工程线性代数
（ MATLAB版）
陈怀琛 高淑萍 杨威 编著第一章 线性方程组与矩阵
1.1 概述
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组
1.4 矩阵及矩阵的初等变换
1.5 行阶梯矩阵的生成规则和程序化
1.6 应用实例
1.7 习题
1.1 概述
a.提出实际问题：
b.建立数学模型：
c.分析方程组的解：
对于一般线性方程组解的情况，可以通过以下框图来表述：
线性方程组解的情况有解无解有唯一解有多解有合理解无合理解找出近似解解集的性质
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义例 1.1 求解下列四个线性方程组
（ a） （ b）
（ c） （ d）
33
12
21
21
xx
xx
32
12
21
21
xx
xx
12
12
21
21
xx
xx
32
3
1
21
21
21
xx
xx
xx
解,前三题都是两个二元一次方程组，容易用消元法求解，现在用图解法来理解线性方程组解的几何意义。
方程组（ a）的解为：,,它是两根直线的交点，如图 1.1（ a），
图 1.1（ a）
我们把方程组（ a）称为 适定方程组 。
31?x 22?x
方程组（ b）的两个方程是不相容的，或称为矛盾的，即，方程组无解。可以在平面上画出代表两个方程的两根直线，它们平行且不重合，因此没有交点，如图 1.1（ b）。
如图 1.1（ b）
方程组（ c）的两个方程是相依的，满足第一个方程的解必然也满足第二个方程。其实，两个方程相当于一个方程，变量却有两个，我们把这样的方程组称为 欠定方程 。
显然它有无穷组解。两个方程所对应的直线重合，如图 1.1（ c）。
如图 1.1（ c）
方程组（ d）有两个变量，有三个独立方程，
它们所对应的三根直线并不共点，即方程组不相容，因而无解，如图 1.2。
图 1.2 三个二元线性方程解的情况独立方程数目多于变量数目的不相容方程组称为 超定方程组 。
例 1.2 求解下列三元线性方程组
（ 1-2）
解,由方程组（ 1-2）的第 1,2两个方程中消去 z，得,；由方程组（ 1-2）的第 2、第 3个方程中消去 z，得：,
两式联立解得：
0225
332
5
zyx
zyx
zyx
823 yx
64 yx
1,4 2 8 6
1,8 5 7 1
x
y
再代入 (1-2)中任一式，得方程组（ 1-2）的三个方程对应于三维空间的三个平面，若这三个平面有公共的交点，该交点就是方程组的解，如图 1.3所示。
图 1.3 三阶线性方程组求解的图形
4 2 8 6.5z
平面也有可能重合，或三个平面相交于同一根直线，因而出现无穷个解的欠定情况，如图 1.4(a)所示。同样，当有两个平面平行或者有两个平面的交线与第三个平面平行时，三个平面就没有公共交点了，即方程组不相容而无解。如图 1.4(b)、（ c）所示。
（ a） （ b） （ c）
图 1.4 三阶方程组多解和无解时的几何解释
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组线性方程组的一般形式如下：
（ 1-3）
式 (1-3）称为 n元线性方程组 。
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组（ 1-3）中解的全体称为它的解集合。解方程组就是求其全部解，亦即求出其解集合。
如果两个方程组有相同的解集合，就称它们为 同解 。
存在解的方程组称为 相容方程,否则称为 不相容方程 。
消元法的基本思想 是：通过消元变换把方程组化为容易求解的同解方程组。这种方法适用于解一般的线性方程组。
下面通过一个例子来说明消元法的具体做法。
例 1.3 解线性方程组
（ 1-4）
28
3443
2422
2622
4321
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
解,将（ 1-4）式中的第一个方程乘－ 1、－
1.5、－ 0.5，分别加到第二、三、四个方程上，使得在第二、三、四个方程中消去未知量,得：
（ 1-5）
将（ 1-5）式中的第二个方程乘－ 2，分别加到第三、四个方程中消去,得：
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 2 6 2
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1x
2x
（ 1-6）
把（ 1-6）式中第三个方程和第四个方程交换位置，
得：
（ 1-7）
形如（ 1-7）的方程组称为 行阶梯形方程组 。
这样的阶梯形方程组可以用 回代法 方便地逐个求出它的解。
1 2 4
2 3 4
34
4
2 2 6 2
2 2 0
3 9 3
0
x x x
x x x
xx
x
1 2 4
2 3 4
4
34
2 2 6 2
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
回代过程如下：
由式 (1-7)中第四个方程，知,将其回代到第三个方程得,再将 回代到第二、第一方程中，分别得,。
所以原方程组（ 1-4）的解为,,,。回代运算是直接的，不需要解联立方程，所以运算量比较小。
04?x
13x 43,xx
22?x 11?x
11?x 22?x 13x 04?x
从上述解题过程可以看出，用高斯消元法解线性方程组可分为两步：
①经过若干次初等行变换后得到一个阶梯形方程组；
②用回代法由后到前逐次求出各个变量。其实，回代过程是另一轮的消元，它消除的是方程对角线右上方的各项。
把第 4个方程分别乘以 6，－ 2,9，加到前 3个方程中，再将第 3个方程乘以 2/3，加到第 2个方程中，最后将第 2个方程乘 2，加到第 1个方程中，得到
（ 1-8）
这个行阶梯形方程组只保留了对角项。
1
2
3
4
22
2
33
0
x
x
x
x
将（ 1-8）式中第一个方程乘 0.5，第三个方程乘，第四个方程乘－ 1，得到对角线各项系数为一的 行阶梯形方程组 。这样的方程组称为 最简阶梯形 方程组 。
（ 1-9）
得到它就等于求出了方程的解。
1
2
3
4
1
2
1
0
x
x
x
x
由方程（ 1-4）用消元法变换为方程（ 1-9）
的过程是对原方程组反复施行下列三种同解变换而得到的：
（ 1）互换两个方程的位置；
（ 2）用一个非零数乘某个方程；
（ 3）把一个方程的 k倍加到另一个的方程上；
这三种变换称为 线性方程组的初等行变换 。因为对方程而言，这些变换不会改变方程的解，
称为 同解变换,故方程组（ 1-9）与原方程组
（ 1-4）同解。
1.4 矩阵及矩阵的初等变换
1.4.1 矩阵的概念及定义定义 1.1 由 m× n个数（ ＝ 1,2,…,m ；
＝ 1,2,…,n）排成的 m行 n列的矩形数表称为 m行 n列矩阵,简称 m× n矩阵
i
j
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
1.4.2 几种特殊矩阵只有一行的矩阵称为 行矩阵,又称为 行向量,为避免元素间混淆,行向量常常记为：
只有一列的矩阵称为 列矩阵,又称为 列向量 。
12 na a a?A
naaa,,,21A
1
2
m
b
b
b
B
如果两个矩阵的行数与列数相等，则称它们为 同型矩阵 。
A,B是同型矩阵，且所有对应位置的元素值均相等，则称 矩阵 A与矩阵 B相等,
记为 A＝ B。
元素都是零的矩阵称为 零矩阵,记作 。
行数与列数相同的矩阵 称为 n阶矩阵,或称为 n阶方阵,简记为 。
一个 n阶方阵的左上角与右下角之间的连线称为它的 主对角线 。
O
nn?A
nA
主对角线以下的元素全为零的方阵称为 上三角矩阵,即：
主对角线以上的元素全为零的方阵称为 下三角矩阵,即：
1 1 1 2 1
2 2 2
0
00
n
n
n
nn
a a a
aa
A
a
nnnn
n
aaa
aa
a
21
2221
11
0
00
A
主对角线以外的元素全为零的方阵称为 对角阵,即：
对角矩阵常常记为 A 或 。在对角矩阵中，未写出的元素表示为零。
nn
n
a
a
a
A
22
11
nnaaad i a g?,,2211
主对角线上全为 1的 n阶对角矩阵称为单位矩阵，记作,即：
由线性方程组所有系数所构成的矩阵，我们称之为线性方程组的 系数矩阵,线性方程组
（ 1-4）的系数矩阵为：
nI
1 0 0
0 1 0
0 0 1
nn?
