第二章 误差与不确定度本章要点：
误差的概念与表示方法
随机误差、系统误差和粗大误差的 特性和处理方法
测量不确定度的概念和评定方法
测量数据处理的方法本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。
2.1 误差的概念与表示方法误差 =测量值 -真值例如，在电压测量中，真实电压 5V，测得的电压为 5.3V，则误差 = 5.3V - 5V = +0.3V
真值 为“表征某量在所处的 条件 下 完善 地 确定 的量值”。
真值 是一个理想的概念。 真值客观存在，却难以获得。
实际值 ------实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。
,实际值” ≈,约定真值”。
2.1.1 测量误差例如,现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？
2.1.2 误差的来源
1.仪器误差指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；
数字式仪表的量化误差（如 5位半的电压表比 3位半量化误差小）；
比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。
2.方法误差由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。
例如,用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。
100k
1mA
v100k
100?50V V
电压表内阻习题 2.9被测电阻 Rx，电压表的内阻为 RV，电流表的内阻为 RI
I
V Rx
(a)
I
V Rx
(b)
对于图 (a),//
' V x x V
x
xV
2
' V
xx
xV
( R R ) I R RU
R = = =
I I R + R
-R
R = R - R =
R + R
对于图（ a）当电压表内阻 RV很大时可选 a方案。
对于图（ b）当电流表内阻 RI很小时可用 b方案。
3 理论误差测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为
0
1f=
2 π LC
但实际上，回路电感 L中总存在损耗电阻 r，其准确的公为
2
0
1 r Cf = 1 -
L2 π LC
4 影响误差由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。
例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。
5 人身误差由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。
研究误差理论的目的 是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差,保证测量误差在容许的范围内。
2.1.3 误差的表示方法 相对误差绝对误差
1.绝对误差：
定义：被测量的 测量值 x与其 真值 A0之差，称为绝对误差。
在实际测量中：,约定真值” ≈,实际值” = A 表示修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，
一般用 C表示
C=－ Δx=A－ x
大小正负单位
Δx =x－ A0
Δx=x－ A
2 相对误差：
例,用二只电压表 V1和 V2分别测量两个电压值。
V1 表测量 150伏，绝对误差 Δx1=1.5伏，
V2 表测量 10伏,绝对误差 Δx2=0.5伏从绝对误差来比较 Δx1 ＞ Δx2 谁准确？
x? 1
1
1
Δ ± 1.5=× 1 0 0 % = × 1 0 % = ± 1%
U 1 5 0
x? 2
2
2
Δ ± 0.5=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = ± 5%
U 1 0
用 相对误差 便于比较
-----表示相对误差?
相对误差可以有多种形式：
x?
0
Δ=× 100%
A
x? Δ=× 100%
A
x
x? x
Δ=× 100%
x
x? m m
Δ=× 100% = S %
真值相对误差实际值相对误差测量值（示值）相对误差满度（或引用）相对误差常用因通常 A0,A,X >>ΔX 故常用 X方便测量值相对误差 γx与满度相对误差 S%的关系：
x x xxx
x x x x x x
m m mx
mm
Δ Δ Δ=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = × 1 0 0 % = ± S%
x
x
mx =± S % ↓
↑
测量值 x靠近满量程值 xm相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：
等级 一 二 三 四 五 六 七
± S% 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5.0
例：检定量程为 100μA的 2级电流表，在 50μA刻度上标准表读数为 49μA，问此电流表是否合格？
解,x0=49μA x=50μA xm=100μA
xx
x
0m
m
- 5 0 - 4 9=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = 1 % < 2 %
100
（二级表）
用分贝（ dB）表示相对误差相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、
电压的增益（衰减）的测量中。
功率 等电参数用 dB表示的相对误差为
dB
Δ xγ = 1 0 l g ( 1 + ) d B
x
（ 2.9）
电压、电流 等参数用 dB表示的相对误差为
dB
Δ x
γ = 2 0 l g ( 1 + )
x
x= 2 0 lg ( 1 + γ ) dB
2.1.4 误差按性质分类随机误差系统误差粗大误差随机误差 ----不可预定方式变化的误差（同 随机变量 ）
系统误差 ----按一定规律变化的误差粗大误差 ----显著偏离实际值的误差
2.1.5 测量结果的评价系统误差 ε小，准确度高
A或
AXi Xi
随机误差 δ 小,精密度高
AA 或Xi
系统误差和随机误差都较小，称精确度高
A
或
XiXi
Δx= ε + δ + (粗大误差 )
2.1.6 不确定度不确定度是建立在误差理论基础上的一个 新概念 。
在传统误差理论中，总想确定“真值”，而真值却又难以确定，
导致测量结果带有不确定性。
国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的概念。 不确定度愈小,测量结果的质量愈高,愈接近真值,可信程度愈高。
A
X=A± Δx
·± Δx
偏离真值的大小总想确定
,真值,
误差
Y=y± U
Ο
± U
被测量可能分散的程度真值所处范围的估值不确定度
y
2.2 随机误差
2.2.1 定义与性质测量术语,,等精度测量,── 在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。
随机误差 定义,在等精度测量下，误差的绝对值和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、
或然误差，简称随差。
随机误差概念 ----不可预定方式变化的误差（同随机变量）
举例,对一电阻进行 n=100次等精度测量表 2.2 按大小排列的等精度测量结果测量值 xi（ Ω） 相同测值出现次数 mi 相同测值 出现的概率 Pi=mi/n
9.95 2 0.02
9.96 4 0.04
9.97 6 0.06
9.98 14 0.14
9.99 18 0.18
10.00 22 0.22
10.01 16 0.16
10.02 10 0.10
10.03 5 0.05
10.04 2 0.02
10.05 1 0.01
P(x)
μ x0
随机误差性质：服从 正态分布,具有以下 4个特性,
对称性 —— 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；
单峰性 —— 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；
有界性 —— 绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；
抵偿性 —— 当测量次数趋于无穷大，
随机误差的平均值将趋于零。
2.2.2 随机误差的统计处理随机误差与随机变量的类同关系
1.数学期望设 x1,x2,…,xi,… 为离散型随机变量 X的可能取值，相应概率为 p1,p2,…,pi,… 其级数和为若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为 E(X)
ii px?
i
i
i pxXE?
1
)( 1
i
ip
（ 2.13）
x1p1+x2p2+…+ xipi+…=
i
i
i px?
1
（ 2.12）
在统计学中,期望与均值是同一概念
12
1
1 nn
i
i
x x x
xx
nn?
（ 2.14）
算术平均值 与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值
x
必然趋于 实际值 。
2.方差、标准差方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。
随机变量 X的方差为 X与其期望 E（ X）之差的平方的期望，
记为 D（ X），即
2D ( ) = E {[ - E ( X ) ] }XX
（ 2.15）
例：两批电池的测量数据
〃
〃
〃 〃 〃〃 〃
〃
〃
n
X
0
X
xi
〃
〃
〃
〃
n
X
0
X
xi
〃
〃
〃
〃
〃
〃
〃
测量中的随机误差也用方差 )(2 x? 来定量表征：
n
22
i
i= 1
1σ ( x) = ( x - x)
n?
式中
i( - )xx
是某项测值与均值之差，称为 剩余误差 或 残差,
记作
ii=( - )v x x
。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。
标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作
n
2
i
i =1
1
ζ = ( x - x )
n
（ 2.16）
应当指出，剩余误差 νi应包含系统误差 ε和随机误差 δi，因这里只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即
V x xi i i i= ε + δ = δ =-
正态分布在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为正态分布
2
2
1 - ( x- μ )p(x)= e xp [ ]
2 σ2 π σ
当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 x 和标准差 σ，该正态分布的曲线形状则基本确定。
P(x)
μ x0
给出了
x =0 时，三条不同标准差的正态分布曲线：
1 2 3ζ < ζ < ζ
。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。
x
Φφ(σ)
0
σ1
σ2
σ3
σ1<σ2<σ3
本书附录 A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中
x x x
xx
δ x - E ( ) -Z = = =
ζ () ζ () ζ
ak=
ζ
（ 2.18）
式中 k为臵信因子,a为所设的区间宽度的一半。
K=1时，
K=2时，
K=3时，
P ( x σ ) 0,9 5 4 5
P ( x σ ) 0,9 9 7 3
P ( x σ ) 0,6 8 2 7
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率
2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差上述正态分布是（ n→∞ ）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量
1.有限次测量的算术平均值对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。
设被测量的真值为 μ，其等精度测量值为 x1,x2,…,xn，则其算术平均值为
n
1 2 n i
i = 1
11
x = ( x + x +,...,+ x ) = x
nn
（ 2.19）
由于
x
的数学期望为 μ，故算术平均值就是真值 μ的无偏估计值。
实际测量中，通常以算术平均值代替真值。
2.有限次测量数据的标准差 — 贝塞尔公式上述的标准差是在 n→∞ 的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当 n为有限次时，可以导出这时标准差为
x x x?
n
2
i
i = 1
1
s ( ) = ( - )
n - 1
（ 2.20）
这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故
)(xs
被称为 标准差的估值，也称实验标准差。
3.平均值的标准差在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分 m组进行测量，每组重复 n次测量，则每组数列都会有一个平均值，
由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的 算术平均值还存在着误差 。当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差
x?
来评价。
已知算术平均值
x
为
n
i
i =1
1
=
n
xx?
n m 1 2 …… m
1 x11 x21 …… xm1
2 x12 x22 …… xm2
.
.
n x1n x2n …… xmn
1()sx
1x
2()sx ()msx
2x nx
s ( )
s ( )=
n
x
x
在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导
nn
2 2 2 2 2 2
i i 1 2 n22
i = 1 i = 1
1 1 1s ( x) = s ( x ) = s ( x ) = [ s ( x ) + s ( x ) +,.,+ s ( x ) ]
n n n
)()()()( 222212 xxxx n
)(
1
)(
1
)( 2222 x
n
xn
n
x
n
x
x
)(
)(
因故有所以当 n为有限次时，用标准差的估值即可，则
n
xs
xs
)(
)(?
（ 2.21）
结论,（ 2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组 n次测量样本标准差的
n
分之一。即算术平均值的标准差估值
)(xs
比样本标准差的估值
)(xs
比样本标准差的估值
)(xs
小 n 倍，
表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。
意义,（ 2.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以,则相当于得到了多组数据
n
的算术平均值的标准差。
归纳,有限次测值的算术平均值和标准差 计算步骤：
(1)列出测量值的数据表
(2)计算算术平均值
12
1
1 nn
i
i
x x x
xx
nn?
()iiv x x
22
11
11
( ) ( )
11
nn
ii
ii
s x x x
nn
(3)残差
(4)标准差的估计值 （实验标准差）
()() sxsx
n
(5)算术平均值标准差的估计值例 2.6 对某信号源的输出频率进行了 8次测量，得测量值
ix的序列 (见表 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。
表 2.3 例 2.6所用数据
iv
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
xi (kHz) 1000.82 1000.79 1000.85 1000
.34
1000.
78
1000.
91
1000.
76
1000
.82
0.06 0.03 0.09 -0.42 0.02 0.15 0.00 0.06
解,(1)平均值（注意,这里采用的运算技巧）
n i
i = 1
1 0.0 1x = x = 100 0 + ( 82 + 79 + 85 + 34 + 78 + 91 + 76 + 82) = 100 0,76k Hz
n8
2
1
1 0,2 1 5 5( ) 0,1 7 5
17 i
n
i
s x v
n?
(2)用公式
xxv ii
计算各测量值残差列于表 2-3中
(3)标准差估值
( ) 1,76 7( ) 0,62
8
sxsx
n
(4)
x
的标准偏差因整数位不变
2.15 对某直流稳压电源的输出电压 Ux进行了 10次测量，测量结果如下：
求输出电压 Ux的算术平均值及其标准偏差估值
0 0 5.50 0 5 4.5)7110941526113(10 10 0 1.00 0 0.5 10
1
i
U
解,Ux的算术平均值
10
1
2)(
9
1)(
i
UUiUs
10
1
232222222222 )10(]6.1)4.6(6.46.3)4.9(6.9)4.7(6.06.5)4.2[(
9
1
i
10
1
23 )10(]56.296.4016.2196.1236.8816.9276.5736.036.3176.5[
9
1
i
V006.00062.0104.35391 6
标准偏差估值残差次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
电压 /V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007
残差 (10－ 3V) -2.4 5.6 0.6 -7.4 9.6 -9.4 3.6 4.6 -6.4 1.6
2.2.4 测量结果的臵信度
1.臵信 度 与臵信 区间
(百分比 ) (范围 )
臵信度 （臵信概率）就是用来描述测量结果处于某一 范围 内可靠程度的量，一般用百分数表示。
臵信区间,即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，
)( xk?
如 ±
给定 2个标准差 ±
)(2 x?
范围内数据的可信度是百分之几？
条件：必须先知道测值的分布，才能讨论臵信问题。
P(x)
E(x) x0
kσ(x)kσ(x)
臵信度
？ %
区间
2.正态分布下的臵信度
K=1时，
K=2时，
K=3时，
6827.0)(xP
9545.0)(xP
9973.0)(xP
k=3时，即在以 3倍标准差 ± 3σ区间内，随机误差出现的概率为
99.73%，而在这个区间外的概率非常小。
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率
68.3%
95.4%
99.7%
3,t分布下的臵信度 （ n<20）
在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求出标准差的估值 s(x)，但因测量次数较少（如 n＜ 20时，测值不服从正态分布。英国人 科萨特 （ Gosset，但常以,student”
笔名发表文章）证明了这时服从 t分布，也称“学生”氏分布 。
t分布的图形如图 2.9所示，图形类似于正态分布。但 t分布与标准差 σ无关，与测量次数 n关系紧密，从图 2.9可以看出，当
n＞ 20以后,t分布与正态分布就很接近了。可以用数学证明当
n→∞ 时,t分布与正态分布完全相同
Φp(t)
0
n→∞
n 大
n 小图 2.9 t 分布
t分布一般用来解决有限次等精度测量的臵信度问题。
例 2.8 对某电感进行 12次等精度测量，测得的数值（单位 mH）
为 20.46,20.52,20.50,20.52,20.48,20.47,20.50、
20.49,20.47,20.49,20.51,20.51，若要求在 P=95%的臵信概率下，该电感测值应在多大臵信区间内？
解：第一步：求出 L 及 )(Ls
电感的算术平均值 12
1
1 20.493
12 ii
L L m H
12
2
1
1( ) ( ) 0,0 2 0
1 2 1 ii
s L L L m H
0,02 0( ) 0,00 6
12
s L m H
电感的标准差估值算术平均值标准差估值第二步,查附录 B,t分布表，由 n－ 1=11及 P=0.95，查得 t=2.20
k
(n-1)
P
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95,098 0.99 0.999
1
10
11？
2.228
第三步,估计电感 L的臵信区间 )](),([ LtsLLtsL,其中
( ) 2,2 0 0,0 0 6 0,0 1 3ts L m H
则在 95%的臵信概率下，电感 L的臵信区间为 [20.48mH,20.51mH]。
4,非正态分布以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括 t分布 ).
