第三节 向 量 组 的 秩
，满足个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
,,,
21?
定义 5
线性无关；）向量组（ rA,,,:1 210?
关，个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
r
ArA
.
的秩称为向量组数最大无关组所含向量个 r;
0
）
（简称的一个向量组是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大无关组
0.
它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没一、最大线性无关向量组
.
它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向证
.0
,)(),,,( 21
r
m
D
rrARaaaA 阶子式并设，设?
定理 6
关；
列线性无知所在的由定理根据 rD r 0424?.
.1
1
个列向量都线性相关中任意阶子式均为零，知中所有又由
r
ArA
关组，的列向量的一个最大无列是所在的因此 ArD r
.
r等于所以列向量组的秩
).( ARA 的行向量组的秩也等于类似可证二、矩阵与向量组秩的关系的秩也记作向量组 maaa,,,21?
.
最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的
，则的一个最高阶非零子式是矩阵若
r
Dr
DAD
r
rr;1 ）最大无关组不唯一（
),,,( 21 maaaR?
结论说明
.2 关组是等价的）向量组与它的最大无（
是线性无关的，
向量组维单位坐标向量构成的因为
neeeE
n
,,,,
21?
解,
的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体
n
nn
R
RRn例1
个向量都线性相关，中的任意知的结论定理又根据
1
3 524
n
R n)(.
.
nRR
E
nn 的秩等于的一个最大无关组，且是因此向量组
97963
42264
41211
21112
A
设矩阵 例2
.用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵 A
行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解
，知 3)(?AR
A
，
00000
31000
01110
41211
初等行变换 ~
.3 个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首 421
.,,,421 无关组为列向量组的一个最大故 aaa
线性无关，故知 421421,,3),,( aaaaaaR?
.
,,,42153
成行最简形矩阵再变线性表示，必须将用要把 Aaaaaa
),,421 aaa（
事实上
763
264
111
112
000
100
110
111
初等行变换 ~
00000
31000
30110
40101
~
初等行变换A
4215
213
334
,
aaaa
aaa
即得
.
的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组
AB
AB
.
,,,,
,,,
10
10
sr
aaAA
bbBB
s
r
要证的一个最大无关组为向量组
，的一个最大无关组为设向量组
证定理 3’
.
0
0
组线性表示组能由表示，
组线性组能由组线性表示，组能由因
AA
ABBB
.00 组线性表示组能由故 AB
三、向量组秩的重要结论
sr
aaaRbbbR sr
即有由定理 ),,,(),,,(3 2121
srs
r
sr
kk
kk
aabb
1
111
11 ),,(),,(
），有非零解（因简记为，则方程组如果
rsKR
Kx
x
x
Ksr
r
sr
)(
)0( 0
1
有非零解，
从而方程组
0),,(
1?Kxaa s?
有非零解，即 0),,(?xbb r?
,
0
srsr
B
不能成立，所以线性无关矛盾，因此组这与
,rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证
,等价的向量组的秩相等推论 1
,同时成立与故 srrs示，
表两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即
.rs?所以
).()(),()(
BRCRARCR
BAC nssmnm
,则设推论 2
用其列向量表示为和设矩阵 AC 证
).,,(),,,( 11 sn aaAccC,而 )( ijbB?
sns
n
sn
bb
bb
aacc
1
111
11 ),,(),,( 由
).()( ARCR?因此
),()(,TTTTT BRCRABC 由上段证明知因的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵 AC
).()( BRCR?即思考
？有什么异同与推论定理 22
,rrB 个向量，则它的秩为含设向量组 证
.
3
的一个最大无关组是向量组则向量组线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组的部分组，若向量是向量组设向量组推论
AB
BAB
AB
.
1
条件所规定的最大无关组的满足定义所以向量组 B
，组的秩组线性表示，故组能由因 rABA?
个向量线性相关，组中任意从而 1?rA
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性,线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
一个定理,三个推论,
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
四、小结
.
,
等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设向量组
BA
AB例3
.线性表示能由向量组只要证明向量组 BA
,,:,,,1010 rr bbBaaA
BAr
和的最大无关组依次为组组和，并设设两个向量组的秩都为使阶方阵表示，即有组线性组能由组线性表示，故组能由因
rKr
ABAB 00
证一
rrr Kaabb ),,(),,( 11
rbbRKR rr ),,()(
22
1?
，有推论根据定理
.),,( 10 rbbRB r组线性无关，故因
.)()( rKRrKR rr,因此但
,),,(),,( 111 rrr
r
Kbbaa
K
可逆，并有于是矩阵
.00 组线性表示组能由即 BA
,组线性表示组能由从而 BA
,
,0
个向量含组的最大无关组故组的秩为又因 rBBrB
.),(
,),(
组线性表示组总能由故组的部分组组是而
BA
ABAA
证二
.rBA 的秩都为和设向量组
.),(
,
组线性表示能由成的向量组组合并而组和故组线性表示组能由因
ABA
BAAB
.),(
,),(
rBA
ABA
组的秩也为因此组等价组与所以
.),(
,),(
0
0
组等价组与而从组的最大无关组组也是因此
BBA
BAB
.),(;
.