n
I
2 2 0 6
2 1 2 4
3 1 4 4
1 1 1 8
A
由线性方程组所有系数和常数项所构成的矩阵，我们之称为线性方程组的 增广矩阵,这样的矩阵就可以反映线性代数方程的全部特性。方程组（ 1-4）的增广矩阵为：
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
1 1 1 8 2
B A,b
1.4.3 矩阵的初等变换定义 1.2 下面三种变换称为 矩阵的初等行变换,
（ 1）交换两行的位置（交换第,行，记作 ）；
（ 2）以非零数 乘某行（以 乘第 行，记作 ）；
（ 3）把某一行的 倍加到另一行上（把第行的 倍加到第 行上，记作 ）。
i j
ji rr?
k k i
k ir
k j
k i ji krr?
矩阵的这三种初等行变换就等价于方程组的三种初等变换。因此它可以保证变换前后解的等价性，即初等行变换是同解变换。
把定义中的“行”换成“列”，即得到 矩阵的初等列变换 的定义（所用记号是把,”换成
,”）。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为 初等变换 。
如果矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与矩阵 B等价 。
r
c
特别注意：
在进行线性方程组的求解中，只能对 增广矩阵 进行初等行变换，换言之，只有初等行变换才能保证方程组的同解性。
下面用矩阵的初等行变换来解方程组 (1-4)，
其变换过程可与线性方程组的消元过程一一对照：
最后得到的矩阵称为行阶梯矩阵，它对应于方程组（ 1-7），对该矩阵还可以继续进行行初等变换。
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
1 1 1 8 2
B A,b
21
31
41
1.5
0.5
rr
rr
rr
2 - 2 0 6 - 2
0 1 2 - 2 0
0 2 4 - 5 0
0 2 1 5 3
24
23
2
2
rr
rr
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 0 1 0
0 0 3 9 3
43 rr?
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 3 9 3
0 0 0 0
-1
继续化简,得
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 3 9 3
0 0 0 0
-1
14
24
34
6
2
9
rr
rr
rr
2 2 0 0 2
0 1 2 0 0
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
232/3rr?
2 2 0 0 2
0 1 0 0 2
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
122rr?
2 0 0 0 2
0 1 0 0 2
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
1
3
/2
/( 3)
r
r?
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 0
1
最后得到最简行阶梯矩阵，它所对应的线性方程组即是方程组（ 1-9）。
归纳起来，所谓 行阶梯形矩阵,是指满足下列两个条件的矩阵：
（ 1）如果有零行（元素全为零的行），则零行全部位于该矩阵的下方；
（ 2）每个非零行（元素不全为零的行）的第一个非零元素（下称为基准元素），其前面零的个数随行数的增加而增加。
当行阶梯形矩阵进一步满足：
（ 1）每行的基准元素取值都是 1；
（ 2）每行的基准元素所在列的其余元素都是零。
则称此矩阵为 最简行阶梯形矩阵 （或称 行最简形 ）。
综上所述，用矩阵初等行变换方法解线性方程组的步骤是：
（ 1）写出线性方程组的增广矩阵，运用矩阵的初等行变换把它化为行阶梯形矩阵（或进一步化为行最简形）。
（ 2）写出行阶梯矩阵（或行最简形）所表示的方程组，对它进行求解。
例 1.5 将下列矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵和行最简形。
解：
53443
34232
21211
76210
A
14
1321
3
2
53443
34232
76210
21211
rr
rrrr
A
24
23
16210
16210
76210
21211
rr
rr
上面最后一个矩阵即为行阶梯矩阵。对它继续进行初等行变换，有：
34
80000
80000
76210
21211
rr?
00000
80000
76210
21211
00000
80000
76210
21211
13
23
r 2 /8r
r 7 /8r
1 1 2 1 0
0 1 2 6 0
0 0 0 0 8
0 0 0 0 0
12rr?
以上矩阵即为行最简形。
行阶梯矩阵不具备唯一性 。一个矩阵经过不同的初等行变换可以得到不同的行阶梯矩阵
（上面三个矩阵都是行阶梯矩阵），但它的行最简形是唯一的。
47
26
0 0 8
00
1 0 0
0 1 0
00
0 0 0
3r/8?
47
26
00
00
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1.5 行阶梯矩阵的生成规则
1.5.1 实现行阶梯变换的基本步骤步骤 1,把第一行的基准元素下方的诸元素全消为零 。
取第一行为 基准行 (pivot row),其最左边的元素取为 基准元素 (pivot element),取第二行为待变换行,与基准元素同列的元素 为待消元素 。 将基准行全体元素乘以待消元素,并除以负的基准元素后,加到第二行对应的全部元素中去,作为第二行的全部新元素 。 这时,第二行中与基准元素对应的元素的值成为,即被消元了 。
11a
21a
21a
11a?