在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。下面介绍几种常见的非正态分布曲线及臵信度问题。
1)均匀分布均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的一种重要分布，如图 2.10所示。其特点是在误差范围内,误差出现的概率各处相同 。如仪器中的度盘 回差 所导致的误差；数字仪器中的 量化误差 （在 ± 1单位以内不能分辨的误差）；数据计算中的 舍入误差 （舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的）等，均为均匀分布误差。 Φp(x)
0 x
图 2.10 均匀分布
a b
均匀分布的概率密度为
1
p ( x ) = b - a
0
a ≤ x ≤ b
x a x b及可以证明，图 2.10所示的均匀分布的数学期望为
a + bE ( x ) =
2
b - aζ =
12
标准差为 （ 2.24）
（ 2.25）
Φp(x)
0 x
图 2.10 均匀分布
a b
1
b-aA
x+e0-e
Φp(x)
图 2.12 反正弦分布
6
3
2
分布 臵信因子 k
正态 2~3
三角均匀反正弦
p(x)
0 x
图 2.11 三角分布
-e e
1/e
2.2.5 非等精度测量前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件下进行的，这是通常的测量情况。但有时候，如在科研或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为非
（或不）等精度测量。
对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），
不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。
1.,权”的概念和确定方法日常统计中也用“权”的概念，如按学分加权课程统计学生的各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性。例如，三门学分为 3,1,2课程的加权平均成绩为
3 8 2 1 8 6 2 7 5 4 8 2 8 0,3
3 1 2 6
分
2,加权算术平均值若对同一被测量进行 m组非等精度测量，得到 m组测量结果
mxxx,,,21? mwww,,,21?
m
mm
www
xwxwxwx
21
2211
，设相应的权值为,则加权算术平均值为例 2.10 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为 999.9425mm（ 3次测量的）,999.9416mm（ 2次测量的），
999.9419mm（ 5次测量的），求最后测量结果。
解,按测量次数来确定权,w1=3,w2=2,w3=5,取 x0=999.94mm，则有
999.94mm mm=999.9420mm
523
0019.050016.020025.03
x
3,加权算术平均值的标准差对同一被测量进行 m组非等精度测量，得到 m个测量结果，
各组测量结果的残余误差为
ix
i
v x x
经推导可得加权算术平均值的标准差：
（ 2.35）
m
i
i
m
i
ixi
x
wm
w
1
1
2
)1(
2.3 粗大误差在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。
产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺陷、电磁干扰及电压跳动等。
粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。
剔除是要有一定依据的 。在不明原因的情况下，
首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给定一臵信概率，确定相应的臵信区间，凡超出臵信区间的误差就认为是粗大误差。 具体检验方法常见的有三种,
2.3.1 定义
2.3.2 处理
2.3.3 剔除法则检验方法常见的有三种：
1 莱特检验法 （ n>200）
i?
＞ 3s（ x）
2 肖维纳检验法 （判则不严） a=ks
a
3 格拉布斯检验法 （理论与实验证明较好）
max?
＞ Gs
在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。
P(x)
E(x) x0
kσ(x)kσ(x)
-3s
-a
-Gs
3s
a
Gs
表 2.5 肖维纳准则数表
n k=a /s n k=a /s n k=a /s
3 1.38 13 2.07 23 2.30
4 1.54 14 2.10 24 2.32
5 1.65 15 2.13 25 2.33
6 1.73 16 2.16 30 2.39
7 1.79 17 2.18 40 2.50
8 1.86 18 2.20 50 2.58
9 1.92 19 2.22 75 2.71
10 1.96 20 2.24 100 2.81
11 2.00 21 2.26 200 3.02
12 2.04 22 2.28 500 3.29
表 2.6 格拉布斯准则数 G值
N
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5.0% 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.29 2.33 2.37 2.41 2.44 2.47 2.50 2.53 2.56
1.0% 1.15 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.74 2.78 2.82 2.85 2.85
1-Pc
1-Pc
2.3.4 应用举例例 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表 2.7中，
试检查数据中有无异常。
表 2.7 例 2.12所用数据序号 测得值 xi 残差 vi 序号 测得值 xi 残差 vi 序号 测得值 xi 残差 vi
1 20.42℃ +0.016℃ 6 20.43℃ -0.026℃ 11 20.42℃ +0.016℃
2 20.43℃ +0.026℃ 7 20.39℃ -0.014℃ 12 20.41℃ +0.006℃
3 20.40℃ -0.004℃ 8 20.30℃ -0.104℃ 13 20.39℃ -0.014℃
4 20.43℃ +0.026℃ 9 20.40℃ -0.004℃ 14 20.39℃ -0.014℃
5 20.42℃ +0.016℃ 10 20.43℃ +0.026℃ 15 20.40℃ -0.004℃
(1） 莱特检验法,从表中可以看出 x8=20.30℃ 残差较大，是个可疑数据，
404.20?x
033.0)(?xs
8 0,1 0 4
8 3 ( )sx
4 1 1.20'?x
0 16.0)(xs
3 ( ) 0,0 3 3 3 0,0 9 9 1sx
3 ( ) 0,0 1 6 3 0,0 4 8sx
℃
故可判断 x8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得其余的 14个数据的
i?
均小于 3 ( )sx?,故为正常数据。
（ 2） 肖维纳检验法以 n=15查表 2.5得 k=2,13
Ks(x)= 2.13 × 0.033= 0.07
8 0,0 7
故用肖维纳检验法
8?
也是异常数据，剔除后再按 n=14查表 2.5得 k=2.10
( ) 2,1 0 0,0 1 6 0,0 3 4k s x
i?
均小于 )(?xs,故余下的均为正常数据。
（ 3）按 格拉布斯检验法取臵信概率 Pc=0.99，以 n=15查表 2.6得 G=2.70
Gs=2.7× 0.033=0.09＜
8?
，剔除 x8后重新计算判别，
得 n=14,pc=0.99下 G值为 2,66
GSˊ ＝ 2.66 × 0.016＝ 0.04
可见余下数据中无异常值。
2.4 系统误差上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。
实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。
对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。
2.4.1 系统误差的产生原因系统误差是 由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成,
这些误差因素是可以掌握的。
1.测量装臵方面的因素仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；
仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。
2.环境方面的因素测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。
3.测量方法的因素采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。
4.测量人员方面的因素由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。
2.4.2 系统误差的检查和判别系统误差（简称系差）的特征是：
恒定系差 -----多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；
变值系差 -----条件改变时，误差按一定的规律变化。
1.恒定系统误差的检查和处理恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种
1)改变测量条件测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对仪表零点的调整 。
2)理论分析计算凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析,就可找出 系差的大小。（分压比校准）
3)用高档仪器比对、校准用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。
4)统计法 （ 排除随机误差，剩下即系统恒差 ）
下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。
设一系列重复测量值为 x1,x2,…,xn，测量值中含有随机误差 δi 和恒定系统误差 ε，设被测量的真值为 x0，则有
ii xx 0
当 n足够多时，
0
1
n
i
i?
0
1
0 )(
11 xnnx
nxnx
n
i
ii
0
1
n
i
i?
上式表明，当测量次数 n足够大时，随机误差对 x 的影响可忽略，而系统中。利用修正值 C=－ ε可以在进行平均前的每个测量值 xi误差 ε会反映在
x
中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的恒定系差，可通过理论计算修正。
2,变值系差的判定常用的有以下两种判据：
1)剩余误差 (残差）观察法
（ a）图剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；
（ b）图剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则存在线性系统误差；
（ c）图变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差；
（ d）图则同时存在线性和周期性系统误差。
若测量列中含有不变的系统误差，用剩余误差观察法则发现不了。
Φv
0 n
图 2.13 变值系差示意图
(c)
n
Φv
0
n
Φv
0 n
Φv
0
(a) (b)
(d)
2) 累进性系差的判别 — 马利科夫判据图 2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。
马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：
① 将 n项剩余误差
i?
按顺序排列；
② 分成前后两半求和，再求其差值 D
当 n为偶数时
2/
1 12/
n
i
n
ni
iiD
当 n为奇数时
n
ni
i
n
i
iD
2/)1(
2/)1(
1
③ 若 则说明测量数据存在累进性系差。0?D
（ 2.41）
i?
i?
i?
前一半 后一半
3)周期性系差的判别 —— 阿贝 — 赫梅特判据周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性系差。
如图 2.14（ a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在垂直向上的位臵时造成的误差为 ξ，当指针在水平位臵运动时 ξ 逐渐减小至零，
当指针运动到垂直向下位臵时，误差为 -ξ，如此周而复始，造成的误差如图
2.14（ b）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。
0
°
ξ
90
°
180° ξ
270°
ξ
0 t
(a)
(b)
图 2.14 周期性系差实例以 钟 表为例阿贝 — 赫梅特判据 具体步骤是,
① 把测量数据 I 项剩余误差
i?
按测量顺序排列；
② 将 两两相乘，然后求其和的绝对值
i?
1
1
113221,,,,,,
n
i
iinn
（ 2.42）
③ 用贝塞尔公式求方差
n
i
inxs
1
22
1
1)(?
④ 再与方差相比较，若
1
2
1
1
1 ( )
n
ii
i
n s x
（ 2.43）
则可认为存在周期性系统误差。
存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。 但是，若虽然存在变值系差，
而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。
2.4.3 削弱系统误差的典型技术消除或减弱系统误差应从根源上着手。
1,零示法 是在测量中使被测量对指示器的作用与标准量对指示器的作用相互平衡，以使指示器示零的一种比较测量法。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。
当检流计 G中 I=0
21
2
RR
REUU
x
待测标准
U U
x
E x
R1
R2 G
图 2.15 零示法测电压
G只要示零精度高
2.替代法 （臵换法）
直流电桥平衡条件
Rx
G
RS
R3
R1 R2
E
图 2.16 替代法测电阻标准可调可读电阻当 RXR2=R1R3 G=0
将 RSR2=R1R3 G=0
则 RX=RS
步骤,1.调 R3，使 G=0,R3不动；
2.调 RS，使 G=0,RX=RS
RS为标准 电阻箱 可调可读
3,交换法 （对照法）
第一次平衡,WXl1=W1l2
第二次平衡,WXl2=W2L1
WXl1× WXl2=W1l2× W2l1
当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，我们可以进行两次测量。
利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在，对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。
1 2 1 212xw w w w w
4.微差法
B
A
A
A
B
B
x
x
待测标准 （ 固定 ）
AB x9V
0.1V
V
图 2.17 微差法测量
（ 2.44）
式中 B—— 标准量；
A—— 被测量与标准量之微差。
如图 2.17所示，图中被测量为 x，与它相近的标准量为 B，被测量与标准量之微差为 A,A的数值可由指示仪表读出，则由于 x与 B的微差 A远小于 B，所以
A＋ B≈B，可得测量误差由式（ 2.44）可见，在采用微差法进行测量时，测量误差由两部分组成，其中第一部分?B／ B为标准量的相对误差，它一般是很小的。第二部分是指示仪表的相对误差?A/A与系数 A／ B的积,其中系数 A／ B是微差与标准量的比，叫相对微差。 由于相对微差远小于 1，因此指示仪表误差对测量的影响被大大地削弱了。
例 2.13 用微差法对标称值 9V的层迭电池进行测量，测量电路如图 2.17所示。图中标准稳压源 B=9V，相对误差 ± 0.2％；指示电压表 A的相对误差 ± 5％，当电压表 A指示值为 0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？
解：被测电池电压 x=B+A=9+0.1=9.1V
测量误差由式（ 2.44）可求得,
B
A
A
A
B
B
x
x
=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%≈0.2%
可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为 5％的电压表进行测量，可得 0.2%
的测量精确度 。
2.4.4 等精度测量结果的数据处理（ 重点内容 ）
当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。
1)对测量值进行修正，列出测量值 xi 的数据表
2)计算算术平均值
3)列出残差
4)按贝塞尔公式计算标准差的估值
1
1 n
i
i
xxn
()iiv x x
2
1
1()
1
n
i
i
sx n?
()() sxsx
n?