,
0
0
0000
的最大无关组都是向量组与证法二实质上是证明性表示的系数矩阵可逆线用证法一证明等价与们的最大无关组转换为证明它等价与本例把证明两向量组
BAB
A
ABBA
BA
.
,),(),( 0
组等价与组推知等价与组等价，组与由
B
ABBABAA
注意
,
59
35
46
45
),(,
13
11
20
32
),(
2121
bbaa
已知例4
.),(),( 2121 等价与证明向量组 bbaa
.),(),(,),(),(
,,2
21212121 YbbaaXaabb
YX
使阶方阵要证存在证明
.X先求
5913
3511
4620
4532
),,,(
2121
bbaa
最简形矩阵：施行初等行变换变为行阵对增广矩的方法类似于线性方程组求解
),,,(
,
2121 bbaa
5913
4532
4620
3511
5913
3511
4620
4532
),,,(
2121
bbaa
31 ~ rr?
X
.,,
.,,,01
2121
1
等价与此向量组因即为所求取可逆知因
bbaa
XYXX
0000
0000
2310
1201
~),,,( 2121 初等行变换bbaa
即得
23
12
作行变换和则对因习惯作行变换不等价和若不相同则等价和从而等价向量组都与列最简形矩阵的列和则同若两个列最简形矩阵相为列最简形矩阵施行列初等变换变对量组等价向列矩阵的行变换列利用经初等行证二
TT
bb
bb
bb
bb
bb
2121
2121
2121
2121
2121
,,
,,
,,,
,,
,,
,,.
,
.,,
4
11
4
5
10
2
3
2
1
01
5344
9565
4
11
4
5
10
2
3
2
1
01
1123
3102
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
等价与有相同的行最简形故与因
bb
b
b
b
b
T
T
T
T
T
T
T
T
.,,,
,,,,,
2,,,
0000
0000
2310
3511
,,,
,,,
,,,
2121
21212121
2121
2121
2121
2121
与等价与所以最大无关组的都是向量组与因此也线性无关线性无关显然故只须直接计算此题给出具体矩阵思路与上例证二相同因证三
bb
bbbb
bbR
bb
bb
bbR
比较例 4的证 法一、二、三，并总结这类题的证法．
思考题证法一根据 向量组等价的定义,寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；
思考题解答证法二利用,经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,
这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；
证法三直接计算向量组的秩，利用了 向量组的最大线性无关组等价 这一结论．
，满足个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
,,,
21?
定义 5
线性无关；）向量组（ rA,,,:1 210?
关，个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
r
ArA
.
的秩称为向量组数最大无关组所含向量个 r;
0
）
（简称的一个向量组是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大无关组
0.
它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没一、最大线性无关向量组
.
它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向证
.0
,)(),,,( 21
r
m
D
rrARaaaA 阶子式并设，设?
定理 6
关；
列线性无知所在的由定理根据 rD r 0424?.
.1
1
个列向量都线性相关中任意阶子式均为零，知中所有又由
r
ArA
关组，的列向量的一个最大无列是所在的因此 ArD r
.
r等于所以列向量组的秩
).( ARA 的行向量组的秩也等于类似可证二、矩阵与向量组秩的关系的秩也记作向量组 maaa,,,21?
.
最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的
，则的一个最高阶非零子式是矩阵若
r
Dr
DAD
r
rr;1 ）最大无关组不唯一（
),,,( 21 maaaR?
结论说明
.2 关组是等价的）向量组与它的最大无（
是线性无关的，
向量组维单位坐标向量构成的因为
neeeE
n
,,,,
21?
解,
的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体
n
nn
R
RRn例1
个向量都线性相关，中的任意知的结论定理又根据
1
3 524
n
R n)(.
.
nRR
E
nn 的秩等于的一个最大无关组，且是因此向量组
97963
42264
41211
21112
A
设矩阵 例2
.用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵 A
行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解
，知 3)(?AR
A
，
00000
31000
01110
41211
初等行变换 ~
.3 个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首 421
.,,,421 无关组为列向量组的一个最大故 aaa
线性无关，故知 421421,,3),,( aaaaaaR?
.
,,,42153
成行最简形矩阵再变线性表示，必须将用要把 Aaaaaa
),,421 aaa（
事实上
763
264
111
112
000
100
110
111
初等行变换 ~
00000
31000
30110
40101
~
初等行变换A
4215
213
334
,
aaaa
aaa
即得
.
的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组
AB
AB
.
,,,,
,,,
10
10
sr
aaAA
bbBB
s
r
要证的一个最大无关组为向量组
，的一个最大无关组为设向量组
证定理 3’
.
0
0
组线性表示组能由表示，
组线性组能由组线性表示，组能由因
AA
ABBB
.00 组线性表示组能由故 AB
三、向量组秩的重要结论
sr
aaaRbbbR sr
即有由定理 ),,,(),,,(3 2121
srs
r
sr
kk
kk
aabb
1
111
11 ),,(),,(
），有非零解（因简记为，则方程组如果
rsKR
Kx
x
x
Ksr
r
sr
)(
)0( 0
1
有非零解，
从而方程组
0),,(
1?Kxaa s?