2121 11 21
11
0aa a aa
依次把第 2行直到第 n行作为待变换行，对它们实行同样变换。
步骤 2,把第二行的基准元素下方的诸元素全消为零。
步骤 3,再取第三行为基准行,…,依此类推，直到第 m行，得到了 m个基准元素它们也就是对角元素，在这些基准元素下方的元素都为零。
11 ~ mmaa
如果方程组是适定的，即方程数与变量数相等，系数矩阵的 m=n，最右面的一列是常数列，则整个增广矩阵是 m行 m+1 列矩阵。则其行阶梯形矩阵构成一个上三角形，如图 1.5
所示。其中 表示基准元素,则为任意数值的元素。
图 1.5 适定方程行阶梯形矩阵的形式
0
0 0 0
0 0 0 0
U
在计算中还有一些实际问题需要考虑。比如出现了某个基准元素为零的情况，那末“除以基准元素”这个步骤将不能进行。这时就要进行行交换，尽量把基准列下方绝对值最大的元素通过行交换调整到基准行上来。从计算精度的角度来看，即使基准元素不为零，而是非常小，也应尽量做行交换，把它换成绝对值大的元素。
下面进入回代过程，即把各基准元素上方的元素全消为零。
先取第 m行为基准行,为基准元素，取第
m-1行为待变换行，基准元素上方的元素为待消元素。
将基准行全体元素（此时只有一个非零元素）乘以待消元素,并除以负基准元素后，
mma
1,mma?
1,mma?
mma?
加到第 m-1行对应的全部元素中去，这样就消除了元素 。依次取 m-2,…,1 各行作为待变换行，则第 m 列中在 上方的全部元素都被消为零。
再取第 m-1行为基准行，用类似的方法将它上方的全部元素消为零，依此类推，直到把对角元素上方的所有元素（不包括增广矩阵的常数列）都消为零。
1,mma?
mma
最后把对角形的行阶梯矩阵化简为行最简形，只要把各行都除以基准元素的值，就可以得到最简行阶梯矩阵了。如下图 1.6
图 1.6 适定方程变换为对角行阶梯形和最简行阶梯形矩阵
10
010
001
U
0
00
00
0
22
11
和
mm
a
a
a
U
1.5.2 用行阶梯形式的结构判断线性方程的类型在普遍情况下,若 A是 m?n矩阵,当 m?n
时,方程数小于变量数,方程将有无数解,
属于欠定方程 。
当 m>n时,方程数大于变量数,一般说,方程组将是不相容的,因而无解 。
但应特别注意的是,
作判断时，不能简单地看 m和 n的值，有可能是假象。因为有的方程可能是相依的，使得有效的方程数小于 m，实际上还是欠定方程,
判断它属于什么类型，应该看行阶梯形式的结果，主要看它有多少有效行？有没有矛盾行？有效行就代表了有效方程，矛盾行则代表了不相容方程。
矩阵可以变换成无数种同解矩阵，但其最简行阶梯形式是惟一的，它表示了方程组最大限度化简的结果。用这个形式可以得到最可靠的判断。
对增广矩阵 B?[A,b]进行行阶梯变换，得到的行阶梯矩阵 U或最简行阶梯矩阵 U0的下方可能有全零行出现，如下面两式所示：
行阶梯形式为,(1-12)
最简行阶梯形式为：
(1-13)
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
UC
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U 0C [ U 0,d ]
矩阵中的竖向虚线表示原方程中等号的位置，它的左边是方程中的左端变量的系数矩阵，它的右边是方程右端的常数项。把简化结果的 U0和 d分开来写：
(1-14),
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U0 d
设变换为行阶梯形式后，原来的 m行中只剩下 r个非全零行，意味着 m个方程中只有 r个有效,r就称为该矩阵 C的 秩 。
归纳起来，根据增广矩阵行阶梯形式的特点，可以判断原方程组是适定、欠定或不相容的，规则如下：
（ 1）适定方程。其左端系数矩阵 A（即不含增广常数项）应为 n× n阶的。每一行都是基准行，因此其基准元素位于 A(现为 U0)
的主对角线上，构成单位矩阵 In，也即其秩为 n。如例 1.5所示。
（ 2）欠定方程。经行阶梯变换后，系数矩阵 U0与 U0C的非零行数（秩）相等，均为 r。
且 r小于变量数目 n。即系数矩阵 U0的非零部分为 r× n阶，而 r<n。
（ 3）不相容方程。经行阶梯变换后，左端系数矩阵 U0的秩与增广矩阵 U0C的秩不相等。如 (1-14)式，则为不相容方程组。其中包括将在第五章中讨论的超定方程组。
1.5.3 行阶梯变换的计算速度和精度问题分析一下把矩阵化简为行阶梯形式所需的运算次数在步骤 1中，需要进行（ n?1）次 消元，每次消元运算要对该行的 n?1个元素做乘法和加法，因此步骤 1的乘法次数为 (n?1)2，依此类推，步骤 2的乘法次数为 (n?2)2,… 最后变换为三角形行阶梯形的乘法次数为
(1-10)
回代过程需要的乘法次数为约为,因此线性方程组求解所需的总运算次数应该是两者之和，即 。在 n很大时，与相比，
回代运算的次数 可以忽略不计,所以用行阶梯法解一个 n阶线性代数方程方程所需的乘法次数大约是 。
3 /3n
2 /2n
2 /2n
32/ 3 / 2nn?
3
2 2 2 2 3 2
1
1
1 1 11 2 2 1 k ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3 2 6 3
n
k
nn n n n n?
( ) + ( ) =
实际问题中的阶次要高得多。如果是 10阶的方程，就要做近 400次乘法。
因此，要想真正解决工程和经济问题，计算机就成为必不可少的工具。
除了计算速度外，在计算中要考虑的另一个问题是计算精度：
在化简为行阶梯形式中，保证基准元素的值尽量大。
1.5.4 MATLAB中的行阶梯变换程序用 MATLAB语言表达行变换
（ 1）将矩阵的第 i,j两行进行交换的语句为：
a([i,j],:)=k*a([j,i],:)。这里的等号不是数学的等号，而是赋值，把等号右边的计算结果赋值给左边的变量。
（ 2）将矩阵的第 j行乘以常数 k的语句为：
a(j,:)=k*a(j,:)。同样，等号不是数学的等号，
必须理解为赋值。等式右、左的 a(j,:)分别是赋值前、后的不同值。
3）将矩阵的第 i行乘以常数 k加到第 j行的运算的语句为,a(j,:)= a(j,:)+ k*a(i,:)
将矩阵的第 i行乘以待消元素 a(j,q)，再除以负基准元素 a(i,q)加到第 j行，作为第 j行的新值的运算，可以用下列语句准确简明地表述：
a(j,:)= a(j,:)-a(j,q)/a(i,q)*a(i,:) (1.12)
MATLAB把“最简行阶梯形式（ reduced row
echelon form）”的计算过程集成为一个子程序，程序名为上述英文术语的缩写 rref。它的输入变元可以是线性方程组的系数矩阵，也可以是其增广矩阵，输出变元是 A的最简行阶梯形式 U0，还可给出基准列的列号数组 ip。
例 1.5 用计算机求解线性代数方程组：
解,键入
A=[2,-2,0,6;2,-1,2,4;3,-1,4,4;1,1,1,8],pause
b=[-2;-2;-3;2],pause /*给系数矩阵 A,b赋值 */
[U0,ip]=rref([A,b])
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 2
3 2 5
3 6 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
系统立即给出：
ip=[1 2 3 4]
在解欠定方程时，数组 ip是很有用的。
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
U0 =
0 0 1 0 - 1
0 0 0 1 0
例 1.6 设一个线性方程组的系数矩阵 A,b如下，判断它的性质及 A的秩。
解,在 Matlab环境下，键入 (程序 ea106)：
>>A=[-2,-2,2,2,-2,4,0;1,-5,1,-3,-1,2,-2;-1,2,-5,6,5,-3,-2;,..