5)按莱特准则 3 ( )
i sx m a x Gs
()A x k s x
，或格拉布斯准则粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算
，检查和剔除和 s，再判别x
直到无粗大误差；
6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；
7)算术平均值标准差的估计值
8)写出最后结果的表达式，即,式中 k为臵信因子，可查表 2.4。
例 2.14 对某电压进行 16次等精度测量，测量数据 xi中已记入修正值，列于表 2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。
序号 测量值
xi(V)
残差 vi 残差 vi’ 序号 测量值
xi(V)
残差 vi’ 残差 vi
1 205.30 0.00 +0.09 9 205.71 +0.41 +0.50
2 204.94 -0.36 -0.27 10 204.70 -0.60 -0.51
3 205.63 +0.33 +0.42 11 204.86 -0.44 -0.35
4 205.24 -0.06 +0.03 12 205.35 +0.05 +0.14
5 206.65 +1.35 ---- 13 205.21 -0.09 0.00
6 204.97 -0.33 -0.24 14 205.19 -0.11 -0.02
7 205.36 +0.06 +0.15 15 205.21 -0.09 0.00
8 205.16 -0.14 -0.05 16 205.32 +0.02 +0.11
表 2.8 例 2.14所用数据解,(1)求出算术平均值
30.2 0 5161
16
1
i
ixx
(2)计算
xxv ii 列于表中,并验证 0
1
n
i
iv
(3)计算标准偏差估值,
4434.0116 1
16
1
2?
i ivs
(4)按莱特准则判断有无 3302.13 sv
i
,查表中第 5个数据
sv 335.15
,应将对应 65.2 0 6
5?x
视为粗大误差,加以剔除。现剩下 15个数据。
(5)重新计算剩余 15个数据的平均值,21.2 0 5'?x
及重新计算
'' xxv ii
列于表 2.8中,并验证
1
'0
n
i
i
v
。
(6)重新计算标准偏差
27.0'
115
1' 15
1
2?
i
ivs
(7)按莱特准则再判断
81.0'3' sv i,现各 '
iv
均小于
'3s
则认为剩余 15个数据中不再含有粗大误差。
,
(8)对
'iv
作图,判断有无变值系统误差,如图 2.18。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。
图 2.18 残差图
(9)计算算术平均值的标准偏差,
(10)写出 测量结果表达式,
07.015/27.015/' ss x
' ( 205.2 0.2)xx x k s v
(取臵信系数 k=3)
第五节 误差的合成与分配研究：
先讲 合成,
例,P＝ IU ΔU和 ΔI如何影响 ΔP？
I=U/R ΔU和 ΔR如何影响 ΔI？
方法：：推导一个普遍适用的公式。
分项误差合成分配总合误差如何根据各分项误差来确定总误差
2.5.1 测量误差的合成
1 误差传递公式设 )(
21 xxfy,?
若在 )(
20100 xxfy,?
附近各阶偏导数存在，则可把 y展为 台劳级数
)( 21 xxfy,?
1 0 2 0 1 1 0 2 2 0
1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0
12
2
2 2 2
22
22
12
( ) [ ( ) ( ) ]
1
[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]
2
ff
f x x x x x x
xx
f f f
x x x x x x x x
x x x x
，
！
若用
)()( 20221011 xxxxxx 及分别表示 x1及
x2分项的误差，由于
1 1 2 2x x x x及的中高阶小量可以略去，则总合的误差为
，则台劳级数
2
2
1
1
20100 )(
x
x
f
x
x
f
xxfyyyy
,
同理，当总合 y由 m个分项合成时，可得
m
m
xx fxxfxxfy2
2
1
1
即
j
m
j j
xxfy
1
绝对误差的传递公式 （ 2.45）
这是绝对误差的传递公式。
例方案 1 方案 2 方案 3
解,方案 1：用公式 P＝ IU
由式（ 2.45）可得
UIIUUUPIIPP
(CU)’=CU’
则算得功率的相对误差为
VIp UI
UI
UI
IU
P
P
P=IU =U2/R =I2R
方案 2：用公式 P=U2／ R
由式（ 2.45）可得
2
22
R
RU
R
UUR
R
PU
V
PP
则
R
U
R
RU
R
U
R
UU
P
P
p 2
2
2
2
2?
2 2
VR
UR
UR
=
求导方案 3：用公式 P＝ I2R
由式（ 2.45）可得
RIIIRR
R
PI
I
PP
22
RI
p
R
R
I
I
RI
RI
RI
IIR
P
P
2
2
2
2
2
2
则式（ 2.45）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的相对误差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（ 2.45）稍加变换就可以得到求相对误差的公式．将式（ 2.45）两端同除以 y。，同时考虑 y为 x1=x10,x2=x20时的函数值为 f,则
j
m
j j
y xx
f
fy
y?
1
1?
由数学中用对数求导数的方法 用对数求导数
' 1ln yyy
j
j
dx
fd
f
dxdf ln/
则可求出相对误差
j
m
j j
y xx
f?
1
ln?
相对误差传递公式 (2.46）
方案 2,2Up
R?
用 相对误差传递公式
lnP=2lnU-lnR
( 2 l n l n ) ( 2 l n l n )
2
2
p
VR
U R U R
UR
UR
UR
UR
若 ),,,(
21 mxxxfy
的函数关系为和、差关系时，
常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。
y=x1+x2-x3
3
21
x
xx
y?
12
m ny x x x?
LC
f
2
1
0?
用哪种方法求相对误差方便？
2 系统误差的合成,
由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（ 2.45）
m
m
x
x
fx
x
fx
x
fy?
2
2
1
1
一般说来各分项误差 Δx由系统误差 ε及随机误差 δ构成，即
)()()( 22
2
11
1
mm
mx
f
x
f
x
fy
（ 2.47）
若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差 εy可由各分项系统误差合成
j
m
j j
y x
f
1
（ 2.48）
若 ε1,ε2,…,εm为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。
对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。
3.随机误差的合成式（ 2.47）已给出
)(
1
jj
m
j j
yy x
fy
若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差为
j
m
j j
y x
f
1
上式是随机误差的符号，实际随机误差应用方差或 标准差表征：
2 2 2
1
()
m
j j
fyx
x
j（ ） （ ）
比较式（ 2.48）及式（ 2.49）可 重要结论：
确定性误差是按代数形式总合：
随机误差是按几何形式 总合：
（ 2.49）
2 2 212y x x
12y x x
2.5.2 测量误差的分配分项误差总合误差合成分配常见的误差分配原则。
1.等准确度分配设 δ=0 ε1=ε2…
副边总电压 U=880V
则，测量允许的最大总误差为
U? = U × （ ± 2％） =± 17,6 V
3
1
2 50HZ
220V U4
5
图 2.19 误差的分配 （ 教材 p47）
U
1
U2
440v
440v
880v例,用量程为 500V交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于 ± 2%，
问 应选几级电压表？
误差的分配问题,当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，
如何确定各分项误差的数值。
用引用相对误差为
n?
的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为 Um，
则可能产生的最大绝对误差为
mn UU m a x,这个数值应不大于每个副圈分配到的测量误差 ΔUi，即要求
%66.1500 8.8
m
i
n U
U?
可见选用 1.5级（ 1.5%） 的电压表能满足测量要求。
VUUUi 8.82 6.17221
可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据式（ 2.51） 等准确度分配原则分配误差,则
2,等作用分配等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即
m
mx
f
x
f
x
f
2
2
1
1
)()()()()()( 22222
2
1
22
1
m
m
xx fxxfxxf
由式（ 2.48）及式（ 2.49）可求出应分配各分项的误差为
j
y
j
x
f
m
（ 2.52）
j
j
x
fm
yx
)()( （ 2.53）
在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行 调节,在满足总误差要求的前提下，
对 不容易达到要求的分项适当放宽 分配的误差，而对容易达到要求的分项，
则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。
3,抓住主要误差项进行分配当各分项误差中第 k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证主要项的误差小于总合的误差即可，即当
)(2 j
kj j
k
k
xxfxf?
)()()()( 2222 j
kj j
k
k
xxfxxf
时，就可以只考虑主要项的影响，即
k
y
k
x
f
（ 2.54）
k
k
x
f
y
x
)(
)(
（ 2.55）
主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，对影响较小的次要误差项则可不予考虑或酌情分给少量误差比例。
2.5.3 最佳测量方案的选择对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。
所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到
m i n
1
yj
m
j j
y x
f
m i n
222
1
2 )()()()( yx
x
fy
j
m
j j
（ 2.56）
（ 2.57）
当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差 )(
jj x 及是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件，
了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。
常用选择方法有：
1.函数形式的选择当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差最小的函数形式。
前述电阻功率例中，当
%5.2%2%1 IVR,，,
问采用哪种测量方案较好？
方案 1,P=UI
%5.4%)2%5.2( VIp
%5%)1%22(2 RVP
%6%)1%5.22(2 RIP
方案 2 P= U2／ R
方案 3,P=I2R
可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案 P＝ UI,
2.测量点的选择在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。
ix RR
EI
E
Rx
图 2.20 电阻测量原理
Ri
则
ix RI
ER
由误差合成公式（ 2.45），可求得绝对误差为
2I
EI
I
RR x
X
则相对误差表达式为
I
IERI
E
R
R
ix
x
R
2?
令
0)(
x
x
R
R
I
求极小值可求得
m a x2
1
2 IR
EI
i
结论：指针处于中央位臵时，测量电阻的相对误差最小。
电阻量程
R?
2.6 测量不确定度
2.6.1 测量不确定度的概念以上介绍的测量误差理论虽然很全面和系统，但是被测量的 真值还是难以确定,测量结果总是带有不确定性。
在国外，推出了以,不确定度,作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而 对被测量不能肯定的度,是测量理论中很重要的一个新概念。
1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等 7个国际组织联合制定发布了,Guide to the Expression of Uncert
ainty in Measurement,（ GUM，测量不确定度表示指南）。
我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于 1999年发布了适合我国国情的,测量不确定度评定与表示,计量技术规范（ JJF1059— 1999）
这个规范原则上等同采用了 GUM的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。
1.不确定度的定义和分类测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度。从传统上理解，它是被测量真值所处范围的估计值。但是真值是一个理想化的概念，实际上往往难以测得，而可以具体操作的则是变化的测量结果。因此，现代的测量不确定度被 定义 为：,不确定度是与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度,。
这种测量不确定度的定义表明,Y= y± U
其中,y—— 是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值。
U—— 是测量不确定度，在 UGM中规定，这个参数可以是标准偏差 s或是 s
的倍数 ks；也可以是具有某臵信概率 P（例如 P= 95％或 P= 99％）下臵信区间的半宽。
不确定度标准不确定度扩展 (展伸 )不确定度（扩大 uC的臵信区间，提高臵信概率）
A类标准不确定度 uA（类同随机误差的处理）
B类标准不确定度 uB（查已有信息求得）
合成标准不确定度 uC（ A,B类的合成）
不确定度分类：
2,测量不确定度的来源测量不确定度来源于以下因素：
1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。
2）测量装臵或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。
3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。
4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。
5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。
3.测量不确定度与误差的关系误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。
对比项目 误 差 不确定度含义 反映测量结果偏离真值的程度 反映测量结果的分散程度符号 非正即负 恒为正值分类 随机误差、系统误差、粗大误差 A类评定和 B类评定表示符号 符号较多、且无法规定 规定用 u,uc,U,Up表示合成方式 代数和或均方根 均方根主客观性 客观存在，不以人的认识程度改变与人们对被测量及测量过程的认识有关与真值的关系 有关 无关表 2.9 误差与不确定度的区别
2.6.2 标准不确定度的评定用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用 u表示 。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用 ui 表示，其评定方法如下：
1,A类标准不确定度的评定
A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度 u的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即 A类标准不确定度就等于标准差，即
()Au s x?
标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：
1）对被测量 X进行 n次测量，得测值 x1,x2,…,xn ；
2）求算术平均值 x 和剩余误差
xx ii
3）用贝塞尔公式求标准差的估值,
n
i
ii xxnxs
1
2)(
1
1)( （ 2.58）
4）求算术平均值标准差的估值,
n
xsxs )()(? （ 2.59）
5）则 A类标准不确定度为,()
Au s x?
（ 2.60）
这里需要说明的是，观测次数 n应充分多，才能使 A类不确定度的评定可靠，
一般认为 n应大于 5。但也要视实际情况而定，当 A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时,n不宜太小；反之,n小些关系也不大。
2.B类标准不确定度的评定
B类评定不用统计分析法，而是要从资料查出厂商手册有关数据获得信息然后求出其 分布的估计 （概率分布假设）和 臵信区间 （要有一定的经验及对一般知识有透彻的了解。）
即 B类标准不确定度：
包含 因 子区间半宽
B
au
k
（ 2.61）
包含 因子 k（或称覆盖因子,置信 因子 ），可查表 2.10。
k 一般在 2~3范围内表 2.10 常用分布与 k,u（ xi）的关系
a1100两点
a/ 22100反正弦
a/ 33100梯形
a/ 3100均匀（矩形）
a/ 66100三角
a/2295.45正态
a/3399.73正态
u（ xi）kp（ %）分布类型
3
例 2.22 由手册查得纯铜在温度 20℃ 时的线膨胀系数 a为 16.52 610 /℃,
并已知该系数 a的误差范围为 6104.0 ℃,求线膨胀系数 a的标准不确定度。
解：根据手册提供的信息可认为 a 的值以等概率位于区间 6( 1 6,2 5 - 0,4 ) 1 0 ℃
6( 16,5 2- 0,4) 10 /至 ℃
内，且不可能位于此区间之外，故假设 a
服从均匀分布。已知其区间半宽 60,4 1 0 /a ℃,则纯铜在温度为 20℃ 的线膨胀系数 a的标准不确定度为
6
60,4 10 / 0,23 10
33
C
B
au
/℃
16.9216.40 16.52 ℃610 /
3,自由度
1)自由度概念 （ 在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数 ）
根据概率论与数理统计所定义的自由度，在 n个变量剩余误差
i?
n
i
i
1
2?
的平方和如果 n个中，
i?
之间存在着 k个独立的线性约束条件，即 n个变量中独立变量的个数仅为 n－ k，则称平方和
n
i
i
1
2?
的自由度为 n－ k。因此若用贝塞尔公式（ 2.58）计算单次测量标准差 σ，式中
2
11
2 )( xx
i
n
i
n
i
i
的 n个变量
i?
之间存在唯一的线性约束条件
0)(
11
xx i
n
i
n
i
i?
，故平方和
n
i
i
1
2?
的自由度为 n－ 1，则由式（ 2.58）计算的标准差 σ的自由度也等于 n－ 1。
由此可以看出，系列测量的标准差的可信赖程度与自由度有密切关系，
自由度愈大，标准差愈可信赖。由于不确定度是用标准差来表征，因此不确定度评定的质量如何，也可用自由度来说明。每个不确定度都对应着一个自由度，并将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称为不确定度的自由度。
2)自由度的确定
(1)A类标准不确定度的自由度 ν
对 A类评定的标准不确定度，其自由度 ν 即为标准差 σ 的自由度。
由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度 ν= n－ 1。
(2)B类标准不确定度的自由度对 B类评定的标准不确定度 uB，由相对标准差来确定自由度，其自由度定义为
2
1
2 ( )u
u
（ 2.62）
式中,σu—— 评定 u的标准差；
σu/u一评定 u的相对标准差。
例如，当 σu/u= 0.5，则 u的自由度 ν＝ 2；当 σu/u= 0.25，则 u的自由度
ν＝ 8；当 σu/u＝ 0.10，则 u的自由度 ν= 50；当 σu/u＝ 0，则 u的自由度 ν＝ ∞,即 u的评定非常可靠。表 2.11给出 B类标准不确定度评定时不同的相对标准差所对应的自由度。
σ u/u
0.71 0.50 0.41 0.35 0.32 0.29 0.27 0.25 0.24 0.22 0.18 0.16 0.10 0.07
ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 50 100
2.6.3 测量不确定度的合成
1,标准不确定度的合成当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度 uc表示。
这里不讲推导，只介绍应用结论公式：
2
11
2
NN
c x i i j x i x j
i i j
u u u u?
