教学基本要求一 掌握 描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系,
三 掌握 描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析,
二 掌握 简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义,
四 掌握 同方向、同频率简谐运动的合成规律，
了解 拍和相互垂直简谐运动合成的特点,
五 了解 阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律,
习 题 课内容提要一、振动
１、任何一个物理量在一个定值附近的往复变化
２、所有的振动具有相同的规律
3、机械振动：力学中的振动
１、动力学特征二、简谐振动
f kx
2ax
习 题 课
2、运动学特征
3、微分方程 2 2
2 0
dx x
dt

4、振动方程 c o s ( )x A t
三、描述简谐振动的物理量习 题 课
1、振幅 A,物体离开平衡位置的最大位移,A>0。
２、周期、频率、角频率：
,0,tt 初 相 位3、相位：
12 2 mT
k



描述简谐振动状态的物理量
**可以方便作简谐振动的图象四、简谐振动的速度、加速度习 题 课
s in ( ) c o s ( )
2
v A t A t
c o s ( )x A t
22c o s ( ) c o s ( )a A t A t
五、初始条件
0000,ttx x v v
2
2 0
0 2
v
Ax

习 题 课
0
0
v
tg
x

0
0
c o s
s in
xA
vA



v
t
a
x 2?
0六、简谐振动的 图象
4
t
t
v ax
2
0六、简谐振动的 图象
4
t
00
习 题 课
2 2 2 2 2 21 1 1s in ( ) s in ( )
2 2 2kE m v m A t k A t
七、简谐振动的 能量
2 2 2 2 2 21 1 1c o s ( ) c o s ( )
2 2 2PE k x k A t m A t
2 2 211
22kPE E E m A k A
2
22
1
2
1
()
2
P
k
E k x
E k A x



习 题 课
s ( )x A c o t
八、简谐振动几何描述 — 旋转矢量
x x
t
A
0xO
t
0t?
0v
0 s i nvA
0 sx A c o
习 题 课
1 1 1s ( )x A c o t
九、简谐振动的合成
2 2 2s ( )x A c o t
11 s ( )x x x A c o t
2 2 2
1 2 1 22sA A A A A c o 21
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
s c o s
AAtg
A c o A



1、两个同方向同频率简谐振动合成
x
**旋转矢量法
1?
1A
A
1x2x
2?
2A
2x
0
x
12x x xc o sAt
21
2 2 21 2 1 22sA A A A A c o
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
s c o s
AAtg
A c o A

21 2,
0,1,2,.,
k
k

12
21
A A A


，
或
（ 1）、当同相
21 ( 2 1 ),
0,1,2,.,
k
k

（ 2）、当
12
2 2 1 1 1 2
A A A
A A A A

，
（ >) 或 （ >)
反相
1A
12A A A
2A
12
xO
1A
12A A A
2A
2
xO
2、两个垂直方向简谐振动合成
（ 1）、同频率：轨迹一般是一个椭圆
（ 2）、倍频：李萨如图十、应用
3、两个同方向同频率简谐振动的合成
1、证明某运动是简谐振动，并求周期等 。
2、已知某运动为简谐振动，由已知条件确定周期，
初始条件确定振幅和初相，进而确定振动方程等。或已知振动方程，求周期、振幅和初相等习 题 课
A-A O x-A/2
vv
题 9-1 B
3
2π
2-2 o x/cm
34πΔ
t=1-1
t=0
x/cm
t/s1
-1
-2
0
题 9-2 D
3
π2
cm )3π23π4cos (2 tx
3
π4
3
π4 t
v
3
2π?
习 题 课
A-A O x
题 9-3 B
x
t0
x1 x2
x1
x2
题 9-4 2 2 21c o s ( ),s in ( )
2kx A t E m A t
C
题 9-5 此为两个同方向同频率简谐振动的合成问题
21 ( 2 1 ),
0,1,2,.,
k
k

12
2 2 1 1 1 2
A A A
A A A A

，
（ >) 或 （ >)反相
D
t=0
习 题 课题 9-7
求,（ 1） A,v,ω,T,φ （ 2） t=2s,x,v,a
解,0,1Am?（ 1）由运动方程 /420
0,1 c o s ( 2 0 0,2 5 ) ( )x t m
21 0,1,1 0
zT s HT