- 2 - 2 2 2 - 2 4 0
1 - 5 1 - 3 - 1 2 - 2
- 1 2 - 5 6 5 - 3 - 2
- 1 2 1 0 - 1 - 1 1
1 - 2 2
A?
- 2
- 1
2
,
0
0 - 2 6 2 - 2
- 2 1 0 5 0 1 1 - 2
b
-1,2,1,0,-1,-1,1;1,-2,2,0,-2,6,2;-2,1,0,5,0,1,1]
>>b=[-2;-1;2;0;-2;-2],U=rref([A,b])
U =1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 -1.0000
0 1.0000 0 0 0 0 0.5000 0.5000
0 0 1.0000 0 -1.0000 0 1.0000 -1.5000
0 0 0 1.0000 0 0 0.5000 -1.0000
0 0 0 0 0 1.0000 0 0.5000
0 0 0 0 0 0 0 0
ip = 1 2 3 4 6
ip的长度为 5，说明有 5个基准元素和基准行，即矩阵 A的秩为 r=5。
1.6 应用实例
1.6.1 插值多项式例 1.7 给定 t-y平面上的三个点 (1,2),(2,3)和
(3,6),求过这三点的二次多项式函数：
解：本题归结为求 a,b,c三个系数，使它们满足下列各方程
2()q t a bt c t
这是典型的三元线性方程组，用 Matlab时，
键入：
>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6]; x=rref(B)
得到 x = 1 0 0 3
0 1 0 -2
0 0 1 1
( 1 ) 2,2
( 2 ) 3,2 4 3
( 3 ) 6,3 9 6
q a b c
q a b c
q a b c
x矩阵的最后一列即为 a,b,c的值，则待求二次多项式为：
例 1.8 下表给出函数 上 4个点的值，试求三次插值多项式,并求的近似值。
2( ) 3 2q t t t
()ft
230 1 2 3()p t a a t a t a t (1.5)f
ti 0 1 2 3
f(ti) 3 0 -1 6
解,令三次多项式函数过表中已知的 4点，可以得到四元线性方程组：
应该用计算机求解，键入：
>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],
s=rref([A,b])
230 1 2 3()p t a a t a t a t
62793
1842
0
3
3210
3210
3210
0
aaaa
aaaa
aaaa
a
得到 x = 1 0 0 0 3
0 1 0 0 -2
0 0 1 0 -2
0 0 0 1 1
得到,三次多项函数为,故 近似等于
0 1 2 33,2,2,1a a a a
23( ) 3 2 2p t t t t (1.5)f
23( 1,5 ) 3 2 ( 1,5 ) 2 ( 1,5 ) ( 1,5 ) 1,1 2 5p
1.6.2 平板稳态温度的计算例 1.9 薄铁板的热传导问题 。 设该平板的周边温度已经知道 （ 见图 1.5,数字的单位为
,℃,）,现在要确定铁板中间 4个点 a,b,c,d
处的温度 。 假定其热传导过程已经达到稳态,
因此在均匀的网格点上,各点的温度是其上下左右 4个点温度的平均值 。
图 1.5 平板的温度分布解：根据已知条件，可以对 a,b,c,d这 4个点列出如下方程
( 10 20 ) / 4
( 20 40 ) / 4
( 10 30 ) / 4
( 40 30 ) / 4
a b c
b a d
c a d
d b c
x x x
x x x
x x x
x x x
移项整理为标准的矩阵方程编成 MATLAB程序求解
>>A?[1,?0.25,?0.25,0;?0.25,1,0,?0.25;?0.25
,0,1,?0.25;0,?0.25,?0.25,1]
>>b=[7.5;15;10;17.5]
>>rref([A,b])
1 0.2 5 0.2 5 0 7.5
0.2 5 1 0 0.2 5 15
0.2 5 0 1 0.2 5 10
0 0.2 5 0.2 5 1 17,5
a
b
c
d
x
x
x
x
ans =1.0000 0 0 0 20.0000
0 1.0000 0 0 27.5000
0 0 1.0000 0 22.5000
0 0 0 1.0000 30.0000
解得方程组的解为：
xa?20℃,xb?27.5℃,
xc?22.5℃,xd?30℃,
1.6.3 交通流量的分析例 1.10 某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点 A,B,C,D的十字路口,如图 1.6所示 。 汽车进出十字路口的流量 （ 每小时的车流数 ） 标于图上 。 现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量 。 （ 假设,
针对每个节点,进入和离开的车数相等 ）
4321,,,xxxx
图 1.6 单行线交通流图解,根据已知条件可以得到，四个节点的流通方程为节点 A：
节点 B：
节点 C：
节点 D,310640
600390
480520
610450
14
43
32
21
xx
xx
xx
xx
将以上方程组进行整理，得
Matlab程序 ea110为
>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]
>> b=[160;-40;210;-330]
>> U0=rref([A,b])
12
23
34
14
= 160
= 40
= 210
= 330
xx
xx
xx
xx
可以得出其最简行阶梯形矩阵由于 U0的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立方程，所以该方程组为欠定方程，存在无穷多组解。
1 0 0 1 330
0 1 0 1 170
U0 =
0 0 1 1 210
0 0 0 0 0
若以 为自由变量，方程组的解可以表示为：
如果有一些车围绕十字路的矩形区反时针绕行，流量 。都会增加，但并不影响出入十字路的流量。这就是方程组有无穷多解的原因。
210
170
330
43
42
41
xx
xx
xx
4321,,,xxxx
4x
（ MATLAB版）
陈怀琛 高淑萍 杨威 编著第一章 线性方程组与矩阵
1.1 概述
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组
1.4 矩阵及矩阵的初等变换
1.5 行阶梯矩阵的生成规则和程序化
1.6 应用实例
1.7 习题
1.1 概述
a.提出实际问题：
b.建立数学模型：
c.分析方程组的解：
对于一般线性方程组解的情况，可以通过以下框图来表述：
线性方程组解的情况有解无解有唯一解有多解有合理解无合理解找出近似解解集的性质
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义例 1.1 求解下列四个线性方程组
（ a） （ b）
（ c） （ d）
33
12
21
21
xx
xx
32
12
21
21
xx
xx
12
12
21
21
xx
xx
32
3
1
21
21
21
xx
xx
xx
