第二章 矩阵运算及其应用
2.1 矩阵的加减乘法
2.2 矩阵的逆
2.3 矩阵的分块
2.4 初等矩阵
2.5 应用实例
2.6 习题
2.1 矩阵的加减乘法
2.1.1 矩阵的加法定义 2.1 设有两个同型的 矩阵
，,矩阵 A与矩阵 B的和 记作,
规定为：
nmij
mnaA
ij mnbB A +B
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A + B
若,把 记作,称为
A的负矩阵。显然有：
由此可定义 矩阵的减法 为：
ij mnaA nmijaA
A + -A O
A - B = A + -B
2.1.2 矩阵的数乘定义 2.2 数 与矩阵 的乘积,简称 数乘,记作 或,规定为
ij mnaA
A?A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
AA
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，
矩阵的线性运算满足下列运算规律（ A,B、
C是同型矩阵,,是数）
（ 1）加法交换律
（ 2）加法结合律
（ 3）
（ 4）
A + B = B + A
A + B + C = A + B + C
A + O = A
A + -A = O
（ 5）
（ 6）
（ 7）
（ 8）数乘分配律
A A A
A + B A B
1?A = A
A A A
2.1.3 矩阵的乘法定义 2.3 设 A是矩阵,B是矩阵,那么 矩阵 A
和矩阵 B的乘积 是一个矩阵 C,其中记作 C=AB
sjisjiji
s
k
kjikij babababac
2211
1
njmi,,2,1;,,2,1
由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等时，两个矩阵才能相乘。
乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘积之和，即：
ji,
ij
定义 2.4 对于变量,若它们都能由变量线性表示，即有：
（ 2-1）
则称此关系式为变量 到变量的 线性变换 。
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
2211
22221212
12121111
myyy?,,21
nxxx?,,21
nxxx,,,21? myyy,,,21?
可以写成输出向量 Y等于系数矩阵 A左乘输入向量 X：
1 1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2
12
n
n
m m m m n n
y a a a x
y a a a x
y a a a x
Y = A X
例 2.4 式（ 2-2）给出变量 到变量的线性变换；式（ 2-3）给出变量 到变量 的线性变换。请写出变量 到变量 的线性变换。
（ 2-2）
（ 2-3）
321,,xxx 21
,yy
21,tt
321,,xxx 21,tt
21,yy
3232221212
3132121111
xaxaxay
xaxaxay
2321313
2221212
2121111
tbtbx
tbtbx
tbtbx
解,方法一,代换法。
将式（ 2-3）代入式（ 2-2），得：
（ 2-4）
方法二,矩阵运算法。
根据矩阵乘法的定义，可以把式（ 2-2）和式（ 2-3）分别写为式（ 2-5）和式（ 2-6）
的矩阵等式：
232232222122113123212211212
232132212121113113211211111
tbababatbababay
tbababatbababay
（ 2-5）
（ 2-6）
把式（ 2-6）代入式（ 2-5）中，得：
1
11 12 131
2
21 22 232
3
x
a a ay
x
a a ay
x
1 11 12
1
2 21 22
2
3 31 32
x b b
t
x b b
t
x b b
1 1 1 2 1 31
2 1 2 2 2 32
a a ay
a a ay
1 1 1 2
1
2 1 2 2
2
3 1 3 2
bb
t
bb
t
bb
（ 2-7）
式（ 2-7）和式（ 2-4）等价。
通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变换中的运用。
1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 211
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 222
a b a b a b a b a b a byt
a b a b a b a b a b a b
有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性方程组（ 1-3）写为矩阵形式：
（ 2-8）
若用 A表示系数矩阵,X表示未知量构成的向量,b表示常数项所构成的向量，
则式（ 2-8）可以化简为,AX=b
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
例 2.5 已知,,
求 AB,BA
解,根据矩阵乘法定义，有：
1 2 1
3 4 0
2 5 6
A
1 0 2 0
1 0 3 0
58
B
AB=
1 2 1
3 4 0
2 5 6
10 20
10 30
58
1 10 2 ( 10 ) ( 1 ) ( 5 ) 1 20 2 30 ( 1 ) 8
3 10 4 ( 10 ) 0 ( 5 ) 3 20 4 30 0 8
( 2) 10 5 ( 10 ) 6 ( 5 ) ( 2) 20 5 30 6 8
由于矩阵有 2列，矩阵有 3行，所以 B不能左乘 A。
由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：
（ 1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下
（ 2）不能由,推出 或
5 7 2
1 0 1 8 0
1 0 0 1 5 8
AB BA
AB = O A = O B = O
（ 3）不能由,,推出在一般情况下有：
矩阵乘法满足下列运算规律：
（ 1）
（ 2）
A C = A B?AO B = C
2 2 2
22
(A + B ) A + 2 AB + B
(A + B )( A - B ) A - B
A B C = A B C
A B + C = A B + A C
A + B C = A C + B C
（ 3）,为数
（ 4）
（ 5）,,其中 为正整数,必须为方阵。
A B A B A B?
m n n m m n m nA I I A A
k l k lA A Al
k k l?AA lk,
A
2.1.4 矩阵的转置定义 2.5 设是 一个 矩阵,将矩阵 中的行换成同序数的列得到的一个矩阵,称为矩阵 的 转置矩阵,记作,
或 。
例如,,则
ija?A nm?
