1
第六章量子物理基础
（ 3上）
2
二,量子隧道效应 （势垒贯穿）
金属中自由电子逸出金属表面时，
实际上遇到的是一个高度有限的 势：
)0x(U
)0x(0
)x(U
0
设微观粒子有一定能量 E (设 0? E? U0)，
我们也应分区求解其波函数：
Ⅰ 区 Ⅱ 区一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量
3
Ⅰ 区：
0Em2
dx
d
22
2
xki
1
xki
11 1
1 eBeA
（ E? U,振动解） 入射波 反射波
Ⅱ 区：
0)UE(m2
dx
d
022
2
Em2k 221
令
- k m E U22 2 02 ( )xkxk2 22 DeCe令
4
“有限,要求 D = 0，
xk
2
2Ce
（ E? U,衰减解）
按经典 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区出现几率！
但微观粒子 …… 仍有可能在 Ⅱ 区出现 ！！
xkxk
2 2
2 DeCe
Ⅰ 区 Ⅱ 区
5
可以想见，原来在 Ⅰ 区的粒子也可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！
如果势能曲线如图所示，
有一个,势垒,。
这称为,量子隧道效应,。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
6
例如,★ 放射性核的? 粒子释放（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜计算结果表明，粒子的穿透率为
T? )EU(m2a2 0e
若 m,a,(U0- E) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了,量子隧道效应,现象的存在。
7
三，扫描隧穿显微镜（ STM）
STM(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。
1。原理隧道电流 I 与样品和针尖间的距离 S
关系极为敏感。
势能曲线 U
0
U
E
扫描探针样品
A
B
S?10A
SA B
I
8
SAUeI
s — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
— 平均势垒高度定量关系：
9
（补图） 是一张用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，每一个隆起处是一个硅原子。
（补图） 是用单个原子排成 ‘ IBM’字样。
（补图） 是搬运单个原子图。
2，技术难点与克服
（ 1）消振 （ 2）探针制造
（ 3）到位与驱动 （ 4）撞针与反馈
10
下图为镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子形成,电子围栏,,围栏中的电子形成驻波：
11
由于这一贡献,宾尼格、罗赫尔 和 鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者，
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者，
这里是为了追朔他的功劳。
12
§ 6,9 谐振子如果微观粒子的势能函数是
2
2
1 kx)x(U?
就应该解一维定态薛定格方程
0
2
12 2
22
2
)kxE(m
dx
d
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足自然条件
（连续、有限、单值）。
求解超出本课程的范围。结论：
x
0
U(x)
E
… 一维变系数常微分方程
13
1,能量
),2,1,0n()
2
1n(E
n
能量量子化、能级等间距。
能量间隔 h? …… 与黑体辐射同。
但有零点能。
E0
E4
E3
E1
E2
E
0
14
2.几率密度分布
量子,几率密度呈波动状,
在 E? U 的区域也有出现几率，
n=0时,x=0处粒子出现几率最大。
经典,E? U 的区域不可能出现，
x=0处粒子速度最大,,几率,最小。
（补图）书 P256,
15
1 1
( x )?
2
量 子经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
当 n 时：
量子几率分布? 经典分布
16
谐振子问题的应用：
热辐射场的量子性；
分子，原子，原子核的振动 。
例如 …… 双原子分子中原子的振动 。
r
U(r)
0
量子力学可以证明：
能级之间的跃迁服从
n =1的 选择定则,
各能级 跃迁都辐射 。?
17
（补充）力学量算符与力学量谱回忆定态薛定格方程
02 22
2
)UE(mdxd?
它可以改写为
E)Udxdm( 2
22
2
曾同时解出能量 E和定态波函数．
在量子力学中一个物理量究竟能取什么值?
理论上它是由什么决定的?
18
在量子力学中，把等号左边的
)U
dx
d
m
( 2
22
2
称为 能量算符，也称哈密顿算符。
U
dx
d
m
H 2
22
2
记作
E)Udxdm( 2
22
2
在三维情况下
U
m
H 2
2
2
19
所以定态薛定格方程也可以写作 EH
…… 也称为 能量本征方程
…… E 能量值，也称为 能量本征值
……?定态波函数，也称为 能量本征函数在量子力学中，任一个力学量究竟能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
…… 是由该力学量的本征方程决定的。
我们在前面,曾解能量本征方程得到了能量所能取的值 E.
20
力学量谱原理,任一力学量 F，都对应有一个算符,解该算符的本征方程 u =F u
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值，称为该力学量谱。
F? F?
最基本的算符是坐标、动量算符：
坐标算符（就是它自己） rr?r
量子力学中各力学量的算符,
动量算符 ip?p
kzjyix
( 式中 )
21
x
ip? x
y
ip? y
z
ip? z
任一力学量 F 的算符化方法：
)i,r(F?)p,r(F
（经典） （量子）
能量（哈密顿量）算符,
)r(UmH 2
2
2
)r(U
m
p
E?
