第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
1/22
温故知新温故知新
2
i kT
2
imE R T
M
2
kt
13
22
m k T v
kt
2
3
pn
p n k T
理想气体的压强公式分子的平均平动动能分子的平均能量理想气体的内能第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
2/22
一 测定气体分子速率分布的实验
(The experiment of measuring the speed distribution of gas molecules)
1、实验装置
l
Hg
金属蒸气 显示屏狭缝?
接抽气泵
2
l
l
v
v
l
t
vt
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
3/22
0A ir C，2、一般结果 (General Results)
i i iv v v
秒百米
8101721201581
7↑6~75~64~53~42~31~21↓
%NN i?
3、结果分析 (Analysis of the results)
(1),△ Ni/N与 vi,△ vi有关；
(2),vi很大和小时,△ Ni/N很小； (3),△ Ni/N存在极值；
(4),分布与温度、分子种类有关。
N,分 子 总 数 iN,间 的 分 子 数i i iv v v
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
4/22
4、分子速率分布图 (Distribution fig of molecular speed)
NN,分 子 总 数,,间 的 分 子 数v v v
)/( v NN
o vv vv
S?
表示速率在 v→ v+dv区间的分子数占总数的百分比,NNS
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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v
)(vf
o
vvvv vv d
d1lim1lim)(
00
N
N
N
NN
Nf?
5、分布函数
(Distribution function)
表示速率在 v→v+dv 区间分子数占总分子数的百分比,
0
d ( )d 1N N f
N
0
vv
归一 化条件
(Normalized conditions)
v vv d?
Sd
表示在温度为 T的平衡状态下,速率在 v附近 单位速率区间 的分子数占总数的百分比,
物理意义
SfNN dd)(d vv
( )df vv
()f v
()f v
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
6/22
SfNN dd)(d vv
vv d)(d NfN?
速率位于 v→ v +d v
内分子数速率位于 v1→ v2区间的分子数
vvvv
v
v
d)()( 2
1
21 f
N
NS
速率位于 v1→ v2区间的分子数占总数的百分比
vvvv v
v
d)()( 2
1
21 NfN
v
)(vf
o
Sd
dv 1v
S?
2v
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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vv
v
de)
π2
(π4d 2223
2
kT
m
kT
m
N
N
2223
2
e)
π2
(π4)( vv
v
kT
m
kT
mf
麦氏 速率分布函数二 麦克斯韦气体分子速率分布定律
(The Maxwell speed distribution law of gas molecules)
反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律,
vv Nd
dNf?)(
v
)(vf
o
速率分布曲线图第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
8/22
d ( ) dN f
N
vv
2223
2
e)
π2
(π4)( vv
v
kT
m
kT
mf
vv Nd
dNf?)(
v
)(vf
o
速率分布曲线图结果分析 (Analysis of the results)
(4),分布与温度、分子种类有关。
()f v
( ) 0,( ) 0v = 0,f v v,f v
() 0df
d?
v
v
( ),f m T?v
(1),△ Ni/N与 vi,△ vi有关；
(2),vi很大和小时,△ Ni/N很小；
(3),△ Ni/N存在极值；
f(v)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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三 三种统计速率 (The three statistics speed)
1） 最概然速率 vp (The most probable speed)
0
d
)(d
p
vvv
vf
v
)(vf
o pv
maxf
根据布函数求得速率分布函数 f (v)中的极大值对应的分子速率 vp
22R T P V
Mm
p
2 kT
m
v
The maximum of speed distribution function f (v)
corresponds speed of gas molecules vp
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
10/22
气体在一定温度下分布在最概然速率 vp
附近单位速率间隔内的相对分子数最多,也就是说，分子分布在 vp附近的概率最大。
物理意义
(The physical significance)
At a certain temperature the relative number of
molecules distributed in the vicinities of the
most probable spped vp is the most,that is to
say,the probability of the distribution of
molecules near vp is maximum
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
11/22
1 1 2 2
1
d d d d dni i n n i i
i
N N N N N
NN?