（ 2.67）
当不确定度分量相互独立时,ρij=0，则（ 2.67）简化为
2
1
N
c x i
i
uu
（ 2.68）均方根合成
2,扩展（展伸）不确定度合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于标准差，
由其所表示的测量结果 y± uc含被测量 Y的真值的概率仅为 68％。然而在一些实际工作中，如高精度比对、一些与安全生产以及与身体健康有关的测量，要求给出的测量结果区间包含被测量真值的臵信概率较大，即给出一个测量结果的区间，使被测量的值大部分位于其中，为此需用扩展不确定度（也有称为展伸不确定度）表示测量结果。
扩展不确定度由合成标准不确定度 uC乘以 包含 因子 k 得到，记为 U，即
U=kuC
用扩展不确定度作为测量不确定度，
则测量结果表示为
Y=y± U
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率包含因子 k由 t分布的临界值 tp(ν)给出，即
k＝ tp（ ν）
式中,ν是合成标准不确定度 uc的自由度，根据给定的臵信概率 P与自由度 ν
查 t分布表，得到 tp（ ν）的值。当各不确定度分量则相互独立时，合成标准不确定度 uc的自由度。由下式计算：
N
i i
i
c
u
u
1
4
4
（ 2.73）
式中 νi—— 各标准不确定度分量 ui 的自由度。
往往由于缺少资料难以确定每一个分量的 νi则自由度。无法按式 (2.73)计算，
也不能按式 (2.72)来确定包含因子 k 的值。为了求得扩展不确定度，一般情况下可取包含因子 k=2～ 3。
归纳：
Y= y± U
y 是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值。
k
au
B?
U =kuc )()( xsxsu A
A类不确定度
B类不确定度
K 的选择由臵信概率（常取 0.95或 0.99）和概率分布（正态分布,t分布、
均匀分布等）确定。通常 K=2~3
扩展标准不确定度
AB类标准不确定度标准不确定度合成
2.6.4 测量不确定度应用实例
1,测量不确定度计算步骤综上所述，评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为
(1)分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量；
(2)评定标准不确定度分量，并给出其数值 ui 和自由度 νi ；
(3)分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数 ρij ；
(4)求测量结果的合成标准不确定度 uc及自由度 ν,
(5)若需要给出扩展不确定度，则将合成标准不确定度 uc乘以臵信因子 k，
得扩展不确定度 U=kuc；
(6)给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值 y及合成标准不确定度 uc或扩展不确定度 U，并说明获得它们的细节。
根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。
2.电压测量的不确定度计算
1)测量方法用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源 10V点的输出电压值进行独立测量 10次，测得值如下,（说明：本例中以 UD表示电压值,u
和 U表示不确定度）
n 测量结果 n 测量结果
1 10.000107 6 10.000108
2 10.000103 7 10.000121
3 10.000097 8 10.000101
4 10.000111 9 10.000110
5 10.000091 10 10.000094
计算 10次测量的平均值得
DU
= 10.000104V，并取平均值作为测量结果的估计值。
2)不确定度评定分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：标准电压表的示值稳定度引起的不确定度 ul；标准电压表的示值误差引起的不确定度 u2；电压测量重复性引起的不确定度 u3。分析这些不确定度特点可知，不确定度 u1、
u2应采用 B类评定方法，而不确定度 u3应采用 A类评定方法。下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量：
(1)标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量 ul 在电压测量前对标准电压表进行 24h的校准，并知在 10V点测量时，其 24h的示值稳定度不超过
± 15μV，取均匀分布，按表 2.10得标准电压表示值稳定度引起的不确定度分量为
Vvu 7.8
3
15
1
因给出的示值稳定度的数据很可靠，故取
0
1
1?
u
u?
，其自由度
1?
。
(2)标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量 u2标准电压表的检定证书给出，其示值误差按 3倍标准差计算为 3,5 × 10－ 6 × U（标准电压表示值），故 10V的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分量为
6
5
2
3,5 1 0 1 0 1,1 7 1 0 1 1,7
3
Vu V u v
因 k=3，可认为其臵信概率较高,u2的评定非常可靠，故取自由度
2?
(3)电压测量重复性引起的标准不确定度分量 u3由 10次测量的数据，用贝塞尔法计算单次测量标准差 s(UD)=9μV，平均值的标准差
9( ) 2,8
10DsU
μV则电压重复性引起的标准不确定度为
3 ( ) = 2,8 u VDu s U?
其自由度
913 n?
3)不确定度合成因不确定度分量 u1,u2,u3相互独立，则 ρij=0，按式（ 2.67）得电压测量的合成标准不确定度为
2 2 2 2 2 2
1 2 3 ( 8,7 ) ( 1 1,7 ) ( 2,8 ) 1 4,8 5 1 5cu u u u u v
按式（ 2.72）计算其自由度得
7 4 1 2
9
)8.2()7.11()7.8(
)15(
444
4
3
4
3
2
4
2
1
4
1
4
uuu
u c
4) 扩展不确定度取臵信概率 P =95％，由自由度 v=7412查 t分布表得 t0.95(7412)=1.96，
即臵信因子 k ＝ 1.96。于是，电压测量的扩展不确定度为
1,9 6 1 5 2 9,4 3 0CU k u v
5) 不确定度报告
(1)用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为
=10,000104V,DU
uC＝ 0.000015V,v＝ 7412。
(2)用扩展不确定度评定电压的不确定，则测量结果为
UD=（ 10.000104± 0.000030） V,P = 0.95,v=7412。
其中 ± 符号后的数值是扩展不确定度 U =k uC＝ 0.000030V，是由合成标准不确定度 uC＝ 0.000015V及臵信因子 k =1.96确定的。
2.7 测量数据处理通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。
处理方式表达式（有效数字、测量值、不确定度）
曲线图形经验公式
2.7.1 有效数字的处理
1 有效数字定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位 存疑数 为止的所有各位数字。
例 1 用 10v指针式电压表测得
U= 5,6 4 V
三位有效数字 例 2 0.0038KΩ=3.8Ω
两位有效数字
6 5 例 3 0.026m 两位有效数字
0.0260m 三位有效数字最末位有效数字常称 存疑数,它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用
10V量程指针式电压表测得电压 5.64V，这是三位有效数字组成的数据，
这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含有误差的近似数，常称为存疑数。
存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位 (± 0.5个单位 )变化。
例如，
5.64± 0.005
5.645
5.635
有效数字与准确度的关系数据 误差 准确到
18.4 kΩ ± 0.1 kΩ 100 Ω
18.40 kΩ ± 0.01 kΩ 10 Ω
18.400 kΩ ± 0.001 kΩ 1 Ω
有效数字的位数应取得与不确定度相一致当电压表不确定度为,± 0.01v 数据应写为
a 2.186v
b 2.18v
c 2.1v
哪个对？
有误差的单位量级应与测量数据相配合
a 7900 kHz
当频率误差为,± 1kHz 数据应写为 b 7.900 MHz 哪个对？
c 7900 000 Hz
d 7.9 MHz
2 数字的舍入（修约）规则对五入可能带来误差未使尾数为偶数，不便于除尽经典的“四舍五入”的缺点：
规则小于 5舍大于 5入等于 5取偶
5后有数，舍 5入 1
5后无数或为零时
5前是奇数，舍 5入 1
5前是偶数，舍 5不进
17.995→18.00
14.9850→14.98
3.62456→3.625
测量中用,四舍六入五凑偶法则三例都取 4位有效数字
3,近似运算规则在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。
1)在近似数 加减运算 时，各运算数据 以小数位数最少的数据位数为准,
其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。
例 2.24 求 2643.0＋ 987.7十 4.187＋ 0.2354=？
≈2643.0 ＋ 987.7＋ 4.19＋ 0.24
＝ 3635.13≈3635.1
2)在近似数 乘除运算 时，各运算数据 以有效位数最少的数据位数为准,
其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
2.7.2 测量数据的表示方法本节简要地介绍图示曲线和经验公式的表示方法。
1,测量结果的曲线表示把测量结果绘成曲线，可以直观形象地表示数据的变化规律，例如，
三极管的输出特性曲线，放大器的幅频特性曲线等。
但由于测量结果中存在误差，数据有一定的离散性，难以作出一条光滑连续的曲线。需要采用一些专门的方法。这里介绍分组平均作图法。
1)作图要点首先要 选好坐标 。一般宜选用直角坐标。有时要用极坐标。如果自变量的范围很宽，可以选用对数坐标。坐标的比例可以根据需要确定，二者分度可以不同，作曲线图应使用坐标纸。注意坐标的幅面以及数据点的标注方式。
曲线急剧变化的地方测量数据应多取一些 。
注意 曲线的修均 。
2)用分组平均法修均曲线将各数据点连成光滑曲线的过程叫曲线的修均。由于测量误差的存在，
不同的人员所作的曲线可能差异较大。
为了提高作图的精度，可用分组平均法进行曲线修均。这种方法是将相邻的 2～ 4个数据分为一组，然后估计出各组的几何重心，再用光滑的曲线将重心点连接起来，用分组平均法进行曲线修均的方法如图 2.21所示。由于这种方法减少了随机误差影响。从而使曲线较为符合实际。
图 2.21 用分组平均法修均曲线先看一个实例：
计算机三级考试中的测控题一台反映釜的温度测量仪表的量程为 200oC— 1000oC,且为线性刻度,在某个采样周期微机获得一组经八位 ADC转换后的采样数据为,
D0H,C0H,CAH,CCH,DEH
则经中值滤波程序处理后,该仪表的显示值为 ______oC,
（横坐标数据对应一定的电压值）
℃
1000
840
200
00 CC FF
0 204 255
800
解 D0H = 208 中值滤波,
C0H = 192 192,202,204,208,222
CAH = 202 800
AH = 202 800 x '
CCH = 204 255 204 =
= 640
X = 640 + 200 = 840 ℃
问题：这条线性曲 线 y=bx+a是怎样得出来的？
2.经验公式的确定在实际应用中，经验公式，也称回归方程，是实验测量的基础上归纳出来的，
可在一定的条件下使用。这种经验公式以数学表达式客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作一步分析研究，对认识自然界量与量之间关系有着重要意义
1)最小二乘法最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的测量值中，最佳值就是能使各
()ixx
的平方和为最小的那个值，即
n
i
i
1
2?
测量残差测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。
最小。或者说，
2）回归分析法回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。
回归分析法包括两个方面的任务：一是根据测量数据确定函数形式，即回归方程的类型；二是确定方程中的参数。确定回归方程的类型，通常需要结合专业知识和实际情况来选择。
电子测量中，经常用到单变量的线性回归（例如 y=bx+a），这里仅举一元线性回归的例子，即处理两个变量 x和 y之间的线性关系。这是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。例如，温度、湿度、压力等传感器的输出电压与温、湿度、压力之间就是这种直线方程 (y=bx+a)关系。
例 2.25 在压力传感器校验测量中测得一组数据如表 2.13所示，这里 x
可以看作是压力（ kg）,y是传感器输出的电压值（ V）。试用最小二乘法拟合，求表中实验数据的最佳曲线和经验公式。
表 2.13 压力传感器测量原始数据
xi 6 17 24 34 36 45 51 55 74 75
yi 10.3 11.0 10.01 10.9 10.2 10.8 11.4 11.1 13.8 12.2
解：设要求的最佳曲线为线性方程,y=bx+a 如图 2.22所示。
实际测量中有误差，可写成
iii abxy )(
图 2.22 用最小二乘法拟合曲线
x
y
0
y=bx+a
yi
解题步骤：
① 残差表达式
)( abxy iii
② 最小二乘法 （ 测量结果的最可信赖值应在 残差平方和 为 最小 的条件下求出 ）
22 )( abxy iii
求上式的极小值，即对可变系数 b 和 a 进行偏微分
0
2
b i?0
2
a i?
