第三章 行列式
3.1 行列式的定义
3.2 行列式的性质及应用
3.3 克莱姆 （ Cramer） 法则
3.4 行列式的计算
3.5 应用实例
3.6 习题
3.1 行列式的定义
3.1.1 二、三阶行列式的定义引入记号：,称它为 二阶行列式其值规定为：
2221
1211
aa
aa
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
把 的连线称为二阶行列式的主对角线，
把 的连线称为二阶行列式的副对角线，
那么 二阶行列式的值就等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积 。
例 3.2 在平面上有一个平行四边形 OACB，
A,B两点的坐标分别为：,,如图
3.1所示，求平行四边形 OACB的面积。
2211,aa
2112,aa
11,ba22,ba
图 3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积解,过点 A做 x轴垂线，交 x轴于点 E；过点 B
做平行 x轴直线与过点 C做平行 y轴直线相交于点 D。显然可以得到三角形 CDB和三角形 AEO
全等，则有：
（ 3-2）
B ( a 2,b 2 )
C
O
A ( a 1,b 1 )
x
y
E
D
1221 babaSSSSSSS A E D CO E D BA E D CAEOC D BO E D BO A C B
根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以 A,B两点坐标所构成的二阶行列式：
例 3.3 求下面三元线性方程组的解：
22
11
ba
ba
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
解,利用消元法可以得到：
（ 3-3）
当 之前的系数不为零时，可以解出 的值但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式的定义，我们称：
是一个 三阶行列式
1322311332112312213322113312312332211 xaaaaaaaaaaaaaaaaaa
322313321232213322133231233221 aabababaaababaaaab
1x 1x
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
其值规定为：
（ 3-4）
图 3.2给出了它的图示计算规则（称为 沙路法 ）。
图 3.2 三阶行列式的计算规则
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
有了三阶行列式的定义，我们可以把式（ 3-
3）写为：
当方程组（ 3-2）的系数行列式时，可以得到它的解。
33323
23222
13121
1
333231
232221
131211
aab
aab
aab
x
aaa
aaa
aaa
0
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
3.1.2 n阶行列式的定义把三阶行列式定义式（ 3-4）改写为如下形式：
则有：
（ 3-5）
312232211331233321123223332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
定义 3.1 在 n阶行列式中，划去元素 所在的第 i行和第 j列元素后，余下的元素按原来次序构成的 n-1阶行列式，称为元素 的 余子式记作,称为元素 的 代数余子式 。
根据定义 3.1，可以把式（ 3-5）变为：
jia
jia
jiM jia
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
定义 3.2 由 个数组成的 阶行列式是一个算式，当 时，；当 时，
（ 3-6）
2n n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1?n
11aD?
2?n
n
k
kknn AaAaAaAaD
1
111112121111?
3.1.3 行列式定义的进一步讨论定义 3.3 由 n个自然数 1,2,3,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n元排列 。
例如,1 2 3,132,213,231,312,321都是 3元排列。
在 n元排列的 n！个排列中,123…n 是唯一一个按从小到大排列的 n元排列，称为 标准排列
（或 自然排列 ）
定义 3.4 一个排列中任两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个 逆序 。一个排列中逆序的总数，称为这个排列的 逆序数 。
排列的逆序数记为例如，五元排列 25341,1和 2,5,3,4有四个逆序,4和 5有一个逆序,3和 5有一个逆序，则排列 25341的逆序数为 4＋ 1＋ 1＝ 6。
niii?,,21
定义 3.5 （行列式的另一种定义方法）,
由 个数组成的 阶行列式：
(3-7)
其中 是一个 n元排列,表示对所有 n元排列（ n！个）求和。
2n n
n
n
n
ppp
nppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
21
21
22221
11211
1
nppp?21?
nppp?21
例 3.4 写出四阶行列式中含有 的项。
解,四阶行列式共有 24项，其中含有 的项为：,我们只要分析列标排列
1x2y的各种情况，显然有 1324和 1423两种情况,1324逆序数为 1,1423逆序数为 2，
则四阶行列式中含有 的项为：
和 。
3211aa
3211aa
yx aaaa 432211
3211aa
44322311 aaaa? 43322411 aaaa
3.1.4 矩阵与行列式的关系矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即它是一个值。
在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素相等。
而两个行列式是否相等，只需分析其值是否相等。
矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而行列式是由一对竖线括起。
矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式的行数与列数必须相等。
当讨论的矩阵 A是方阵时，把 A的一对方括号去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我们把这个行列式称为 方阵 A的行列式,
记作,或 。
Adet A
例 3.5
证明 n阶下三角矩阵的行列式 。
证明,用数学归纳法证明，当,
时，结论显然成立。
假设结论对 阶下三角行列式成立，则由定义 3.2得：
nnnn
aaa
aa
a
21
2221
11
n
A
nnaaa?2211d e t?nA
1?n 2?n
1?n
右端行列式是 阶下三角行列式，根据归纳假设得：
同理可证,n阶对角矩阵的行列式（也称 n阶对角行列式）
1?n
nnnnnnnn aaa
aa
a
a
aaa
aa
a
32
3332
22
11
11
21
2221
11
1d e t
nA
nnaaa?2211d e t?nA
nn
nn
aaa
a
a
a
2211
22
11
3.1.5 行列式按行（列）展开定理 3.1 n阶行列式 D等于它的任一行（列）
的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,
即：
或,
n
k
ikikininiiii AaAaAaAaD
1
2211?
ni,,2,1
n
k
kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaD
1
2211?
nj,,2,1
例 3.6 计算行列式解,此行列式第 3列只有一个非零元素，故应把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式中的第 3列又只有一个非零元素，再得：
0011
1532
0023
6012
D
1 5 0121330
11
23
165
011
023
612
15 3133
D
3.2 行列式的性质及应用
3.2.1 行列式的性质性质 1 行列式 与它的转置行列式 相等。
行列式的转置和矩阵的转置概念相同。
如：
D TD
862
540
321
853
642
201
T
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
如：
推论 1 如果行列式有两行（列）完全相同，
则此行列式为零。
推论 2 n阶行列式 D的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
n
k
jkikjninjiji AaAaAaAa
1
2211 0?
ji?
