第五章 向量组的线性相关性
5.1 n维向量
5.2 向量组的线性相关性
5.3 矩阵的秩与向量组的秩
5.4 向量空间
5.5 基、维数与坐标
5.6 线性方程组解的结构
5.7 超定方程的解 —— 最小二乘问题
5.8 应用实例
5.9 习题
5.1 n维向量定义 5.1 n个有次序的数构成的数组称为 n维向量 。这 n个数称为该向量的 n个分量，称为这个向量的第个分量,n也称为此向量的长度。
分别记或
1
2
n
a
a
a
a
12,,,na a a?a
为列向量和行向量，并规定列向量与行向量都按矩阵的运算规则进行运算,本书中若没有指明是列向量还是行向量时，都当作列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成分量全为实数的向量称为 实向量,分量为复数的向量称为 复向量,分量全为零的向量称为 零向量,记为 0.
12,,,Tna a a?a
设,为列向量,?是一个数，则有
(1)
(2)
(3)
(4)
12,,,Tna a a?a12,,,Tnb b b?b
1 1 2 2,,,Tnna b a b a ba + b
12,,Tna a aa
1
2
1 2 1 1 2 2,,,n n n
n
b
b
a a a a b a b a b
b
Tab
nnnn
n
n
n
n bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
21
22212
12111
21
2
1
],,,[Tab
5.2 向量组的线性相关性若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合称为向量组。
其中，
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
1
2
1 2 n
m
β
β
A α,α,,α
β
12,,,,1,2,,.i i i na a a i miβ
12,,,,1,2,,
T
j j m ja a a j njα
称 为矩阵的行向量组，
为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同维数的向量适当排列可构成一个矩阵。
定义 5.2
（ 1） 给定向量组 。对于任何一组实数,称为向量组 的一个 线性组合,
称为这个线性组合的 系数 。
（ 2）给定向量组 及向量。若存在一组数,使
1 2 mβ,β,,β 1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
12,,,nk k k 12 nk k k1 2 nα α α
1 2 nα,α,,α 12,,,nk k k
1 2 nα,α,,α
12,,,n 12 n1 2 nb α α α
则称向量 可由向量组线性表示 。
定义 5.3 设有向量组 向量组 B
若向量组 A中的每一个向量都可由向量组 B线性表示，则称向量组 A 可由向量组 B线性表示；若向量组 A与向量组 B 可互为线性表示，
则称向量组 A与向量组 B等价。
定义 5.4 给定向量组,如果存在不全为零的数,使
12 n1 2 nb α α α
A,
1 2 sα,α,,α
1 2 t,β,β,,β
1 2 nα,α,,α
12,,,nk k k 12 nk k k1 2 nα α α 0
则称向量组 线性相关，否则称向量组 线性无关 。
由定义 5.4，若向量组 线性无关，当且仅当 时，才有成立。
推论：当向量组只有一个向量 时，
必线性无关； 必线性相关。可见，若向量组中含有零向量，它一定线性相关。
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
12 0nk k k
12 nk k k1 2 nα α α 0
α?α 0
α 0
例 5.1 判断下列向量组的线性相关性
（ 1）
（ 2）
1,0,1,0,1,1,2,1,3T T T1 2 3α α α
1 2 31,2,1,0,2,3,4,1,3,4,3,0T T Tα α α
解：
(1)因为所以这个向量组线性相关。
(2) 设,由向量的加法和数乘运算可得
2 0 2 0
2 1 ( 1 ) 0 1 1 0
2 1 3 0
1 2 3α α α 0
1 1 2 2 3 3k k kα α α 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 3 01 2 3
2 3 4 02 3 4
1 4 3 4 3 0
0 1 0 0
k k k
k k k
k k k
k k k
k
0 即用行阶梯法解此方程得,
所以向量组 线性无关。
向量组称为 维基本单位向量组。仿照例 5.1可以证明它是线性无关的。
定理 5.1 向量组 线性相关的充分必要条件是至少存在一个向量可由其余向量线性表示。
推论：向量组 线性相关的充分必要条件是 对应分量成比例。
0321 kkk
1 2 3,,α α α
TTT1 eee ]1,0,,0,0[,,]0,0,,1,0[,]0,0,,0,1[ 2 n
n
1 2 nα,α,,α
( 1,2 )j n njα
21 aa,
21 aa,
下面不加证明地给出向量组线性相关性的一些结论。
1）若向量组的部分组线性相关，则这个向量组线性相关；若向量组线性无关，则其任一部分组线性无关。
2）若矩阵 A经初等 行 变换化为 B，则 A与 B
的任何对应的 列 向量组不仅有相同的线性相关性，而且有相同的线性组合关系。
向量组的线性相关性与对应方程组的解之间的关系设有 n个 m维向量 构成的线性方程组 (5-1)
其中,,b为 m维列向量，则（ 5-1）式可写为
(5-2)
从而，线性方程组 有解 可由向量组线性表示。当 线性无关时，
可由 唯一地用线性表示。
1 2 nα,α,,α
mn?A X = b
1 2 nA= α,α,,α12,,,nx x x TX=
12 nx x x1 2 nb= α + α ++ α
mn?A X = b?b
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
b
5.3 矩阵的秩与向量组的秩定义 5.5 在 矩阵 A中任取 K行 K列
,位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在矩阵 A所处的位置次序而得到的 K阶行列式，称为矩阵 A的 K阶子式 。矩阵的 A最高阶非零子式 的阶数称为 矩阵 A的秩,记为 。显然，
推论,设 是矩阵 的一个非零阶子式，而 所有 阶子式全为零。
nm?
),( mknk
2k
r
()Rr?A ( ) )RR?TAA（
()Rr?A? D A r
A 1?r
例 5.2 求矩阵 和 的秩。
解,在 中,2阶子式 3阶子式只有一个，即,所以 。
是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3
行，知 的所有 4阶子式都为零,又所以
A B
2 1 0
2 2 3
4 1 1
A
1 2 0 1 2
0 1 3 0 5
0 0 0 2 3
0 0 0 0 0
B
A,0511 32
0?A ( ) 2R?A
B
B
0
200
010
121
( ) 3R?B
定理 5.2 任何矩阵经过初等变换后其秩不变。
证明方法一,用行最简形非零行数作为秩的定义来证明。第一章已经证明，三种行初等变换都是等价变换，即经过变换后，
其解不变，其行最简形是唯一的。这就意味着，它的非零行数目（因此其秩）也是唯一的，不受行初等变换影响。
证明方法二,用行列式最大非零子式的定义来证明。先就第三种初等变换来证明定理。
设矩阵,,矩阵 的第 行乘以数 加到第 行而得到矩阵,即要证明 。首先证明,。
因为,故 中所有 阶子式都等于零。设 为 中任一 阶子式，那么有三种可能。
()ij m naA ()Rr?A A j
k i B
11 12 1
12
12
12
n
i i in
j j jn
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
a a a
B?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
21
21
2211
11211
rR?)(B rR?)(B
()Rr?A A 1r?
D B 1r?
（ ⅰ ） 若 不包含 的第 行元素，这时也是矩阵 的一个 阶子式，故 ;
（ ⅱ ） 若 包含 的第 行元素也包含 的第 行元素，由行列式的性质知 ；
（ ⅲ ） 若 包含 的第 行元素，但不包含的第 行元素，这时
D A i D
A 1r? 0?D
D A i A
j 0?D
D A i A
j
rrrr jtjtititjtitjtit
kakaaakaakaaD
1111
21 kDD
其中 是 的一个 阶子式，所以 。
而 是由 中某个 阶子式交换若干行所得，根据行列式的性质,与 中某一个阶子式最多相差一个符号，故,于是 。这就是说,中一切 阶子式全为零，所以 。另一方面，我们对矩阵 施行第三种初等行变换：即在 的第 行元素乘以 - 加到第 行对应元素上就得到,因此也有 秩 。于是，我们证明了秩 秩,即第三种初等行变换不改变矩阵的秩。
同理可证另两种行初等变换情形。
1D A 1r? 01?D
2D A 1r?
2D A
1r? 02?D
0?D B 1r?