③ 条件方程 （ 满足最小二乘法条件的方程 ）
对 b求偏微分
dxnxx nbn 1'
0)00()(2 12 iii xabxy
得条件方程（ 1），同理对 a求极小值得条件方程（ 2）
0)( abxyx iii
0)( abxy ii
（ 1）
（ 2）
条件方程将 10组测量的原始数据代入 条件方程,再求 正规方程：
④ 正规方程代入题中给出 10个的测量数据，为计算方便先代入（ 2）
再将（ 2）式 10个方程分别乘以 xi
即得（ 1）式的 10个方程,
10.3=6b+a
10.8=45b+a
11.0=17b+a
11.4=51b+a
10.01=24b+a
11.1=55b+a
10.9=34b+a
13.8=74b+a
10.2=36b+a
+ 12.2=75b+a
111.71=417b+10a (2)′
61.8=36b+6a
486=2025b+45a
187=289b+17a
581.4=1601b+51a
240.24=576b+24a
610.5=3025b+55a
370.6=1156b+34a
1021.2=5476b+74a
367.2=1296b+36a
+ 915=5625b+75a
4841=22105b+417a (1)’
⑤ 直线方程解出正规方程 (1)’ 和 (2)′中的
a=9.54 b=0.039
得直线方程为,y=0.039x+9.54
⑥ 画出曲线
y
图 2.22 用最小二乘法拟合曲线
x0
y=bx+a
a
小结
1,名词解释,真值、实际值、示值、误差、修正值。
2,测量误差的表示方法，测量误差的来源。
3,误差按性质分为哪几种？各有何特点？
4、何谓标准差、平均值标准差、标准差的估值？
5、归纳比较粗大误差的检验方法。
6、绝对误差和相对误差的传递公式有何用途？
7、测量误差和不确定度有何不同？
8,归纳不确定度的分类和确定方法？
9、归纳测量数据处理的方法。
作业
课后习题
误差的概念与表示方法
随机误差、系统误差和粗大误差的 特性和处理方法
测量不确定度的概念和评定方法
测量数据处理的方法本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。
2.1 误差的概念与表示方法误差 =测量值 -真值例如，在电压测量中，真实电压 5V，测得的电压为 5.3V，则误差 = 5.3V - 5V = +0.3V
真值 为“表征某量在所处的 条件 下 完善 地 确定 的量值”。
真值 是一个理想的概念。 真值客观存在，却难以获得。
实际值 ------实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。
,实际值” ≈,约定真值”。
2.1.1 测量误差例如,现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？
2.1.2 误差的来源
1.仪器误差指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；
数字式仪表的量化误差（如 5位半的电压表比 3位半量化误差小）；
比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。
2.方法误差由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。
例如,用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。
100k
1mA
v100k
100?50V V
电压表内阻习题 2.9被测电阻 Rx，电压表的内阻为 RV，电流表的内阻为 RI
I
V Rx
(a)
I
V Rx
(b)
对于图 (a),//
' V x x V
x
xV
2
' V
xx
xV
( R R ) I R RU
R = = =
I I R + R
-R
R = R - R =
R + R
对于图（ a）当电压表内阻 RV很大时可选 a方案。
对于图（ b）当电流表内阻 RI很小时可用 b方案。
3 理论误差测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为
0
1f=
2 π LC
但实际上，回路电感 L中总存在损耗电阻 r，其准确的公为
2
0
1 r Cf = 1 -
L2 π LC
4 影响误差由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。
例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。
5 人身误差由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。
研究误差理论的目的 是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差,保证测量误差在容许的范围内。
2.1.3 误差的表示方法 相对误差绝对误差
1.绝对误差：
定义：被测量的 测量值 x与其 真值 A0之差，称为绝对误差。
在实际测量中：,约定真值” ≈,实际值” = A 表示修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，
一般用 C表示
C=－ Δx=A－ x
大小正负单位
Δx =x－ A0
Δx=x－ A
2 相对误差：
例,用二只电压表 V1和 V2分别测量两个电压值。
V1 表测量 150伏，绝对误差 Δx1=1.5伏，
V2 表测量 10伏,绝对误差 Δx2=0.5伏从绝对误差来比较 Δx1 ＞ Δx2 谁准确？
x? 1
1
1
Δ ± 1.5=× 1 0 0 % = × 1 0 % = ± 1%
U 1 5 0
x? 2
2
2
Δ ± 0.5=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = ± 5%
U 1 0
用 相对误差 便于比较
-----表示相对误差?
相对误差可以有多种形式：
x?
0
Δ=× 100%
A
x? Δ=× 100%
A
x
x? x
Δ=× 100%
x
x? m m
Δ=× 100% = S %
真值相对误差实际值相对误差测量值（示值）相对误差满度（或引用）相对误差常用因通常 A0,A,X >>ΔX 故常用 X方便测量值相对误差 γx与满度相对误差 S%的关系：
x x xxx
x x x x x x
m m mx
mm
Δ Δ Δ=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = × 1 0 0 % = ± S%
x
x
mx =± S % ↓
↑
测量值 x靠近满量程值 xm相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：
等级 一 二 三 四 五 六 七
± S% 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5.0
例：检定量程为 100μA的 2级电流表，在 50μA刻度上标准表读数为 49μA，问此电流表是否合格？
解,x0=49μA x=50μA xm=100μA
xx
x
0m
m
- 5 0 - 4 9=× 1 0 0 % = × 1 0 0 % = 1 % < 2 %
100
（二级表）
用分贝（ dB）表示相对误差相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、
电压的增益（衰减）的测量中。
功率 等电参数用 dB表示的相对误差为
dB
Δ xγ = 1 0 l g ( 1 + ) d B
x
（ 2.9）
电压、电流 等参数用 dB表示的相对误差为
dB
Δ x
γ = 2 0 l g ( 1 + )
x
x= 2 0 lg ( 1 + γ ) dB
2.1.4 误差按性质分类随机误差系统误差粗大误差随机误差 ----不可预定方式变化的误差（同 随机变量 ）
系统误差 ----按一定规律变化的误差粗大误差 ----显著偏离实际值的误差
2.1.5 测量结果的评价系统误差 ε小，准确度高
A或
AXi Xi
随机误差 δ 小,精密度高
AA 或Xi
系统误差和随机误差都较小，称精确度高
A
或
XiXi
Δx= ε + δ + (粗大误差 )
2.1.6 不确定度不确定度是建立在误差理论基础上的一个 新概念 。
在传统误差理论中，总想确定“真值”，而真值却又难以确定，
导致测量结果带有不确定性。
国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的概念。 不确定度愈小,测量结果的质量愈高,愈接近真值,可信程度愈高。
A
X=A± Δx
·± Δx
偏离真值的大小总想确定
,真值,
误差
Y=y± U
Ο
± U
被测量可能分散的程度真值所处范围的估值不确定度
y
2.2 随机误差
2.2.1 定义与性质测量术语,,等精度测量,── 在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。
随机误差 定义,在等精度测量下，误差的绝对值和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、
或然误差，简称随差。
随机误差概念 ----不可预定方式变化的误差（同随机变量）
举例,对一电阻进行 n=100次等精度测量表 2.2 按大小排列的等精度测量结果测量值 xi（ Ω） 相同测值出现次数 mi 相同测值 出现的概率 Pi=mi/n
9.95 2 0.02
9.96 4 0.04
9.97 6 0.06
9.98 14 0.14
9.99 18 0.18
10.00 22 0.22
10.01 16 0.16
10.02 10 0.10
10.03 5 0.05
10.04 2 0.02
10.05 1 0.01
P(x)
μ x0
随机误差性质：服从 正态分布,具有以下 4个特性,
对称性 —— 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；
单峰性 —— 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；
有界性 —— 绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；
抵偿性 —— 当测量次数趋于无穷大，
随机误差的平均值将趋于零。
2.2.2 随机误差的统计处理随机误差与随机变量的类同关系
1.数学期望设 x1,x2,…,xi,… 为离散型随机变量 X的可能取值，相应概率为 p1,p2,…,pi,… 其级数和为若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为 E(X)
ii px?
i
i
i pxXE?
1
)( 1
i
ip
（ 2.13）
x1p1+x2p2+…+ xipi+…=
i
i
i px?
1
（ 2.12）
在统计学中,期望与均值是同一概念
12
1
1 nn
i
i
x x x
xx
nn?
（ 2.14）
算术平均值 与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值
x
必然趋于 实际值 。
2.方差、标准差方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。
随机变量 X的方差为 X与其期望 E（ X）之差的平方的期望，
记为 D（ X），即
2D ( ) = E {[ - E ( X ) ] }XX
（ 2.15）
例：两批电池的测量数据
〃
〃
〃 〃 〃〃 〃
〃
〃
n
X
0
X
xi
〃
〃
〃
〃
n
X
0
X
xi
〃
〃
〃
〃
〃
〃
〃
测量中的随机误差也用方差 )(2 x? 来定量表征：
n
22
i
i= 1
1σ ( x) = ( x - x)
n?
式中
i( - )xx
是某项测值与均值之差，称为 剩余误差 或 残差,
记作
ii=( - )v x x
。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。
标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作
n
2
i
i =1
1
ζ = ( x - x )
n
（ 2.16）
应当指出，剩余误差 νi应包含系统误差 ε和随机误差 δi，因这里只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即
V x xi i i i= ε + δ = δ =-
正态分布在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为正态分布
2
2
1 - ( x- μ )p(x)= e xp [ ]
2 σ2 π σ
当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 x 和标准差 σ，该正态分布的曲线形状则基本确定。
P(x)
μ x0
给出了
x =0 时，三条不同标准差的正态分布曲线：
1 2 3ζ < ζ < ζ
。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。
x
Φφ(σ)
0
σ1
σ2
σ3
σ1<σ2<σ3
本书附录 A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中
x x x
xx
δ x - E ( ) -Z = = =
ζ () ζ () ζ
ak=
ζ
（ 2.18）
式中 k为臵信因子,a为所设的区间宽度的一半。
K=1时，
K=2时，
K=3时，
P ( x σ ) 0,9 5 4 5
P ( x σ ) 0,9 9 7 3
P ( x σ ) 0,6 8 2 7
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率
2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差上述正态分布是（ n→∞ ）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量
1.有限次测量的算术平均值对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。
设被测量的真值为 μ，其等精度测量值为 x1,x2,…,xn，则其算术平均值为
n
1 2 n i
i = 1
11
x = ( x + x +,...,+ x ) = x
nn
（ 2.19）
由于
x
的数学期望为 μ，故算术平均值就是真值 μ的无偏估计值。
实际测量中，通常以算术平均值代替真值。
2.有限次测量数据的标准差 — 贝塞尔公式上述的标准差是在 n→∞ 的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当 n为有限次时，可以导出这时标准差为
x x x?
n
2
i
i = 1
1
s ( ) = ( - )
n - 1
（ 2.20）
这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故
)(xs
被称为 标准差的估值，也称实验标准差。
3.平均值的标准差在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分 m组进行测量，每组重复 n次测量，则每组数列都会有一个平均值，
由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的 算术平均值还存在着误差 。当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差
x?
来评价。
已知算术平均值
x
为
n
i
i =1
1
=
n
xx?
n m 1 2 …… m
1 x11 x21 …… xm1
2 x12 x22 …… xm2
.
.
n x1n x2n …… xmn
1()sx
1x
2()sx ()msx
2x nx
s ( )
s ( )=
n
x
x
在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导
nn
2 2 2 2 2 2
i i 1 2 n22
i = 1 i = 1
1 1 1s ( x) = s ( x ) = s ( x ) = [ s ( x ) + s ( x ) +,.,+ s ( x ) ]
n n n
)()()()( 222212 xxxx n
)(
1
)(
1
)( 2222 x
n
xn
n
x
n
x
x
)(
)(
因故有所以当 n为有限次时，用标准差的估值即可，则
n
xs
xs
)(
)(?
（ 2.21）
结论,（ 2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组 n次测量样本标准差的
n
分之一。即算术平均值的标准差估值
)(xs
比样本标准差的估值
)(xs
比样本标准差的估值
)(xs
小 n 倍，
表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。
意义,（ 2.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以,则相当于得到了多组数据
n
的算术平均值的标准差。
归纳,有限次测值的算术平均值和标准差 计算步骤：
(1)列出测量值的数据表
(2)计算算术平均值
12
1
1 nn
i
i
x x x
xx
nn?
()iiv x x
22
11
11
( ) ( )
11
nn
ii
ii
s x x x
nn
(3)残差
(4)标准差的估计值 （实验标准差）
()() sxsx
n
(5)算术平均值标准差的估计值例 2.6 对某信号源的输出频率进行了 8次测量，得测量值
ix的序列 (见表 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。
表 2.3 例 2.6所用数据
iv
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
xi (kHz) 1000.82 1000.79 1000.85 1000
.34
1000.
78
1000.
91
1000.
76
1000
.82
0.06 0.03 0.09 -0.42 0.02 0.15 0.00 0.06
解,(1)平均值（注意,这里采用的运算技巧）
n i
i = 1
1 0.0 1x = x = 100 0 + ( 82 + 79 + 85 + 34 + 78 + 91 + 76 + 82) = 100 0,76k Hz
n8
2
1
1 0,2 1 5 5( ) 0,1 7 5
17 i
n
i
s x v
n?
(2)用公式
xxv ii
计算各测量值残差列于表 2-3中
(3)标准差估值
( ) 1,76 7( ) 0,62
8
sxsx
n
(4)
x
的标准偏差因整数位不变
2.15 对某直流稳压电源的输出电压 Ux进行了 10次测量，测量结果如下：
求输出电压 Ux的算术平均值及其标准偏差估值
0 0 5.50 0 5 4.5)7110941526113(10 10 0 1.00 0 0.5 10
1
i
U
解,Ux的算术平均值
10
1
2)(
9
1)(
i
UUiUs
10
1
232222222222 )10(]6.1)4.6(6.46.3)4.9(6.9)4.7(6.06.5)4.2[(
9
1
i
10
1
23 )10(]56.296.4016.2196.1236.8816.9276.5736.036.3176.5[
9
1
i
V006.00062.0104.35391 6
标准偏差估值残差次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
电压 /V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007
残差 (10－ 3V) -2.4 5.6 0.6 -7.4 9.6 -9.4 3.6 4.6 -6.4 1.6
2.2.4 测量结果的臵信度
1.臵信 度 与臵信 区间
(百分比 ) (范围 )
臵信度 （臵信概率）就是用来描述测量结果处于某一 范围 内可靠程度的量，一般用百分数表示。
臵信区间,即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，
)( xk?
如 ±
给定 2个标准差 ±
)(2 x?
范围内数据的可信度是百分之几？
条件：必须先知道测值的分布，才能讨论臵信问题。
P(x)
E(x) x0
kσ(x)kσ(x)
臵信度
？ %
区间
2.正态分布下的臵信度
K=1时，
K=2时，
K=3时，
6827.0)(xP
9545.0)(xP
9973.0)(xP
k=3时，即在以 3倍标准差 ± 3σ区间内，随机误差出现的概率为
99.73%，而在这个区间外的概率非常小。
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率
68.3%
95.4%
99.7%
3,t分布下的臵信度 （ n<20）
在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求出标准差的估值 s(x)，但因测量次数较少（如 n＜ 20时，测值不服从正态分布。英国人 科萨特 （ Gosset，但常以,student”
笔名发表文章）证明了这时服从 t分布，也称“学生”氏分布 。
t分布的图形如图 2.9所示，图形类似于正态分布。但 t分布与标准差 σ无关，与测量次数 n关系紧密，从图 2.9可以看出，当
n＞ 20以后,t分布与正态分布就很接近了。可以用数学证明当
n→∞ 时,t分布与正态分布完全相同
Φp(t)
0
n→∞
n 大
n 小图 2.9 t 分布
t分布一般用来解决有限次等精度测量的臵信度问题。
例 2.8 对某电感进行 12次等精度测量，测得的数值（单位 mH）
为 20.46,20.52,20.50,20.52,20.48,20.47,20.50、
20.49,20.47,20.49,20.51,20.51，若要求在 P=95%的臵信概率下，该电感测值应在多大臵信区间内？
解：第一步：求出 L 及 )(Ls
电感的算术平均值 12
1
1 20.493
12 ii
L L m H
12
2
1
1( ) ( ) 0,0 2 0
1 2 1 ii
s L L L m H
0,02 0( ) 0,00 6
12
s L m H
电感的标准差估值算术平均值标准差估值第二步,查附录 B,t分布表，由 n－ 1=11及 P=0.95，查得 t=2.20
k
(n-1)
P
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95,098 0.99 0.999
1
10
11？
2.228
第三步,估计电感 L的臵信区间 )](),([ LtsLLtsL,其中
( ) 2,2 0 0,0 0 6 0,0 1 3ts L m H
则在 95%的臵信概率下，电感 L的臵信区间为 [20.48mH,20.51mH]。
4,非正态分布以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括 t分布 ).