或：
例 3.7 已知四阶行列式,
求,（其中 为行列式 D
的代数余子式）。
解,可以先求出行列式 D的第四行各元素的代数余子式，然后再进一步求得题目的答案。
也可以利用代数余子式的性质来分析此题。
0
1
2211
n
k
kjkinjnijiji AaAaAaAaji?
44434241 432 AAAA ij
构造行列式,行列式 按第四行的展开式，刚好就是
1D
44434241 432 AAAA
4321
0200
00612
0102
1
D
96
612
02
124
200
0612
102
14 3344
34
＝＝
展按展按 rc
性质 3 用数 k乘以行列式 D，等于 D中某一行
（列）的所有元素同乘以数 k。
如下等式中，把数 3乘到了行列式的第二列中：
推论 1 行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。
推论 2 如果行列式的任意两行（列）对应元素成比例，则行列式为零。
下列行列式的第一行和第三行所有对应元素成比例，故知：
性质 4 行列式可以按某一行（列）拆分成两个行列式之和。
0
0197
129153
6722
86102
具体拆分方法用 4阶行列式说明如下：
性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变。如：
3.2.2 方阵行列式的性质设 A,B为 n阶方阵,k是数，根据行列式的性质可以得到方阵的行列式有如下性质：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
AA T?
AA nkk?
BAAB?
kkA = A
11 AA
3.2.3 方阵可逆的充要条件定义 3.6 设矩阵,且 的代数余子式为,则称矩 为 的 伴随矩阵 。 记为,或 。
ija
ijA
A
adj(A) *A
伴随矩阵的重要性质,
定理 3.2 n阶方阵 为可逆矩阵的充要条件是 。当 可逆时,。
证,充分性，当 时，
知 故结论成立；
必要性,设 可逆，有,两边同取行列式,故
A a d j ( A ) a d j ( A ) A A I
A
0?A A1 1A a d j(A )
A
0?A
11A a dj ( A ) a dj ( A ) A I
AA
A1A A I
11A A I 0?A
推论 若 和 为同阶方阵，且满足,
则,即矩阵 和矩阵 互逆。
例 3.8 判断三阶方阵,是否可逆；
若可逆，求解,因为,所以 可逆。 中各元素的代数余子式分别为
A
A
B
B
AB = I
BA = I
1228
206
638
A
1?A
A A
411A
5612A1213?A 2421A 4822?A
823?A 6
31?A 2032?A 1833A
1 2 8 0A
则：
例 3.9 设 为 n阶可逆方阵，
证明（ 1） 也是可逆矩阵且
（ 2）
证,（ 1）因为矩阵 为可逆方阵，则又根据伴随矩阵的性质
1
4 2 4 6
11
5 6 4 8 2 0
128
1 2 8 1 8
A a dj ( A )
Α
A
adj (A)1 1a d j(A ) A
A
1na d j(A ) A
A 0?A
A a d j ( A ) = a d j ( A ) A = A I
知,故 是可逆矩阵且
（ 2）对等式 两边取行列式，
有又因为矩阵 为可逆方阵，则故有
AAa dj ( A ) a dj ( A ) Iadj (A)
1 1a d j(A ) AA
A a d j(A ) A I
nn
AO
A ad j ( A) A I A I A
OA
A 0?A
1na d j(A ) A
3.3 克莱姆（ Cramer）法则讨论用行列式来求解含有 n个方程 n个变量的线性方程组
（ 3-7）
方程组（ 3-7）也可以写成矩阵形式：
（ 3-8）
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Ax b
其中：
行列式,称为方程组（ 3-7）的 系数行列式 。
定理 3.3（克莱姆法则） 若方程组（ 3-7）的系数行列式,则该方程组有唯一解：
，,…,（ 3-9）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A
nb
b
b
2
1
b
nx
x
x
2
1
x
D? A
0?D
D
Dx 1
1? D
Dx 2
2? D
Dx n
n?
其中 是把 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即：
第 列定理 3.3的逆否定理为：如果线性方程组（ 3-
7）无解或有超过一个以上的解，则它的系数行列式必为零。
njD j,,2,1 D j
j
把常数项全为零的线性方程组称为 齐次线性方程组 ；
把常数项不全为零的线性方程组称为 非齐次线性方程组 。
推论 1 对于 n× n齐次线性方程组,当系数行列式 时,只有一个零解 。
推论 2 若 n× n齐次线性方程组,有非零解，则必有 。
0Ax?
bAx?
0Ax?
0?A 0Ax?
0Ax?
0?A
例 3.10 已知齐次线性方程组有非零解，问 应取何值？
解,根据推论 2，知方程组系数行列式必为零，故有：
得,或
0)1(22
02)2(4
024)2(
321
321
121
xxx
xxx
xxx
322
020
1042
2
122
2420
242
2
122
224
242
2332 ccrrD
2r按 展 开2 ( 2 ) ( 3 ) 2 0 2 2 0- - - + 7
2＝? 7＝－?