A mn?
A TA
A
153
2 9 4
A
12
59
34
T
A
矩阵转置满足以下运算规律
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
TT?AA
T TTA + B A B
T TAA
T TT?A B B A
在此只证明（ 4）
证明,设,,记
，,据矩阵乘法定义及矩阵转置定义知：
而 的第 行就是 的第 列，为：
,的第 列就是 的第 行，为：
，因而有
ij msaAij snbBij mncA B = C
TT ij nmdB A D
s
k
kjikij bac
1
TB j B j
sjjj bbb?,,21
TA i A i isii aaa?,,21
即得,亦即 。
定义 2.6 如果 n阶方阵 满足,则称为对称矩阵 。如果 n阶方阵 满足,则称为 反对称矩阵 。
显然反对称阵的主对角线上元素都是零。
issjijijji abababd2211
sjisjiji bababa2211
ijc?
njmi,,2,1;,,2,1
TC = D T TTA B = B A
TA = AA
A?TA = A
2.2 矩阵的逆
2.2.1 逆矩阵的定义定义 2.7 设 为 n阶方阵,若存在 n阶方阵
,使得,其中 为 n阶单位矩阵,则称 为 可逆矩阵 或 是 可逆的,并称为 的逆矩阵 。
如果 的逆矩阵为,记,显然,则的逆矩阵为,记,我们也称矩阵和矩阵 互逆 。
A B
nA B = B A = I nI
A A
AB
A
A
A
B
B
B -1A = B
-1B = A
例 2.7 设,,
,分析矩阵 和矩阵,矩阵和矩阵 的关系。
解：
12
13
A
32
11
B
3
6
9
C
1 / 3
1 / 6
1 / 9
D A B C
D
12
13
AB
12
13
10
01
BA 3 2 1 2
1 1 1 3
10
01
所以，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。
矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。
B
3
6
9
CD
1 / 3
1 / 6
1 / 9
1
1
1
1
1
1
C D
A
1 / 3 3
1 / 6 6
1 / 9 9
DC =
2.2.2 逆矩阵的性质性质 1 如果矩阵 可逆,则 的逆矩阵唯一性质 2 若 和 为同阶方阵,且满足则,即矩阵 和矩阵 互逆 。
性质 3 若 可逆,则 也可逆,且性质 4 若 可逆，数,则 可逆，
且性质 5 若,均为 阶可逆方阵，则 也可逆，且
A A
B AB = I
BA = I A B
A -1A-1-1A = A
A 0A
1 1 -1AA
A B n AB
-1 -1 -1A B = B A
A
性质 6 若 可逆，则 也可逆，且例 2.8 设方阵 满足,试证可逆，并求 。
解,根据已知条件，可以得到：
则有：
所以矩阵 可逆，且 。
A TA
1 1 TTAA
A 2A + 2 A - 5 I = O A
-1A
A A + 2 I = 5 I
A + 2 IA = I
5
A 2
5
-1
A + IA=
2.3 矩阵的分块在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩阵运算。
用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为的 子块,以子块为元素的矩阵，称为 分块矩阵 。
比如将 4× 3矩阵 分为
,,,
它们可分别表示为：
A
11 12
21 22
AA
AA
1 2 3A A A
11 12
21 22
31 32
AA
AA
AA
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
A A A
A A A
分块矩阵的运算与普通矩阵类似，
1．加法运算设,都是 矩阵，且将,按完全相同的方法分块：
A AB Bnm?
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
B B B
B B B
B
B B B
1 1 1 1 1 2 1 2 1 s 1 s
2 1 2 1 2 2 2 2 2 s 2 s
r 1 r 1 r 2 r 2 r s r s
A + B A + B A + B
A + B A + B A + B
A + B
A + B A + B A + B
2．数乘运算设,有：
3．乘法运算设 为 矩阵,为 矩阵，将它们分别分块成
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
A lm? B nl?
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
B B B
B B B
B
B B B
其中 的列数分别等于的行数,即 可以左乘
。
则有：
其中
i1 i2 i tA,A,,A 1j 2j t j
B,B,,B;,2,1 risj,,2,1
ikA
kjB1,2,; 1,2,,; 1,2,,i r j s k t
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
C C C
C C C
AB
C C C
1
t
k?