在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。下面介绍几种常见的非正态分布曲线及臵信度问题。
1)均匀分布均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的一种重要分布，如图 2.10所示。其特点是在误差范围内,误差出现的概率各处相同 。如仪器中的度盘 回差 所导致的误差；数字仪器中的 量化误差 （在 ± 1单位以内不能分辨的误差）；数据计算中的 舍入误差 （舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的）等，均为均匀分布误差。 Φp(x)
0 x
图 2.10 均匀分布
a b
均匀分布的概率密度为
1
p ( x ) = b - a
0
a ≤ x ≤ b
x a x b及可以证明，图 2.10所示的均匀分布的数学期望为
a + bE ( x ) =
2
b - aζ =
12
标准差为 （ 2.24）
（ 2.25）
Φp(x)
0 x
图 2.10 均匀分布
a b
1
b-aA
x+e0-e
Φp(x)
图 2.12 反正弦分布
6
3
2
分布 臵信因子 k
正态 2~3
三角均匀反正弦
p(x)
0 x
图 2.11 三角分布
-e e
1/e
2.2.5 非等精度测量前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件下进行的，这是通常的测量情况。但有时候，如在科研或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为非
（或不）等精度测量。
对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），
不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。
1.,权”的概念和确定方法日常统计中也用“权”的概念，如按学分加权课程统计学生的各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性。例如，三门学分为 3,1,2课程的加权平均成绩为
3 8 2 1 8 6 2 7 5 4 8 2 8 0,3
3 1 2 6
分
2,加权算术平均值若对同一被测量进行 m组非等精度测量，得到 m组测量结果
mxxx,,,21? mwww,,,21?
m
mm
www
xwxwxwx
21
2211
，设相应的权值为,则加权算术平均值为例 2.10 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为 999.9425mm（ 3次测量的）,999.9416mm（ 2次测量的），
999.9419mm（ 5次测量的），求最后测量结果。
解,按测量次数来确定权,w1=3,w2=2,w3=5,取 x0=999.94mm，则有
999.94mm mm=999.9420mm
523
0019.050016.020025.03
x
3,加权算术平均值的标准差对同一被测量进行 m组非等精度测量，得到 m个测量结果，
各组测量结果的残余误差为
ix
i
v x x
经推导可得加权算术平均值的标准差：
（ 2.35）
m
i
i
m
i
ixi
x
wm
w
1
1
2
)1(
2.3 粗大误差在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。
产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺陷、电磁干扰及电压跳动等。
粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。
剔除是要有一定依据的 。在不明原因的情况下，
首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给定一臵信概率，确定相应的臵信区间，凡超出臵信区间的误差就认为是粗大误差。 具体检验方法常见的有三种,
2.3.1 定义
2.3.2 处理
2.3.3 剔除法则检验方法常见的有三种：
1 莱特检验法 （ n>200）
i?
＞ 3s（ x）
2 肖维纳检验法 （判则不严） a=ks
a
3 格拉布斯检验法 （理论与实验证明较好）
max?
＞ Gs
在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。
P(x)
E(x) x0
kσ(x)kσ(x)
-3s
-a
-Gs
3s
a
Gs
表 2.5 肖维纳准则数表
n k=a /s n k=a /s n k=a /s
3 1.38 13 2.07 23 2.30
4 1.54 14 2.10 24 2.32
5 1.65 15 2.13 25 2.33
6 1.73 16 2.16 30 2.39
7 1.79 17 2.18 40 2.50
8 1.86 18 2.20 50 2.58
9 1.92 19 2.22 75 2.71
10 1.96 20 2.24 100 2.81
11 2.00 21 2.26 200 3.02
12 2.04 22 2.28 500 3.29
表 2.6 格拉布斯准则数 G值
N
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5.0% 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.29 2.33 2.37 2.41 2.44 2.47 2.50 2.53 2.56
1.0% 1.15 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.74 2.78 2.82 2.85 2.85
1-Pc
1-Pc
2.3.4 应用举例例 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表 2.7中，
试检查数据中有无异常。
表 2.7 例 2.12所用数据序号 测得值 xi 残差 vi 序号 测得值 xi 残差 vi 序号 测得值 xi 残差 vi
1 20.42℃ +0.016℃ 6 20.43℃ -0.026℃ 11 20.42℃ +0.016℃
2 20.43℃ +0.026℃ 7 20.39℃ -0.014℃ 12 20.41℃ +0.006℃
3 20.40℃ -0.004℃ 8 20.30℃ -0.104℃ 13 20.39℃ -0.014℃
4 20.43℃ +0.026℃ 9 20.40℃ -0.004℃ 14 20.39℃ -0.014℃
5 20.42℃ +0.016℃ 10 20.43℃ +0.026℃ 15 20.40℃ -0.004℃
(1） 莱特检验法,从表中可以看出 x8=20.30℃ 残差较大，是个可疑数据，
404.20?x
033.0)(?xs
8 0,1 0 4
8 3 ( )sx
4 1 1.20'?x
0 16.0)(xs
3 ( ) 0,0 3 3 3 0,0 9 9 1sx
3 ( ) 0,0 1 6 3 0,0 4 8sx
℃
故可判断 x8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得其余的 14个数据的
i?
均小于 3 ( )sx?,故为正常数据。
（ 2） 肖维纳检验法以 n=15查表 2.5得 k=2,13
Ks(x)= 2.13 × 0.033= 0.07
8 0,0 7
故用肖维纳检验法
8?
也是异常数据，剔除后再按 n=14查表 2.5得 k=2.10
( ) 2,1 0 0,0 1 6 0,0 3 4k s x
i?
均小于 )(?xs,故余下的均为正常数据。
（ 3）按 格拉布斯检验法取臵信概率 Pc=0.99，以 n=15查表 2.6得 G=2.70
Gs=2.7× 0.033=0.09＜
8?
，剔除 x8后重新计算判别，
得 n=14,pc=0.99下 G值为 2,66
GSˊ ＝ 2.66 × 0.016＝ 0.04
可见余下数据中无异常值。
2.4 系统误差上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。
实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。
对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。
2.4.1 系统误差的产生原因系统误差是 由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成,
这些误差因素是可以掌握的。
1.测量装臵方面的因素仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；
仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。
2.环境方面的因素测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。
3.测量方法的因素采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。
4.测量人员方面的因素由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。
2.4.2 系统误差的检查和判别系统误差（简称系差）的特征是：
恒定系差 -----多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；
变值系差 -----条件改变时，误差按一定的规律变化。
1.恒定系统误差的检查和处理恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种
1)改变测量条件测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对仪表零点的调整 。
2)理论分析计算凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析,就可找出 系差的大小。（分压比校准）
3)用高档仪器比对、校准用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。
4)统计法 （ 排除随机误差，剩下即系统恒差 ）
下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。
设一系列重复测量值为 x1,x2,…,xn，测量值中含有随机误差 δi 和恒定系统误差 ε，设被测量的真值为 x0，则有
ii xx 0
当 n足够多时，
0
1
n
i
i?
0
1
0 )(
11 xnnx
nxnx
n
i
ii
0
1
n
i
i?
上式表明，当测量次数 n足够大时，随机误差对 x 的影响可忽略，而系统中。利用修正值 C=－ ε可以在进行平均前的每个测量值 xi误差 ε会反映在
x
中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的恒定系差，可通过理论计算修正。
2,变值系差的判定常用的有以下两种判据：
1)剩余误差 (残差）观察法
（ a）图剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；
（ b）图剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则存在线性系统误差；
（ c）图变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差；
（ d）图则同时存在线性和周期性系统误差。
若测量列中含有不变的系统误差，用剩余误差观察法则发现不了。
Φv
0 n
图 2.13 变值系差示意图
(c)
n
Φv
0
n
Φv
0 n
Φv
0
(a) (b)
(d)
2) 累进性系差的判别 — 马利科夫判据图 2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。
马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：
① 将 n项剩余误差
i?
按顺序排列；
② 分成前后两半求和，再求其差值 D
当 n为偶数时
2/
1 12/
n
i
n
ni
iiD
当 n为奇数时
n
ni
i
n
i
iD
2/)1(
2/)1(
1
③ 若 则说明测量数据存在累进性系差。0?D
（ 2.41）
i?
i?
i?
前一半 后一半
3)周期性系差的判别 —— 阿贝 — 赫梅特判据周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性系差。
如图 2.14（ a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在垂直向上的位臵时造成的误差为 ξ，当指针在水平位臵运动时 ξ 逐渐减小至零，
当指针运动到垂直向下位臵时，误差为 -ξ，如此周而复始，造成的误差如图
2.14（ b）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。
0
°
ξ
90
°
180° ξ
270°
ξ
0 t
(a)
(b)
图 2.14 周期性系差实例以 钟 表为例阿贝 — 赫梅特判据 具体步骤是,
① 把测量数据 I 项剩余误差
i?
按测量顺序排列；
② 将 两两相乘，然后求其和的绝对值
i?
1
1
113221,,,,,,
n
i
iinn
（ 2.42）
③ 用贝塞尔公式求方差
n
i
inxs
1
22
1
1)(?
④ 再与方差相比较，若
1
2
1
1
1 ( )
n
ii
i
n s x
（ 2.43）
则可认为存在周期性系统误差。
存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。 但是，若虽然存在变值系差，
而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。
2.4.3 削弱系统误差的典型技术消除或减弱系统误差应从根源上着手。
1,零示法 是在测量中使被测量对指示器的作用与标准量对指示器的作用相互平衡，以使指示器示零的一种比较测量法。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。
当检流计 G中 I=0
21
2
RR
REUU
x
待测标准
U U
x
E x
R1
R2 G
图 2.15 零示法测电压
G只要示零精度高
2.替代法 （臵换法）
直流电桥平衡条件
Rx
G
RS
R3
R1 R2
E
图 2.16 替代法测电阻标准可调可读电阻当 RXR2=R1R3 G=0
将 RSR2=R1R3 G=0
则 RX=RS
步骤,1.调 R3，使 G=0,R3不动；
2.调 RS，使 G=0,RX=RS
RS为标准 电阻箱 可调可读
3,交换法 （对照法）
第一次平衡,WXl1=W1l2
第二次平衡,WXl2=W2L1
WXl1× WXl2=W1l2× W2l1
当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，我们可以进行两次测量。
利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在，对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。
1 2 1 212xw w w w w
4.微差法
B
A
A
A
B
B
x
x
待测标准 （ 固定 ）
AB x9V
0.1V
V
图 2.17 微差法测量
（ 2.44）
式中 B—— 标准量；
A—— 被测量与标准量之微差。
如图 2.17所示，图中被测量为 x，与它相近的标准量为 B，被测量与标准量之微差为 A,A的数值可由指示仪表读出，则由于 x与 B的微差 A远小于 B，所以
A＋ B≈B，可得测量误差由式（ 2.44）可见，在采用微差法进行测量时，测量误差由两部分组成，其中第一部分?B／ B为标准量的相对误差，它一般是很小的。第二部分是指示仪表的相对误差?A/A与系数 A／ B的积,其中系数 A／ B是微差与标准量的比，叫相对微差。 由于相对微差远小于 1，因此指示仪表误差对测量的影响被大大地削弱了。
例 2.13 用微差法对标称值 9V的层迭电池进行测量，测量电路如图 2.17所示。图中标准稳压源 B=9V，相对误差 ± 0.2％；指示电压表 A的相对误差 ± 5％，当电压表 A指示值为 0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？
解：被测电池电压 x=B+A=9+0.1=9.1V
测量误差由式（ 2.44）可求得,
B
A
A
A
B
B
x
x
=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%≈0.2%
可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为 5％的电压表进行测量，可得 0.2%
的测量精确度 。
2.4.4 等精度测量结果的数据处理（ 重点内容 ）
当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。
1)对测量值进行修正，列出测量值 xi 的数据表
2)计算算术平均值
3)列出残差
4)按贝塞尔公式计算标准差的估值
1
1 n
i
i
xxn
()iiv x x
2
1
1()
1
n
i
i
sx n?
()() sxsx
n?
5)按莱特准则 3 ( )
i sx m a x Gs
()A x k s x
，或格拉布斯准则粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算
，检查和剔除和 s，再判别x
直到无粗大误差；
6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；
7)算术平均值标准差的估计值
8)写出最后结果的表达式，即,式中 k为臵信因子，可查表 2.4。
例 2.14 对某电压进行 16次等精度测量，测量数据 xi中已记入修正值，列于表 2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。
序号 测量值
xi(V)
残差 vi 残差 vi’ 序号 测量值
xi(V)
残差 vi’ 残差 vi
1 205.30 0.00 +0.09 9 205.71 +0.41 +0.50
2 204.94 -0.36 -0.27 10 204.70 -0.60 -0.51
3 205.63 +0.33 +0.42 11 204.86 -0.44 -0.35
4 205.24 -0.06 +0.03 12 205.35 +0.05 +0.14
5 206.65 +1.35 ---- 13 205.21 -0.09 0.00
6 204.97 -0.33 -0.24 14 205.19 -0.11 -0.02
7 205.36 +0.06 +0.15 15 205.21 -0.09 0.00
8 205.16 -0.14 -0.05 16 205.32 +0.02 +0.11
表 2.8 例 2.14所用数据解,(1)求出算术平均值
30.2 0 5161
16
1
i
ixx
(2)计算
xxv ii 列于表中,并验证 0
1
n
i
iv
(3)计算标准偏差估值,
4434.0116 1
16
1
2?
i ivs
(4)按莱特准则判断有无 3302.13 sv
i
,查表中第 5个数据
sv 335.15
,应将对应 65.2 0 6
5?x
视为粗大误差,加以剔除。现剩下 15个数据。
(5)重新计算剩余 15个数据的平均值,21.2 0 5'?x
及重新计算
'' xxv ii
列于表 2.8中,并验证
1
'0
n
i
i
v
。
(6)重新计算标准偏差
27.0'
115
1' 15
1
2?
i
ivs
(7)按莱特准则再判断
81.0'3' sv i,现各 '
iv
均小于
'3s
则认为剩余 15个数据中不再含有粗大误差。
,
(8)对
'iv
作图,判断有无变值系统误差,如图 2.18。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。
图 2.18 残差图
(9)计算算术平均值的标准偏差,
(10)写出 测量结果表达式,
07.015/27.015/' ss x
' ( 205.2 0.2)xx x k s v
(取臵信系数 k=3)
第五节 误差的合成与分配研究：
先讲 合成,
例,P＝ IU ΔU和 ΔI如何影响 ΔP？
I=U/R ΔU和 ΔR如何影响 ΔI？
方法：：推导一个普遍适用的公式。
分项误差合成分配总合误差如何根据各分项误差来确定总误差
2.5.1 测量误差的合成
1 误差传递公式设 )(
21 xxfy,?
