第一节 n维向量的基本概念
,
,,,21
个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数
iai
nnn
aaan
i
n?
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
一,n 维向量
1.定义例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii
n维实向量
n维复向量第 1个分量第 n个分量第 2个分量确定飞机的状态，需要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20(
机身的仰角 )22(
机翼的转角 )(
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,(zyxa?
维向量的实际意义n
),,,( 21 nT aaaa
n
a
a
a
a
2
1
维向量写成一行，称为 行向量,通常用
TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,通常用等表示，如：
,,,ba
n
等表示，如：
2,n维向量的表示方法
3.向量的相等
4,零向量分量都是零的向量 0=（ 0,0,…,0）
注意维数，不能说零向量都相等。
),,( 21 naaa ),,( 21 nbbb
当且仅当
niba ii,,2,1, （要求维数相等）
5,负向量
),,( 21 naaa
,称
),,( 21 naaa 为? 的负向量，
显然 ）（,所以负向量是相互关系。
如果二、向量的线性运算
1,加法
),,(),,,2121 nn bbbaaa （
记为的和与为称 ),,,( 2211 nn bababa?
若
2.减法减法用加法定义，如果
),,(),,,2121 nn bbbaaa （
),,,2211 nn bababa
（当然的差，与），称为（定义
3.数乘设是一个数。的数乘，其中与为
（定义
),,),,,( 2121 nn aaaaaa
注,1,加法与数乘运算称为线性运算
2,线性运算满足 8条
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
)()(
0
0)(
1
)()()(
)(
)(
3,还有一些常用的结论
①
②
③
)1(
000 或，则一定有若
00
)(,0,0
，当且仅当注意
１．行向量和列向量总被看作是 两个不同的向量 ；
２．行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，
都当作 列向量,
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
),,,( 21 nT aaaa
坐标系三、向量空间
RxxxxxxxR nnn T,,,),,,( 2121
bxaxaxaxxxx nnn T 221 121 ),,,(?
叫做 维向量空间,n
时,维向量没有直观的几何形象．n3?n
叫做 维向量空间 中的 维超平面,Rnn 1?n
合维向量的全体组成的集n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
四、向量、向量组与矩阵
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
T
B
2
1
),,,( 21 mA
b xaxaxa nn?2211
线性方程组的向量表示
.
,
,
2211
22222121
11212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应,
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
定义 2
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
mmb 2211
，使，，一组数如果存在和向量给定向量组
m
m bA
,
,,,,,
21
21
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示,
b
A
.),,(
),(
21
21
的秩，，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
定理 1
定义 3
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
向量组 能由向量组 线性表示向量组等价,
B A
使在数存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
sm
kkk
sjbA
BbbbBA
mmjjjj kkkb2211,),,,
2
1
21
mj
j
j
m
k
k
k
（
),,,21 sbbb?（
从而
msmm
s
s
m
kkk
kkk
kkk
21
22221
11211
21
),,,（
,)( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK
矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若
BA
CBAC nssmnm
snss
n
n
sn
kkb
bbb
bbb
ccc
21
22221
11211
2121
),,,),,,（（
T
s
T
T
msmm
s
s
T
m
T
T
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
2
1
：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时,ABC,
.
,
的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，
由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵
BA
BA
A
BA
BBA
.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵
B
ABA
.
价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组
B
ABA
AB
AB
A
A
),()(
,),,,,,,,(),(
),,,(
,,,:
,,,::2
:,7
),,,(),,,(:
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2121
21
21
21
2121
2121
21
21
BARAR
bbbaaaBA
aaaA
aaaA
bbbB
bbbXaaa
KaaabbbK
aaaA
bbbB
lm
m
m
l
lm
mllm
m
l
即的秩的秩等于矩阵矩阵线性表示的充要条件是能由向量组向量组定理立即可得由上章定理有解矩阵方程也就是使其涵义是存在矩阵线性表示能由向量组向量组按定义
),()()(:),,(),(
),()(),()(
,2,:
.