i j i1 1j i2 2j i t t j i k k jC = A B + A B + + A B A B
4．转置运算设 有：
注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内的元素位置转置，而且要要把子块本身的位置转置。
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A 2
T T T
T T T
T
T T T
1 1 2 1 s 1
1 2 2 2 s 2
1 r r s r
A A A
A A A
A
A A A
5．分块对角矩阵如果将方阵 分块后，有以下形式：
其中主对角线上的子块 均是方阵，而其余子块全是零矩阵，则称 为 分块对角矩阵,记为 。
A
1
2
r
A
A
A
A
iA
ri,,2,1
A
,d i a g? 1 2 rA A,A,A
设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵则有
r
2
1
A
A
A
A
r
2
1
B
B
B
B
rr
22
11
BA
BA
BA
AB
k
r
k
2
k
1
k
A
A
A
A
对于上面的分块矩阵,若对角线上的所有子块 都可逆，则有：
例 2.9 利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。
A
1 2 rA,A,,A
1
1
1
1
r
2
1
A
A
A
A
3443
2422
2622
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxx
解,线性方程组的矩阵表示为：
把系数矩阵按列分成 4块：
与常数矩阵 分别用向量 和向量来表示，则有：
3
2
2
4413
4212
6022
4
3
2
1
x
x
x
x
4
4
6
,
4
2
0
,
1
1
2
,
3
2
2
3
2
2
1 2 3 4α,α,α,α b
进而得到向量等式：
1
2
3
4
x
x
x
x
1 2 3 4α,α,α,α b
1 2 3 4x x x x1 2 3 4α α α α =b
2.4 初等矩阵定义 2.8 单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为 初等矩阵 或 初等方阵 。
前面介绍了三种初等变换，每一种初等变换，都有一个相对应的初等矩阵
（ 1）交换单位矩阵 的,两行（或,两列），得到的初等矩阵记为,即：
I
I i j ji
,ijE
（ 2-12）
1
1
01
1
,
1
10
1
1
i
ij
j
E
行行
（ 2）用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行
（或第 列），得到的初等矩阵记为,
即：
（ 2-13）
k I i
iikE
1
1
1
1
ik ki
E 行
（ 3）将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上
（或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上）
得到的初等矩阵记为,即：
（ 2-14）
I j
j
k
k
i
i
,i j kE
1
1
,
1
1
ki
i j k
j
E
行行例 2.10 设求,E1*A,E2*A,E3*A。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
A
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
E2
1 0 0
0 1 0
4 0 1
E3
解：
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
0 1 0 a a a a a a
1 0 0 a a a a a a
0 0 1 a a a a a a
A 1 = E1 * A
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 a a a a a a
0 4 0 a a a 4 a 4 a 4 a
0 0 1 a a a a a a
A 2 = E2 * A
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3
1 0 0 a a a a a a
0 1 0 a a a a a a
4 0 1 a a a a + 4a a + 4a a + 4a
A 3 = E3 * A
定理 2.1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，其结果等于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵。
A
A
A
A
A
nm?
m
n
定理 2.2 设 为 阶方阵，那么下面各命题等价：
（ 1） 是可逆矩阵；
（ 2）线性方程组 只有零解；
（ 3） 可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵 ；
（ 4） 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
A
A
A
A
n
Ax = O
nI
例 2.11 设判断,是否可逆，如果可逆，请求之。
解：
1 3 2
3 6 5
1 1 1
A
3 6 2
2 4 1
1 2 1
B
A B
IA?
1 3 - 2 1 0 0
- 3 - 6 5 0 1 0
1 1 - 1 0 0 1
13
12 3
rr
rr
1 3 2 1 0 0
0 3 1 3 1 0
0 2 1 1 0 1
22
32
1
rr
r
1 3 2 1 0 0
0 1 0.5 0.5 0 0.5
0 3 1 3 1 0
23
21
3
3
rr
rr
1 0 0,5 0,5 0 1,5
0 1 0,5 0,5 0 0,5
0 0 0,5 1,5 1 1,5
则矩阵 可逆，且其逆为：
32r
1 0 0,5 0,5 0 1,5
0 1 0,5 0,5 0 0,5
0 0 1 3 2 3
32
31
5.0
5.0
rr
rr
1 0 0 1 1 3
0 1 0 2 1 1
0 0 1 3 2 3
1 1 3
2 1 1
3 2 3
-1AA
BI
3 6 2 1 0 0
2 4 1 0 1 0
1 2 1 0 0 1
31 rr?
1 2 1 0 0 1
2 4 1 0 1 0
3 6 2 1 0 0
显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩阵，则矩阵 不可逆。 是降秩的。它通过初等行变换，可以化出一个零行，则其秩为 2。
故当 A不可逆时,(2-15)式应改为：
其中是 秩为 r的 n× n方阵,r<n。即它有 r个非零行和 n-r个零行。
13
12
3
2
rr
rr
1 2 1 0 0 1
0 0 1 0 1 2
0 0 1 1 0 3
2
23
1r
rr
1 2 1 0 0 1
0 0 1 0 1 2
0 0 0 1 1 1
B
B B
s 2 1 rE E E A U 0
rU0
2.5 应用实例
2.5.1 成本核算问题例 2.12 某厂生产三种产品,每件产品的成本及每季度生产件数如表 2.6及表 2.7所示 。 试提供该厂每季度的总成本分类表 。
表 2.6 每件产品分类成本成本 (元 ) 产品 A 产品 B 产品 C
原材料 0.10 0.30 0.15
劳动 0.30 0.40 0.25
企业管理费 0.10 0.20 0.15
表 2.7 每季度产品分类件数解,用矩阵来描述此问题，设产品分类成本矩阵为,季度产量矩阵为,则有：
产品 夏 秋 冬 春
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2800 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000
M P
0.10 0.30 0.15
0.30 0.40 0.25,
0.10 0.20 0.15
M
40 00 45 00 45 00 40 00
20 00 28 00 24 00 22 00
58 00 62 00 60 00 60 00
P
令,则 的第一行第一列元素为：
(1,1)=0.1× 4000+0.3× 2000+0.15× 5800=1870
不难看出，它表示了夏季消耗的原材料总成本。
在 Matlab环境下，键入：
>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];
>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,
6200,6000,6000];
>>Q=M*P
Q = 1870 2220 2070 1960
3450 4020 3810 3580
1670 1940 1830 1740
Q = M P Q
Q
为了进一步计算矩阵 Q的每一行和每一列的和，可以继续键入：
>>Q*ones(4,1)
ans = 8120
14860
7180
>>ones(1,3)*Q
ans = 6990 8180 7710 7280
并可以继续算出全年的总成本：
>>ans*ones(4,1)
ans =30160
根据以上计算结果，可以完成每季度总成本分类表，如表 2.8所示。
表 2.8 每季度总成本分类表成本（元） 夏 秋 冬 春 全年原材料 1870 2220 2070 1960 8120
劳动 3450 4020 3810 3580 14860
企业管理费 1670 1940 1830 1740 7180
总成本（元） 6990 8180 7710 7280 30160
2.5.2 特殊矩阵的生成例 2.13 在 Matlab环境下生成矩阵 X：
矩阵 X有相同的 10行,每一行都是公差为 1的等差数列 。
解,令则,就实现了矩阵赋值 。
1090910
1090910
1090910
2110
X
1T2 vvX?