110,1 c o s ( 2 0 0,2 5 ) 0,0 7 0 7 ( )t s t sx t m
（ 2）
1
1
4,4 4 ( / )ts
ts
dx ms
dt
v
2
2
21
1
2 7 9 ( / )ts
ts
dxa m s
dt

习 题 课题 9-10
证明,运动为谐振动，并求振动频率已知,m,k1,k2,θ
证明：
θ
设物体平衡时，两弹簧伸长为,x1,x2
1 1 2 2s i nm g k x k x
取坐标，设物体位移为 x,
两弹簧又伸长为,x’1,x’2
k1
k2k2
O
x
x
1 1 1 2 2 2s i n ( ) s i n ( )F m g k x x m g k x x
1 1 2 2F k x k x
12x x x F kx
12
12
kkk
kk
12
12
1,
2 2 ( )
kkk
m m k k



1 1 2 2/,/x F k x F k
习 题 课题 9-12 已知,A,T 求,x
A-A O x
A-A O x
A-A O x
A-A O x
(1),x0=A
x0
0
0,0 2 c o s ( 4 ) ( )x t m
(2),x0=0,v0<0
x0v0
2

0,0 2 c o s ( 4 ) ( )2x t m
x0
(3),x0=A/2,v0<0
v0
3

0,0 2 c o s ( 4 ) ( )3x t m
(4),x0=-A/2,v0>0
x0
42,
33

40,0 2 c o s ( 4 ) ( )
3x t m

v0
ω=2π/T=4 π
题 9-15 已知,A,T 求,△ t
(1),x=0→ A
,24 Tt
A-A O x
A-A O x
A-A O x
x
x
x
(2),x=0→ A/2
x
,6 1 2Tt
(3),x= A/2 →A
x
x
,36 Tt
习 题 课



题 9-25 已知,m,A,amax
求,(1),T,(2),x=0,E,Ek,(3),EP=Ek,x,(4),x=A/2,EP,Ek
解,(1),
2m a x,aA m a x 2 0 ( 1 / )a s
A
2 0,3 1 4Ts?

(2),
2 2 3
m a x
11 2 1 0
22kE E m A m a A J?

(3),
2 2 211( ),,
22kPE k A x E k x
32,7,0 7 1 0 ( )
2kPE E x A m

(4),
2 2 211( ),,
2 2 2kP
AE k A x E k x x
31,
44kPE E E E习 题 课习 题 课题 9-28
求,（ 1） x=x1+x2
解：
（ 2） A=A1+A3,φ3=? A=A3-A2,φ3=?
1
2
33
0,0 5 c o s( 1 0 0,7 5 ) ( )
0,0 6 c o s( 1 0 0,2 5 ) ( )
0,0 7 c o s( 1 0 ) ( )
x t m
x t m
x t m



xO
A1
12 2
（ 1）
2212 6 1 ( )A A A c m
05a r c ta n 8 4,5
46

A2
A
43π
4π
（ 2） A=A1+A3,φ3=± 2 kπ +0.75π
A=A3-A2,φ3= ± (2 k+1)π +0.25π
00,0 7 8 c o s ( 1 0 8 4,5 ) ( )x t m
1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 0.32 N/m，
重物的质量为 0.02 kg，则这个系统的固有频率为 ________，相应的振动周期为 _________．0.64Hz
解
2/π
12 π2 π,0,6 4 H z,0,5 π
2 π
kk T
mm
2两个简谐振动曲线如图所示,两个简谐振动的频率之比 v1,v2= _____,加速度最大值之比 a1m:a2m=______,
初始速率之比 v10:v20=______.
解
1:2:
2:1:
21
21