有非零解，即 0),,(?xbb r?
,
0
srsr
B
不能成立，所以线性无关矛盾，因此组这与
,rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证
,等价的向量组的秩相等推论 1
,同时成立与故 srrs示，
表两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即
.rs?所以
).()(),()(
BRCRARCR
BAC nssmnm
,则设推论 2
用其列向量表示为和设矩阵 AC 证
).,,(),,,( 11 sn aaAccC,而 )( ijbB?
sns
n
sn
bb
bb
aacc
1
111
11 ),,(),,( 由
).()( ARCR?因此
),()(,TTTTT BRCRABC 由上段证明知因的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵 AC
).()( BRCR?即思考
？有什么异同与推论定理 22
,rrB 个向量，则它的秩为含设向量组 证
.
3
的一个最大无关组是向量组则向量组线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组的部分组，若向量是向量组设向量组推论
AB
BAB
AB
.
1
条件所规定的最大无关组的满足定义所以向量组 B
，组的秩组线性表示，故组能由因 rABA?
个向量线性相关，组中任意从而 1?rA
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性,线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
一个定理,三个推论,
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
四、小结
.
,
等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设向量组
BA
AB例3
.线性表示能由向量组只要证明向量组 BA
,,:,,,1010 rr bbBaaA
BAr
和的最大无关组依次为组组和，并设设两个向量组的秩都为使阶方阵表示，即有组线性组能由组线性表示，故组能由因
rKr
ABAB 00
证一
rrr Kaabb ),,(),,( 11
rbbRKR rr ),,()(
22
1?
，有推论根据定理
.),,( 10 rbbRB r组线性无关，故因
.)()( rKRrKR rr,因此但
,),,(),,( 111 rrr
r
Kbbaa
K
可逆，并有于是矩阵
.00 组线性表示组能由即 BA
,组线性表示组能由从而 BA
,
,0
个向量含组的最大无关组故组的秩为又因 rBBrB
.),(
,),(
组线性表示组总能由故组的部分组组是而
BA
ABAA
证二
.rBA 的秩都为和设向量组
.),(
,
组线性表示能由成的向量组组合并而组和故组线性表示组能由因
ABA
BAAB
.),(
,),(
rBA
ABA
组的秩也为因此组等价组与所以
.),(
,),(
0
0
组等价组与而从组的最大无关组组也是因此
BBA
BAB
.),(;
.
,
0
0
0000
的最大无关组都是向量组与证法二实质上是证明性表示的系数矩阵可逆线用证法一证明等价与们的最大无关组转换为证明它等价与本例把证明两向量组
BAB
A
ABBA
BA
.
,),(),( 0
组等价与组推知等价与组等价，组与由
B
ABBABAA
注意
,
59
35
46
45
),(,
13
11
20
32
),(
2121
bbaa
已知例4
.),(),( 2121 等价与证明向量组 bbaa
.),(),(,),(),(
,,2
21212121 YbbaaXaabb
YX
使阶方阵要证存在证明
.X先求
5913
3511
4620
4532
),,,(
2121
bbaa
最简形矩阵：施行初等行变换变为行阵对增广矩的方法类似于线性方程组求解
),,,(
,
2121 bbaa
5913
4532
4620
3511
5913
3511
4620
4532
),,,(
2121
bbaa
31 ~ rr?
X
.,,
.,,,01
2121
1
等价与此向量组因即为所求取可逆知因
bbaa
XYXX
0000
0000
2310
1201
~),,,( 2121 初等行变换bbaa
即得
23
12
作行变换和则对因习惯作行变换不等价和若不相同则等价和从而等价向量组都与列最简形矩阵的列和则同若两个列最简形矩阵相为列最简形矩阵施行列初等变换变对量组等价向列矩阵的行变换列利用经初等行证二
TT
bb
bb
bb
bb
bb
2121
2121
2121
2121
2121
,,
,,
,,,
,,
,,
,,.
,
.,,
4
11
4
5
10
2
3
2
1
01
5344
9565
4
11
4
5
10
2
3
2
1
01
1123
3102
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
等价与有相同的行最简形故与因
bb
b
b
b
b
T
T
T
T
T
T
T
T
.,,,
,,,,,
2,,,
0000
0000
2310
3511
,,,
,,,
,,,
2121
21212121
2121
2121
2121
2121
与等价与所以最大无关组的都是向量组与因此也线性无关线性无关显然故只须直接计算此题给出具体矩阵思路与上例证二相同因证三
bb
bbbb
bbR
bb
bb
bbR
比较例 4的证 法一、二、三，并总结这类题的证法．
思考题证法一根据 向量组等价的定义,寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；
思考题解答证法二利用,经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,
这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；
证法三直接计算向量组的秩，利用了 向量组的最大线性无关组等价 这一结论．