10
[ 1 0,9,,9,1 0 ],[ 1,1,,1,1 ]12vv
键入 MATLAB语句：
>> v1= -10:10; v2=ones(1,10)
>> X=v2'*v1
例 2.14 在 Matlab环境下生成范德蒙矩阵。
解,这里用了 Matlab的符号运算功能。键入：
>>syms x1 x2 x3 x4 real % 令 x1 x2 x3 x4为实数符号变量
>>x=[x1,x2,x3,x4]; y=0:3;
>>A= x'*ones(1,4)
>>B=(ones(4,1)*y
>>V=A.^B % 两个方阵的元素群求幂程序的运行结果为：
Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数 vander.m
是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。
x 1,x 1,x 1,x 1 0 1 2 3 1 x 1 x 1^ 2 x 1^ 3
x 2,x 2,x 2,x 2 0 1 2 3 1 x 2 x
A =,B =,V =
x 3,x 3,x 3,x 3 0 1 2 3
x 4,x 4,x 4,x 4 0 1 2 3
2^ 2 x 2^ 3
1 x3 x 3^ 2 x 3^ 3
1 x4 x 4^ 2 x 4^ 3
2.5.3 逆矩阵的求解例 2.15 设 试求其逆阵解,当矩阵的阶数较高时,利用 Matlab辅助计算就尤显重要 。 用 Matlab来求矩阵的逆,
其方法很多 。 首先在 Matlab环境下键入：
>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5; -3,1,4,-9;1,-3,4,-4];
3 0 3 6
5 1 1 5
3 1 4 9
1 3 4 4
A
方法 1,A^-1,
方法 2,inv(A),
方法 3,A\eye(4),
方法 4,U=rref([A,eye(4)]); U(:,5:8)
运行结果都为：
ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404
0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.2525
0.5859 -0.4747 -0.1717 0.1010
0.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303
例 2.16 求矩阵 的逆。
解,矩阵求逆命令 inv也可以用符号变量。在
Matlab环境下，键入：
>>syms a b c d,A=[a,b;c,d],V=inv(A)
结果为：
V = [ d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]
ab
cd
A
2.5.4 图及其矩阵表述例如，图 2.1为 1,2,3,4四个城市之间的空运航线的有向图。
图 2.1 航线图它可以用下列航路矩阵表示,0 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
A1
2.5.5 网络的矩阵分割和连接在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络“黑盒子”
来表示。“黑盒子”的输入为 u1,i1，输出为
u2,i2，其输入输出关系用矩阵 A来表示（如图 2.2所示）：
图 2.2 单个子网络模型
21
21
uu
A
ii
以图 2.3为例，把两个电阻组成的分压电路分成两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻 R1，第二个子网络包含电阻 R2，列出第一个子网络的电路方程为：
图 2.3 两个子网络串联模型
2 1 2 1 1 1,i i u u i R
写成矩阵方程为：
同样可列出第二个子网络的电路方程，
写成矩阵方程为：
2 1 1 1
1
2 1 1
1
01
u R u uA
i i i
3 2 2 2 3 2/,i i u R u u
3 2 2
2
3 2 2 2
10
1 / 1
u u uA
i R i i
从上分别得到两个子网络的传输矩阵整个电路的传输矩阵为两者的乘积
1
12
2
1 1 0,
0 1 1 / 1
RAA
R
11
12
2 2 1 2
1 1 0 1
0 1 1 / 1 1 / 1 /
RRA A A
R R R R
2.5.6 弹性梁的柔度矩阵设简支梁如图 2.4所示,在梁的三个位置分别施加力 f1,f2和 f3后,在该处产生的综合变形
（ 通常称为挠度 ） 为图示的 y1,y2和 y3。
图 2.4 简支梁在三个点的力和变形（挠度）
根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，
三个力与它引起的三个变形都呈线性关系，可以写成矩阵形式：
用向量和矩阵符号表示为,y?Df
D中的各元素为挠度元素，这些元素的值越大表明这个梁愈柔软，所以矩阵 D被称作柔度矩阵。
柔度矩阵 D的逆就是刚度矩阵 K。
1 1 1 1 2 1 3 1
2 2 1 2 2 2 3 2
3 3 1 3 2 3 3 3
y d d d f
y d d d f
y d d d f
2.1 矩阵的加减乘法
2.2 矩阵的逆
2.3 矩阵的分块
2.4 初等矩阵
2.5 应用实例
2.6 习题
2.1 矩阵的加减乘法
2.1.1 矩阵的加法定义 2.1 设有两个同型的 矩阵
，,矩阵 A与矩阵 B的和 记作,
规定为：
nmij
mnaA
ij mnbB A +B
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A + B
若,把 记作,称为
A的负矩阵。显然有：
由此可定义 矩阵的减法 为：
ij mnaA nmijaA
A + -A O
A - B = A + -B
2.1.2 矩阵的数乘定义 2.2 数 与矩阵 的乘积,简称 数乘,记作 或,规定为
ij mnaA
A?A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
