第四节 向 量 空 间说明
.,,VRV 则若
2,维向量的集合是一个向量空间,记作,n nR;,,VVV 则若一、向量空间的概念定义 1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指V
.,3 3 是一个向量空间维向量的全体 R例1
.33
,33
3R维向量，它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个
.
间
，也是一个向量空维向量的全体类似地,nRn
例 2 判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,0 221
解,V 是向量空间1
的任意两个元素因为对于 1V
TnTn bbaa,,,0,,,,0 22,V1?
122,,,0 Vbaba Tnn 有
,,,,0 12 Vaa Tn
例 3 判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,1 222
解
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
.V 不是向量空间2
,,,,1 22 Vaa Tn因为若维向量，集合为两个已知的设 nba,例4
RbaxV,
试判断集合是否为向量空间,
baxV 111,因为若是一个向量空间解
，bax 222 则有
,)()( 212121 Vbaxx
.)()( 111 Vbkakkx
.
,
间所生成的向量空量这个向量空间称为由向 ba
RaaaxV mmm,,,212211
间所生成的向量空由向量组 maaa,,,21?一般地，
为
.
,,
,,,
,,,,
21
2122112
2122111
11
VV
RbbbxV
RaaaxV
bbaa
sss
mmm
sm
试证：
记等价，与向量组设向量组
例5
.,,11 线性表示可由，则设 maaxVx证
,,,12 VxVx 则若类似地可证
.211221 VVVVVV,所以，因为线性表示，
可由线性表示，故可由因
s
sm
b
bxbbaa,,,,,,111
.2Vx?所以
，，则这就是说，若 21 VxVx
.21 VV?因此
.12 VV?因此定义 2 设有向量空间 及,若向量空间,
就说 是 的子空间,
21 VV?1V
2V1V
2V
实例
RV n?显然
.的子空间总是所以 RV n
二、子空间设 是由 维向量所组成的向量空间，V n;,,,)1( 21 线性无关r
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
那末，向量组 就称为向量 的一个 r,,,21 V
基,称为向量空间 的维数,并称 为 维向量空间,
Vr V r
三、向量空间的基与维数定义 3 设 是向量空间，如果 个向量
，且满足
r,,21V
Vr,?
R,,xV rrr 12211
（ 1）只含有零向量的向量空间称为 0维向量空间，因此它没有基．
说明
（ 3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为
r,,,21
V
V
（ 2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩,
V V
V
,
221
212
122
),,( 321
aaaA
,
24
30
41
),( 21
bbB
.
,,,,213321
线性表示用这个基的一个基，并把是验证 bbRaaa
设矩阵 例6
,~
,,,,3213321
EA
aaaRaaa
线性无关，即只要证的一个基，只要证是要证解
，
设
3322221122
3312211111,
axaxaxb
axaxaxb
,),,(),(
3231
2221
1211
32121
xx
xx
xx
aaabb
即
.AXB?记作
.
,,
)(
1
3
321
BAX
BEARaaa
EABA
变为时，变为的一个基，且当为则
，能变为施行初等行变换，若对矩阵?
24221
30212
41122
)( BA?
24221
30212
31111
)(31 321 rrr
~
55330
32030
31111
24221
30212
31111
)(31 321 rrr
~
13
12 2
rr
rr
~
3
5
3
5
110
1
3
2
010
31111
)3(2r
33?r ~
55330
32030
31111
13
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rr
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~
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
3
5
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5
110
1
3
2
010
31111
)3(2r
33?r ~
31 rr?
23 rr?
~
的一个基，且为，故因有 3321,,~ RaaaEA
,
3
2
1
1
3
2
3
4
3
2
),,(,
32121
aaabb
3
2
1100
1
3
2
010
3
4
3
2
001
) ( ~
初等行变换
BA
１．向量空间的概念：
向量的集合 对加法及数乘两种运算封闭 ；
由向量组生成的向量空间．
２．子空间的概念．
３．向量空间的基和维数：
求向量空间基和维数的方法．
四、小结
),,( l g),(,
),,(),(),(,
:
,,),(
为什么是不是向量空间数乘加法运算如下定义加法与数乘设
V
Rkbabak
bdcadcba
RbabaxV
k
T
思考题
,不是向量空间V解思考题解答
.