v v v v vv
2） 平均速率 (The average speed)v
0
0
d
( ) d
N
N
f
N
v
v v v v
m
kTf
π
8d)(
0
vvvv
8 8 8k T RT PV
m M m
v
v
)(vf
o
气体分子速率的算术平均值。
The algebraic average of all speeds of gas molecules
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
12/22
3） 方均根速率 (The root mean square speed)2v
m
kT32?v
2
220
0
d
( ) d
N
N
f
N
v
v v v v
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
)(vf
o
2 3 3 3k T RT PV
m M m
v
The root of algebraic average the
square of all speeds of gas molecules
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
13/22
p
2
r m s
1.41 1.41 1.41
1.60 1.60 1.60
1.73 1.73 1.73
k T RT PV
m M m
k T RT PV
m M m
k T RT PV
m M m
v
v
vv
2
p vvv
4),三种速率的大小比较
2
p,,1,4 1,1,6 0,1,7 3 1,1,1 2 8 4,1,2 2 4 8v v v
2
p,,:,:速 率 分 布 平 均 自 由 程 平 均 平 动 动 能v v v
5),三种速率的物理含义第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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同一温度下不同种气体分子的速率分布
2M
1M
p1v p2v
v
)(vf
o
同种气体分子不同温度下的速率分布
1T
1pv 2pv
2T
v
)(vf
o
21TT? 12MM?p
2 RT
M?v
21TT 12MM
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
15/22
讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率 vP的概念下面哪种表述正确？
（ A） vP是气体分子中大部分分子所具有的速率,
（ B） vP是速率最大的速度值,
（ C） vP是麦克斯韦速率分布函数的最大值,
（ D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大,
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
16/22
例 计算在 270C时，氢气和氧气分子的方均根速率 vrms.
C27?
1H m o lkg002.0M
1O m o lkg032.0M
11 m o lKJ31.8R
K3 0 0?T
M
RT3
rm s?v
1
r m s 1 9 3 0 m s
v
氢气分子
1r m s sm4 8 3v氧气分子第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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vv vvp d)(Nf1）
p d)(21 2v vvv Nfm2）
求 1） 速率在 vv ~
p
vv d)(d NfN?
速率在 v→ v +d v 间的分子数解例 已知分子数 N，分子质量 m，分布函数 f(v)
间的分子数；
2）速率在 vP~∞间所有分子动能之和,
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
18/22
例 如图示两条 f(v)~v曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线,从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率,
m
kT2
p?v
)O()H( 22 mm
)O()H( 2p2p vv
m / s2000)H( 2p v 4
2
32
)H(
)O(
)O(
)H(
2
2
2p
2p
m
m
v
v
m / s5 0 0)O( 2p v
)(vf
1sm/v2000o
解第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
19/22
2
3 2 22d 4 π ( ) d
2 π
v
vv
m
kTNm e
N k T
四 麦克斯韦气体分子速度分布定律
(The Maxwell velocity distribution law of gas molecules)
2d4 π dv vvV? d d d d
v v v vx y zV?
dvx
dvy
dvz
xv
zv
yvo
dvvxx?
xv
zv
dv + vzz
yv
dv + vyy
2 2 2()
32 2d ( ) d d d
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
Nm e
N k T
2 2 2()
32 2(,,) ( )
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
mfe
kT
麦 克斯韦气体分子 速度分布函数
xv
zv
yv
o v
dv
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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麦克斯韦气体分子速度分布定律
dvx
dvy
dvz
xv
zv
yvo
dvvxx?
xv
zv
dv + vzz
yv
dv + vyy
2 2 2()
32 2d ( ) d d d
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
Nm e
N k T
2 2 2()
32 2(,,) ( )
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
m
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kT
d
d
d
d
(,,) d d d
x x x
y y y
z z z
x y z x y z
N
f
N
v v v
v v v
v v v
v v v v v v
麦克斯韦气体分子速度分布函数
(,,) d d d 1x y z x y zf
v v v v v v
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麦克斯韦气体分子速度分量分布定律
2
12 2( ) ( )
2 π
xm
kT
x
m
fe
kT
v
v
2
12 2
d
:
:
d
( ) d
2 π
x
x x x
y
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m
kT
x
Nm
e
N k T
v
v v v
v
v
v
麦克斯韦气体分子速度分量分布函数
( ) d 1xxf
vv
xv
()xfv
o dvvxx?xv
,x y z?v v v 0
x y zv v = v
第十二章 气体动理论物理学第五版
22/22
12-4 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系选择进入下一节：
12-5 能量均分定理 理想气体内能
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
*12-7 玻耳兹曼能量分布律等温气压公式
12-8 气体分子平均碰撞次数和平均自由程本章目录
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
1/22
温故知新温故知新
2
i kT
2
imE R T
M
2
kt
13
22
m k T v
kt
2
3
pn
p n k T
理想气体的压强公式分子的平均平动动能分子的平均能量理想气体的内能第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
2/22
一 测定气体分子速率分布的实验
(The experiment of measuring the speed distribution of gas molecules)
1、实验装置
l
Hg
金属蒸气 显示屏狭缝?