若在 )(
20100 xxfy,?
附近各阶偏导数存在，则可把 y展为 台劳级数
)( 21 xxfy,?
1 0 2 0 1 1 0 2 2 0
1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0
12
2
2 2 2
22
22
12
( ) [ ( ) ( ) ]
1
[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]
2
ff
f x x x x x x
xx
f f f
x x x x x x x x
x x x x
，
！
若用
)()( 20221011 xxxxxx 及分别表示 x1及
x2分项的误差，由于
1 1 2 2x x x x及的中高阶小量可以略去，则总合的误差为
，则台劳级数
2
2
1
1
20100 )(
x
x
f
x
x
f
xxfyyyy
,
同理，当总合 y由 m个分项合成时，可得
m
m
xx fxxfxxfy2
2
1
1
即
j
m
j j
xxfy
1
绝对误差的传递公式 （ 2.45）
这是绝对误差的传递公式。
例方案 1 方案 2 方案 3
解,方案 1：用公式 P＝ IU
由式（ 2.45）可得
UIIUUUPIIPP
(CU)’=CU’
则算得功率的相对误差为
VIp UI
UI
UI
IU
P
P
P=IU =U2/R =I2R
方案 2：用公式 P=U2／ R
由式（ 2.45）可得
2
22
R
RU
R
UUR
R
PU
V
PP
则
R
U
R
RU
R
U
R
UU
P
P
p 2
2
2
2
2?
2 2
VR
UR
UR
=
求导方案 3：用公式 P＝ I2R
由式（ 2.45）可得
RIIIRR
R
PI
I
PP
22
RI
p
R
R
I
I
RI
RI
RI
IIR
P
P
2
2
2
2
2
2
则式（ 2.45）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的相对误差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（ 2.45）稍加变换就可以得到求相对误差的公式．将式（ 2.45）两端同除以 y。，同时考虑 y为 x1=x10,x2=x20时的函数值为 f,则
j
m
j j
y xx
f
fy
y?
1
1?
由数学中用对数求导数的方法 用对数求导数
' 1ln yyy
j
j
dx
fd
f
dxdf ln/
则可求出相对误差
j
m
j j
y xx
f?
1
ln?
相对误差传递公式 (2.46）
方案 2,2Up
R?
用 相对误差传递公式
lnP=2lnU-lnR
( 2 l n l n ) ( 2 l n l n )
2
2
p
VR
U R U R
UR
UR
UR
UR
若 ),,,(
21 mxxxfy
的函数关系为和、差关系时，
常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。
y=x1+x2-x3
3
21
x
xx
y?
12
m ny x x x?
LC
f
2
1
0?
用哪种方法求相对误差方便？
2 系统误差的合成,
由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（ 2.45）
m
m
x
x
fx
x
fx
x
fy?
2
2
1
1
一般说来各分项误差 Δx由系统误差 ε及随机误差 δ构成，即
)()()( 22
2
11
1
mm
mx
f
x
f
x
fy
（ 2.47）
若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差 εy可由各分项系统误差合成
j
m
j j
y x
f
1
（ 2.48）
若 ε1,ε2,…,εm为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。
对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。
3.随机误差的合成式（ 2.47）已给出
)(
1
jj
m
j j
yy x
fy
若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差为
j
m
j j
y x
f
1
上式是随机误差的符号，实际随机误差应用方差或 标准差表征：
2 2 2
1
()
m
j j
fyx
x
j（ ） （ ）
比较式（ 2.48）及式（ 2.49）可 重要结论：
确定性误差是按代数形式总合：
随机误差是按几何形式 总合：
（ 2.49）
2 2 212y x x
12y x x
2.5.2 测量误差的分配分项误差总合误差合成分配常见的误差分配原则。
1.等准确度分配设 δ=0 ε1=ε2…
副边总电压 U=880V
则，测量允许的最大总误差为
U? = U × （ ± 2％） =± 17,6 V
3
1
2 50HZ
220V U4
5
图 2.19 误差的分配 （ 教材 p47）
U
1
U2
440v
440v
880v例,用量程为 500V交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于 ± 2%，
问 应选几级电压表？
误差的分配问题,当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，
如何确定各分项误差的数值。
用引用相对误差为
n?
的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为 Um，
则可能产生的最大绝对误差为
mn UU m a x,这个数值应不大于每个副圈分配到的测量误差 ΔUi，即要求
%66.1500 8.8
m
i
n U
U?
可见选用 1.5级（ 1.5%） 的电压表能满足测量要求。
VUUUi 8.82 6.17221
可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据式（ 2.51） 等准确度分配原则分配误差,则
2,等作用分配等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即
m
mx
f
x
f
x
f
2
2
1
1
)()()()()()( 22222
2
1
22
1
m
m
xx fxxfxxf
由式（ 2.48）及式（ 2.49）可求出应分配各分项的误差为
j
y
j
x
f
m
（ 2.52）
j
j
x
fm
yx
)()( （ 2.53）
在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行 调节,在满足总误差要求的前提下，
对 不容易达到要求的分项适当放宽 分配的误差，而对容易达到要求的分项，
则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。
3,抓住主要误差项进行分配当各分项误差中第 k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证主要项的误差小于总合的误差即可，即当
)(2 j
kj j
k
k
xxfxf?
)()()()( 2222 j
kj j
k
k
xxfxxf
时，就可以只考虑主要项的影响，即
k
y
k
x
f
（ 2.54）
k
k
x
f
y
x
)(
)(
（ 2.55）
主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，对影响较小的次要误差项则可不予考虑或酌情分给少量误差比例。
2.5.3 最佳测量方案的选择对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。
所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到
m i n
1
yj
m
j j
y x
f
m i n
222
1
2 )()()()( yx
x
fy
j
m
j j
（ 2.56）
（ 2.57）
当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差 )(
jj x 及是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件，
了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。
常用选择方法有：
1.函数形式的选择当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差最小的函数形式。
前述电阻功率例中，当
%5.2%2%1 IVR,，,
问采用哪种测量方案较好？
方案 1,P=UI
%5.4%)2%5.2( VIp
%5%)1%22(2 RVP
%6%)1%5.22(2 RIP
方案 2 P= U2／ R
方案 3,P=I2R
可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案 P＝ UI,
2.测量点的选择在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。
ix RR
EI
E
Rx
图 2.20 电阻测量原理
Ri
则
ix RI
ER
由误差合成公式（ 2.45），可求得绝对误差为
2I
EI
I
RR x
X
则相对误差表达式为
I
IERI
E
R
R
ix
x
R
2?
令
0)(
x
x
R
R
I
求极小值可求得
m a x2
1
2 IR
EI
i
结论：指针处于中央位臵时，测量电阻的相对误差最小。
电阻量程
R?
2.6 测量不确定度
2.6.1 测量不确定度的概念以上介绍的测量误差理论虽然很全面和系统，但是被测量的 真值还是难以确定,测量结果总是带有不确定性。
在国外，推出了以,不确定度,作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而 对被测量不能肯定的度,是测量理论中很重要的一个新概念。
1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等 7个国际组织联合制定发布了,Guide to the Expression of Uncert
ainty in Measurement,（ GUM，测量不确定度表示指南）。
我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于 1999年发布了适合我国国情的,测量不确定度评定与表示,计量技术规范（ JJF1059— 1999）
这个规范原则上等同采用了 GUM的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。
1.不确定度的定义和分类测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度。从传统上理解，它是被测量真值所处范围的估计值。但是真值是一个理想化的概念，实际上往往难以测得，而可以具体操作的则是变化的测量结果。因此，现代的测量不确定度被 定义 为：,不确定度是与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度,。
这种测量不确定度的定义表明,Y= y± U
其中,y—— 是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值。
U—— 是测量不确定度，在 UGM中规定，这个参数可以是标准偏差 s或是 s
的倍数 ks；也可以是具有某臵信概率 P（例如 P= 95％或 P= 99％）下臵信区间的半宽。
不确定度标准不确定度扩展 (展伸 )不确定度（扩大 uC的臵信区间，提高臵信概率）
A类标准不确定度 uA（类同随机误差的处理）
B类标准不确定度 uB（查已有信息求得）
合成标准不确定度 uC（ A,B类的合成）
不确定度分类：
2,测量不确定度的来源测量不确定度来源于以下因素：
1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。
2）测量装臵或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。
3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。
4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。
5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。
3.测量不确定度与误差的关系误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。
对比项目 误 差 不确定度含义 反映测量结果偏离真值的程度 反映测量结果的分散程度符号 非正即负 恒为正值分类 随机误差、系统误差、粗大误差 A类评定和 B类评定表示符号 符号较多、且无法规定 规定用 u,uc,U,Up表示合成方式 代数和或均方根 均方根主客观性 客观存在，不以人的认识程度改变与人们对被测量及测量过程的认识有关与真值的关系 有关 无关表 2.9 误差与不确定度的区别
2.6.2 标准不确定度的评定用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用 u表示 。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用 ui 表示，其评定方法如下：
1,A类标准不确定度的评定
A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度 u的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即 A类标准不确定度就等于标准差，即
()Au s x?
标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：
1）对被测量 X进行 n次测量，得测值 x1,x2,…,xn ；
2）求算术平均值 x 和剩余误差
xx ii
3）用贝塞尔公式求标准差的估值,
n
i
ii xxnxs
1
2)(
1
1)( （ 2.58）
4）求算术平均值标准差的估值,
n
xsxs )()(? （ 2.59）
5）则 A类标准不确定度为,()
Au s x?
（ 2.60）
这里需要说明的是，观测次数 n应充分多，才能使 A类不确定度的评定可靠，
一般认为 n应大于 5。但也要视实际情况而定，当 A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时,n不宜太小；反之,n小些关系也不大。
2.B类标准不确定度的评定
B类评定不用统计分析法，而是要从资料查出厂商手册有关数据获得信息然后求出其 分布的估计 （概率分布假设）和 臵信区间 （要有一定的经验及对一般知识有透彻的了解。）
即 B类标准不确定度：
包含 因 子区间半宽
B
au
k
（ 2.61）
包含 因子 k（或称覆盖因子,置信 因子 ），可查表 2.10。
k 一般在 2~3范围内表 2.10 常用分布与 k,u（ xi）的关系
a1100两点
a/ 22100反正弦
a/ 33100梯形
a/ 3100均匀（矩形）
a/ 66100三角
a/2295.45正态
a/3399.73正态
u（ xi）kp（ %）分布类型
3
例 2.22 由手册查得纯铜在温度 20℃ 时的线膨胀系数 a为 16.52 610 /℃,
并已知该系数 a的误差范围为 6104.0 ℃,求线膨胀系数 a的标准不确定度。
解：根据手册提供的信息可认为 a 的值以等概率位于区间 6( 1 6,2 5 - 0,4 ) 1 0 ℃
6( 16,5 2- 0,4) 10 /至 ℃
内，且不可能位于此区间之外，故假设 a
服从均匀分布。已知其区间半宽 60,4 1 0 /a ℃,则纯铜在温度为 20℃ 的线膨胀系数 a的标准不确定度为
6
60,4 10 / 0,23 10
33
C
B
au
/℃
16.9216.40 16.52 ℃610 /
3,自由度
1)自由度概念 （ 在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数 ）
根据概率论与数理统计所定义的自由度，在 n个变量剩余误差
i?
n
i
i
1
2?
的平方和如果 n个中，
i?
之间存在着 k个独立的线性约束条件，即 n个变量中独立变量的个数仅为 n－ k，则称平方和
n
i
i
1
2?
的自由度为 n－ k。因此若用贝塞尔公式（ 2.58）计算单次测量标准差 σ，式中
2
11
2 )( xx
i
n
i
n
i
i
的 n个变量
i?
之间存在唯一的线性约束条件
0)(
11
xx i
n
i
n
i
i?
，故平方和
n
i
i
1
2?
的自由度为 n－ 1，则由式（ 2.58）计算的标准差 σ的自由度也等于 n－ 1。
由此可以看出，系列测量的标准差的可信赖程度与自由度有密切关系，
自由度愈大，标准差愈可信赖。由于不确定度是用标准差来表征，因此不确定度评定的质量如何，也可用自由度来说明。每个不确定度都对应着一个自由度，并将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称为不确定度的自由度。
2)自由度的确定
(1)A类标准不确定度的自由度 ν
对 A类评定的标准不确定度，其自由度 ν 即为标准差 σ 的自由度。
由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度 ν= n－ 1。
(2)B类标准不确定度的自由度对 B类评定的标准不确定度 uB，由相对标准差来确定自由度，其自由度定义为
2
1
2 ( )u
u
（ 2.62）
式中,σu—— 评定 u的标准差；
σu/u一评定 u的相对标准差。
例如，当 σu/u= 0.5，则 u的自由度 ν＝ 2；当 σu/u= 0.25，则 u的自由度
ν＝ 8；当 σu/u＝ 0.10，则 u的自由度 ν= 50；当 σu/u＝ 0，则 u的自由度 ν＝ ∞,即 u的评定非常可靠。表 2.11给出 B类标准不确定度评定时不同的相对标准差所对应的自由度。
σ u/u
0.71 0.50 0.41 0.35 0.32 0.29 0.27 0.25 0.24 0.22 0.18 0.16 0.10 0.07
ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 50 100
2.6.3 测量不确定度的合成
1,标准不确定度的合成当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度 uc表示。
这里不讲推导，只介绍应用结论公式：
2
11
2
NN
c x i i j x i x j
i i j
u u u u?
