一、相似矩阵与相似变换的概念
.
,
.,
,
,,,1
1
1
的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义
BA
PAAPP
ABAAB
BAPP
PnBA
1,等价关系
..2 2111211 PAPPAPPAAP
,,.3 为正整数相似与则相似与若 mBABA mm
二、相似矩阵与相似变换的性质
.本身相似与 AA
.,相似与则相似与若 ABBA
.
,,
相似与则相似与相似与若
CA
CBBA
反身性)1(
)2( 对称性传递性)3(
证明 相似与 BA
PEPAPPEB 11
PEAP 1
PEAP 1
.EA
PAPkPAPkPAkAkP 21211122111.4
.,21 是任意常数其中 kk
BAPPP 1,使得可逆阵
.,
,1
的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理
BA
BABAn
推论 若 阶方阵 A与对角阵n
n?
2
1
.,,,,21 个特征值的即是则相似 nAn
利用对角矩阵计算矩阵多项式
,1PPBA若
PPEaPPBa
PBPaPBPa
nn
nn
11
1
11
1
1
0
Ak
的多项式A
EaAaAaAaA nnnn 1110)(
.)( 1PBP
.1PBP k
则
PEaBaBaBaP nnnn 11110 )(
PPB 1? PPB 1?PPB 1 PPB 1?
k个
,,1 为对角矩阵使若可逆矩阵特别地 APPP
,1PPA kk则,)()( 1PPA
有对于对角矩阵,?,
2
1
k
n
k
k
k
,
)(
)(
)(
)(
n
2
1
利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A 的多项式,)(A?
.)(,)( OAfAf?则的特征多项式是矩阵设?定理证明,与对角矩阵相似的情形只证明 A
使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA
),,,( 11 nd ia gAPP
.0)(, ii fA 的特征值为其中 有由,1PPA
)(Af
.1 OPPO
PPf 1)(
P
f
f
P
n
1
1
)(
)(
.,
,,
1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对
AAPP
PAn
证明,,1 为对角阵使假设存在可逆阵 APPP
,,,,21 npppPP用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化
.
)( 2
个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理
nA
AAn
n
nn ppppppA
2
1
2121,,,,,,即
.,,,2211 nn ppp
nn ApApAppppA,,,,,,2121
,,,2,1 nipAp iii于是有
nppp,,,211
,,1 PAPAPP 得由
.
,
的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见
i
ii
A
pPA
.,,,,21 线性无关所以可逆又由于 npppP?
命题得证,
.
,,
,,
PAP
Pnn
nA
使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，
则 与对角阵相似．
推论 n A
A
n
如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，
还是能对角化．A
A
n
n
A
例 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
解
EA由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
得方程组代入将,02 121 EA
0442
0442
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解之得基础解系
.
1
1
0
,
1
0
2
21
,0,73 xEA 由对求得基础解系2,2,13 T
,0
211
210
102
由于
.,,321 线性无关所以
.
,3
化可对角因而个线性无关的特征向量有即 AA
,同理
201
335
212
EA
31
201
335
212
)2( A
.1321的特征值为所以 A
,01 xEA 代入把 解之得基础解系
,)1,1,1( T?
故 不能化为对角矩阵,A
163
053
064
A设
A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例 2
.1 为对角阵使 APP?
解
163
053
064
EA
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
得方程组代入将 0121 xEA
063
063
063
21
21
21
xx
xx
xx
解之得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
解系得方程组的基础代入将,02 3 xEA
,1,1,13 T?
.,,321 线性无关由于
110
101
102
,,321P令
.
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
注意
,
,,213
P若令
1
1
1?
0
1
2?
1
0
0
.
1
APP则有
0
0
0
0
0
02?
1
1
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
P
);d et ()d et (,)1( BABA?则相似与;
,,,)2(
1
1
相似与且也可逆则可逆且相似与若
B
ABABA;,,)3( 为常数相似与则相似与 kkBkABA
.)(
)(,)(,)4(
相似与则是一多项式而相似与若
Bf
AfxfBA
四、小结
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：
２,相似变换 与 相似变换矩阵这种变换的重要意义在于 简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
相似变换 是对方阵进行的一种运算，它把 A
变成,而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,
APP 1? P
,
111
111
111
A,
001
001
00
n
B
思考题
.,是否相似判断下列两矩阵 BA
思考题解答
.0,
,)()()d et (
21
1
n
n
n
AnEA
的特征值为因解使得矩阵存在可逆是实对称矩阵又
,
,
1P
A
),0,,0,(111?nd ia gPAP
,)()()d et ( 1nnEB
还可求得
.有相同的特征值与即 AB
,
1,02
特征向量个线性无关的有对应特征值 nn
使得故存在可逆矩阵,2P
,212 PBP
,212111 PBPPAP从而
,121112 BPPAPP即
.相似与故 BA