解,前三题都是两个二元一次方程组，容易用消元法求解，现在用图解法来理解线性方程组解的几何意义。
方程组（ a）的解为：,,它是两根直线的交点，如图 1.1（ a），
图 1.1（ a）
我们把方程组（ a）称为 适定方程组 。
31?x 22?x
方程组（ b）的两个方程是不相容的，或称为矛盾的，即，方程组无解。可以在平面上画出代表两个方程的两根直线，它们平行且不重合，因此没有交点，如图 1.1（ b）。
如图 1.1（ b）
方程组（ c）的两个方程是相依的，满足第一个方程的解必然也满足第二个方程。其实，两个方程相当于一个方程，变量却有两个，我们把这样的方程组称为 欠定方程 。
显然它有无穷组解。两个方程所对应的直线重合，如图 1.1（ c）。
如图 1.1（ c）
方程组（ d）有两个变量，有三个独立方程，
它们所对应的三根直线并不共点，即方程组不相容，因而无解，如图 1.2。
图 1.2 三个二元线性方程解的情况独立方程数目多于变量数目的不相容方程组称为 超定方程组 。
例 1.2 求解下列三元线性方程组
（ 1-2）
解,由方程组（ 1-2）的第 1,2两个方程中消去 z，得,；由方程组（ 1-2）的第 2、第 3个方程中消去 z，得：,
两式联立解得：
0225
332
5
zyx
zyx
zyx
823 yx
64 yx
1,4 2 8 6
1,8 5 7 1
x
y
再代入 (1-2)中任一式，得方程组（ 1-2）的三个方程对应于三维空间的三个平面，若这三个平面有公共的交点，该交点就是方程组的解，如图 1.3所示。
图 1.3 三阶线性方程组求解的图形
4 2 8 6.5z
平面也有可能重合，或三个平面相交于同一根直线，因而出现无穷个解的欠定情况，如图 1.4(a)所示。同样，当有两个平面平行或者有两个平面的交线与第三个平面平行时，三个平面就没有公共交点了，即方程组不相容而无解。如图 1.4(b)、（ c）所示。
（ a） （ b） （ c）
图 1.4 三阶方程组多解和无解时的几何解释
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组线性方程组的一般形式如下：
（ 1-3）
式 (1-3）称为 n元线性方程组 。
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组（ 1-3）中解的全体称为它的解集合。解方程组就是求其全部解，亦即求出其解集合。
如果两个方程组有相同的解集合，就称它们为 同解 。
存在解的方程组称为 相容方程,否则称为 不相容方程 。
消元法的基本思想 是：通过消元变换把方程组化为容易求解的同解方程组。这种方法适用于解一般的线性方程组。
下面通过一个例子来说明消元法的具体做法。
例 1.3 解线性方程组
（ 1-4）
28
3443
2422
2622
4321
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
解,将（ 1-4）式中的第一个方程乘－ 1、－
1.5、－ 0.5，分别加到第二、三、四个方程上，使得在第二、三、四个方程中消去未知量,得：
（ 1-5）
将（ 1-5）式中的第二个方程乘－ 2，分别加到第三、四个方程中消去,得：
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 2 6 2
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1x
2x
（ 1-6）
把（ 1-6）式中第三个方程和第四个方程交换位置，
得：
（ 1-7）
形如（ 1-7）的方程组称为 行阶梯形方程组 。
这样的阶梯形方程组可以用 回代法 方便地逐个求出它的解。
1 2 4
2 3 4
34
4
2 2 6 2
2 2 0
3 9 3
0
x x x
x x x
xx
x
1 2 4
2 3 4
4
34
2 2 6 2
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
回代过程如下：
由式 (1-7)中第四个方程，知,将其回代到第三个方程得,再将 回代到第二、第一方程中，分别得,。
所以原方程组（ 1-4）的解为,,,。回代运算是直接的，不需要解联立方程，所以运算量比较小。
04?x
13x 43,xx
22?x 11?x
11?x 22?x 13x 04?x
从上述解题过程可以看出，用高斯消元法解线性方程组可分为两步：
①经过若干次初等行变换后得到一个阶梯形方程组；
②用回代法由后到前逐次求出各个变量。其实，回代过程是另一轮的消元，它消除的是方程对角线右上方的各项。
把第 4个方程分别乘以 6，－ 2,9，加到前 3个方程中，再将第 3个方程乘以 2/3，加到第 2个方程中，最后将第 2个方程乘 2，加到第 1个方程中，得到
（ 1-8）
这个行阶梯形方程组只保留了对角项。
1
2
3
4
22
2
33
0
x
x
x
x
将（ 1-8）式中第一个方程乘 0.5，第三个方程乘，第四个方程乘－ 1，得到对角线各项系数为一的 行阶梯形方程组 。这样的方程组称为 最简阶梯形 方程组 。
（ 1-9）
得到它就等于求出了方程的解。
1
2
3
4
1
2
1
0
x
x
x
x
由方程（ 1-4）用消元法变换为方程（ 1-9）
的过程是对原方程组反复施行下列三种同解变换而得到的：
（ 1）互换两个方程的位置；
（ 2）用一个非零数乘某个方程；
（ 3）把一个方程的 k倍加到另一个的方程上；
这三种变换称为 线性方程组的初等行变换 。因为对方程而言，这些变换不会改变方程的解，
称为 同解变换,故方程组（ 1-9）与原方程组
（ 1-4）同解。
1.4 矩阵及矩阵的初等变换
1.4.1 矩阵的概念及定义定义 1.1 由 m× n个数（ ＝ 1,2,…,m ；
＝ 1,2,…,n）排成的 m行 n列的矩形数表称为 m行 n列矩阵,简称 m× n矩阵
i
j
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
1.4.2 几种特殊矩阵只有一行的矩阵称为 行矩阵,又称为 行向量,为避免元素间混淆,行向量常常记为：
只有一列的矩阵称为 列矩阵,又称为 列向量 。
12 na a a?A
naaa,,,21A
1
2
m
b
b
b
B
如果两个矩阵的行数与列数相等，则称它们为 同型矩阵 。
A,B是同型矩阵，且所有对应位置的元素值均相等，则称 矩阵 A与矩阵 B相等,
记为 A＝ B。
元素都是零的矩阵称为 零矩阵,记作 。
行数与列数相同的矩阵 称为 n阶矩阵,或称为 n阶方阵,简记为 。
一个 n阶方阵的左上角与右下角之间的连线称为它的 主对角线 。
O
nn?A
nA
主对角线以下的元素全为零的方阵称为 上三角矩阵,即：
主对角线以上的元素全为零的方阵称为 下三角矩阵,即：
1 1 1 2 1
2 2 2
0
00
n
n
n
nn
a a a
aa
A
a
nnnn
n
aaa
aa
a
21
2221
11
0
00
A
主对角线以外的元素全为零的方阵称为 对角阵,即：
对角矩阵常常记为 A 或 。在对角矩阵中，未写出的元素表示为零。
nn
n
a
a
a
A
22
11
nnaaad i a g?,,2211
主对角线上全为 1的 n阶对角矩阵称为单位矩阵，记作,即：
由线性方程组所有系数所构成的矩阵，我们称之为线性方程组的 系数矩阵,线性方程组
（ 1-4）的系数矩阵为：
nI
1 0 0
0 1 0
0 0 1
nn?