AA
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，
矩阵的线性运算满足下列运算规律（ A,B、
C是同型矩阵,,是数）
（ 1）加法交换律
（ 2）加法结合律
（ 3）
（ 4）
A + B = B + A
A + B + C = A + B + C
A + O = A
A + -A = O
（ 5）
（ 6）
（ 7）
（ 8）数乘分配律
A A A
A + B A B
1?A = A
A A A
2.1.3 矩阵的乘法定义 2.3 设 A是矩阵,B是矩阵,那么 矩阵 A
和矩阵 B的乘积 是一个矩阵 C,其中记作 C=AB
sjisjiji
s
k
kjikij babababac
2211
1
njmi,,2,1;,,2,1
由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等时，两个矩阵才能相乘。
乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘积之和，即：
ji,
ij
定义 2.4 对于变量,若它们都能由变量线性表示，即有：
（ 2-1）
则称此关系式为变量 到变量的 线性变换 。
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
2211
22221212
12121111
myyy?,,21
nxxx?,,21
nxxx,,,21? myyy,,,21?
可以写成输出向量 Y等于系数矩阵 A左乘输入向量 X：
1 1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2
12
n
n
m m m m n n
y a a a x
y a a a x
y a a a x
Y = A X
例 2.4 式（ 2-2）给出变量 到变量的线性变换；式（ 2-3）给出变量 到变量 的线性变换。请写出变量 到变量 的线性变换。
（ 2-2）
（ 2-3）
321,,xxx 21
,yy
21,tt
321,,xxx 21,tt
21,yy
3232221212
3132121111
xaxaxay
xaxaxay
2321313
2221212
2121111
tbtbx
tbtbx
tbtbx
解,方法一,代换法。
将式（ 2-3）代入式（ 2-2），得：
（ 2-4）
方法二,矩阵运算法。
根据矩阵乘法的定义，可以把式（ 2-2）和式（ 2-3）分别写为式（ 2-5）和式（ 2-6）
的矩阵等式：
232232222122113123212211212
232132212121113113211211111
tbababatbababay
tbababatbababay
（ 2-5）
（ 2-6）
把式（ 2-6）代入式（ 2-5）中，得：
1
11 12 131
2
21 22 232
3
x
a a ay
x
a a ay
x
1 11 12
1
2 21 22
2
3 31 32
x b b
t
x b b
t
x b b
1 1 1 2 1 31
2 1 2 2 2 32
a a ay
a a ay
1 1 1 2
1
2 1 2 2
2
3 1 3 2
bb
t
bb
t
bb
（ 2-7）
式（ 2-7）和式（ 2-4）等价。
通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变换中的运用。
1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 211
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 222
a b a b a b a b a b a byt
a b a b a b a b a b a b
有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性方程组（ 1-3）写为矩阵形式：
（ 2-8）
若用 A表示系数矩阵,X表示未知量构成的向量,b表示常数项所构成的向量，
则式（ 2-8）可以化简为,AX=b
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
例 2.5 已知,,
求 AB,BA
解,根据矩阵乘法定义，有：
1 2 1
3 4 0
2 5 6
A
1 0 2 0
1 0 3 0
58
B
AB=
1 2 1
3 4 0
2 5 6
10 20
10 30
58
1 10 2 ( 10 ) ( 1 ) ( 5 ) 1 20 2 30 ( 1 ) 8
3 10 4 ( 10 ) 0 ( 5 ) 3 20 4 30 0 8
( 2) 10 5 ( 10 ) 6 ( 5 ) ( 2) 20 5 30 6 8
由于矩阵有 2列，矩阵有 3行，所以 B不能左乘 A。
由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：
（ 1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下
（ 2）不能由,推出 或
5 7 2
1 0 1 8 0
1 0 0 1 5 8
AB BA
AB = O A = O B = O
（ 3）不能由,,推出在一般情况下有：
矩阵乘法满足下列运算规律：
（ 1）
（ 2）
A C = A B?AO B = C
2 2 2
22
(A + B ) A + 2 AB + B
(A + B )( A - B ) A - B
A B C = A B C
A B + C = A B + A C
A + B C = A C + B C
（ 3）,为数
（ 4）
（ 5）,,其中 为正整数,必须为方阵。
A B A B A B?
m n n m m n m nA I I A A
k l k lA A Al
k k l?AA lk,
A
2.1.4 矩阵的转置定义 2.5 设是 一个 矩阵,将矩阵 中的行换成同序数的列得到的一个矩阵,称为矩阵 的 转置矩阵,记作,
或 。
例如,,则
ija?A nm?
A mn?