TT
Aωa 2m? ωAm?v
2:1 4:1
2:1
x1
x
x2
to
A
-A
3一质点作周期为 T的简谐运动,质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为 ( )
解 用矢量图法求解 A/2
6/π t
T/π2 12/Tt
(A),T/2 (B),T/4
(C),T/8 (D),T/12
D
(A),7/16 (B),9/16 (C),11/16 (D),13/16 (E),15/16
4 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4时,其动能为振动总能量的 ( )
解 Ax 41?
kp
15
16E E E E
22
p
1 1 1 1
2 2 1 6 1 6E k x k A E
A
o
M N
x
E
5当质点以频率 v作简谐振动时,它的动能的变化率为
(A),v (B),2v (C),4v (D),v/2
2 2 2 2
k
1 1 1 1 c o s ( 2 2s in ( ) ( )
2 2 2 2
ω t φE m k A ω t φ kA ）v
π2
2
π2
''
解
6 将频率为 348Hz的标准音叉振动与一待测频率的音叉振动合成,测得拍频为 3Hz,若在待测频率音叉的一端加上一小物块,拍频数将减少,则待测音叉的固有频率为 ________．
解
312 Hz 3481 Hz 513 Hz 534 22 vv 或由题意得 Hz 513
2?v
351Hz
7一质点作简谐振动,速度的最大值 vm=5cm/s,
振幅 A=2 cm,若令速度具有正最大值的那一时刻为
t=0,求振动表达式,
解
t=0
2
55
m Av
)c o s(2 tx
cm )2π25cos (2 tx
o
x/cm
8火车的危险速率与轨长车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，
使车厢受迫振动,当车速达某一速率时发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率．
设车厢总负荷为 m=5.5× 104 kg,车厢弹簧每受力 F=9.8× 103 N被压缩?x=0.8mm,铁轨长 L=12.6 m,
求 危险速率．
解
2 π 2 π 0,4 2 sm m xT kF
x
FkxkF
m
k
2 9,9 ( m /s ) 1 0 8 k m /hLTv
长轨有利于高速行车 ;
无缝轨能避免受迫振动,
9 一质点作简谐运动，其振动方程为
π π0,2 4 c o s ( ) m
23xt

解
1π
3
2 s
3t

o 0.24 x/m-0.12
试用旋转矢量法求出出质点由初始状态运动到
x=-0.12m,v<0的状态所经过的最短时间 ⊿ t．
π
3
t
10 已知某简谐运动的运动曲线如图所示,位移的单位为厘米,时间的单位为秒,求此简谐运动的方程,
解 用矢量图法求解设运动方程为 )c o s ( tAx
3
2π
2-2 o x/cm
34πΔ
t=1-1
t=0
x/cm
t/s1
-1
-2
0
(1)?的确定
3
π2
(2)?的确定
cm )3π23π4cos (2 tx
3
π4
3
π4 t
)3/π2c o s ( tAx?
11用余弦函数描述一谐振子的运动,若其速度 -
时间关系曲线如图所示,
求运动 的初相位,
解 )c o s( tAx
)s i n (
)s i n (
m



t
tA
v
v
o
)sm/( 1mv
)sm/( 1m- v
t/s
-vm
-0.5vm o
v(m/s)
2
1s i n
2
1,0
mvvt
6
π5or
6
π
t=0
2
- mv
6π
65π
6
π由矢量图得
12一单摆的悬线长 l=1.5m,在顶端固定点的铅直下方 0.45m处有一小钉,如图设两方摆动均较小,问单摆的左右两方振幅之比 A1/A2为多少？
解
l1=1.5-0.45=1.05 m,l2=1.5 m，
左右摆长分别为：
0.45
2
22
2
11 )(2
1)(
2
1 AmAm
1
2
2
1

A
A
l
g
84.0
5.1
05.1
2
1
2
1
l
l
A
A
13 系统作简谐 运 动,周期 T,以余弦函数表达运动时,初相位为零,在 0≤t ≤ T/2范围内，系统动能和势能相等的时刻．
解 tAx?c o s?
2 2 2
k
11 s i n
22E m k A t v
tkAkxE?222p cos2121
kp EE? tkAtkA
2222 c o s
2
1s i n
2
1?
1t a n1t a n 2 tt
8
3or
84
π3or
4
ππ2 TTtt
T
14一质点同时参与两个同方向的简谐运动,其运动方程分别为,
画出两运动的旋转矢量图,并求合运动的运动方程,
1
15 c o s( 4 π ) c m
3xt 2
13 s in ( 4 π ) c m
6xt
x/cmo 5
π3
解 )π
3
14cos (105 2
1
tx
2
2
2
1
3 10 sin( 4 π )
6
2
3 10 c os( 4 π )
3
xt
t


2π3
3
12
12 c o s ( 4 π ) c m
3x x x t
15 在竖直平面内半径为 R的一段光滑圆弧形轨道上,放一小物体,使其静止于轨道最低处,然后轻碰一下此物体,使其沿轨道作来回小幅度运动,试证：
此物体作简谐运动,并简谐运动的周期为：
mg
R
2 π /T R g?
FN
2
2
d
dsi n
tmRmRmamgF tt
证明,
22
2
s i ndd RgRgt
2
2
2
d 0
d t

2 π 2 π RT
g
2 g
R