( ) ( )R r RBA
B B
j k i
A ()Rr?AB
AB
设线性方程组,,
,。为叙述方便，
不妨设其增广矩阵 的行最简形为
mn?A X = b )( ija?A
Tmbbb ],,,[ 21b rR?)(A
B ],[ bA
000000
000000
00000
100
010
0
1
1,
221,2
111,1
r
rrnrr
nr
nr
d
dbb
dbb
dbb01
B
若,则 中的,于是的第 行对应矛盾方程 0=1，故原方程组无解。
若,得同解方程组故原方程组有惟一解。
若,得同解方程组
)()( BA RR? B 11rd B
1?r
nrRR )()( BA
nn
dx
dx
dx
22
11
nrRR )()( BA
移项得令自由未知数得原方程组的解
rnrnrrrr
nnrr
dxbxbx
dxbxbx
11,
1111,11
nrnrrrrr
nnrr
xbxbdx
xbxbdx
11,
111,111
rnnrr cxcxcx,,,2211?
即原方程组有无穷多解。于是有以下重要结论：
rn
rnrnrrr
rnnr
n
r
r
c
c
cbcbd
cbcbd
x
x
x
x
1
11,
111,11
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1,
1,1
1
1
1
1
rn
n
rn
rr
r
r
n
r
r
b
b
c
b
b
c
d
d
x
x
x
x
定理 5.3 元线性方程组
1）无解的充分必要条件是 ;
2）有解的充分必要条件是
。当 为适定，有惟一解，当 为欠定，有无穷多解；
推论,齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 。
n mn?A X = b
]),([)( bAA RR?
( ) ( [,] ) ( )R R r r nA A b nr?
nr?
0XA nm
nR?)(A
定理 5.4 设 是 矩阵，则矩阵 的列向量组线性相关（无关） R(A)<n (R(A)=n)。
矩阵 A的行向量组线性相关（无关）
R(A)<m (R(A)=m)
证明,设,
向量组 线性相关 不全为零，即齐次线性方程组 有非零解，从而 R(A)<n。
推论 当 t<n，含 t个 n维向量的向量组必线性相关。
A nm? A
[,,]? 1 2 nA α,α α 12 nk k k1 2 nα α α 0
,,1 2 nα,α α? nkkk,,,21?
0AX?
矩阵秩的一些性质
1）
2）
3）若,则
4）若 可逆，则
nmR,m i n)(0 nmA
)()( TRR AA?
BA ~ )()( BA RR?
QP,( ) ( )RR?P A Q A
5）
6）
7）若 则
)()()( BABA RRR
)(),(m i n)( BAAB RRR?
0BA tnnm nRR )()( BA
定义 5.6 设有向量组,,如果在中能选出 个向量,满足：
1）向量组 线性无关；
2）向量组 中的任 个向量（如果 中有个向量的话）都线性相关；
则称向量组 是向量组 的一个最大
（极大）线性无关向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数 称为 向量组 的秩 。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0 。
A,1 2 mα,α,α
A r,r12α,α,α
1 2 rα,α,,α
A 1?r A
1?r
1 2 rα,α,,α A
r
A
例 5.3 求向量组的最大无关组和秩。
解,因为矩阵 [ ]中能找到不为零的二阶子式,线性无关；而又有从而 可由 线性表示，所以向量组的秩为 2，最大无关组是 。不难证明，
与 都是向量组 的最大无关组。
由此可知：一个向量组的最大无关组不惟一。向量组与它的任一最大无关向量组等价。
T T T[ 2,1,0],[ 1,1,1 ],[ 3,0,1 ]1 2 3α α α
A
12α,α
12α,α 1 2 3α + α - α =0
3α
12α,α
12α,α 13α,α
32α,α 1 2 3α,α,α
一般地，求向量组 的最大无关组时，
可先将对应的矩阵 化为行阶梯或行最简形。如果得出的行阶梯形式如下或最简形则由其基准元素所在的各列（上图中 1,2,4
列）向量组成的矩阵的行列式一定不为零，
所有基准列就组成一个最大无关组。由于最大无关组不是唯一的，这并不排除再构成其他的最大无关组。
,1 2 mα,α,α
,? 1mA α α，
0 0
0 0 0,
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
UC
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U0 C
定理 5.5 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，
也等于它的列向量组的秩。
向量组秩的一些性质：
1）若向量组 可由向量组 线性表示，则向量组 的秩不超过向量组 的秩；
2）等价向量组的秩相等；
例 5.4 求下面向量组的最大无关组及秩。
1）
2）全体 维向量构成的向量组记作 。
A B
A B
T T T[ 1,3,0],[ 0,1,2],[ 2,5,2],
1 2 3α α α
n nR
解,1）以 作为列向量组成矩阵 A,再通过初等行变换求其秩与最大无关组。
由最后的矩阵可知，向量组的秩为 2，
及 都是最大无关组。
2）因为 维基本单位向量组,
线性无关，而 中任意 向量都线性相关，因此向量组 是 的最大无关组，且的秩等于 。
1 2 3α,α,α
1 0 2 1 0 2 1 0 2
3 1 5 0 1 1 0 1 1
0 2 2 0 2 2 0 0 0
1 2 3A = [ α,α,α ]
12α,α
31α,α 23α,α
n E
TTT1 eee ]1,0,,0,0[,,]0,0,,1,0[,]0,0,,0,1[ 2 n
nR 1?n
E nR nR
n
对于较大的矩阵，可以用下列 MATLAB语句来求向量组的秩 r以及最大无关组 V。
[UC,ip]=rref (A); % 把 A化行最简形
r=length(ip),% 求秩 r
V=A(:,ip) % 求列向量的最大无关组 V
MATLAB也提供了直接求秩的函数，其编程的思想是行阶梯变换，调用格式为
r=rank(A)。
5.4 向量空间
5.4.1 向量空间的定义定义 5.6 设 是非空的 维向量的集合。如果对向量 的 加法和乘数运算封闭,即 1）
若,则 ； 2）若 (此处的 指实数集，下同 )则,那末称集合为 向量空间 。
V n
V
a,b V?a + b V Ra V,
RaV V
例 5.7 判断下列集合是否为向量空间
1） 表示全体 维向量的集合；请读者验证它是一个向量空间
2）设若,,
则 所以 是一个向量空间。
3）设因为,，即 对乘数运算不封闭，所以 不是一个向量空间。
nR n
220,,,,,Tnnx x x x R1V
2[ 0,,,] Tnaa? 1a = V 2[ 0,,,] Tnbb? 1b = VR
220,,,,Tnna b a b11a + b = V a V1V
1 2 1 2 1,,,1,,,Tn n nx x x x x x x x RV
1,0,,0 T naR2 2,0,,0 T naR V
V
5.4.2 子空间定义 5.7 设 与 都是向量空间，如果则称 是 的子空间。
特别地，向量空间 中仅有零向量组成的集合是 的一个子空间，称为零子空间。
由任何 维向量组成的向量空间 都是 的子空间。
例 5.8 设 为全体实系数多项式的集合，则对通常的函数运算构成一向量空间。而 是次数最高为 的多项式集合，且包含零多项式。
V H?HV
H V
V
V
n V nR
P
nP
n
对,,
由于它们对加法封闭：
对数乘也封闭：
可知 是 的子空间。
一般 是向量空间 的向量是 的子空间，称为由 向量 生成（或张成）的子空间 。
( ),( )p t q t? nP 01() nnp t a a t a t 01() nnq t b b t b t
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnp t q t a b a b t a b t nP
01() nnc p t c a c a t c a t nP
nP P
,1 2 nα,α,α V
11,,nnx x x x R1nS α αV
,1 2 nα,α,α
例 5.9 设,证明 是的子空间。
证明,因为所以 是 的子空间。
3,,,,Ta b b a a b a b RH H 4R
3 1 3
11
,1 0
01
ab
ba
ab
a
b
H 4R
5.4.3 向量的内积定义 5.8 设 维向量称为 向量 的内积 。
可以验证向量内积满足,
1)
2),为实数；
3)
4),当且仅当
1 2 1 2,,,,,,,TTnnx x x y y yxyn
yxyx Tnn yxyxyx2211,
x,y
< x,y > = < y,x >
k k k?< x,y > = < x,y > < x,y >
,,< x y,z > = < x z > < y z >
0, xx 0, xx 0x?
k
定义 5.9 设 维向量 称为 向量 的 范数 。
向量的范数具有下列性质：
1）非负性,当且仅当
2）齐次性,为实数
3）三角不等式
n12,,,Tnx x x?x
2 2 212,nx x xTx x x x x
x
0?x 0?x?x0
kk?xx k
x + y x + y
特别地，称范数为 1的向量为单位向量；称为 的单位向量，也称将向量 单位化。
定义 5.10 是 维非零向量，称为 向量 的夹角 。当 时,?=?π/2。
称 向量 正交 (或 垂直 )。显然零向量与任何向量正交。
1?x(x 0)
x x x
x,y n
a r c c o s
Txy
xy
x,y 0?yxT
x,y
5.4.4 正交向量两两正交的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为规范（标准）正交向量组。
定理 5.5 不含零向量的正交向量组线性无关。
证明,因为,所以即 线性无关。
,1 2 nα,α,α
d e t d e t?T2( A A ) = ( A ) 0 nR?)(A
,1 2 nα,α,α
施密特正交化方法：
设 是线性无关向量组，令则 是与 等价的正交向量组。
若进一步单位化，即令 则是一个与 等价的规范正交组。
,1 2 mα,α,α
11β = α
T
12
2 2 1T
11
β αβ = α - β
β β
3 2 3
3 3 2
22
TT
1
1TT
11
β α β αβ = α - β β
β β β β?