n
I
2 2 0 6
2 1 2 4
3 1 4 4
1 1 1 8
A
由线性方程组所有系数和常数项所构成的矩阵，我们之称为线性方程组的 增广矩阵,这样的矩阵就可以反映线性代数方程的全部特性。方程组（ 1-4）的增广矩阵为：
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
1 1 1 8 2
B A,b
1.4.3 矩阵的初等变换定义 1.2 下面三种变换称为 矩阵的初等行变换,
（ 1）交换两行的位置（交换第,行，记作 ）；
（ 2）以非零数 乘某行（以 乘第 行，记作 ）；
（ 3）把某一行的 倍加到另一行上（把第行的 倍加到第 行上，记作 ）。
i j
ji rr?
k k i
k ir
k j
k i ji krr?
矩阵的这三种初等行变换就等价于方程组的三种初等变换。因此它可以保证变换前后解的等价性，即初等行变换是同解变换。
把定义中的“行”换成“列”，即得到 矩阵的初等列变换 的定义（所用记号是把,”换成
,”）。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为 初等变换 。
如果矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与矩阵 B等价 。
r
c
特别注意：
在进行线性方程组的求解中，只能对 增广矩阵 进行初等行变换，换言之，只有初等行变换才能保证方程组的同解性。
下面用矩阵的初等行变换来解方程组 (1-4)，
其变换过程可与线性方程组的消元过程一一对照：
最后得到的矩阵称为行阶梯矩阵，它对应于方程组（ 1-7），对该矩阵还可以继续进行行初等变换。
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
1 1 1 8 2
B A,b
21
31
41
1.5
0.5
rr
rr
rr
2 - 2 0 6 - 2
0 1 2 - 2 0
0 2 4 - 5 0
0 2 1 5 3
24
23
2
2
rr
rr
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 0 1 0
0 0 3 9 3
43 rr?
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 3 9 3
0 0 0 0
-1
继续化简,得
2 2 0 6 2
0 1 2 2 0
0 0 3 9 3
0 0 0 0
-1
14
24
34
6
2
9
rr
rr
rr
2 2 0 0 2
0 1 2 0 0
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
232/3rr?
2 2 0 0 2
0 1 0 0 2
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
122rr?
2 0 0 0 2
0 1 0 0 2
0 0 3 0 3
0 0 0 0
-1
1
3
/2
/( 3)
r
r?
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 0
1
最后得到最简行阶梯矩阵，它所对应的线性方程组即是方程组（ 1-9）。
归纳起来，所谓 行阶梯形矩阵,是指满足下列两个条件的矩阵：
（ 1）如果有零行（元素全为零的行），则零行全部位于该矩阵的下方；
（ 2）每个非零行（元素不全为零的行）的第一个非零元素（下称为基准元素），其前面零的个数随行数的增加而增加。
当行阶梯形矩阵进一步满足：
（ 1）每行的基准元素取值都是 1；
（ 2）每行的基准元素所在列的其余元素都是零。
则称此矩阵为 最简行阶梯形矩阵 （或称 行最简形 ）。
综上所述，用矩阵初等行变换方法解线性方程组的步骤是：
（ 1）写出线性方程组的增广矩阵，运用矩阵的初等行变换把它化为行阶梯形矩阵（或进一步化为行最简形）。
（ 2）写出行阶梯矩阵（或行最简形）所表示的方程组，对它进行求解。
例 1.5 将下列矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵和行最简形。
解：
53443
34232
21211
76210
A
14
1321
3
2
53443
34232
76210
21211
rr
rrrr
A
24
23
16210
16210
76210
21211
rr
rr
上面最后一个矩阵即为行阶梯矩阵。对它继续进行初等行变换，有：
34
80000
80000
76210
21211
rr?
00000
80000
76210
21211
00000
80000
76210
21211
13
23
r 2 /8r
r 7 /8r
1 1 2 1 0
0 1 2 6 0
0 0 0 0 8
0 0 0 0 0
12rr?
以上矩阵即为行最简形。
行阶梯矩阵不具备唯一性 。一个矩阵经过不同的初等行变换可以得到不同的行阶梯矩阵
（上面三个矩阵都是行阶梯矩阵），但它的行最简形是唯一的。
47
26
0 0 8
00
1 0 0
0 1 0
00
0 0 0
3r/8?
47
26
00
00
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1.5 行阶梯矩阵的生成规则
1.5.1 实现行阶梯变换的基本步骤步骤 1,把第一行的基准元素下方的诸元素全消为零 。
取第一行为 基准行 (pivot row),其最左边的元素取为 基准元素 (pivot element),取第二行为待变换行,与基准元素同列的元素 为待消元素 。 将基准行全体元素乘以待消元素,并除以负的基准元素后,加到第二行对应的全部元素中去,作为第二行的全部新元素 。 这时,第二行中与基准元素对应的元素的值成为,即被消元了 。
11a
21a
21a
11a?