3.4 行列式的计算
3.4.1 行列式的笔算技巧主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角形），然后计算其主对角线元素的连乘积；
其次是充分利用含零元素较多的行或列进行展开；
其他还有加边法、公式法、递推法、数学归纳法等等。
例 3.12 计算四阶行列式解,利用行列式性质把行列式化为三角行列式（性质法、三角化法）
4211
12239
21656
281066
D
4200
62000
3610
4211
6
)1(
4200
241660
3610
4211
6
9
6
281066
12239
21656
4211
23
2
14
13
12
41
rr
r
rr
rr
rr
rr
D
68
34000
4200
3610
4211
10
62000
4200
3610
4211
3443?
rrrr
例 3.13 证明：
证,利用行列式性质及行列式按列展开（性质法、展开法）
342423141312
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
aaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
142413231222
144133122
141312
112
213
314
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
0
0
0
11111111
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
rar
rar
rar
aaaa
aaaa
aaaa
D
2
4
2
3
2
2
432141312
111
aaa
aaaaaaaaa
并提取公因子按第一列展开此例中的四阶行列式，称为四阶 范德蒙
（ Vander Monde） 行列式,n阶范德蒙行列式为：
234233
2423141312
122
223
0
0
111
aaaaaa
aaaaaaaaaa
rar
rar
43
2423141312
11
aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开
342423141312 aaaaaaaaaaaa
nij
ji
n
n
nn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
例 3.14 计算 n阶行列式（空白处都为零）,
解,其中只有 n个非 0元素，这 n个元素之积正是行列式唯一的非零项，再由列下标全排列（ n-1,n-2,…,2,1,n ）的逆序数确定该项的正负。
n
n
D
n
1
2
1
!1 2 )2)(1( nD nnn
例 3.15 计算 5阶行列式：
解,由分块矩阵行列式公式：
则得
000109
00087
65400
03200
00100
5
D
BAOB AO nm
nn
mm?
1
36
109
87
654
032
001
1 235D
例 3.16 计算 5阶行列式：
解,该行列式称为三对角行列式，通常可以用递推法来求解
41000
34100
03410
00341
00034
5
D
345 34
4100
3410
0341
0003
4100
3410
0341
0034
4
1
DDD
c
展开按
51232323445 3333 DDDDDDDD
5432543545 333333 DDDD
3643333 54321 D
例 3.17 设,均为 n阶方阵，
求：
解,由于,
则有：
A B 3?A 5?B
AA nkk? BAAB?
1n* AAAA?T
1n21nnTnT 353*3*3 BABABA
T?*3A
例 3.18 设矩阵,矩阵 满足：,其中 为单位矩阵,是的伴随矩阵，求 。
解,由于,则存在,且有即有：
两边取行列式，有：
而则
101
210
021
A B
BAIBAA 34* I *A
A B
03A 1?A IAAA?*
ABIB 343 IBAI 43
33 43 BAI
AI 4
001
200
020
27
16?B
例 3.19 设,为三阶方阵且
，,求 。
解,根据分块矩阵的乘法概念，有：
则
),,( 321 aaaA? A 5?A
),2,3( 133221 aaaaaaB B
),2,3( 133221 aaaaaaB
),,( 321 aaa?
120
013
101
25)5(5
120
013
101
A
3.4.2 用 MATLAB计算行列式考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题一．初等矩阵的行列式对于第一类初等矩阵 E1，即行交换变换，它的行列式等于 -1。 det(E1)=-1 (3-11)
对于第二类初等矩阵 E2，即行数乘变换，它的行列式等于 k。 det(E2)=k (3-12）
对于第三类初等矩阵 E3，即行的乘加变换，
它的行列式仍等于 1。 det(E3)=1 (3-13）
二．把方阵变换为上三角矩阵 —— LU分解如果不考虑出现基准元素为零或很小的情况时，连第一类初等变换都用不到。这样，通过 N=(n-1)2/2次使用第三类初等矩阵 E3，就可以把主对角线左下方的 N个元素全变为零。
写成
(3-14）
其中 U是一个上三角矩阵，所有的 E3矩阵也是上三角矩阵。
N
i
i = 1
E 3 A = U
由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是可逆的，设其逆矩阵为 L，它应该是一个下三角矩阵，于是此式可写成
(3-15）
这种把矩阵 A通过第三种初等矩阵左乘分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变换称为 LU变换 。
其中下三角矩阵 L的行列式为 1，因而上三角矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即
det(A)= det(L)*det(U)= det(U)
A = L * U
在实际工程中为了保证计算结果的精度，计算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素取为每列的绝对值最大项，所以还是使用了行交换变换。因为其行列式等于 -1，每多一次交换，就改变一次符号。它并不影响行列式的绝对值，但影响其正负号。
另外在 (3-14）式左端的连乘积中，多了若干个交换矩阵。会使得最后的下三角矩阵 L不那末标准，各行有些颠倒，常常称之为 准下三角矩阵 。
MATLAB提供了矩阵的三角分解函数 lu.m，
其调用格式为,[L,U]=lu(A)
它返回的结果就是一个准下三角矩阵 L和一个上三角矩阵 U。因为这个函数并不专为行列式计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定 A