A TA
A
153
2 9 4
A
12
59
34
T
A
矩阵转置满足以下运算规律
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
TT?AA
T TTA + B A B
T TAA
T TT?A B B A
在此只证明（ 4）
证明,设,,记
，,据矩阵乘法定义及矩阵转置定义知：
而 的第 行就是 的第 列，为：
,的第 列就是 的第 行，为：
，因而有
ij msaAij snbBij mncA B = C
TT ij nmdB A D
s
k
kjikij bac
1
TB j B j
sjjj bbb?,,21
TA i A i isii aaa?,,21
即得,亦即 。
定义 2.6 如果 n阶方阵 满足,则称为对称矩阵 。如果 n阶方阵 满足,则称为 反对称矩阵 。
显然反对称阵的主对角线上元素都是零。
issjijijji abababd2211
sjisjiji bababa2211
ijc?
njmi,,2,1;,,2,1
TC = D T TTA B = B A
TA = AA
A?TA = A
2.2 矩阵的逆
2.2.1 逆矩阵的定义定义 2.7 设 为 n阶方阵,若存在 n阶方阵
,使得,其中 为 n阶单位矩阵,则称 为 可逆矩阵 或 是 可逆的,并称为 的逆矩阵 。
如果 的逆矩阵为,记,显然,则的逆矩阵为,记,我们也称矩阵和矩阵 互逆 。
A B
nA B = B A = I nI
A A
AB
A
A
A
B
B
B -1A = B
-1B = A
例 2.7 设,,
,分析矩阵 和矩阵,矩阵和矩阵 的关系。
解：
12
13
A
32
11
B
3
6
9
C
1 / 3
1 / 6
1 / 9
D A B C
D
12
13
AB
12
13
10
01
BA 3 2 1 2
1 1 1 3
10
01
所以，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。
矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。
B
3
6
9
CD
1 / 3
1 / 6
1 / 9
1
1
1
1
1
1
C D
A
1 / 3 3
1 / 6 6
1 / 9 9
DC =
2.2.2 逆矩阵的性质性质 1 如果矩阵 可逆,则 的逆矩阵唯一性质 2 若 和 为同阶方阵,且满足则,即矩阵 和矩阵 互逆 。
性质 3 若 可逆,则 也可逆,且性质 4 若 可逆，数,则 可逆，
且性质 5 若,均为 阶可逆方阵，则 也可逆，且
A A
B AB = I
BA = I A B
A -1A-1-1A = A
A 0A
1 1 -1AA
A B n AB
-1 -1 -1A B = B A
A
性质 6 若 可逆，则 也可逆，且例 2.8 设方阵 满足,试证可逆，并求 。
解,根据已知条件，可以得到：
则有：
所以矩阵 可逆，且 。
A TA
1 1 TTAA
A 2A + 2 A - 5 I = O A
-1A
A A + 2 I = 5 I
A + 2 IA = I
5
A 2
5
-1
A + IA=
2.3 矩阵的分块在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩阵运算。
用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为的 子块,以子块为元素的矩阵，称为 分块矩阵 。
比如将 4× 3矩阵 分为
,,,
它们可分别表示为：
A
11 12
21 22
AA
AA
1 2 3A A A
11 12
21 22
31 32
AA
AA
AA
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
A A A
A A A
分块矩阵的运算与普通矩阵类似，
1．加法运算设,都是 矩阵，且将,按完全相同的方法分块：
A AB Bnm?
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
B B B
B B B
B
B B B
1 1 1 1 1 2 1 2 1 s 1 s
2 1 2 1 2 2 2 2 2 s 2 s
r 1 r 1 r 2 r 2 r s r s
A + B A + B A + B
A + B A + B A + B
A + B
A + B A + B A + B
2．数乘运算设,有：
3．乘法运算设 为 矩阵,为 矩阵，将它们分别分块成
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
A lm? B nl?
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
B B B
B B B
B
B B B
其中 的列数分别等于的行数,即 可以左乘
。
则有：
其中
i1 i2 i tA,A,,A 1j 2j t j
B,B,,B;,2,1 risj,,2,1
ikA
kjB1,2,; 1,2,,; 1,2,,i r j s k t
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
C C C
C C C
AB
C C C
1
t
k?