2121 11 21
11
0aa a aa
依次把第 2行直到第 n行作为待变换行，对它们实行同样变换。
步骤 2,把第二行的基准元素下方的诸元素全消为零。
步骤 3,再取第三行为基准行,…,依此类推，直到第 m行，得到了 m个基准元素它们也就是对角元素，在这些基准元素下方的元素都为零。
11 ~ mmaa
如果方程组是适定的，即方程数与变量数相等，系数矩阵的 m=n，最右面的一列是常数列，则整个增广矩阵是 m行 m+1 列矩阵。则其行阶梯形矩阵构成一个上三角形，如图 1.5
所示。其中 表示基准元素,则为任意数值的元素。
图 1.5 适定方程行阶梯形矩阵的形式
0
0 0 0
0 0 0 0
U
在计算中还有一些实际问题需要考虑。比如出现了某个基准元素为零的情况，那末“除以基准元素”这个步骤将不能进行。这时就要进行行交换，尽量把基准列下方绝对值最大的元素通过行交换调整到基准行上来。从计算精度的角度来看，即使基准元素不为零，而是非常小，也应尽量做行交换，把它换成绝对值大的元素。
下面进入回代过程，即把各基准元素上方的元素全消为零。
先取第 m行为基准行,为基准元素，取第
m-1行为待变换行，基准元素上方的元素为待消元素。
将基准行全体元素（此时只有一个非零元素）乘以待消元素,并除以负基准元素后，
mma
1,mma?
1,mma?
mma?
加到第 m-1行对应的全部元素中去，这样就消除了元素 。依次取 m-2,…,1 各行作为待变换行，则第 m 列中在 上方的全部元素都被消为零。
再取第 m-1行为基准行，用类似的方法将它上方的全部元素消为零，依此类推，直到把对角元素上方的所有元素（不包括增广矩阵的常数列）都消为零。
1,mma?
mma
最后把对角形的行阶梯矩阵化简为行最简形，只要把各行都除以基准元素的值，就可以得到最简行阶梯矩阵了。如下图 1.6
图 1.6 适定方程变换为对角行阶梯形和最简行阶梯形矩阵
10
010
001
U
0
00
00
0
22
11
和
mm
a
a
a
U
1.5.2 用行阶梯形式的结构判断线性方程的类型在普遍情况下,若 A是 m?n矩阵,当 m?n
时,方程数小于变量数,方程将有无数解,
属于欠定方程 。
当 m>n时,方程数大于变量数,一般说,方程组将是不相容的,因而无解 。
但应特别注意的是,
作判断时，不能简单地看 m和 n的值，有可能是假象。因为有的方程可能是相依的，使得有效的方程数小于 m，实际上还是欠定方程,
判断它属于什么类型，应该看行阶梯形式的结果，主要看它有多少有效行？有没有矛盾行？有效行就代表了有效方程，矛盾行则代表了不相容方程。
矩阵可以变换成无数种同解矩阵，但其最简行阶梯形式是惟一的，它表示了方程组最大限度化简的结果。用这个形式可以得到最可靠的判断。
对增广矩阵 B?[A,b]进行行阶梯变换，得到的行阶梯矩阵 U或最简行阶梯矩阵 U0的下方可能有全零行出现，如下面两式所示：
行阶梯形式为,(1-12)
最简行阶梯形式为：
(1-13)
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
UC
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U 0C [ U 0,d ]
矩阵中的竖向虚线表示原方程中等号的位置，它的左边是方程中的左端变量的系数矩阵，它的右边是方程右端的常数项。把简化结果的 U0和 d分开来写：
(1-14),
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U0 d
设变换为行阶梯形式后，原来的 m行中只剩下 r个非全零行，意味着 m个方程中只有 r个有效,r就称为该矩阵 C的 秩 。
归纳起来，根据增广矩阵行阶梯形式的特点，可以判断原方程组是适定、欠定或不相容的，规则如下：
（ 1）适定方程。其左端系数矩阵 A（即不含增广常数项）应为 n× n阶的。每一行都是基准行，因此其基准元素位于 A(现为 U0)
的主对角线上，构成单位矩阵 In，也即其秩为 n。如例 1.5所示。
（ 2）欠定方程。经行阶梯变换后，系数矩阵 U0与 U0C的非零行数（秩）相等，均为 r。
且 r小于变量数目 n。即系数矩阵 U0的非零部分为 r× n阶，而 r<n。
（ 3）不相容方程。经行阶梯变换后，左端系数矩阵 U0的秩与增广矩阵 U0C的秩不相等。如 (1-14)式，则为不相容方程组。其中包括将在第五章中讨论的超定方程组。
1.5.3 行阶梯变换的计算速度和精度问题分析一下把矩阵化简为行阶梯形式所需的运算次数在步骤 1中，需要进行（ n?1）次 消元，每次消元运算要对该行的 n?1个元素做乘法和加法，因此步骤 1的乘法次数为 (n?1)2，依此类推，步骤 2的乘法次数为 (n?2)2,… 最后变换为三角形行阶梯形的乘法次数为
(1-10)
回代过程需要的乘法次数为约为,因此线性方程组求解所需的总运算次数应该是两者之和，即 。在 n很大时，与相比，
回代运算的次数 可以忽略不计,所以用行阶梯法解一个 n阶线性代数方程方程所需的乘法次数大约是 。
3 /3n
2 /2n
2 /2n
32/ 3 / 2nn?
3
2 2 2 2 3 2
1
1
1 1 11 2 2 1 k ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3 2 6 3
n
k
nn n n n n?
( ) + ( ) =
实际问题中的阶次要高得多。如果是 10阶的方程，就要做近 400次乘法。
因此，要想真正解决工程和经济问题，计算机就成为必不可少的工具。
除了计算速度外，在计算中要考虑的另一个问题是计算精度：
在化简为行阶梯形式中，保证基准元素的值尽量大。
1.5.4 MATLAB中的行阶梯变换程序用 MATLAB语言表达行变换
（ 1）将矩阵的第 i,j两行进行交换的语句为：
a([i,j],:)=k*a([j,i],:)。这里的等号不是数学的等号，而是赋值，把等号右边的计算结果赋值给左边的变量。
（ 2）将矩阵的第 j行乘以常数 k的语句为：
a(j,:)=k*a(j,:)。同样，等号不是数学的等号，
必须理解为赋值。等式右、左的 a(j,:)分别是赋值前、后的不同值。
3）将矩阵的第 i行乘以常数 k加到第 j行的运算的语句为,a(j,:)= a(j,:)+ k*a(i,:)
将矩阵的第 i行乘以待消元素 a(j,q)，再除以负基准元素 a(i,q)加到第 j行，作为第 j行的新值的运算，可以用下列语句准确简明地表述：
a(j,:)= a(j,:)-a(j,q)/a(i,q)*a(i,:) (1.12)
MATLAB把“最简行阶梯形式（ reduced row
echelon form）”的计算过程集成为一个子程序，程序名为上述英文术语的缩写 rref。它的输入变元可以是线性方程组的系数矩阵，也可以是其增广矩阵，输出变元是 A的最简行阶梯形式 U0，还可给出基准列的列号数组 ip。
例 1.5 用计算机求解线性代数方程组：
解,键入
A=[2,-2,0,6;2,-1,2,4;3,-1,4,4;1,1,1,8],pause
b=[-2;-2;-3;2],pause /*给系数矩阵 A,b赋值 */
[U0,ip]=rref([A,b])
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 2
3 2 5
3 6 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
系统立即给出：
ip=[1 2 3 4]
在解欠定方程时，数组 ip是很有用的。
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
U0 =
0 0 1 0 - 1
0 0 0 1 0
例 1.6 设一个线性方程组的系数矩阵 A,b如下，判断它的性质及 A的秩。
解,在 Matlab环境下，键入 (程序 ea106)：
>>A=[-2,-2,2,2,-2,4,0;1,-5,1,-3,-1,2,-2;-1,2,-5,6,5,-3,-2;,..