m -1 jm
m m j
j= 1 jj
< β,α >β = α - β
< β,β >
1 2 mβ,β,,β,1 2 mα,α,α
ii
i
βη =
β 1 2 mη,η,,η
,1 2 mα,α,α
MATLAB中不采用施密特算法,因为施密特算法对误差的积累比较敏感。它用更好的算法编成了矩阵正交分解子程序 qr.m，
将 V分解为 Q和 R两个矩阵的乘积。调用方法为：
[Q,R]?qr(V)
得出的 Q和 R满足 Q*R=V
当 V是 m?n矩阵时，输出变元 R是 m?n
的上三角矩阵。而 Q则是 m?m单位正交矩阵（这和 gschmidt子程序不同）。这个子程序并不限定 n? m，在 n?m时，在 Q中取前
n列，就是要求的规范化正交基向量
e1,e2,…,en,即 e=Q(:,[1:n])
例 5.12 已知向量 可由向量 线性表示，若 与 正交，证明证明,设,由题意所以,即
β,,1 2 sα,α α
β ( 1,2,,)is?iα?β 0
12 s1 2 sβ α α α
12
12
0
s
s
s
1 1 2 2 s
1 2 s
1 2 s
β,β >=< β,λ α + λ α α
< β,α >+< β,α β,α
β,α β,α β,α
0?β?β 0
5.4.5 正交矩阵定义 5.10 设 为 阶方阵，若满足
(即 )，则称 为 正交矩阵。
利用定义 5.10可以证明，正交矩阵具有下面的性质,
1）若 为正交矩阵，则
2）若 为正交矩阵，则 仍是正交矩阵
3）若 为两个 阶正交矩阵,仍是正交矩阵
A n?TA A I
-1 TA = A A
A 1A
A 1T?AA和
AB,n AB
定理 5.7 阶方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的列 (或行 ) 向量组是规范正交组。
证明,设 阶矩阵,于是因此,的充要条件是即 的列向量组为规范正交组。同理可证的行向量组也是规范正交组。
n A
A
n,,? 1 2 nA α,α α
,T
T T T T
1 1 1 1 2 1 n
T T T T
2 2 1 2 2 2 n
1 2 n
T T TT
1 n n 2 n nn
α α α α α α α
α α α α α α α
AA α,α,α
α α α α α αα
T nA A I
1,,1,2,,
0,
ij i j n
ij
T
i j i jα α =< α,α >
A A
例 5.13 设 是 维列向量，且,试证为对称正交矩阵。
证明,因为所以 为对称矩阵。又因故 为正交矩阵。用这种方法构成的正交矩阵称为 Householder矩阵。
α n 1?Tα α
TA = I - 2 α α
22T T T TA = ( I - α α ) = I - α α =A
A
2 2 4 4T T T T T TA A = ( I - α α ) ( I - α α ) = I - α α +( α α )( α α )
4 4 4 4T T T T T= I - α α + α ( α α ) α = I - α α + α α =I
A
5.5 基、维数与坐标定义 5.11 设 是向量空间，如果向量,且满足
1） 线性无关；
2） 中的任一向量都可由 线性表示则称向量组 是向量空间 的一个基，
称为向量空间 的 维数,并称 为 维 向量空间 。规定零向量空间的维数为零。
V
,?1 2 rα,α,α V
,1 2 rα,α,α
V,1 2 rα,α,α
,1 2 rα,α,α V
Vr rV
若 为向量空间 的两两正交的一组基，则称 是向量空间 的 正交基 。当 又是单位向量时，称是向量空间 的 规范正交基 （或标准正交基 ）。如 是向量空间 的一个标准正交基。
定义 5.12 设 是 维向量空间，
是 的一个基，则 中的任一向量 可由唯一线性表示为数组 称为向量 在基下的坐标，记为
,1 2 mα,α,α V
,1 2 mα,α,α V
,1 2 mα,α,α
,1 2 mα,α,α V
neee 21,,,?
nR
V r,1 2 rα,α,α
V V x
,1 2 rα,α,α
1 rxx1rx α α
rxxx,,,21? x,1 2 rα,α,α
1,,Trxx
推论,在正交基,
下,的任一向量 可表示为
，故向量在该基下的坐标是它的分量。
下面讨论向量空间 的两个不同的基之间的联系。
设 与 是 维向量空间的两个基，则 与 等价，从而
，即
（ 5-3）
1,0,0,,0 T?1e,0,0,0,,1 T?ne
nR
1,,Trxx?x
1 nxx1nx e e
V
,1 2 rα,α,α 1 2 rβ,β,,β
,1 2 rα,α,α 1 2 rβ,β,,β
r
1,1,,j rjk k j rj 1 rβ α α
11 1
1
r
r r r
kk
kk
1 r 1 r 1 rβ,,β α,,α α,,α K
称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵 。称式（ 5-3）为由 到的 基变换公式 。因为一方面另一方面由于基是线性无关的及性质知,所以 是可逆矩阵。
设向量 在这两个基下的坐标分别为
，即
（ 5-4）
K,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β
,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β rR?)(K
)()( ABB RR? rR?)(K K
α
TrTr yyyxxx ),,,(,),,,( 2121
11
11,,rr
rr
xy
x x y y
1 r 1 r 1 r 1 rα α α α α β β β,,β
将（ 5-3）式代入，得到或 （ 5-5）
称（ 5-5）式为向量 在基下的 坐标变换公式 。
例 5.15 设 中的两组基为及求 (1) 从基 到基 的过渡矩阵 。
(2) 求向量 在基 下的坐标。
11
rr
xy
xy
K
11
1
rr
yx
yx
K
α,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β
3R
1 1 1
1,0,0
1 1 1
1 2 3α α α
0 1 1
1,1,2
1 0 1
1 2 3β β β
1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β K
21 2 3α = α + α - α 1 2 3β,β,β
解,(1)设由基 到 及 的过渡矩阵分别为 A和 B.
从而于是由基 到 的过渡矩阵
1 2 3e,e,e 1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β
2 3 2 3
1 1 1
[ ] [,,] 1 0 0 [,,]
1 1 1
1 2 3 1 1α,α,α e e e e e e A
2 3 2 3
0 1 1
[ ] [,,] 1 1 2 [,,]
1 0 1
1 2 3 1 1β,β,β e e e e e e B
[]? 11 2 3 1 2 3β,β,β ] = [ α,α,α AB
1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β
1 1 2
1 / 2 1 / 2 0
1 / 2 3 / 2 1
-1K = A B
(2) 已知向量 在基 下的坐标,由式（ 5-5）得向量 在基下的坐标本题可用 MATLAB程序 ea515计算如下：
A=[1,1,1;1,0,0;1,-1,1];B=[0,-1,1;1,1,2;1,0,1];
K=inv(A)*B,X=[1;2;-1],Y=inv(K)*X
运行结果为：
21 2 3α = α + α - α 1 2 3α,α,α
(1,2,1 ) TX α
1 2 3β,β,β
1 / 2 2 1 1 9 / 2
1 / 2 0 1 2 1 / 2
1 / 2 1 0 1 5 / 2
-1Y = K X
1,0 0 0 0 1,0 0 0 0 2,0 0 0 0 - 4,5 0 0 0
K = - 0,5 0 0 0 - 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0 0
- 0,5 0 0 0 - 1,5 0 0 0 - 1,0 0 0 0 2,5 0 0 0
Y
，
5.6 线性方程组解的结构
5.6.1 三类不同线性方程组解的结构本节用向量空间的理论讨论方程组 的解 。
设 是秩为 的 m× n矩阵,增广矩阵 [A,b]的秩为时为超定方程组,无解 （ 有最小二乘解 ）
AX = b
A r
cr
,
,
( 1 ),c rn
rn
rr?