（ 2.67）
当不确定度分量相互独立时,ρij=0，则（ 2.67）简化为
2
1
N
c x i
i
uu
（ 2.68）均方根合成
2,扩展（展伸）不确定度合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于标准差，
由其所表示的测量结果 y± uc含被测量 Y的真值的概率仅为 68％。然而在一些实际工作中，如高精度比对、一些与安全生产以及与身体健康有关的测量，要求给出的测量结果区间包含被测量真值的臵信概率较大，即给出一个测量结果的区间，使被测量的值大部分位于其中，为此需用扩展不确定度（也有称为展伸不确定度）表示测量结果。
扩展不确定度由合成标准不确定度 uC乘以 包含 因子 k 得到，记为 U，即
U=kuC
用扩展不确定度作为测量不确定度，
则测量结果表示为
Y=y± U
图 2.7 正态分布下不同区间出现的概率包含因子 k由 t分布的临界值 tp(ν)给出，即
k＝ tp（ ν）
式中,ν是合成标准不确定度 uc的自由度，根据给定的臵信概率 P与自由度 ν
查 t分布表，得到 tp（ ν）的值。当各不确定度分量则相互独立时，合成标准不确定度 uc的自由度。由下式计算：
N
i i
i
c
u
u
1
4
4
（ 2.73）
式中 νi—— 各标准不确定度分量 ui 的自由度。
往往由于缺少资料难以确定每一个分量的 νi则自由度。无法按式 (2.73)计算，
也不能按式 (2.72)来确定包含因子 k 的值。为了求得扩展不确定度，一般情况下可取包含因子 k=2～ 3。
归纳：
Y= y± U
y 是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值。
k
au
B?
U =kuc )()( xsxsu A
A类不确定度
B类不确定度
K 的选择由臵信概率（常取 0.95或 0.99）和概率分布（正态分布,t分布、
均匀分布等）确定。通常 K=2~3
扩展标准不确定度
AB类标准不确定度标准不确定度合成
2.6.4 测量不确定度应用实例
1,测量不确定度计算步骤综上所述，评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为
(1)分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量；
(2)评定标准不确定度分量，并给出其数值 ui 和自由度 νi ；
(3)分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数 ρij ；
(4)求测量结果的合成标准不确定度 uc及自由度 ν,
(5)若需要给出扩展不确定度，则将合成标准不确定度 uc乘以臵信因子 k，
得扩展不确定度 U=kuc；
(6)给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值 y及合成标准不确定度 uc或扩展不确定度 U，并说明获得它们的细节。
根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。
2.电压测量的不确定度计算
1)测量方法用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源 10V点的输出电压值进行独立测量 10次，测得值如下,（说明：本例中以 UD表示电压值,u
和 U表示不确定度）
n 测量结果 n 测量结果
1 10.000107 6 10.000108
2 10.000103 7 10.000121
3 10.000097 8 10.000101
4 10.000111 9 10.000110
5 10.000091 10 10.000094
计算 10次测量的平均值得
DU
= 10.000104V，并取平均值作为测量结果的估计值。
2)不确定度评定分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：标准电压表的示值稳定度引起的不确定度 ul；标准电压表的示值误差引起的不确定度 u2；电压测量重复性引起的不确定度 u3。分析这些不确定度特点可知，不确定度 u1、
u2应采用 B类评定方法，而不确定度 u3应采用 A类评定方法。下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量：
(1)标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量 ul 在电压测量前对标准电压表进行 24h的校准，并知在 10V点测量时，其 24h的示值稳定度不超过
± 15μV，取均匀分布，按表 2.10得标准电压表示值稳定度引起的不确定度分量为
Vvu 7.8
3
15
1
因给出的示值稳定度的数据很可靠，故取
0
1
1?
u
u?
，其自由度
1?
。
(2)标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量 u2标准电压表的检定证书给出，其示值误差按 3倍标准差计算为 3,5 × 10－ 6 × U（标准电压表示值），故 10V的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分量为
6
5
2
3,5 1 0 1 0 1,1 7 1 0 1 1,7
3
Vu V u v
因 k=3，可认为其臵信概率较高,u2的评定非常可靠，故取自由度
2?
(3)电压测量重复性引起的标准不确定度分量 u3由 10次测量的数据，用贝塞尔法计算单次测量标准差 s(UD)=9μV，平均值的标准差
9( ) 2,8
10DsU
μV则电压重复性引起的标准不确定度为
3 ( ) = 2,8 u VDu s U?
其自由度
913 n?
3)不确定度合成因不确定度分量 u1,u2,u3相互独立，则 ρij=0，按式（ 2.67）得电压测量的合成标准不确定度为
2 2 2 2 2 2
1 2 3 ( 8,7 ) ( 1 1,7 ) ( 2,8 ) 1 4,8 5 1 5cu u u u u v
按式（ 2.72）计算其自由度得
7 4 1 2
9
)8.2()7.11()7.8(
)15(
444
4
3
4
3
2
4
2
1
4
1
4
uuu
u c
4) 扩展不确定度取臵信概率 P =95％，由自由度 v=7412查 t分布表得 t0.95(7412)=1.96，
即臵信因子 k ＝ 1.96。于是，电压测量的扩展不确定度为
1,9 6 1 5 2 9,4 3 0CU k u v
5) 不确定度报告
(1)用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为
=10,000104V,DU
uC＝ 0.000015V,v＝ 7412。
(2)用扩展不确定度评定电压的不确定，则测量结果为
UD=（ 10.000104± 0.000030） V,P = 0.95,v=7412。
其中 ± 符号后的数值是扩展不确定度 U =k uC＝ 0.000030V，是由合成标准不确定度 uC＝ 0.000015V及臵信因子 k =1.96确定的。
2.7 测量数据处理通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。
处理方式表达式（有效数字、测量值、不确定度）
曲线图形经验公式
2.7.1 有效数字的处理
1 有效数字定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位 存疑数 为止的所有各位数字。
例 1 用 10v指针式电压表测得
U= 5,6 4 V
三位有效数字 例 2 0.0038KΩ=3.8Ω
两位有效数字
6 5 例 3 0.026m 两位有效数字
0.0260m 三位有效数字最末位有效数字常称 存疑数,它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用
10V量程指针式电压表测得电压 5.64V，这是三位有效数字组成的数据，
这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含有误差的近似数，常称为存疑数。
存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位 (± 0.5个单位 )变化。
例如，
5.64± 0.005
5.645
5.635
有效数字与准确度的关系数据 误差 准确到
18.4 kΩ ± 0.1 kΩ 100 Ω
18.40 kΩ ± 0.01 kΩ 10 Ω
18.400 kΩ ± 0.001 kΩ 1 Ω
有效数字的位数应取得与不确定度相一致当电压表不确定度为,± 0.01v 数据应写为
a 2.186v
b 2.18v
c 2.1v
哪个对？
有误差的单位量级应与测量数据相配合
a 7900 kHz
当频率误差为,± 1kHz 数据应写为 b 7.900 MHz 哪个对？
c 7900 000 Hz
d 7.9 MHz
2 数字的舍入（修约）规则对五入可能带来误差未使尾数为偶数，不便于除尽经典的“四舍五入”的缺点：
规则小于 5舍大于 5入等于 5取偶
5后有数，舍 5入 1
5后无数或为零时
5前是奇数，舍 5入 1
5前是偶数，舍 5不进
17.995→18.00
14.9850→14.98
3.62456→3.625
测量中用,四舍六入五凑偶法则三例都取 4位有效数字
3,近似运算规则在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。
1)在近似数 加减运算 时，各运算数据 以小数位数最少的数据位数为准,
其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。
例 2.24 求 2643.0＋ 987.7十 4.187＋ 0.2354=？
≈2643.0 ＋ 987.7＋ 4.19＋ 0.24
＝ 3635.13≈3635.1
2)在近似数 乘除运算 时，各运算数据 以有效位数最少的数据位数为准,
其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
2.7.2 测量数据的表示方法本节简要地介绍图示曲线和经验公式的表示方法。
1,测量结果的曲线表示把测量结果绘成曲线，可以直观形象地表示数据的变化规律，例如，
三极管的输出特性曲线，放大器的幅频特性曲线等。
但由于测量结果中存在误差，数据有一定的离散性，难以作出一条光滑连续的曲线。需要采用一些专门的方法。这里介绍分组平均作图法。
1)作图要点首先要 选好坐标 。一般宜选用直角坐标。有时要用极坐标。如果自变量的范围很宽，可以选用对数坐标。坐标的比例可以根据需要确定，二者分度可以不同，作曲线图应使用坐标纸。注意坐标的幅面以及数据点的标注方式。
曲线急剧变化的地方测量数据应多取一些 。
注意 曲线的修均 。
2)用分组平均法修均曲线将各数据点连成光滑曲线的过程叫曲线的修均。由于测量误差的存在，
不同的人员所作的曲线可能差异较大。
为了提高作图的精度，可用分组平均法进行曲线修均。这种方法是将相邻的 2～ 4个数据分为一组，然后估计出各组的几何重心，再用光滑的曲线将重心点连接起来，用分组平均法进行曲线修均的方法如图 2.21所示。由于这种方法减少了随机误差影响。从而使曲线较为符合实际。
图 2.21 用分组平均法修均曲线先看一个实例：
计算机三级考试中的测控题一台反映釜的温度测量仪表的量程为 200oC— 1000oC,且为线性刻度,在某个采样周期微机获得一组经八位 ADC转换后的采样数据为,
D0H,C0H,CAH,CCH,DEH
则经中值滤波程序处理后,该仪表的显示值为 ______oC,
（横坐标数据对应一定的电压值）
℃
1000
840
200
00 CC FF
0 204 255
800
解 D0H = 208 中值滤波,
C0H = 192 192,202,204,208,222
CAH = 202 800
AH = 202 800 x '
CCH = 204 255 204 =
= 640
X = 640 + 200 = 840 ℃
问题：这条线性曲 线 y=bx+a是怎样得出来的？
2.经验公式的确定在实际应用中，经验公式，也称回归方程，是实验测量的基础上归纳出来的，
可在一定的条件下使用。这种经验公式以数学表达式客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作一步分析研究，对认识自然界量与量之间关系有着重要意义
1)最小二乘法最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的测量值中，最佳值就是能使各
()ixx
的平方和为最小的那个值，即
n
i
i
1
2?
测量残差测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。
最小。或者说，
2）回归分析法回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。
回归分析法包括两个方面的任务：一是根据测量数据确定函数形式，即回归方程的类型；二是确定方程中的参数。确定回归方程的类型，通常需要结合专业知识和实际情况来选择。
电子测量中，经常用到单变量的线性回归（例如 y=bx+a），这里仅举一元线性回归的例子，即处理两个变量 x和 y之间的线性关系。这是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。例如，温度、湿度、压力等传感器的输出电压与温、湿度、压力之间就是这种直线方程 (y=bx+a)关系。
例 2.25 在压力传感器校验测量中测得一组数据如表 2.13所示，这里 x
可以看作是压力（ kg）,y是传感器输出的电压值（ V）。试用最小二乘法拟合，求表中实验数据的最佳曲线和经验公式。
表 2.13 压力传感器测量原始数据
xi 6 17 24 34 36 45 51 55 74 75
yi 10.3 11.0 10.01 10.9 10.2 10.8 11.4 11.1 13.8 12.2
解：设要求的最佳曲线为线性方程,y=bx+a 如图 2.22所示。
实际测量中有误差，可写成
iii abxy )(
图 2.22 用最小二乘法拟合曲线
x
y
0
y=bx+a
yi
解题步骤：
① 残差表达式
)( abxy iii
② 最小二乘法 （ 测量结果的最可信赖值应在 残差平方和 为 最小 的条件下求出 ）
22 )( abxy iii
求上式的极小值，即对可变系数 b 和 a 进行偏微分
0
2
b i?0
2
a i?
③ 条件方程 （ 满足最小二乘法条件的方程 ）
对 b求偏微分
dxnxx nbn 1'
0)00()(2 12 iii xabxy
得条件方程（ 1），同理对 a求极小值得条件方程（ 2）
0)( abxyx iii
0)( abxy ii
（ 1）
（ 2）
条件方程将 10组测量的原始数据代入 条件方程,再求 正规方程：
④ 正规方程代入题中给出 10个的测量数据，为计算方便先代入（ 2）
再将（ 2）式 10个方程分别乘以 xi
即得（ 1）式的 10个方程,
10.3=6b+a
10.8=45b+a
11.0=17b+a
11.4=51b+a
10.01=24b+a
11.1=55b+a
10.9=34b+a
13.8=74b+a
10.2=36b+a
+ 12.2=75b+a
111.71=417b+10a (2)′
61.8=36b+6a
486=2025b+45a
187=289b+17a
581.4=1601b+51a
240.24=576b+24a
610.5=3025b+55a
370.6=1156b+34a
1021.2=5476b+74a
367.2=1296b+36a
+ 915=5625b+75a
4841=22105b+417a (1)’
⑤ 直线方程解出正规方程 (1)’ 和 (2)′中的
a=9.54 b=0.039
得直线方程为,y=0.039x+9.54
⑥ 画出曲线
y
图 2.22 用最小二乘法拟合曲线
x0
y=bx+a
a
小结
1,名词解释,真值、实际值、示值、误差、修正值。
2,测量误差的表示方法，测量误差的来源。
3,误差按性质分为哪几种？各有何特点？
4、何谓标准差、平均值标准差、标准差的估值？
5、归纳比较粗大误差的检验方法。
6、绝对误差和相对误差的传递公式有何用途？
7、测量误差和不确定度有何不同？
8,归纳不确定度的分类和确定方法？
9、归纳测量数据处理的方法。
作业
课后习题