为方阵。
另一种调用格式能同时给出真正的下三角矩阵 L和交换矩阵 P,其形式为：
[L,U,P] = lu(A)
此时，它满足 P*A = L*U （ 3-16）
三．求出上三角方阵的行列式由 (3-15）式知道,det(U)决定了 det(A)的绝对值。因 U是一个上三角矩阵，它的行列式为其对角元素的连乘积。
在不计正负号的时候，可以写出：
用 MATLAB语句表示为
D=prod(diag(U))
n
ii
i = 1
A = d e t ( U ) = u
在必须知道行列式的正负号时，必须知道 lu分解过程中进行了多少次交换，每一次交换就改变一次正负号。
lu子程序没有给出这个数据，所以解决不了问题。其实 MATLAB已经把上述过程集成在一起，给出了直接计算方阵行列式的函数 det.m
其调用格式为,D=det(A)
这个函数要求输入变元必须是方阵
3.5 应用实例
3.5.1 用 LU分解计算行列式例 3.14 用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵的行列式解,列出程序：
A?[10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1];
[L,U]?lu(A),% 分解为上三角矩阵 U和 准下三角矩阵 L
dU? diag(U); % 取 上三角矩阵 U主对角线上元素向量
1 0 8 6 4 1
2 5 8 9 4
6 0 9 9 8
5 8 7 4 0
9 4 2 9 1
A
D?prod(dU) % 求主对角元素的连乘积程序运行的结果如下：
dU? 10 –4.8 10.625 9.4824?1.2349
D? 5.9720e?003? 5972
1.0000 0 0 0 0
0.2000 0.7083 1.0000 0 0
= 0,600 0 1.00 00 0 0 0
0.5000 0.8333 0.8000 0.2953 1.000
L
0
0.9000 0.6667 0.6588 1.0000 0
1 0,0 0 0 0 8,0 0 0 0 6,0 0 0 0 4,0 0 0 0 1,0 0 0 0
0 4.8 00 0 5,40 00 6.6 00 0 7,4 0 0 0
0 0 10,62 50 12,87 50 9,0 4 1 7
0 0 0 9.4 82 4 1,1 2 3 5
U
0 0 0 0 1,2 3 4 9
3.5.2 行列式奇异性对计算精度的影响例 3.15 设线性方程组 中,是一个 6阶的 hilbert矩阵，就是说它的下标为 (i,j)的元素值为 1/(i+j-1)，系数 A,b1及其增量 b2=b1+Δb
如下：
计算解 x1,x2，分析两个解的差与系数差之间的关系。
Ax = b A
1 1 /2 1 /3 1 /4 1 / 5 1 /6
1 /2 1 /3 1 /4 1 /5 1 /6 1 /7
1 /3 1 /4 1 /5 1 /6 1 /7 1 /8
1 /4 1 /5 1 /6 1 /7 1 /
A
11
22
11
,,
8 1 /9 1,7 3 2 1,7 3 2 1
1 /5 1 /6 1 /7 1 /8 1 / 9 1 /1 0 1 1
1 /6 1 /7 1 /8 1 /9 1 / 1 0 1 /1 1 2 2
b1 b2
解,用 MATLAB写出程序 ea344如下：
A=hilb(6),
b1=[1;2;1;1.732;1;2]; b2=[1;2;1;1.7321;1;2];
x1=inv(A)*b1,x2= inv(A)*b2
dx=x2-x1,db=b2-b1
程序运行的结果为：
66
- 0,00 89 - 0,00 89 - 0,75 0
0,2 53 0 0,2 53 0 2 1 0
- 1,70 50 - 1,70 51 - 14 1 0
10,10,,
4,4 25 3 4,4 25 7 36 3 0,00 01
- 4,87 85 - 4,87 89 - 39 7
1,9 20 8 1,9 20 9 15 5
x 1 x 2 dx db
0
0
由于系数 b的万分之一的变化，引起解 x的误差 dx最大可达近 400。
主要 因为 行列式 D=det(A)很接近于零。本题中的矩阵系数是 hilbert矩阵，它的主要特点就是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对它的解是否正确，要保持一定的怀疑。
为了定量地分析解的误差和可信度，应该用相对误差做标准。 b的相对误差是
x的相对误差是
db/ b
dx/ x
两者之间是以条件数 (Condition Number)相关联的，条件数与行列式有关，它随着行列式的减小而减小：
（ 3-17）
例 3.16 设,求其逆阵 V?
解,输入 A的数据后，键入 V?inv(A)，程序为：
A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],V=inv(A)
15( ) ( ) 1 0c o n d c o n dd x / x A d b / b A
16 4 6
15 3 9
18 0 9
A
1?A
运行后得到警告信息,
Warning,Matrix is close to singular or badly scaled
Results may be inaccurate,RCOND? 6.042030e?018.
det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异，
结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异”
的程度 MATLAB用了“逆条件数”作为衡量指标。
0,42 22 0,56 29 0,84 44
1,0 15 0,42 22 0,56 29 0,84 44
0,84 44 1,12 59 1,68 88
Ve
3.5.3 用逆阵进行保密编译码把消息中的英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。
例如,SEND MONEY”这九个字母就用下面九个数来表示；
[5,8,10,21,7,2,10,8,3]。 5代表 S,8代表
E,… 等等。
这种方法是很容易被破译的。在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母。
用矩阵乘法来对这个消息进一步加密。
如 A是一个行列式等于 ± 1的整数矩阵，则
A?1的元素也必定是整数。可以用这样的一个矩阵来对消息进行变换。
设 可得把编了码的消息也组成一个矩阵
1 2 1
2 5 3
2 3 2
A
，
1
1 1 1
2 0 1
4 1 1
A?
