
26220
26220
13110
34111
~
5
4
3
x
x
x
令,
0
1
0
,
0
0
1
.
1
0
0
所以原方程组的一个基础解系为
,
0
0
1
1
2
1
故原方程组的通解为,kkkx 332211
.k,k,k 为任意常数其中 321
,xx?
1
2
2
1依次得,?
1
2,?
3
1
,
0
1
0
3
1
2
,
1
0
0
1
2
3
例 3 ).()( ARAAR T?证明证,,维列向量为矩阵为设 nxnmA?;0)(
,0)(,0
xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(
AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 xAAAx T
).()( ARAAR T? 因此
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明 AAA,0 bb
.的解是方程所以 bAxx
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
.11 rnrnkkx?
其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
rnrnkk11
２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
３．与方程组 有解等价的命题bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
４．线性方程组的解法
（ 1）应用克莱姆法则
（ 2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，
计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．
例 4 求解方程组?
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
并有故方程组有解可见,,2)()( BRAR
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 xx取,2131 xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
xx
xxx
,1001
4
2?
及
x
x,
2
1
0
1
3
1?
及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
1213438
2362120
231213
711111
B
例 5 求下述方程组的解
000000
000000
2362120
711111
~
,,知方程组有解由 BRAR,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
令依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1?
x
x
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
求特解
.223,29,0 21543 xxxxx 得令所以方程组的通解为故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法
1213438
2362120
231213
711111
B
000000
000000
2362120
711111
~
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
１．齐次线性方程组基础解系的求法
00
00
10
01
1
111
rn,rr
rn,
bb
bb
~A 四、小结
（ 1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形
A
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
11
11111
0
由于令
.,,,
x
x
x
n
r
r
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
（ 2）得出,同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量．
rAR?
rn?
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
b
b
r
0
1
0
2
12
2
,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
1
2
12
1
111
得为齐次线性方程组的一个基础解系,
有解0?Ax nAR?
个解向量此时基础解系中含有 ARn?
nBRAR
nBRAR,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx?
２,线性方程组解的情况
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
bAx
ARmA
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
思考题
,1)(,3 ARmA 矩阵是解?
思考题解答
.
2130
无关的解向量个线性的基础解系中含有 Ax
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
21
2
3
1
31
.0 的基础解系中的解向量为?Ax
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