- 2 - 2 2 2 - 2 4 0
1 - 5 1 - 3 - 1 2 - 2
- 1 2 - 5 6 5 - 3 - 2
- 1 2 1 0 - 1 - 1 1
1 - 2 2
A?
- 2
- 1
2
,
0
0 - 2 6 2 - 2
- 2 1 0 5 0 1 1 - 2
b
-1,2,1,0,-1,-1,1;1,-2,2,0,-2,6,2;-2,1,0,5,0,1,1]
>>b=[-2;-1;2;0;-2;-2],U=rref([A,b])
U =1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 -1.0000
0 1.0000 0 0 0 0 0.5000 0.5000
0 0 1.0000 0 -1.0000 0 1.0000 -1.5000
0 0 0 1.0000 0 0 0.5000 -1.0000
0 0 0 0 0 1.0000 0 0.5000
0 0 0 0 0 0 0 0
ip = 1 2 3 4 6
ip的长度为 5，说明有 5个基准元素和基准行，即矩阵 A的秩为 r=5。
1.6 应用实例
1.6.1 插值多项式例 1.7 给定 t-y平面上的三个点 (1,2),(2,3)和
(3,6),求过这三点的二次多项式函数：
解：本题归结为求 a,b,c三个系数，使它们满足下列各方程
2()q t a bt c t
这是典型的三元线性方程组，用 Matlab时，
键入：
>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6]; x=rref(B)
得到 x = 1 0 0 3
0 1 0 -2
0 0 1 1
( 1 ) 2,2
( 2 ) 3,2 4 3
( 3 ) 6,3 9 6
q a b c
q a b c
q a b c
x矩阵的最后一列即为 a,b,c的值，则待求二次多项式为：
例 1.8 下表给出函数 上 4个点的值，试求三次插值多项式,并求的近似值。
2( ) 3 2q t t t
()ft
230 1 2 3()p t a a t a t a t (1.5)f
ti 0 1 2 3
f(ti) 3 0 -1 6
解,令三次多项式函数过表中已知的 4点，可以得到四元线性方程组：
应该用计算机求解，键入：
>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],
s=rref([A,b])
230 1 2 3()p t a a t a t a t
62793
1842
0
3
3210
3210
3210
0
aaaa
aaaa
aaaa
a
得到 x = 1 0 0 0 3
0 1 0 0 -2
0 0 1 0 -2
0 0 0 1 1
得到,三次多项函数为,故 近似等于
0 1 2 33,2,2,1a a a a
23( ) 3 2 2p t t t t (1.5)f
23( 1,5 ) 3 2 ( 1,5 ) 2 ( 1,5 ) ( 1,5 ) 1,1 2 5p
1.6.2 平板稳态温度的计算例 1.9 薄铁板的热传导问题 。 设该平板的周边温度已经知道 （ 见图 1.5,数字的单位为
,℃,）,现在要确定铁板中间 4个点 a,b,c,d
处的温度 。 假定其热传导过程已经达到稳态,
因此在均匀的网格点上,各点的温度是其上下左右 4个点温度的平均值 。
图 1.5 平板的温度分布解：根据已知条件，可以对 a,b,c,d这 4个点列出如下方程
( 10 20 ) / 4
( 20 40 ) / 4
( 10 30 ) / 4
( 40 30 ) / 4
a b c
b a d
c a d
d b c
x x x
x x x
x x x
x x x
移项整理为标准的矩阵方程编成 MATLAB程序求解
>>A?[1,?0.25,?0.25,0;?0.25,1,0,?0.25;?0.25
,0,1,?0.25;0,?0.25,?0.25,1]
>>b=[7.5;15;10;17.5]
>>rref([A,b])
1 0.2 5 0.2 5 0 7.5
0.2 5 1 0 0.2 5 15
0.2 5 0 1 0.2 5 10
0 0.2 5 0.2 5 1 17,5
a
b
c
d
x
x
x
x
ans =1.0000 0 0 0 20.0000
0 1.0000 0 0 27.5000
0 0 1.0000 0 22.5000
0 0 0 1.0000 30.0000
解得方程组的解为：
xa?20℃,xb?27.5℃,
xc?22.5℃,xd?30℃,
1.6.3 交通流量的分析例 1.10 某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点 A,B,C,D的十字路口,如图 1.6所示 。 汽车进出十字路口的流量 （ 每小时的车流数 ） 标于图上 。 现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量 。 （ 假设,
针对每个节点,进入和离开的车数相等 ）
4321,,,xxxx
图 1.6 单行线交通流图解,根据已知条件可以得到，四个节点的流通方程为节点 A：
节点 B：
节点 C：
节点 D,310640
600390
480520
610450
14
43
32
21
xx
xx
xx
xx
将以上方程组进行整理，得
Matlab程序 ea110为
>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]
>> b=[160;-40;210;-330]
>> U0=rref([A,b])
12
23
34
14
= 160
= 40
= 210
= 330
xx
xx
xx
xx
可以得出其最简行阶梯形矩阵由于 U0的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立方程，所以该方程组为欠定方程，存在无穷多组解。
1 0 0 1 330
0 1 0 1 170
U0 =
0 0 1 1 210
0 0 0 0 0
若以 为自由变量，方程组的解可以表示为：
如果有一些车围绕十字路的矩形区反时针绕行，流量 。都会增加，但并不影响出入十字路的流量。这就是方程组有无穷多解的原因。
210
170
330
43
42
41
xx
xx
xx
4321,,,xxxx
4x