5 2 1 1 0
8 7 8
1 0 2 3
B
乘积所以发出的消息为 [31,80,54,37,83,67,29,69,50]
通过以下的变换可以解出原来的消息：
1 2 1 5 21 10 31 37 29
2 5 3 8 7 8 80 83 69
2 3 2 10 2 3 54 67 50
AB
1 1 1 31 37 29 5 21 10
2 0 1 80 83 69 8 7 8
4 1 1 54 67 50 10 2 3
3.5.4 用行列式计算面积例 3.17 设一个三角形的三个顶点的坐标为
(x1;y1),(x2;y2),(x3;y3)，
（ 1）试求此三角形的面积。
（ 2）利用此结果计算四个顶点坐标为
(0,1),(3,5),(4,3),(2,0)任意四边形的面积 。
（ 3）将此结果推广至任意多边形 。
解：（ 1）三角形面积为对应的平行四边形面积之半，利用行列式等于两向量所构成的平行四边形面积的关系，可求出三角形面积与顶点坐标之间的关系。
将三角形一个顶点 (x1;y1)移到原点，则其余两顶点坐标分别为 (x2-x1,y2-y1),(x3-x1,y3-y1)，
根据（ 3.2）式，此两个顶点所对应的向量构成的平行四边形面积为三角形面积为
（ 3-18）
（ 2）画出此四边形所对应的图形如下图，别计算其面积再相加即可。
1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )pS a b a b x x y y x x y y
2 1 3 1 3 1 2 10,5 0,5 ( ) ( ) ( ) ( )spS S x x y y x x y y
图 3.5 题 3.5.2的四边形三角形 ABD的面积为：
S1=0.5|(2-0)(5-1)-(3-0)(0-1)|=0.5(8+3)=5.5
三角形 CBD的面积为：
S2=0.5|(4-2)(5-0)-(3-2)(3-0)|=0.5(10-3)=3.5
此四边形的面积为,S=S1+S2=9
（ 3）此问题留作为作业。
3.1 行列式的定义
3.2 行列式的性质及应用
3.3 克莱姆 （ Cramer） 法则
3.4 行列式的计算
3.5 应用实例
3.6 习题
3.1 行列式的定义
3.1.1 二、三阶行列式的定义引入记号：,称它为 二阶行列式其值规定为：
2221
1211
aa
aa
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
把 的连线称为二阶行列式的主对角线，
把 的连线称为二阶行列式的副对角线，
那么 二阶行列式的值就等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积 。
例 3.2 在平面上有一个平行四边形 OACB，
A,B两点的坐标分别为：,,如图
3.1所示，求平行四边形 OACB的面积。
2211,aa
2112,aa
11,ba22,ba
图 3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积解,过点 A做 x轴垂线，交 x轴于点 E；过点 B
做平行 x轴直线与过点 C做平行 y轴直线相交于点 D。显然可以得到三角形 CDB和三角形 AEO
全等，则有：
（ 3-2）
B ( a 2,b 2 )
C
O
A ( a 1,b 1 )
x
y
E
D
1221 babaSSSSSSS A E D CO E D BA E D CAEOC D BO E D BO A C B
根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以 A,B两点坐标所构成的二阶行列式：
例 3.3 求下面三元线性方程组的解：
22
11
ba
ba
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
解,利用消元法可以得到：
（ 3-3）
当 之前的系数不为零时，可以解出 的值但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式的定义，我们称：
是一个 三阶行列式
1322311332112312213322113312312332211 xaaaaaaaaaaaaaaaaaa
322313321232213322133231233221 aabababaaababaaaab
1x 1x
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
其值规定为：
（ 3-4）
图 3.2给出了它的图示计算规则（称为 沙路法 ）。
图 3.2 三阶行列式的计算规则
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
有了三阶行列式的定义，我们可以把式（ 3-
3）写为：
当方程组（ 3-2）的系数行列式时，可以得到它的解。
33323
23222
13121
1
333231
232221
131211
aab
aab
aab
x
aaa
aaa
aaa
0
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
3.1.2 n阶行列式的定义把三阶行列式定义式（ 3-4）改写为如下形式：
则有：
（ 3-5）
312232211331233321123223332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
定义 3.1 在 n阶行列式中，划去元素 所在的第 i行和第 j列元素后，余下的元素按原来次序构成的 n-1阶行列式，称为元素 的 余子式记作,称为元素 的 代数余子式 。
根据定义 3.1，可以把式（ 3-5）变为：
jia
jia
jiM jia
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
定义 3.2 由 个数组成的 阶行列式是一个算式，当 时，；当 时，
（ 3-6）
2n n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1?n
11aD?
2?n
n
k
kknn AaAaAaAaD
1
111112121111?
3.1.3 行列式定义的进一步讨论定义 3.3 由 n个自然数 1,2,3,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n元排列 。
例如,1 2 3,132,213,231,312,321都是 3元排列。
在 n元排列的 n！个排列中,123…n 是唯一一个按从小到大排列的 n元排列，称为 标准排列
（或 自然排列 ）
定义 3.4 一个排列中任两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个 逆序 。一个排列中逆序的总数，称为这个排列的 逆序数 。
排列的逆序数记为例如，五元排列 25341,1和 2,5,3,4有四个逆序,4和 5有一个逆序,3和 5有一个逆序，则排列 25341的逆序数为 4＋ 1＋ 1＝ 6。
niii?,,21
定义 3.5 （行列式的另一种定义方法）,
由 个数组成的 阶行列式：
(3-7)
其中 是一个 n元排列,表示对所有 n元排列（ n！个）求和。
2n n
n
n
n
ppp
nppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
21
21
22221
11211
1
nppp?21?