时 为 适 定 方 程 组 有 惟 一 解则时 为 欠 定 方 程 组 有 无 穷 多 解
crr?)2(
5.6.2 欠定方程组解的结构设有欠定线性方程组
（ 5-6）
其系数矩阵 是 矩阵,，则它有无穷多解。这些解的集合称为方程（ 5-6）
的通解，通解中的任何一个解就称为此方程的特解。
为了讨论（ 5-6）的解，先要研究如下的齐次方程组
（ 5-7）
A X = b
A nm? ()Rr?A
A X = 0
称式（ 5-7）式为（ 5-6）对应的齐次线性方程组 (或称为导出组 )。这个方程有非零解的条件是 必须是降秩的，即,只有欠定方程才满足这个条件。
设,即 是 的解向量的集合，它具有性质
1)若,则
2)若,则
A rn?
V X A X 0 V 0AX? ξ
12ξ,ξ V?12ξ + ξ V
,kRξ V k?ξ V
所以 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（ 5-7）的 解空间 。
定理 5.8 设 矩阵 的秩为,则 元齐次线性方程组 的解空间是 维向量空间。
下面研究非齐次线性方程组（ 5-6）的通解与基础解系的关系：
1）设 为线性方程组（ 5-6）的两个特解，
则 是其导出组（ 5-7）的解。
2）设 为（ 5-6）的特解,为其导出组
（ 5-7）的解，则 也是（ 5-6）的解。
V X A X 0
nm? A r n
AX 0 rn?
12η,η
12η -η
η ξ
η+ξ
从而（ 5-6）的通解为：
(5-10)
例 5.16 设三元线性方程组 的解为
,,为对应齐次线性方程组的解,求方程组 的通解。
解,由 知，对应齐次方程组 的解空间是 2 维，而 是它的两个线性无关的解，所以方程组 的通解为
1
1 nr
n
x
kk
x
1 n - rX η ξ ξ
AX = b
(1,2,3 ) T?η ( ) 1R?A ( 2,1,0 ),T1ξ (1,4,2 ) T2ξ
AX = b
( ) 1R?A AX = 0
12ξ,ξ
AX = b
5.6.3 求基础解系的 MATLAB程序对于线性齐次方程,MATLAB提供了根据矩阵系数矩阵 求基础解系 的子程序
null.m。 它的调用格式为：
Z=null(A)
或 Z=null(A,’r’)
前一种 格式 适合于工程计算,而后一种 格式 适合于课堂教学。
12
1 2 1
2 1 4
3 0 2
kk
Ax = 0
A x
5.7 超定方程组的解 —— 最小二乘问题有时用向量空间的方法可以更为简捷地推导公式，超定方程组的解可以作为一个例子。通常采用的是误差平方和最小的准则，其解也称为最小二乘解。
设 A为 m?n矩阵，方程数 m大于变量数
n，称 Ax=b为超定方程，即不可能找到一个 x，满足 Ax?b?0。如果我们不寻求理想的数学解，而是从工程意义上找到尽量接近理想的解，那就应该容许引入误差向量 e。
图 5.2 最小二乘解的几何意义令 （ 5-12）
其矩阵形式如下
（ 5-13）
e = A x - b
11
11 1
22
1
n
m mn
nm
xb
aa
xb
aa
xb
1
2
m
e
e
e A x - b
e
为了有鲜明的几何意义，举三维空间问题为例改写成 (5-14)
简写为 (5-15)
令,其中 和 在三维空间中将张成一个二维子空间（即平面），选择不同的 和 将使等式左端有不同的合成向量,q必定处于 和 张成的平面之内。
32
3
1
21
21
21
xx
xx
xx
12
1 1 1
1 1 3
1 2 3
xx
12xx12v v = b
12[,]A v v? 1v 2v
1x 2x
1 1 2 2A x x v x v q 1v 2v
b是三维空间中的一个任意点，如果这个 b点碰巧恰好在这个平面内，那么 x1和 x2
就可以有解。但一般地说,b不会在这个平面内，这时最近似的解就应该是该平面上与 b点最近的点所对应的坐标。它应该是 b
点向 和 张成的平面的垂足。所以和 b的连线应该和 和 张成的平面垂直，也就是说，这个连线必须分别与 和 正交。如图
5,2所示。
和 b的连线向量是这两个向量之差，
它与 和 正交，即及
Ax
Ax -b
T1v (A x - b) 0?T2v (A x - b) = 0
1v 2v
1v 2v
1v 2v
1v 2v
可以写成
(5-16)
移项得 最后解得
(5-17)
这就是在三维空间内导出的最小二乘解的公式。这个公式在高维的线性代数方程中同样适用。
T
1 T
T
2
v ( A x - b ) A ( A x - b ) 0
v
,TTA A x = A b
T - 1 Tx = ( A A ) A b
例 5.18 求超定方程组（ 5-14）的最小二解。
解,将方程组（ 5-14）写为矩阵形式其中可求得及
1 12
2
x xx
x
1 2 1 2A x = v,v v + v b
1 1 1
1 1,3
1 2 3
Ab
1 1 1
1 1 - 1 3 - 2 1 1 - 1 1* 1 - 1,* 3
1 - 1 2 - 2 6 1 - 1 2 4- 1 2 3
TTA A A b
1 3 - 2 1 0,4 3 8 6 0,1 4 2 9 1 1,0 0 0 2
**- 2 6 4 0,1 4 2 9 0,2 1 4 3 4 1,0 0 0 1
T - 1 Tx = ( A A ) A b
用 MATLAB求解，编成程序 ea518如下：
A=[1,1;1,?1;?1,2],b=[1;3;3]
xhat=inv(A’*A)*A’*b
e=A*xhat?b,norm(e)
运行此程序，得到
1,0 00 0
1,00 00
,3,00 00,
1,00 00
2,00 00
xe
2 2 2( ) = 1 ( 3 ) ( 2 ) = 3,7 4 1 7n o r me
5.8 应用实例
5.8.1 混凝土配料中的应用超强型 A 通用型 B 长寿型 C
水泥 c 20 18 12
水 w 10 10 10
沙 s 20 25 15
石 g 10 5 15
灰 f 0 2 8
（ 1）假如某客户要求的混凝土的五种成分为 16,10,21,9,4，试问 A,B,C三种类型应各占多少比例？如果客户总共需要 5000公斤混凝土，则三种类型各占多重？
（ 2）如果客户要求的成分为 16,12,19,9,4，
则这种材料能用 A,B,C三种类型配成吗？为什么？
解,从数学上看，这三种基本类型的混凝土相当于三个基向量,,：待配混凝土相当于两个合成向量,,其数值如下：
Av Bv Cv
1w 2w
现在的问题归结为,是否是,,
的线性组合？或,是否在,,所张成的向量空间内？解的思路是先分析三个基向量所张成的空间是几维?把,（或 ）加进去后维数是否没有增加？这就可以知道,
（或 ）是不是在,,张成的向量空间内。因为系统的阶数已达到 5，手工解太费时了，必须藉助于计算机，程序 ea581如下：
2 0 1 8 1 2 1 6 1 6
1 0 1 0 1 0 1 0 1 2
2 0,2 5,1 5,2 1,1 9,
1 0 5 1 5 9 9
0 2 8 4 4
A B C 1 2v v v w w
1w 2w A
v Bv Cv
1w 2w A
v Bv Cv
1w 2w
1w
2w Av Bv Cv
va=[20;10;20;10;0],vb=[18;10;25;5;2],
vc=[12;10;15;15;8]
w1=[16;10;21;9;4],w2=[16;12;19;8;4]
v=[va,vb,vc],rv=rank(v),
rvw1=rank([v,w1]),
rvw2=rank([v,w2]),
得出的结果是,rv=3,rvw1=3,rvw2=4。
这就意味着 是在,,张成的向量空间内，
而 则不是在,,张成的向量空间内。
所以 可以由三种基本类型的混凝土混合而成，但 则不行。
1w Av Bv Cv
2w Av
Bv Cv
1w
2w
为了计算 所需的混合比例，问题归结为解下列线性代数方程：
ka*va+kb*vb+kc*vc=
写成矩阵形式为为此，可对增广矩阵 [v,w1]作行阶梯变换，
求 U0=rref([v,w1])，得到
[ ] *
ka
kb
kc
va,vb,vc v K w 1
1w
1w
所以三种基本混凝土应按 16%,56%，
28%的比例调配，对于 5000公斤混凝土，
三种基本类型混凝土的用量分别为 800，
2800,1400公斤。
1 0 0 2 /25
0 1 0 1 4 /25
0 0 0 1 9 /25
0 0 0 0
0
U?