i j i1 1j i2 2j i t t j i k k jC = A B + A B + + A B A B
4．转置运算设 有：
注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内的元素位置转置，而且要要把子块本身的位置转置。
1 1 1 2 1 s
2 1 2 2 2 s
r 1 r 2 r s
A A A
A A A
A
A A A 2
T T T
T T T
T
T T T
1 1 2 1 s 1
1 2 2 2 s 2
1 r r s r
A A A
A A A
A
A A A
5．分块对角矩阵如果将方阵 分块后，有以下形式：
其中主对角线上的子块 均是方阵，而其余子块全是零矩阵，则称 为 分块对角矩阵,记为 。
A
1
2
r
A
A
A
A
iA
ri,,2,1
A
,d i a g? 1 2 rA A,A,A
设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵则有
r
2
1
A
A
A
A
r
2
1
B
B
B
B
rr
22
11
BA
BA
BA
AB
k
r
k
2
k
1
k
A
A
A
A
对于上面的分块矩阵,若对角线上的所有子块 都可逆，则有：
例 2.9 利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。
A
1 2 rA,A,,A
1
1
1
1
r
2
1
A
A
A
A
3443
2422
2622
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxx
解,线性方程组的矩阵表示为：
把系数矩阵按列分成 4块：
与常数矩阵 分别用向量 和向量来表示，则有：
3
2
2
4413
4212
6022
4
3
2
1
x
x
x
x
4
4
6
,
4
2
0
,
1
1
2
,
3
2
2
3
2
2
1 2 3 4α,α,α,α b
进而得到向量等式：
1
2
3
4
x
x
x
x
1 2 3 4α,α,α,α b
1 2 3 4x x x x1 2 3 4α α α α =b
2.4 初等矩阵定义 2.8 单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为 初等矩阵 或 初等方阵 。
前面介绍了三种初等变换，每一种初等变换，都有一个相对应的初等矩阵
（ 1）交换单位矩阵 的,两行（或,两列），得到的初等矩阵记为,即：
I
I i j ji
,ijE
（ 2-12）
1
1
01
1
,
1
10
1
1
i
ij
j
E
行行
（ 2）用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行
（或第 列），得到的初等矩阵记为,
即：
（ 2-13）
k I i
iikE
1
1
1
1
ik ki
E 行
（ 3）将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上
（或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上）
得到的初等矩阵记为,即：
（ 2-14）
I j
j
k
k
i
i
,i j kE
1
1
,
1
1
ki
i j k
j
E
行行例 2.10 设求,E1*A,E2*A,E3*A。
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
A
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
E2
1 0 0
0 1 0
4 0 1
E3
解：
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
0 1 0 a a a a a a
1 0 0 a a a a a a
0 0 1 a a a a a a
A 1 = E1 * A
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 a a a a a a
0 4 0 a a a 4 a 4 a 4 a
0 0 1 a a a a a a
A 2 = E2 * A
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3
1 0 0 a a a a a a
0 1 0 a a a a a a
4 0 1 a a a a + 4a a + 4a a + 4a
A 3 = E3 * A
定理 2.1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，其结果等于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵。
A
A
A
A
A
nm?
m
n
定理 2.2 设 为 阶方阵，那么下面各命题等价：
（ 1） 是可逆矩阵；
（ 2）线性方程组 只有零解；
（ 3） 可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵 ；
（ 4） 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
A
A
A
A
n
Ax = O
nI
例 2.11 设判断,是否可逆，如果可逆，请求之。
解：
1 3 2
3 6 5
1 1 1
A
3 6 2
2 4 1
1 2 1
B
A B
IA?
1 3 - 2 1 0 0
- 3 - 6 5 0 1 0
1 1 - 1 0 0 1
13
12 3
rr
rr
1 3 2 1 0 0
0 3 1 3 1 0
0 2 1 1 0 1
22
32
1
rr
r
1 3 2 1 0 0
0 1 0.5 0.5 0 0.5
0 3 1 3 1 0
23
21
3
3
rr
rr
1 0 0,5 0,5 0 1,5
0 1 0,5 0,5 0 0,5
0 0 0,5 1,5 1 1,5
则矩阵 可逆，且其逆为：
32r
1 0 0,5 0,5 0 1,5
0 1 0,5 0,5 0 0,5
0 0 1 3 2 3
32
31
5.0
5.0
rr
rr
1 0 0 1 1 3
0 1 0 2 1 1
0 0 1 3 2 3
1 1 3
2 1 1
3 2 3
-1AA
BI
3 6 2 1 0 0
2 4 1 0 1 0
1 2 1 0 0 1
31 rr?
1 2 1 0 0 1
2 4 1 0 1 0
3 6 2 1 0 0
显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩阵，则矩阵 不可逆。 是降秩的。它通过初等行变换，可以化出一个零行，则其秩为 2。
故当 A不可逆时,(2-15)式应改为：
其中是 秩为 r的 n× n方阵,r<n。即它有 r个非零行和 n-r个零行。
13
12
3
2
rr
rr
1 2 1 0 0 1
0 0 1 0 1 2
0 0 1 1 0 3
2
23
1r
rr
1 2 1 0 0 1
0 0 1 0 1 2
0 0 0 1 1 1
B
B B
s 2 1 rE E E A U 0
rU0
2.5 应用实例
2.5.1 成本核算问题例 2.12 某厂生产三种产品,每件产品的成本及每季度生产件数如表 2.6及表 2.7所示 。 试提供该厂每季度的总成本分类表 。
表 2.6 每件产品分类成本成本 (元 ) 产品 A 产品 B 产品 C
原材料 0.10 0.30 0.15
劳动 0.30 0.40 0.25
企业管理费 0.10 0.20 0.15
表 2.7 每季度产品分类件数解,用矩阵来描述此问题，设产品分类成本矩阵为,季度产量矩阵为,则有：
产品 夏 秋 冬 春
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2800 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000
M P
0.10 0.30 0.15
0.30 0.40 0.25,
0.10 0.20 0.15
M
40 00 45 00 45 00 40 00
20 00 28 00 24 00 22 00
58 00 62 00 60 00 60 00
P
令,则 的第一行第一列元素为：
(1,1)=0.1× 4000+0.3× 2000+0.15× 5800=1870
不难看出，它表示了夏季消耗的原材料总成本。
在 Matlab环境下，键入：
>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];
>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,
6200,6000,6000];
>>Q=M*P
Q = 1870 2220 2070 1960
3450 4020 3810 3580
1670 1940 1830 1740
Q = M P Q
Q
为了进一步计算矩阵 Q的每一行和每一列的和，可以继续键入：
>>Q*ones(4,1)
ans = 8120
14860
7180
>>ones(1,3)*Q
ans = 6990 8180 7710 7280
并可以继续算出全年的总成本：
>>ans*ones(4,1)
ans =30160
根据以上计算结果，可以完成每季度总成本分类表，如表 2.8所示。
表 2.8 每季度总成本分类表成本（元） 夏 秋 冬 春 全年原材料 1870 2220 2070 1960 8120
劳动 3450 4020 3810 3580 14860
企业管理费 1670 1940 1830 1740 7180
总成本（元） 6990 8180 7710 7280 30160
2.5.2 特殊矩阵的生成例 2.13 在 Matlab环境下生成矩阵 X：
矩阵 X有相同的 10行,每一行都是公差为 1的等差数列 。
解,令则,就实现了矩阵赋值 。
1090910
1090910
1090910
2110
X
1T2 vvX?