nppp?21
例 3.4 写出四阶行列式中含有 的项。
解,四阶行列式共有 24项，其中含有 的项为：,我们只要分析列标排列
1x2y的各种情况，显然有 1324和 1423两种情况,1324逆序数为 1,1423逆序数为 2，
则四阶行列式中含有 的项为：
和 。
3211aa
3211aa
yx aaaa 432211
3211aa
44322311 aaaa? 43322411 aaaa
3.1.4 矩阵与行列式的关系矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即它是一个值。
在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素相等。
而两个行列式是否相等，只需分析其值是否相等。
矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而行列式是由一对竖线括起。
矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式的行数与列数必须相等。
当讨论的矩阵 A是方阵时，把 A的一对方括号去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我们把这个行列式称为 方阵 A的行列式,
记作,或 。
Adet A
例 3.5
证明 n阶下三角矩阵的行列式 。
证明,用数学归纳法证明，当,
时，结论显然成立。
假设结论对 阶下三角行列式成立，则由定义 3.2得：
nnnn
aaa
aa
a
21
2221
11
n
A
nnaaa?2211d e t?nA
1?n 2?n
1?n
右端行列式是 阶下三角行列式，根据归纳假设得：
同理可证,n阶对角矩阵的行列式（也称 n阶对角行列式）
1?n
nnnnnnnn aaa
aa
a
a
aaa
aa
a
32
3332
22
11
11
21
2221
11
1d e t
nA
nnaaa?2211d e t?nA
nn
nn
aaa
a
a
a
2211
22
11
3.1.5 行列式按行（列）展开定理 3.1 n阶行列式 D等于它的任一行（列）
的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,
即：
或,
n
k
ikikininiiii AaAaAaAaD
1
2211?
ni,,2,1
n
k
kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaD
1
2211?
nj,,2,1
例 3.6 计算行列式解,此行列式第 3列只有一个非零元素，故应把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式中的第 3列又只有一个非零元素，再得：
0011
1532
0023
6012
D
1 5 0121330
11
23
165
011
023
612
15 3133
D
3.2 行列式的性质及应用
3.2.1 行列式的性质性质 1 行列式 与它的转置行列式 相等。
行列式的转置和矩阵的转置概念相同。
如：
D TD
862
540
321
853
642
201
T
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
如：
推论 1 如果行列式有两行（列）完全相同，
则此行列式为零。
推论 2 n阶行列式 D的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
n
k
jkikjninjiji AaAaAaAa
1
2211 0?
ji?
或：
例 3.7 已知四阶行列式,
求,（其中 为行列式 D
的代数余子式）。
解,可以先求出行列式 D的第四行各元素的代数余子式，然后再进一步求得题目的答案。
也可以利用代数余子式的性质来分析此题。
0
1
2211
n
k
kjkinjnijiji AaAaAaAaji?
44434241 432 AAAA ij
构造行列式,行列式 按第四行的展开式，刚好就是
1D
44434241 432 AAAA
4321
0200
00612
0102
1
D
96
612
02
124
200
0612
102
14 3344
34
＝＝
展按展按 rc
性质 3 用数 k乘以行列式 D，等于 D中某一行
（列）的所有元素同乘以数 k。
如下等式中，把数 3乘到了行列式的第二列中：
推论 1 行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。
推论 2 如果行列式的任意两行（列）对应元素成比例，则行列式为零。
下列行列式的第一行和第三行所有对应元素成比例，故知：
性质 4 行列式可以按某一行（列）拆分成两个行列式之和。
0
0197
129153
6722
86102
具体拆分方法用 4阶行列式说明如下：
性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变。如：
3.2.2 方阵行列式的性质设 A,B为 n阶方阵,k是数，根据行列式的性质可以得到方阵的行列式有如下性质：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
AA T?
AA nkk?
BAAB?
kkA = A
11 AA
3.2.3 方阵可逆的充要条件定义 3.6 设矩阵,且 的代数余子式为,则称矩 为 的 伴随矩阵 。 记为,或 。
ija
ijA
A
adj(A) *A
伴随矩阵的重要性质,
定理 3.2 n阶方阵 为可逆矩阵的充要条件是 。当 可逆时,。
证,充分性，当 时，
知 故结论成立；
必要性,设 可逆，有,两边同取行列式,故
A a d j ( A ) a d j ( A ) A A I
A
0?A A1 1A a d j(A )
A
0?A
11A a dj ( A ) a dj ( A ) A I
AA
A1A A I
11A A I 0?A
推论 若 和 为同阶方阵，且满足,
则,即矩阵 和矩阵 互逆。
例 3.8 判断三阶方阵,是否可逆；
若可逆，求解,因为,所以 可逆。 中各元素的代数余子式分别为
A
A
B
B
AB = I
BA = I
1228
206
638
A
1?A
A A
411A
5612A1213?A 2421A 4822?A
823?A 6
31?A 2032?A 1833A
1 2 8 0A
则：
例 3.9 设 为 n阶可逆方阵，
证明（ 1） 也是可逆矩阵且
（ 2）
证,（ 1）因为矩阵 为可逆方阵，则又根据伴随矩阵的性质
1
4 2 4 6
11
5 6 4 8 2 0
128
1 2 8 1 8
A a dj ( A )
Α
A
adj (A)1 1a d j(A ) A
A
1na d j(A ) A
A 0?A
A a d j ( A ) = a d j ( A ) A = A I
知,故 是可逆矩阵且
（ 2）对等式 两边取行列式，
有又因为矩阵 为可逆方阵，则故有
AAa dj ( A ) a dj ( A ) Iadj (A)
1 1a d j(A ) AA
A a d j(A ) A I
nn
AO
A ad j ( A) A I A I A
OA
A 0?A
1na d j(A ) A
3.3 克莱姆（ Cramer）法则讨论用行列式来求解含有 n个方程 n个变量的线性方程组
（ 3-7）
方程组（ 3-7）也可以写成矩阵形式：
（ 3-8）
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Ax b
其中：
行列式,称为方程组（ 3-7）的 系数行列式 。
定理 3.3（克莱姆法则） 若方程组（ 3-7）的系数行列式,则该方程组有唯一解：
，,…,（ 3-9）
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A
nb
b
b
2
1
b
nx
x
x
2
1
x
D? A
0?D
D
Dx 1
1? D
Dx 2
2? D
Dx n
n?