),()()(
,,,:,,,::
2121
BARBRARABRBAR
ABRBRBARAR
BA
BABA
BARBRAR
bbbBaaaA
lm
即而且等价的充要条件是知它们由定理组能相互线性表示组与因证所构成的矩阵和是向量组和其中等价的充要条件是与向量组向量组推论
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),()(2,
),,,(),,,,(:
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2121
2121
21
21
ARBRBARBR
BARAR
bbbBaaaA
aaaRbbbR
aaaA
bbbB
lm
ml
m
l
因此而有根据定理由定理的条件记证则线性表示能由向量组设向量组定理
有解方程使矩阵存在线性表示能由向量组向量组从而有矩阵的对应其基础是向量组与上述各定理之间的对应即有从而由上章定理使有矩阵条件按定理事实上对应可与上章定理而定理对应上章定理与定理对应与上章定理前面我们把定理
BAXAKBK
AB
ARBR
AKBK
,
:,
,
)()(,
,,,,
,,
,
8
3
837
251
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个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数
iai
nnn
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分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
一,n 维向量
1.定义例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii
n维实向量
n维复向量第 1个分量第 n个分量第 2个分量确定飞机的状态，需要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20(
机身的仰角 )22(
机翼的转角 )(
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,(zyxa?
维向量的实际意义n
),,,( 21 nT aaaa
n
a
a
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2
1
维向量写成一行，称为 行向量,通常用
TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,通常用等表示，如：
,,,ba
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等表示，如：
2,n维向量的表示方法
3.向量的相等
4,零向量分量都是零的向量 0=（ 0,0,…,0）
注意维数，不能说零向量都相等。
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当且仅当
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5,负向量
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,称
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显然 ）（,所以负向量是相互关系。
如果二、向量的线性运算
1,加法
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记为的和与为称 ),,,( 2211 nn bababa?
若
2.减法减法用加法定义，如果
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),,,2211 nn bababa
（当然的差，与），称为（定义
3.数乘设是一个数。的数乘，其中与为
（定义
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注,1,加法与数乘运算称为线性运算
2,线性运算满足 8条
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
)()(
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1
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)(
)(
3,还有一些常用的结论
①
②
③
)1(
000 或，则一定有若
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，当且仅当注意
１．行向量和列向量总被看作是 两个不同的向量 ；
２．行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，
都当作 列向量,
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象,可随意平行移动的有向线段代数形象,向量的坐 标 表 示 式
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坐标系三、向量空间
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叫做 维向量空间,n
时,维向量没有直观的几何形象．n3?n
叫做 维向量空间 中的 维超平面,Rnn 1?n
合维向量的全体组成的集n
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
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四、向量、向量组与矩阵
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矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
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方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应,
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，对于任何一给定向量组
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21
21
定义 2
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
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线性组合
mmb 2211
，使，，一组数如果存在和向量给定向量组
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,,,,,
21
21
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示,
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21
21
的秩，，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量
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定理 1
定义 3
,
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2121
这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B
A
AB
BA
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向量组 能由向量组 线性表示向量组等价,
B A
使在数存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
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21
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矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若
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22221
11211
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1
：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时,ABC,
.
,
的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，
由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵
BA
BA
A
BA
BBA
.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵
B
ABA
.
价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组
B
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即而且等价的充要条件是知它们由定理组能相互线性表示组与因证所构成的矩阵和是向量组和其中等价的充要条件是与向量组向量组推论
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因此而有根据定理由定理的条件记证则线性表示能由向量组设向量组定理
有解方程使矩阵存在线性表示能由向量组向量组从而有矩阵的对应其基础是向量组与上述各定理之间的对应即有从而由上章定理使有矩阵条件按定理事实上对应可与上章定理而定理对应上章定理与定理对应与上章定理前面我们把定理
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