0 0 0
5.1 n维向量
5.2 向量组的线性相关性
5.3 矩阵的秩与向量组的秩
5.4 向量空间
5.5 基、维数与坐标
5.6 线性方程组解的结构
5.7 超定方程的解 —— 最小二乘问题
5.8 应用实例
5.9 习题
5.1 n维向量定义 5.1 n个有次序的数构成的数组称为 n维向量 。这 n个数称为该向量的 n个分量，称为这个向量的第个分量,n也称为此向量的长度。
分别记或
1
2
n
a
a
a
a
12,,,na a a?a
为列向量和行向量，并规定列向量与行向量都按矩阵的运算规则进行运算,本书中若没有指明是列向量还是行向量时，都当作列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成分量全为实数的向量称为 实向量,分量为复数的向量称为 复向量,分量全为零的向量称为 零向量,记为 0.
12,,,Tna a a?a
设,为列向量,?是一个数，则有
(1)
(2)
(3)
(4)
12,,,Tna a a?a12,,,Tnb b b?b
1 1 2 2,,,Tnna b a b a ba + b
12,,Tna a aa
1
2
1 2 1 1 2 2,,,n n n
n
b
b
a a a a b a b a b
b
Tab
nnnn
n
n
n
n bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
21
22212
12111
21
2
1
],,,[Tab
5.2 向量组的线性相关性若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合称为向量组。
其中，
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
1
2
1 2 n
m
β
β
A α,α,,α
β
12,,,,1,2,,.i i i na a a i miβ
12,,,,1,2,,
T
j j m ja a a j njα
称 为矩阵的行向量组，
为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同维数的向量适当排列可构成一个矩阵。
定义 5.2
（ 1） 给定向量组 。对于任何一组实数,称为向量组 的一个 线性组合,
称为这个线性组合的 系数 。
（ 2）给定向量组 及向量。若存在一组数,使
1 2 mβ,β,,β 1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
12,,,nk k k 12 nk k k1 2 nα α α
1 2 nα,α,,α 12,,,nk k k
1 2 nα,α,,α
12,,,n 12 n1 2 nb α α α
则称向量 可由向量组线性表示 。
定义 5.3 设有向量组 向量组 B
若向量组 A中的每一个向量都可由向量组 B线性表示，则称向量组 A 可由向量组 B线性表示；若向量组 A与向量组 B 可互为线性表示，
则称向量组 A与向量组 B等价。
定义 5.4 给定向量组,如果存在不全为零的数,使
12 n1 2 nb α α α
A,
1 2 sα,α,,α
1 2 t,β,β,,β
1 2 nα,α,,α
12,,,nk k k 12 nk k k1 2 nα α α 0
则称向量组 线性相关，否则称向量组 线性无关 。
由定义 5.4，若向量组 线性无关，当且仅当 时，才有成立。
推论：当向量组只有一个向量 时，
必线性无关； 必线性相关。可见，若向量组中含有零向量，它一定线性相关。
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
12 0nk k k
12 nk k k1 2 nα α α 0
α?α 0
α 0
例 5.1 判断下列向量组的线性相关性
（ 1）
（ 2）
1,0,1,0,1,1,2,1,3T T T1 2 3α α α
1 2 31,2,1,0,2,3,4,1,3,4,3,0T T Tα α α
解：
(1)因为所以这个向量组线性相关。
(2) 设,由向量的加法和数乘运算可得
2 0 2 0
2 1 ( 1 ) 0 1 1 0
2 1 3 0
1 2 3α α α 0
1 1 2 2 3 3k k kα α α 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 3 01 2 3
2 3 4 02 3 4
1 4 3 4 3 0
0 1 0 0
k k k
k k k
k k k
k k k
k
0 即用行阶梯法解此方程得,
所以向量组 线性无关。
向量组称为 维基本单位向量组。仿照例 5.1可以证明它是线性无关的。
定理 5.1 向量组 线性相关的充分必要条件是至少存在一个向量可由其余向量线性表示。
推论：向量组 线性相关的充分必要条件是 对应分量成比例。
0321 kkk
1 2 3,,α α α
TTT1 eee ]1,0,,0,0[,,]0,0,,1,0[,]0,0,,0,1[ 2 n
n
1 2 nα,α,,α
( 1,2 )j n njα
21 aa,
21 aa,
下面不加证明地给出向量组线性相关性的一些结论。
1）若向量组的部分组线性相关，则这个向量组线性相关；若向量组线性无关，则其任一部分组线性无关。
2）若矩阵 A经初等 行 变换化为 B，则 A与 B
的任何对应的 列 向量组不仅有相同的线性相关性，而且有相同的线性组合关系。
向量组的线性相关性与对应方程组的解之间的关系设有 n个 m维向量 构成的线性方程组 (5-1)
其中,,b为 m维列向量，则（ 5-1）式可写为
(5-2)
从而，线性方程组 有解 可由向量组线性表示。当 线性无关时，
可由 唯一地用线性表示。
1 2 nα,α,,α
mn?A X = b
1 2 nA= α,α,,α12,,,nx x x TX=
12 nx x x1 2 nb= α + α ++ α
mn?A X = b?b
1 2 nα,α,,α
1 2 nα,α,,α
b
5.3 矩阵的秩与向量组的秩定义 5.5 在 矩阵 A中任取 K行 K列
,位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在矩阵 A所处的位置次序而得到的 K阶行列式，称为矩阵 A的 K阶子式 。矩阵的 A最高阶非零子式 的阶数称为 矩阵 A的秩,记为 。显然，
推论,设 是矩阵 的一个非零阶子式，而 所有 阶子式全为零。
nm?
),( mknk
2k
r
()Rr?A ( ) )RR?TAA（
()Rr?A? D A r
A 1?r
例 5.2 求矩阵 和 的秩。
解,在 中,2阶子式 3阶子式只有一个，即,所以 。
是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3
行，知 的所有 4阶子式都为零,又所以
A B
2 1 0
2 2 3
4 1 1
A
1 2 0 1 2
0 1 3 0 5
0 0 0 2 3
0 0 0 0 0
B
A,0511 32
0?A ( ) 2R?A
B
B
0
200
010
121
( ) 3R?B
定理 5.2 任何矩阵经过初等变换后其秩不变。
证明方法一,用行最简形非零行数作为秩的定义来证明。第一章已经证明，三种行初等变换都是等价变换，即经过变换后，
其解不变，其行最简形是唯一的。这就意味着，它的非零行数目（因此其秩）也是唯一的，不受行初等变换影响。
证明方法二,用行列式最大非零子式的定义来证明。先就第三种初等变换来证明定理。
设矩阵,,矩阵 的第 行乘以数 加到第 行而得到矩阵,即要证明 。首先证明,。
因为,故 中所有 阶子式都等于零。设 为 中任一 阶子式，那么有三种可能。
()ij m naA ()Rr?A A j
k i B
11 12 1
12
12
12
n
i i in
j j jn
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
a a a
B?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
21
21
2211
11211
rR?)(B rR?)(B
()Rr?A A 1r?
D B 1r?
（ ⅰ ） 若 不包含 的第 行元素，这时也是矩阵 的一个 阶子式，故 ;
（ ⅱ ） 若 包含 的第 行元素也包含 的第 行元素，由行列式的性质知 ；
（ ⅲ ） 若 包含 的第 行元素，但不包含的第 行元素，这时
D A i D
A 1r? 0?D
D A i A
j 0?D
D A i A
j
rrrr jtjtititjtitjtit
kakaaakaakaaD
1111
21 kDD
其中 是 的一个 阶子式，所以 。
而 是由 中某个 阶子式交换若干行所得，根据行列式的性质,与 中某一个阶子式最多相差一个符号，故,于是 。这就是说,中一切 阶子式全为零，所以 。另一方面，我们对矩阵 施行第三种初等行变换：即在 的第 行元素乘以 - 加到第 行对应元素上就得到,因此也有 秩 。于是，我们证明了秩 秩,即第三种初等行变换不改变矩阵的秩。
同理可证另两种行初等变换情形。
1D A 1r? 01?D
2D A 1r?
2D A
1r? 02?D
0?D B 1r?
( ) ( )R r RBA
B B
j k i
A ()Rr?AB
AB
设线性方程组,,
,。为叙述方便，
不妨设其增广矩阵 的行最简形为
mn?A X = b )( ija?A
Tmbbb ],,,[ 21b rR?)(A
B ],[ bA
000000
000000
00000
100
010
0
1
1,
221,2
111,1
r
rrnrr
nr
nr
d
dbb
dbb
dbb01
B
若,则 中的,于是的第 行对应矛盾方程 0=1，故原方程组无解。
若,得同解方程组故原方程组有惟一解。
若,得同解方程组
)()( BA RR? B 11rd B
1?r
nrRR )()( BA
nn
dx
dx
dx
22
11
nrRR )()( BA
移项得令自由未知数得原方程组的解
rnrnrrrr
nnrr
dxbxbx
dxbxbx
11,
1111,11
nrnrrrrr
nnrr
xbxbdx
xbxbdx
11,
111,111
rnnrr cxcxcx,,,2211?