10
[ 1 0,9,,9,1 0 ],[ 1,1,,1,1 ]12vv
键入 MATLAB语句：
>> v1= -10:10; v2=ones(1,10)
>> X=v2'*v1
例 2.14 在 Matlab环境下生成范德蒙矩阵。
解,这里用了 Matlab的符号运算功能。键入：
>>syms x1 x2 x3 x4 real % 令 x1 x2 x3 x4为实数符号变量
>>x=[x1,x2,x3,x4]; y=0:3;
>>A= x'*ones(1,4)
>>B=(ones(4,1)*y
>>V=A.^B % 两个方阵的元素群求幂程序的运行结果为：
Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数 vander.m
是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。
x 1,x 1,x 1,x 1 0 1 2 3 1 x 1 x 1^ 2 x 1^ 3
x 2,x 2,x 2,x 2 0 1 2 3 1 x 2 x
A =,B =,V =
x 3,x 3,x 3,x 3 0 1 2 3
x 4,x 4,x 4,x 4 0 1 2 3
2^ 2 x 2^ 3
1 x3 x 3^ 2 x 3^ 3
1 x4 x 4^ 2 x 4^ 3
2.5.3 逆矩阵的求解例 2.15 设 试求其逆阵解,当矩阵的阶数较高时,利用 Matlab辅助计算就尤显重要 。 用 Matlab来求矩阵的逆,
其方法很多 。 首先在 Matlab环境下键入：
>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5; -3,1,4,-9;1,-3,4,-4];
3 0 3 6
5 1 1 5
3 1 4 9
1 3 4 4
A
方法 1,A^-1,
方法 2,inv(A),
方法 3,A\eye(4),
方法 4,U=rref([A,eye(4)]); U(:,5:8)
运行结果都为：
ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404
0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.2525
0.5859 -0.4747 -0.1717 0.1010
0.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303
例 2.16 求矩阵 的逆。
解,矩阵求逆命令 inv也可以用符号变量。在
Matlab环境下，键入：
>>syms a b c d,A=[a,b;c,d],V=inv(A)
结果为：
V = [ d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]
ab
cd
A
2.5.4 图及其矩阵表述例如，图 2.1为 1,2,3,4四个城市之间的空运航线的有向图。
图 2.1 航线图它可以用下列航路矩阵表示,0 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
A1
2.5.5 网络的矩阵分割和连接在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络“黑盒子”
来表示。“黑盒子”的输入为 u1,i1，输出为
u2,i2，其输入输出关系用矩阵 A来表示（如图 2.2所示）：
图 2.2 单个子网络模型
21
21
uu
A
ii
以图 2.3为例，把两个电阻组成的分压电路分成两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻 R1，第二个子网络包含电阻 R2，列出第一个子网络的电路方程为：
图 2.3 两个子网络串联模型
2 1 2 1 1 1,i i u u i R
写成矩阵方程为：
同样可列出第二个子网络的电路方程，
写成矩阵方程为：
2 1 1 1
1
2 1 1
1
01
u R u uA
i i i
3 2 2 2 3 2/,i i u R u u
3 2 2
2
3 2 2 2
10
1 / 1
u u uA
i R i i
从上分别得到两个子网络的传输矩阵整个电路的传输矩阵为两者的乘积
1
12
2
1 1 0,
0 1 1 / 1
RAA
R
11
12
2 2 1 2
1 1 0 1
0 1 1 / 1 1 / 1 /
RRA A A
R R R R
2.5.6 弹性梁的柔度矩阵设简支梁如图 2.4所示,在梁的三个位置分别施加力 f1,f2和 f3后,在该处产生的综合变形
（ 通常称为挠度 ） 为图示的 y1,y2和 y3。
图 2.4 简支梁在三个点的力和变形（挠度）
根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，
三个力与它引起的三个变形都呈线性关系，可以写成矩阵形式：
用向量和矩阵符号表示为,y?Df
D中的各元素为挠度元素，这些元素的值越大表明这个梁愈柔软，所以矩阵 D被称作柔度矩阵。
柔度矩阵 D的逆就是刚度矩阵 K。
1 1 1 1 2 1 3 1
2 2 1 2 2 2 3 2
3 3 1 3 2 3 3 3
y d d d f
y d d d f
y d d d f