2
2
ip?p )k
z
j
y
i
x
(
22
解一般力学量的本征方程也要用到有限、单值,连续 等物理条件
（也称边界条件）。
角动量算符,
p?rL
zyx
p?p?p?
zyx
k
j
i
prL
yzx p?zp?yL zxy p?xp?zL xyz p?yp?xL
坐标,动量 的本征值可解得是 连续谱 ；
角动量 的本征值可解得是 分立谱 。（略）
第六章量子物理基础
（ 3上）
2
二,量子隧道效应 （势垒贯穿）
金属中自由电子逸出金属表面时，
实际上遇到的是一个高度有限的 势：
)0x(U
)0x(0
)x(U
0
设微观粒子有一定能量 E (设 0? E? U0)，
我们也应分区求解其波函数：
Ⅰ 区 Ⅱ 区一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量
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Ⅰ 区：
0Em2
dx
d
22
2
xki
1
xki
11 1
1 eBeA
（ E? U,振动解） 入射波 反射波
Ⅱ 区：
0)UE(m2
dx
d
022
2
Em2k 221
令
- k m E U22 2 02 ( )xkxk2 22 DeCe令
4
“有限,要求 D = 0，
xk
2
2Ce
（ E? U,衰减解）
按经典 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区出现几率！
但微观粒子 …… 仍有可能在 Ⅱ 区出现 ！！
xkxk
2 2
2 DeCe
Ⅰ 区 Ⅱ 区
5
可以想见，原来在 Ⅰ 区的粒子也可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！
如果势能曲线如图所示，
有一个,势垒,。
这称为,量子隧道效应,。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
6
例如,★ 放射性核的? 粒子释放（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜计算结果表明，粒子的穿透率为
T? )EU(m2a2 0e
若 m,a,(U0- E) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了,量子隧道效应,现象的存在。
7
三，扫描隧穿显微镜（ STM）
STM(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。
1。原理隧道电流 I 与样品和针尖间的距离 S
关系极为敏感。
势能曲线 U
0
U
E
扫描探针样品
A
B
S?10A
SA B
I
8
SAUeI
s — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
— 平均势垒高度定量关系：
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（补图） 是一张用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，每一个隆起处是一个硅原子。
（补图） 是用单个原子排成 ‘ IBM’字样。
（补图） 是搬运单个原子图。
2，技术难点与克服
（ 1）消振 （ 2）探针制造
（ 3）到位与驱动 （ 4）撞针与反馈
10
下图为镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子形成,电子围栏,,围栏中的电子形成驻波：
11
由于这一贡献,宾尼格、罗赫尔 和 鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者，
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者，
这里是为了追朔他的功劳。
12
§ 6,9 谐振子如果微观粒子的势能函数是
2
2
1 kx)x(U?
就应该解一维定态薛定格方程
0
2
12 2
22
2
)kxE(m
dx
d
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足自然条件
（连续、有限、单值）。
求解超出本课程的范围。结论：
x
0
U(x)
E
… 一维变系数常微分方程
13
1,能量
),2,1,0n()
2
1n(E
n
能量量子化、能级等间距。
能量间隔 h? …… 与黑体辐射同。
但有零点能。
E0
E4
E3
E1
E2
E
0
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2.几率密度分布
量子,几率密度呈波动状,
在 E? U 的区域也有出现几率，
n=0时,x=0处粒子出现几率最大。
经典,E? U 的区域不可能出现，
x=0处粒子速度最大,,几率,最小。
（补图）书 P256,
15
1 1
( x )?
2
量 子经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
当 n 时：
量子几率分布? 经典分布
16
谐振子问题的应用：
热辐射场的量子性；
分子，原子，原子核的振动 。
例如 …… 双原子分子中原子的振动 。
r
U(r)
0
量子力学可以证明：
能级之间的跃迁服从
n =1的 选择定则,
各能级 跃迁都辐射 。?
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（补充）力学量算符与力学量谱回忆定态薛定格方程
02 22
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)UE(mdxd?
它可以改写为
E)Udxdm( 2
22
2
曾同时解出能量 E和定态波函数．
在量子力学中一个物理量究竟能取什么值?
理论上它是由什么决定的?
18
在量子力学中，把等号左边的
)U
dx
d
m
( 2
22
2
称为 能量算符，也称哈密顿算符。
U
dx
d
m
H 2
22
2
记作
E)Udxdm( 2
22
2
在三维情况下
U
m
H 2
2
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所以定态薛定格方程也可以写作 EH
…… 也称为 能量本征方程
…… E 能量值，也称为 能量本征值
……?定态波函数，也称为 能量本征函数在量子力学中，任一个力学量究竟能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
…… 是由该力学量的本征方程决定的。
我们在前面,曾解能量本征方程得到了能量所能取的值 E.
20
力学量谱原理,任一力学量 F，都对应有一个算符,解该算符的本征方程 u =F u
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值，称为该力学量谱。
F? F?
最基本的算符是坐标、动量算符：
坐标算符（就是它自己） rr?r
量子力学中各力学量的算符,
动量算符 ip?p
kzjyix
( 式中 )
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x
ip? x
y
ip? y
z
ip? z
任一力学量 F 的算符化方法：
)i,r(F?)p,r(F
（经典） （量子）
能量（哈密顿量）算符,
)r(UmH 2
2
2
)r(U
m
p
E?
2
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ip?p )k
z
j
y
i
x
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解一般力学量的本征方程也要用到有限、单值,连续 等物理条件
（也称边界条件）。
角动量算符,
p?rL
zyx
p?p?p?
zyx
k
j
i
prL
yzx p?zp?yL zxy p?xp?zL xyz p?yp?xL
坐标,动量 的本征值可解得是 连续谱 ；
角动量 的本征值可解得是 分立谱 。（略）