即原方程组有无穷多解。于是有以下重要结论：
rn
rnrnrrr
rnnr
n
r
r
c
c
cbcbd
cbcbd
x
x
x
x
1
11,
111,11
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1,
1,1
1
1
1
1
rn
n
rn
rr
r
r
n
r
r
b
b
c
b
b
c
d
d
x
x
x
x
定理 5.3 元线性方程组
1）无解的充分必要条件是 ;
2）有解的充分必要条件是
。当 为适定，有惟一解，当 为欠定，有无穷多解；
推论,齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 。
n mn?A X = b
]),([)( bAA RR?
( ) ( [,] ) ( )R R r r nA A b nr?
nr?
0XA nm
nR?)(A
定理 5.4 设 是 矩阵，则矩阵 的列向量组线性相关（无关） R(A)<n (R(A)=n)。
矩阵 A的行向量组线性相关（无关）
R(A)<m (R(A)=m)
证明,设,
向量组 线性相关 不全为零，即齐次线性方程组 有非零解，从而 R(A)<n。
推论 当 t<n，含 t个 n维向量的向量组必线性相关。
A nm? A
[,,]? 1 2 nA α,α α 12 nk k k1 2 nα α α 0
,,1 2 nα,α α? nkkk,,,21?
0AX?
矩阵秩的一些性质
1）
2）
3）若,则
4）若 可逆，则
nmR,m i n)(0 nmA
)()( TRR AA?
BA ~ )()( BA RR?
QP,( ) ( )RR?P A Q A
5）
6）
7）若 则
)()()( BABA RRR
)(),(m i n)( BAAB RRR?
0BA tnnm nRR )()( BA
定义 5.6 设有向量组,,如果在中能选出 个向量,满足：
1）向量组 线性无关；
2）向量组 中的任 个向量（如果 中有个向量的话）都线性相关；
则称向量组 是向量组 的一个最大
（极大）线性无关向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数 称为 向量组 的秩 。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0 。
A,1 2 mα,α,α
A r,r12α,α,α
1 2 rα,α,,α
A 1?r A
1?r
1 2 rα,α,,α A
r
A
例 5.3 求向量组的最大无关组和秩。
解,因为矩阵 [ ]中能找到不为零的二阶子式,线性无关；而又有从而 可由 线性表示，所以向量组的秩为 2，最大无关组是 。不难证明，
与 都是向量组 的最大无关组。
由此可知：一个向量组的最大无关组不惟一。向量组与它的任一最大无关向量组等价。
T T T[ 2,1,0],[ 1,1,1 ],[ 3,0,1 ]1 2 3α α α
A
12α,α
12α,α 1 2 3α + α - α =0
3α
12α,α
12α,α 13α,α
32α,α 1 2 3α,α,α
一般地，求向量组 的最大无关组时，
可先将对应的矩阵 化为行阶梯或行最简形。如果得出的行阶梯形式如下或最简形则由其基准元素所在的各列（上图中 1,2,4
列）向量组成的矩阵的行列式一定不为零，
所有基准列就组成一个最大无关组。由于最大无关组不是唯一的，这并不排除再构成其他的最大无关组。
,1 2 mα,α,α
,? 1mA α α，
0 0
0 0 0,
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
UC
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
U0 C
定理 5.5 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，
也等于它的列向量组的秩。
向量组秩的一些性质：
1）若向量组 可由向量组 线性表示，则向量组 的秩不超过向量组 的秩；
2）等价向量组的秩相等；
例 5.4 求下面向量组的最大无关组及秩。
1）
2）全体 维向量构成的向量组记作 。
A B
A B
T T T[ 1,3,0],[ 0,1,2],[ 2,5,2],
1 2 3α α α
n nR
解,1）以 作为列向量组成矩阵 A,再通过初等行变换求其秩与最大无关组。
由最后的矩阵可知，向量组的秩为 2，
及 都是最大无关组。
2）因为 维基本单位向量组,
线性无关，而 中任意 向量都线性相关，因此向量组 是 的最大无关组，且的秩等于 。
1 2 3α,α,α
1 0 2 1 0 2 1 0 2
3 1 5 0 1 1 0 1 1
0 2 2 0 2 2 0 0 0
1 2 3A = [ α,α,α ]
12α,α
31α,α 23α,α
n E
TTT1 eee ]1,0,,0,0[,,]0,0,,1,0[,]0,0,,0,1[ 2 n
nR 1?n
E nR nR
n
对于较大的矩阵，可以用下列 MATLAB语句来求向量组的秩 r以及最大无关组 V。
[UC,ip]=rref (A); % 把 A化行最简形
r=length(ip),% 求秩 r
V=A(:,ip) % 求列向量的最大无关组 V
MATLAB也提供了直接求秩的函数，其编程的思想是行阶梯变换，调用格式为
r=rank(A)。
5.4 向量空间
5.4.1 向量空间的定义定义 5.6 设 是非空的 维向量的集合。如果对向量 的 加法和乘数运算封闭,即 1）
若,则 ； 2）若 (此处的 指实数集，下同 )则,那末称集合为 向量空间 。
V n
V
a,b V?a + b V Ra V,
RaV V
例 5.7 判断下列集合是否为向量空间
1） 表示全体 维向量的集合；请读者验证它是一个向量空间
2）设若,,
则 所以 是一个向量空间。
3）设因为,，即 对乘数运算不封闭，所以 不是一个向量空间。
nR n
220,,,,,Tnnx x x x R1V
2[ 0,,,] Tnaa? 1a = V 2[ 0,,,] Tnbb? 1b = VR
220,,,,Tnna b a b11a + b = V a V1V
1 2 1 2 1,,,1,,,Tn n nx x x x x x x x RV
1,0,,0 T naR2 2,0,,0 T naR V
V
5.4.2 子空间定义 5.7 设 与 都是向量空间，如果则称 是 的子空间。
特别地，向量空间 中仅有零向量组成的集合是 的一个子空间，称为零子空间。
由任何 维向量组成的向量空间 都是 的子空间。
例 5.8 设 为全体实系数多项式的集合，则对通常的函数运算构成一向量空间。而 是次数最高为 的多项式集合，且包含零多项式。
V H?HV
H V
V
V
n V nR
P
nP
n
对,,
由于它们对加法封闭：
对数乘也封闭：
可知 是 的子空间。
一般 是向量空间 的向量是 的子空间，称为由 向量 生成（或张成）的子空间 。
( ),( )p t q t? nP 01() nnp t a a t a t 01() nnq t b b t b t
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnp t q t a b a b t a b t nP
01() nnc p t c a c a t c a t nP
nP P
,1 2 nα,α,α V
11,,nnx x x x R1nS α αV
,1 2 nα,α,α
例 5.9 设,证明 是的子空间。
证明,因为所以 是 的子空间。
3,,,,Ta b b a a b a b RH H 4R
3 1 3
11
,1 0
01
ab
ba
ab
a
b
H 4R
5.4.3 向量的内积定义 5.8 设 维向量称为 向量 的内积 。
可以验证向量内积满足,
1)
2),为实数；
3)
4),当且仅当
1 2 1 2,,,,,,,TTnnx x x y y yxyn
yxyx Tnn yxyxyx2211,
x,y
< x,y > = < y,x >
k k k?< x,y > = < x,y > < x,y >
,,< x y,z > = < x z > < y z >
0, xx 0, xx 0x?
k
定义 5.9 设 维向量 称为 向量 的 范数 。
向量的范数具有下列性质：
1）非负性,当且仅当
2）齐次性,为实数
3）三角不等式
n12,,,Tnx x x?x
2 2 212,nx x xTx x x x x
x
0?x 0?x?x0
kk?xx k
x + y x + y
特别地，称范数为 1的向量为单位向量；称为 的单位向量，也称将向量 单位化。
定义 5.10 是 维非零向量，称为 向量 的夹角 。当 时,?=?π/2。
称 向量 正交 (或 垂直 )。显然零向量与任何向量正交。
1?x(x 0)
x x x
x,y n
a r c c o s
Txy
xy
x,y 0?yxT
x,y
5.4.4 正交向量两两正交的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为规范（标准）正交向量组。
定理 5.5 不含零向量的正交向量组线性无关。
证明,因为,所以即 线性无关。
,1 2 nα,α,α
d e t d e t?T2( A A ) = ( A ) 0 nR?)(A
,1 2 nα,α,α
施密特正交化方法：
设 是线性无关向量组，令则 是与 等价的正交向量组。
若进一步单位化，即令 则是一个与 等价的规范正交组。
,1 2 mα,α,α
11β = α
T
12
2 2 1T
11
β αβ = α - β
β β
3 2 3
3 3 2
22
TT
1
1TT
11
β α β αβ = α - β β
β β β β?