其中 是把 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即：
第 列定理 3.3的逆否定理为：如果线性方程组（ 3-
7）无解或有超过一个以上的解，则它的系数行列式必为零。
njD j,,2,1 D j
j
把常数项全为零的线性方程组称为 齐次线性方程组 ；
把常数项不全为零的线性方程组称为 非齐次线性方程组 。
推论 1 对于 n× n齐次线性方程组,当系数行列式 时,只有一个零解 。
推论 2 若 n× n齐次线性方程组,有非零解，则必有 。
0Ax?
bAx?
0Ax?
0?A 0Ax?
0Ax?
0?A
例 3.10 已知齐次线性方程组有非零解，问 应取何值？
解,根据推论 2，知方程组系数行列式必为零，故有：
得,或
0)1(22
02)2(4
024)2(
321
321
121
xxx
xxx
xxx
322
020
1042
2
122
2420
242
2
122
224
242
2332 ccrrD
2r按 展 开2 ( 2 ) ( 3 ) 2 0 2 2 0- - - + 7
2＝? 7＝－?
3.4 行列式的计算
3.4.1 行列式的笔算技巧主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角形），然后计算其主对角线元素的连乘积；
其次是充分利用含零元素较多的行或列进行展开；
其他还有加边法、公式法、递推法、数学归纳法等等。
例 3.12 计算四阶行列式解,利用行列式性质把行列式化为三角行列式（性质法、三角化法）
4211
12239
21656
281066
D
4200
62000
3610
4211
6
)1(
4200
241660
3610
4211
6
9
6
281066
12239
21656
4211
23
2
14
13
12
41
rr
r
rr
rr
rr
rr
D
68
34000
4200
3610
4211
10
62000
4200
3610
4211
3443?
rrrr
例 3.13 证明：
证,利用行列式性质及行列式按列展开（性质法、展开法）
342423141312
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
aaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
142413231222
144133122
141312
112
213
314
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
0
0
0
11111111
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
rar
rar
rar
aaaa
aaaa
aaaa
D
2
4
2
3
2
2
432141312
111
aaa
aaaaaaaaa
并提取公因子按第一列展开此例中的四阶行列式，称为四阶 范德蒙
（ Vander Monde） 行列式,n阶范德蒙行列式为：
234233
2423141312
122
223
0
0
111
aaaaaa
aaaaaaaaaa
rar
rar
43
2423141312
11
aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开
342423141312 aaaaaaaaaaaa
nij
ji
n
n
nn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
例 3.14 计算 n阶行列式（空白处都为零）,
解,其中只有 n个非 0元素，这 n个元素之积正是行列式唯一的非零项，再由列下标全排列（ n-1,n-2,…,2,1,n ）的逆序数确定该项的正负。
n
n
D
n
1
2
1
!1 2 )2)(1( nD nnn
例 3.15 计算 5阶行列式：
解,由分块矩阵行列式公式：
则得
000109
00087
65400
03200
00100
5
D
BAOB AO nm
nn
mm?
1
36
109
87
654
032
001
1 235D
例 3.16 计算 5阶行列式：
解,该行列式称为三对角行列式，通常可以用递推法来求解
41000
34100
03410
00341
00034
5
D
345 34
4100
3410
0341
0003
4100
3410
0341
0034
4
1
DDD
c
展开按
51232323445 3333 DDDDDDDD
5432543545 333333 DDDD
3643333 54321 D
例 3.17 设,均为 n阶方阵，
求：
解,由于,
则有：
A B 3?A 5?B
AA nkk? BAAB?
1n* AAAA?T
1n21nnTnT 353*3*3 BABABA
T?*3A
例 3.18 设矩阵,矩阵 满足：,其中 为单位矩阵,是的伴随矩阵，求 。
解,由于,则存在,且有即有：
两边取行列式，有：
而则
101
210
021
A B
BAIBAA 34* I *A
A B
03A 1?A IAAA?*
ABIB 343 IBAI 43
33 43 BAI
AI 4
001
200
020
27
16?B
例 3.19 设,为三阶方阵且
，,求 。
解,根据分块矩阵的乘法概念，有：
则
),,( 321 aaaA? A 5?A
),2,3( 133221 aaaaaaB B
),2,3( 133221 aaaaaaB
),,( 321 aaa?