接抽气泵
2
l
l
v
v
l
t
vt
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
3/22
0A ir C，2、一般结果 (General Results)
i i iv v v
秒百米
8101721201581
7↑6~75~64~53~42~31~21↓
%NN i?
3、结果分析 (Analysis of the results)
(1),△ Ni/N与 vi,△ vi有关；
(2),vi很大和小时,△ Ni/N很小； (3),△ Ni/N存在极值；
(4),分布与温度、分子种类有关。
N,分 子 总 数 iN,间 的 分 子 数i i iv v v
第十二章 气体动理论
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4、分子速率分布图 (Distribution fig of molecular speed)
NN,分 子 总 数,,间 的 分 子 数v v v
)/( v NN
o vv vv
S?
表示速率在 v→ v+dv区间的分子数占总数的百分比,NNS
第十二章 气体动理论
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v
)(vf
o
vvvv vv d
d1lim1lim)(
00
N
N
N
NN
Nf?
5、分布函数
(Distribution function)
表示速率在 v→v+dv 区间分子数占总分子数的百分比,
0
d ( )d 1N N f
N
0
vv
归一 化条件
(Normalized conditions)
v vv d?
Sd
表示在温度为 T的平衡状态下,速率在 v附近 单位速率区间 的分子数占总数的百分比,
物理意义
SfNN dd)(d vv
( )df vv
()f v
()f v
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SfNN dd)(d vv
vv d)(d NfN?
速率位于 v→ v +d v
内分子数速率位于 v1→ v2区间的分子数
vvvv
v
v
d)()( 2
1
21 f
N
NS
速率位于 v1→ v2区间的分子数占总数的百分比
vvvv v
v
d)()( 2
1
21 NfN
v
)(vf
o
Sd
dv 1v
S?
2v
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vv
v
de)
π2
(π4d 2223
2
kT
m
kT
m
N
N
2223
2
e)
π2
(π4)( vv
v
kT
m
kT
mf
麦氏 速率分布函数二 麦克斯韦气体分子速率分布定律
(The Maxwell speed distribution law of gas molecules)
反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律,
vv Nd
dNf?)(
v
)(vf
o
速率分布曲线图第十二章 气体动理论
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8/22
d ( ) dN f
N
vv
2223
2
e)
π2
(π4)( vv
v
kT
m
kT
mf
vv Nd
dNf?)(
v
)(vf
o
速率分布曲线图结果分析 (Analysis of the results)
(4),分布与温度、分子种类有关。
()f v
( ) 0,( ) 0v = 0,f v v,f v
() 0df
d?
v
v
( ),f m T?v
(1),△ Ni/N与 vi,△ vi有关；
(2),vi很大和小时,△ Ni/N很小；
(3),△ Ni/N存在极值；
f(v)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
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三 三种统计速率 (The three statistics speed)
1） 最概然速率 vp (The most probable speed)
0
d
)(d
p
vvv
vf
v
)(vf
o pv
maxf
根据布函数求得速率分布函数 f (v)中的极大值对应的分子速率 vp
22R T P V
Mm
p
2 kT
m
v
The maximum of speed distribution function f (v)
corresponds speed of gas molecules vp
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
10/22
气体在一定温度下分布在最概然速率 vp
附近单位速率间隔内的相对分子数最多,也就是说，分子分布在 vp附近的概率最大。
物理意义
(The physical significance)
At a certain temperature the relative number of
molecules distributed in the vicinities of the
most probable spped vp is the most,that is to
say,the probability of the distribution of
molecules near vp is maximum
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
11/22
1 1 2 2
1
d d d d dni i n n i i
i
N N N N N
NN?