m -1 jm
m m j
j= 1 jj
< β,α >β = α - β
< β,β >
1 2 mβ,β,,β,1 2 mα,α,α
ii
i
βη =
β 1 2 mη,η,,η
,1 2 mα,α,α
MATLAB中不采用施密特算法,因为施密特算法对误差的积累比较敏感。它用更好的算法编成了矩阵正交分解子程序 qr.m，
将 V分解为 Q和 R两个矩阵的乘积。调用方法为：
[Q,R]?qr(V)
得出的 Q和 R满足 Q*R=V
当 V是 m?n矩阵时，输出变元 R是 m?n
的上三角矩阵。而 Q则是 m?m单位正交矩阵（这和 gschmidt子程序不同）。这个子程序并不限定 n? m，在 n?m时，在 Q中取前
n列，就是要求的规范化正交基向量
e1,e2,…,en,即 e=Q(:,[1:n])
例 5.12 已知向量 可由向量 线性表示，若 与 正交，证明证明,设,由题意所以,即
β,,1 2 sα,α α
β ( 1,2,,)is?iα?β 0
12 s1 2 sβ α α α
12
12
0
s
s
s
1 1 2 2 s
1 2 s
1 2 s
β,β >=< β,λ α + λ α α
< β,α >+< β,α β,α
β,α β,α β,α
0?β?β 0
5.4.5 正交矩阵定义 5.10 设 为 阶方阵，若满足
(即 )，则称 为 正交矩阵。
利用定义 5.10可以证明，正交矩阵具有下面的性质,
1）若 为正交矩阵，则
2）若 为正交矩阵，则 仍是正交矩阵
3）若 为两个 阶正交矩阵,仍是正交矩阵
A n?TA A I
-1 TA = A A
A 1A
A 1T?AA和
AB,n AB
定理 5.7 阶方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的列 (或行 ) 向量组是规范正交组。
证明,设 阶矩阵,于是因此,的充要条件是即 的列向量组为规范正交组。同理可证的行向量组也是规范正交组。
n A
A
n,,? 1 2 nA α,α α
,T
T T T T
1 1 1 1 2 1 n
T T T T
2 2 1 2 2 2 n
1 2 n
T T TT
1 n n 2 n nn
α α α α α α α
α α α α α α α
AA α,α,α
α α α α α αα
T nA A I
1,,1,2,,
0,
ij i j n
ij
T
i j i jα α =< α,α >
A A
例 5.13 设 是 维列向量，且,试证为对称正交矩阵。
证明,因为所以 为对称矩阵。又因故 为正交矩阵。用这种方法构成的正交矩阵称为 Householder矩阵。
α n 1?Tα α
TA = I - 2 α α
22T T T TA = ( I - α α ) = I - α α =A
A
2 2 4 4T T T T T TA A = ( I - α α ) ( I - α α ) = I - α α +( α α )( α α )
4 4 4 4T T T T T= I - α α + α ( α α ) α = I - α α + α α =I
A
5.5 基、维数与坐标定义 5.11 设 是向量空间，如果向量,且满足
1） 线性无关；
2） 中的任一向量都可由 线性表示则称向量组 是向量空间 的一个基，
称为向量空间 的 维数,并称 为 维 向量空间 。规定零向量空间的维数为零。
V
,?1 2 rα,α,α V
,1 2 rα,α,α
V,1 2 rα,α,α
,1 2 rα,α,α V
Vr rV
若 为向量空间 的两两正交的一组基，则称 是向量空间 的 正交基 。当 又是单位向量时，称是向量空间 的 规范正交基 （或标准正交基 ）。如 是向量空间 的一个标准正交基。
定义 5.12 设 是 维向量空间，
是 的一个基，则 中的任一向量 可由唯一线性表示为数组 称为向量 在基下的坐标，记为
,1 2 mα,α,α V
,1 2 mα,α,α V
,1 2 mα,α,α
,1 2 mα,α,α V
neee 21,,,?
nR
V r,1 2 rα,α,α
V V x
,1 2 rα,α,α
1 rxx1rx α α
rxxx,,,21? x,1 2 rα,α,α
1,,Trxx
推论,在正交基,
下,的任一向量 可表示为
，故向量在该基下的坐标是它的分量。
下面讨论向量空间 的两个不同的基之间的联系。
设 与 是 维向量空间的两个基，则 与 等价，从而
，即
（ 5-3）
1,0,0,,0 T?1e,0,0,0,,1 T?ne
nR
1,,Trxx?x
1 nxx1nx e e
V
,1 2 rα,α,α 1 2 rβ,β,,β
,1 2 rα,α,α 1 2 rβ,β,,β
r
1,1,,j rjk k j rj 1 rβ α α
11 1
1
r
r r r
kk
kk
1 r 1 r 1 rβ,,β α,,α α,,α K
称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵 。称式（ 5-3）为由 到的 基变换公式 。因为一方面另一方面由于基是线性无关的及性质知,所以 是可逆矩阵。
设向量 在这两个基下的坐标分别为
，即
（ 5-4）
K,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β
,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β rR?)(K
)()( ABB RR? rR?)(K K
α
TrTr yyyxxx ),,,(,),,,( 2121
11
11,,rr
rr
xy
x x y y
1 r 1 r 1 r 1 rα α α α α β β β,,β
将（ 5-3）式代入，得到或 （ 5-5）
称（ 5-5）式为向量 在基下的 坐标变换公式 。
例 5.15 设 中的两组基为及求 (1) 从基 到基 的过渡矩阵 。
(2) 求向量 在基 下的坐标。
11
rr
xy
xy
K
11
1
rr
yx
yx
K
α,1 2 rα,α,α
1 2 rβ,β,,β
3R
1 1 1
1,0,0
1 1 1
1 2 3α α α
0 1 1
1,1,2
1 0 1
1 2 3β β β
1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β K
21 2 3α = α + α - α 1 2 3β,β,β
解,(1)设由基 到 及 的过渡矩阵分别为 A和 B.
从而于是由基 到 的过渡矩阵
1 2 3e,e,e 1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β
2 3 2 3
1 1 1
[ ] [,,] 1 0 0 [,,]
1 1 1
1 2 3 1 1α,α,α e e e e e e A
2 3 2 3
0 1 1
[ ] [,,] 1 1 2 [,,]
1 0 1
1 2 3 1 1β,β,β e e e e e e B
[]? 11 2 3 1 2 3β,β,β ] = [ α,α,α AB
1 2 3α,α,α 1 2 3β,β,β
1 1 2
1 / 2 1 / 2 0
1 / 2 3 / 2 1
-1K = A B
(2) 已知向量 在基 下的坐标,由式（ 5-5）得向量 在基下的坐标本题可用 MATLAB程序 ea515计算如下：
A=[1,1,1;1,0,0;1,-1,1];B=[0,-1,1;1,1,2;1,0,1];
K=inv(A)*B,X=[1;2;-1],Y=inv(K)*X
运行结果为：
21 2 3α = α + α - α 1 2 3α,α,α
(1,2,1 ) TX α
1 2 3β,β,β
1 / 2 2 1 1 9 / 2
1 / 2 0 1 2 1 / 2
1 / 2 1 0 1 5 / 2
-1Y = K X
1,0 0 0 0 1,0 0 0 0 2,0 0 0 0 - 4,5 0 0 0
K = - 0,5 0 0 0 - 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0 0
- 0,5 0 0 0 - 1,5 0 0 0 - 1,0 0 0 0 2,5 0 0 0
Y
，
5.6 线性方程组解的结构
5.6.1 三类不同线性方程组解的结构本节用向量空间的理论讨论方程组 的解 。
设 是秩为 的 m× n矩阵,增广矩阵 [A,b]的秩为时为超定方程组,无解 （ 有最小二乘解 ）
AX = b
A r
cr
,
,
( 1 ),c rn
rn
rr?