,,
还是正实数积因为两个正实数的和与对加法封闭显然 V
,对乘法不封闭但 V
.),0(),1( l g),1(
,),,1(
Vbbbk
kbV
kk
对任意实数中的元素比如
.,,VRV 则若
2,维向量的集合是一个向量空间,记作,n nR;,,VVV 则若一、向量空间的概念定义 1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指V
.,3 3 是一个向量空间维向量的全体 R例1
.33
,33
3R维向量，它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个
.
间
，也是一个向量空维向量的全体类似地,nRn
例 2 判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,0 221
解,V 是向量空间1
的任意两个元素因为对于 1V
TnTn bbaa,,,0,,,,0 22,V1?
122,,,0 Vbaba Tnn 有
,,,,0 12 Vaa Tn
例 3 判别下列集合是否为向量空间,
RxxxxxV nTn,,,,,1 222
解
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
.V 不是向量空间2
,,,,1 22 Vaa Tn因为若维向量，集合为两个已知的设 nba,例4
RbaxV,
试判断集合是否为向量空间,
baxV 111,因为若是一个向量空间解
，bax 222 则有
,)()( 212121 Vbaxx
.)()( 111 Vbkakkx
.
,
间所生成的向量空量这个向量空间称为由向 ba
RaaaxV mmm,,,212211
间所生成的向量空由向量组 maaa,,,21?一般地，
为
.
,,
,,,
,,,,
21
2122112
2122111
11
VV
RbbbxV
RaaaxV
bbaa
sss
mmm
sm
试证：
记等价，与向量组设向量组
例5
.,,11 线性表示可由，则设 maaxVx证
,,,12 VxVx 则若类似地可证
.211221 VVVVVV,所以，因为线性表示，
可由线性表示，故可由因
s
sm
b
bxbbaa,,,,,,111
.2Vx?所以
，，则这就是说，若 21 VxVx
.21 VV?因此
.12 VV?因此定义 2 设有向量空间 及,若向量空间,
就说 是 的子空间,
21 VV?1V
2V1V
2V
实例
RV n?显然
.的子空间总是所以 RV n
二、子空间设 是由 维向量所组成的向量空间，V n;,,,)1( 21 线性无关r
.,,,2)( 21 线性表示中任一向量都可由 rV
那末，向量组 就称为向量 的一个 r,,,21 V
基,称为向量空间 的维数,并称 为 维向量空间,
Vr V r
三、向量空间的基与维数定义 3 设 是向量空间，如果 个向量
，且满足
r,,21V
Vr,?
R,,xV rrr 12211
（ 1）只含有零向量的向量空间称为 0维向量空间，因此它没有基．
说明
（ 3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为
r,,,21
V
V
（ 2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩,
V V
V
,
221
212
122
),,( 321
aaaA
,
24
30
41
),( 21
bbB
.
,,,,213321
线性表示用这个基的一个基，并把是验证 bbRaaa
设矩阵 例6
,~
,,,,3213321
EA
aaaRaaa
线性无关，即只要证的一个基，只要证是要证解
，
设
3322221122
3312211111,
axaxaxb
axaxaxb
,),,(),(
3231
2221
1211
32121
xx
xx
xx
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即
.AXB?记作
.
,,
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1
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BAX
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EABA
变为时，变为的一个基，且当为则
，能变为施行初等行变换，若对矩阵?
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的一个基，且为，故因有 3321,,~ RaaaEA
,
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1
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2
001
) ( ~
初等行变换
BA
１．向量空间的概念：
向量的集合 对加法及数乘两种运算封闭 ；
由向量组生成的向量空间．
２．子空间的概念．
３．向量空间的基和维数：
求向量空间基和维数的方法．
四、小结
),,( l g),(,
),,(),(),(,
:
,,),(
为什么是不是向量空间数乘加法运算如下定义加法与数乘设
V
Rkbabak
bdcadcba
RbabaxV
k
T
思考题
,不是向量空间V解思考题解答
.
,,
还是正实数积因为两个正实数的和与对加法封闭显然 V
,对乘法不封闭但 V
.),0(),1( l g),1(
,),,1(
Vbbbk
kbV
kk
对任意实数中的元素比如