v v v v vv
2） 平均速率 (The average speed)v
0
0
d
( ) d
N
N
f
N
v
v v v v
m
kTf
π
8d)(
0
vvvv
8 8 8k T RT PV
m M m
v
v
)(vf
o
气体分子速率的算术平均值。
The algebraic average of all speeds of gas molecules
第十二章 气体动理论
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12/22
3） 方均根速率 (The root mean square speed)2v
m
kT32?v
2
220
0
d
( ) d
N
N
f
N
v
v v v v
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
)(vf
o
2 3 3 3k T RT PV
m M m
v
The root of algebraic average the
square of all speeds of gas molecules
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
13/22
p
2
r m s
1.41 1.41 1.41
1.60 1.60 1.60
1.73 1.73 1.73
k T RT PV
m M m
k T RT PV
m M m
k T RT PV
m M m
v
v
vv
2
p vvv
4),三种速率的大小比较
2
p,,1,4 1,1,6 0,1,7 3 1,1,1 2 8 4,1,2 2 4 8v v v
2
p,,:,:速 率 分 布 平 均 自 由 程 平 均 平 动 动 能v v v
5),三种速率的物理含义第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
14/22
同一温度下不同种气体分子的速率分布
2M
1M
p1v p2v
v
)(vf
o
同种气体分子不同温度下的速率分布
1T
1pv 2pv
2T
v
)(vf
o
21TT? 12MM?p
2 RT
M?v
21TT 12MM
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
15/22
讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率 vP的概念下面哪种表述正确？
（ A） vP是气体分子中大部分分子所具有的速率,
（ B） vP是速率最大的速度值,
（ C） vP是麦克斯韦速率分布函数的最大值,
（ D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大,
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
16/22
例 计算在 270C时，氢气和氧气分子的方均根速率 vrms.
C27?
1H m o lkg002.0M
1O m o lkg032.0M
11 m o lKJ31.8R
K3 0 0?T
M
RT3
rm s?v
1
r m s 1 9 3 0 m s
v
氢气分子
1r m s sm4 8 3v氧气分子第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
17/22
vv vvp d)(Nf1）
p d)(21 2v vvv Nfm2）
求 1） 速率在 vv ~
p
vv d)(d NfN?
速率在 v→ v +d v 间的分子数解例 已知分子数 N，分子质量 m，分布函数 f(v)
间的分子数；
2）速率在 vP~∞间所有分子动能之和,
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
18/22
例 如图示两条 f(v)~v曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线,从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率,
m
kT2
p?v
)O()H( 22 mm
)O()H( 2p2p vv
m / s2000)H( 2p v 4
2
32
)H(
)O(
)O(
)H(
2
2
2p
2p
m
m
v
v
m / s5 0 0)O( 2p v
)(vf
1sm/v2000o
解第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
19/22
2
3 2 22d 4 π ( ) d
2 π
v
vv
m
kTNm e
N k T
四 麦克斯韦气体分子速度分布定律
(The Maxwell velocity distribution law of gas molecules)
2d4 π dv vvV? d d d d
v v v vx y zV?
dvx
dvy
dvz
xv
zv
yvo
dvvxx?
xv
zv
dv + vzz
yv
dv + vyy
2 2 2()
32 2d ( ) d d d
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
Nm e
N k T
2 2 2()
32 2(,,) ( )
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
mfe
kT
麦 克斯韦气体分子 速度分布函数
xv
zv
yv
o v
dv
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
20/22
麦克斯韦气体分子速度分布定律
dvx
dvy
dvz
xv
zv
yvo
dvvxx?
xv
zv
dv + vzz
yv
dv + vyy
2 2 2()
32 2d ( ) d d d
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
Nm e
N k T
2 2 2()
32 2(,,) ( )
2 π
v + v + v
v v v
x y zm
kT
x y z
m
fe
kT
d
d
d
d
(,,) d d d
x x x
y y y
z z z
x y z x y z
N
f
N
v v v
v v v
v v v
v v v v v v
麦克斯韦气体分子速度分布函数
(,,) d d d 1x y z x y zf
v v v v v v
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律物理学 第五版
21/22
麦克斯韦气体分子速度分量分布定律
2
12 2( ) ( )
2 π
xm
kT
x
m
fe
kT
v
v
2
12 2
d
:
:
d
( ) d
2 π
x
x x x
y
z
m
kT
x
Nm
e
N k T
v
v v v
v
v
v
麦克斯韦气体分子速度分量分布函数
( ) d 1xxf
vv
xv
()xfv
o dvvxx?xv
,x y z?v v v 0
x y zv v = v
第十二章 气体动理论物理学第五版
22/22
12-4 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系选择进入下一节：
12-5 能量均分定理 理想气体内能
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
*12-7 玻耳兹曼能量分布律等温气压公式
12-8 气体分子平均碰撞次数和平均自由程本章目录