时 为 适 定 方 程 组 有 惟 一 解则时 为 欠 定 方 程 组 有 无 穷 多 解
crr?)2(
5.6.2 欠定方程组解的结构设有欠定线性方程组
（ 5-6）
其系数矩阵 是 矩阵,，则它有无穷多解。这些解的集合称为方程（ 5-6）
的通解，通解中的任何一个解就称为此方程的特解。
为了讨论（ 5-6）的解，先要研究如下的齐次方程组
（ 5-7）
A X = b
A nm? ()Rr?A
A X = 0
称式（ 5-7）式为（ 5-6）对应的齐次线性方程组 (或称为导出组 )。这个方程有非零解的条件是 必须是降秩的，即,只有欠定方程才满足这个条件。
设,即 是 的解向量的集合，它具有性质
1)若,则
2)若,则
A rn?
V X A X 0 V 0AX? ξ
12ξ,ξ V?12ξ + ξ V
,kRξ V k?ξ V
所以 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（ 5-7）的 解空间 。
定理 5.8 设 矩阵 的秩为,则 元齐次线性方程组 的解空间是 维向量空间。
下面研究非齐次线性方程组（ 5-6）的通解与基础解系的关系：
1）设 为线性方程组（ 5-6）的两个特解，
则 是其导出组（ 5-7）的解。
2）设 为（ 5-6）的特解,为其导出组
（ 5-7）的解，则 也是（ 5-6）的解。
V X A X 0
nm? A r n
AX 0 rn?
12η,η
12η -η
η ξ
η+ξ
从而（ 5-6）的通解为：
(5-10)
例 5.16 设三元线性方程组 的解为
,,为对应齐次线性方程组的解,求方程组 的通解。
解,由 知，对应齐次方程组 的解空间是 2 维，而 是它的两个线性无关的解，所以方程组 的通解为
1
1 nr
n
x
kk
x
1 n - rX η ξ ξ
AX = b
(1,2,3 ) T?η ( ) 1R?A ( 2,1,0 ),T1ξ (1,4,2 ) T2ξ
AX = b
( ) 1R?A AX = 0
12ξ,ξ
AX = b
5.6.3 求基础解系的 MATLAB程序对于线性齐次方程,MATLAB提供了根据矩阵系数矩阵 求基础解系 的子程序
null.m。 它的调用格式为：
Z=null(A)
或 Z=null(A,’r’)
前一种 格式 适合于工程计算,而后一种 格式 适合于课堂教学。
12
1 2 1
2 1 4
3 0 2
kk
Ax = 0
A x
5.7 超定方程组的解 —— 最小二乘问题有时用向量空间的方法可以更为简捷地推导公式，超定方程组的解可以作为一个例子。通常采用的是误差平方和最小的准则，其解也称为最小二乘解。
设 A为 m?n矩阵，方程数 m大于变量数
n，称 Ax=b为超定方程，即不可能找到一个 x，满足 Ax?b?0。如果我们不寻求理想的数学解，而是从工程意义上找到尽量接近理想的解，那就应该容许引入误差向量 e。
图 5.2 最小二乘解的几何意义令 （ 5-12）
其矩阵形式如下
（ 5-13）
e = A x - b
11
11 1
22
1
n
m mn
nm
xb
aa
xb
aa
xb
1
2
m
e
e
e A x - b
e
为了有鲜明的几何意义，举三维空间问题为例改写成 (5-14)
简写为 (5-15)
令,其中 和 在三维空间中将张成一个二维子空间（即平面），选择不同的 和 将使等式左端有不同的合成向量,q必定处于 和 张成的平面之内。
32
3
1
21
21
21
xx
xx
xx
12
1 1 1
1 1 3
1 2 3
xx
12xx12v v = b
12[,]A v v? 1v 2v
1x 2x
1 1 2 2A x x v x v q 1v 2v
b是三维空间中的一个任意点，如果这个 b点碰巧恰好在这个平面内，那么 x1和 x2
就可以有解。但一般地说,b不会在这个平面内，这时最近似的解就应该是该平面上与 b点最近的点所对应的坐标。它应该是 b
点向 和 张成的平面的垂足。所以和 b的连线应该和 和 张成的平面垂直，也就是说，这个连线必须分别与 和 正交。如图
5,2所示。
和 b的连线向量是这两个向量之差，
它与 和 正交，即及
Ax
Ax -b
T1v (A x - b) 0?T2v (A x - b) = 0
1v 2v
1v 2v
1v 2v
1v 2v
可以写成
(5-16)
移项得 最后解得
(5-17)
这就是在三维空间内导出的最小二乘解的公式。这个公式在高维的线性代数方程中同样适用。
T
1 T
T
2
v ( A x - b ) A ( A x - b ) 0
v
,TTA A x = A b
T - 1 Tx = ( A A ) A b
例 5.18 求超定方程组（ 5-14）的最小二解。
解,将方程组（ 5-14）写为矩阵形式其中可求得及
1 12
2
x xx
x
1 2 1 2A x = v,v v + v b
1 1 1
1 1,3
1 2 3
Ab
1 1 1
1 1 - 1 3 - 2 1 1 - 1 1* 1 - 1,* 3
1 - 1 2 - 2 6 1 - 1 2 4- 1 2 3
TTA A A b
1 3 - 2 1 0,4 3 8 6 0,1 4 2 9 1 1,0 0 0 2
**- 2 6 4 0,1 4 2 9 0,2 1 4 3 4 1,0 0 0 1
T - 1 Tx = ( A A ) A b
用 MATLAB求解，编成程序 ea518如下：
A=[1,1;1,?1;?1,2],b=[1;3;3]
xhat=inv(A’*A)*A’*b
e=A*xhat?b,norm(e)
运行此程序，得到
1,0 00 0
1,00 00
,3,00 00,
1,00 00
2,00 00
xe
2 2 2( ) = 1 ( 3 ) ( 2 ) = 3,7 4 1 7n o r me
5.8 应用实例
5.8.1 混凝土配料中的应用超强型 A 通用型 B 长寿型 C
水泥 c 20 18 12
水 w 10 10 10
沙 s 20 25 15
石 g 10 5 15
灰 f 0 2 8
（ 1）假如某客户要求的混凝土的五种成分为 16,10,21,9,4，试问 A,B,C三种类型应各占多少比例？如果客户总共需要 5000公斤混凝土，则三种类型各占多重？
（ 2）如果客户要求的成分为 16,12,19,9,4，
则这种材料能用 A,B,C三种类型配成吗？为什么？
解,从数学上看，这三种基本类型的混凝土相当于三个基向量,,：待配混凝土相当于两个合成向量,,其数值如下：
Av Bv Cv
1w 2w
现在的问题归结为,是否是,,
的线性组合？或,是否在,,所张成的向量空间内？解的思路是先分析三个基向量所张成的空间是几维?把,（或 ）加进去后维数是否没有增加？这就可以知道,
（或 ）是不是在,,张成的向量空间内。因为系统的阶数已达到 5，手工解太费时了，必须藉助于计算机，程序 ea581如下：
2 0 1 8 1 2 1 6 1 6
1 0 1 0 1 0 1 0 1 2
2 0,2 5,1 5,2 1,1 9,
1 0 5 1 5 9 9
0 2 8 4 4
A B C 1 2v v v w w
1w 2w A
v Bv Cv
1w 2w A
v Bv Cv
1w 2w
1w
2w Av Bv Cv
va=[20;10;20;10;0],vb=[18;10;25;5;2],
vc=[12;10;15;15;8]
w1=[16;10;21;9;4],w2=[16;12;19;8;4]
v=[va,vb,vc],rv=rank(v),
rvw1=rank([v,w1]),
rvw2=rank([v,w2]),
得出的结果是,rv=3,rvw1=3,rvw2=4。
这就意味着 是在,,张成的向量空间内，
而 则不是在,,张成的向量空间内。
所以 可以由三种基本类型的混凝土混合而成，但 则不行。
1w Av Bv Cv
2w Av
Bv Cv
1w
2w
为了计算 所需的混合比例，问题归结为解下列线性代数方程：
ka*va+kb*vb+kc*vc=
写成矩阵形式为为此，可对增广矩阵 [v,w1]作行阶梯变换，
求 U0=rref([v,w1])，得到
[ ] *
ka
kb
kc
va,vb,vc v K w 1
1w
1w
所以三种基本混凝土应按 16%,56%，
28%的比例调配，对于 5000公斤混凝土，
三种基本类型混凝土的用量分别为 800，
2800,1400公斤。
1 0 0 2 /25
0 1 0 1 4 /25
0 0 0 1 9 /25
0 0 0 0
0
U?
0 0 0