120
013
101
25)5(5
120
013
101
A
3.4.2 用 MATLAB计算行列式考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题一．初等矩阵的行列式对于第一类初等矩阵 E1，即行交换变换，它的行列式等于 -1。 det(E1)=-1 (3-11)
对于第二类初等矩阵 E2，即行数乘变换，它的行列式等于 k。 det(E2)=k (3-12）
对于第三类初等矩阵 E3，即行的乘加变换，
它的行列式仍等于 1。 det(E3)=1 (3-13）
二．把方阵变换为上三角矩阵 —— LU分解如果不考虑出现基准元素为零或很小的情况时，连第一类初等变换都用不到。这样，通过 N=(n-1)2/2次使用第三类初等矩阵 E3，就可以把主对角线左下方的 N个元素全变为零。
写成
(3-14）
其中 U是一个上三角矩阵，所有的 E3矩阵也是上三角矩阵。
N
i
i = 1
E 3 A = U
由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是可逆的，设其逆矩阵为 L，它应该是一个下三角矩阵，于是此式可写成
(3-15）
这种把矩阵 A通过第三种初等矩阵左乘分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变换称为 LU变换 。
其中下三角矩阵 L的行列式为 1，因而上三角矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即
det(A)= det(L)*det(U)= det(U)
A = L * U
在实际工程中为了保证计算结果的精度，计算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素取为每列的绝对值最大项，所以还是使用了行交换变换。因为其行列式等于 -1，每多一次交换，就改变一次符号。它并不影响行列式的绝对值，但影响其正负号。
另外在 (3-14）式左端的连乘积中，多了若干个交换矩阵。会使得最后的下三角矩阵 L不那末标准，各行有些颠倒，常常称之为 准下三角矩阵 。
MATLAB提供了矩阵的三角分解函数 lu.m，
其调用格式为,[L,U]=lu(A)
它返回的结果就是一个准下三角矩阵 L和一个上三角矩阵 U。因为这个函数并不专为行列式计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定 A
为方阵。
另一种调用格式能同时给出真正的下三角矩阵 L和交换矩阵 P,其形式为：
[L,U,P] = lu(A)
此时，它满足 P*A = L*U （ 3-16）
三．求出上三角方阵的行列式由 (3-15）式知道,det(U)决定了 det(A)的绝对值。因 U是一个上三角矩阵，它的行列式为其对角元素的连乘积。
在不计正负号的时候，可以写出：
用 MATLAB语句表示为
D=prod(diag(U))
n
ii
i = 1
A = d e t ( U ) = u
在必须知道行列式的正负号时，必须知道 lu分解过程中进行了多少次交换，每一次交换就改变一次正负号。
lu子程序没有给出这个数据，所以解决不了问题。其实 MATLAB已经把上述过程集成在一起，给出了直接计算方阵行列式的函数 det.m
其调用格式为,D=det(A)
这个函数要求输入变元必须是方阵
3.5 应用实例
3.5.1 用 LU分解计算行列式例 3.14 用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵的行列式解,列出程序：
A?[10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1];
[L,U]?lu(A),% 分解为上三角矩阵 U和 准下三角矩阵 L
dU? diag(U); % 取 上三角矩阵 U主对角线上元素向量
1 0 8 6 4 1
2 5 8 9 4
6 0 9 9 8
5 8 7 4 0
9 4 2 9 1
A
D?prod(dU) % 求主对角元素的连乘积程序运行的结果如下：
dU? 10 –4.8 10.625 9.4824?1.2349
D? 5.9720e?003? 5972
1.0000 0 0 0 0
0.2000 0.7083 1.0000 0 0
= 0,600 0 1.00 00 0 0 0
0.5000 0.8333 0.8000 0.2953 1.000
L
0
0.9000 0.6667 0.6588 1.0000 0
1 0,0 0 0 0 8,0 0 0 0 6,0 0 0 0 4,0 0 0 0 1,0 0 0 0
0 4.8 00 0 5,40 00 6.6 00 0 7,4 0 0 0
0 0 10,62 50 12,87 50 9,0 4 1 7
0 0 0 9.4 82 4 1,1 2 3 5
U
0 0 0 0 1,2 3 4 9
3.5.2 行列式奇异性对计算精度的影响例 3.15 设线性方程组 中,是一个 6阶的 hilbert矩阵，就是说它的下标为 (i,j)的元素值为 1/(i+j-1)，系数 A,b1及其增量 b2=b1+Δb
如下：
计算解 x1,x2，分析两个解的差与系数差之间的关系。
Ax = b A
1 1 /2 1 /3 1 /4 1 / 5 1 /6
1 /2 1 /3 1 /4 1 /5 1 /6 1 /7
1 /3 1 /4 1 /5 1 /6 1 /7 1 /8
1 /4 1 /5 1 /6 1 /7 1 /
A
11
22
11
,,
8 1 /9 1,7 3 2 1,7 3 2 1
1 /5 1 /6 1 /7 1 /8 1 / 9 1 /1 0 1 1
1 /6 1 /7 1 /8 1 /9 1 / 1 0 1 /1 1 2 2
b1 b2
解,用 MATLAB写出程序 ea344如下：
A=hilb(6),
b1=[1;2;1;1.732;1;2]; b2=[1;2;1;1.7321;1;2];
x1=inv(A)*b1,x2= inv(A)*b2
dx=x2-x1,db=b2-b1
程序运行的结果为：
66
- 0,00 89 - 0,00 89 - 0,75 0
0,2 53 0 0,2 53 0 2 1 0
- 1,70 50 - 1,70 51 - 14 1 0
10,10,,
4,4 25 3 4,4 25 7 36 3 0,00 01
- 4,87 85 - 4,87 89 - 39 7
1,9 20 8 1,9 20 9 15 5
x 1 x 2 dx db
0
0
由于系数 b的万分之一的变化，引起解 x的误差 dx最大可达近 400。
主要 因为 行列式 D=det(A)很接近于零。本题中的矩阵系数是 hilbert矩阵，它的主要特点就是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对它的解是否正确，要保持一定的怀疑。
为了定量地分析解的误差和可信度，应该用相对误差做标准。 b的相对误差是
x的相对误差是
db/ b
dx/ x
两者之间是以条件数 (Condition Number)相关联的，条件数与行列式有关，它随着行列式的减小而减小：
（ 3-17）
例 3.16 设,求其逆阵 V?
解,输入 A的数据后，键入 V?inv(A)，程序为：
A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],V=inv(A)
15( ) ( ) 1 0c o n d c o n dd x / x A d b / b A
16 4 6
15 3 9
18 0 9
A
1?A
运行后得到警告信息,
Warning,Matrix is close to singular or badly scaled
Results may be inaccurate,RCOND? 6.042030e?018.
det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异，
结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异”
的程度 MATLAB用了“逆条件数”作为衡量指标。
0,42 22 0,56 29 0,84 44
1,0 15 0,42 22 0,56 29 0,84 44
0,84 44 1,12 59 1,68 88
Ve
3.5.3 用逆阵进行保密编译码把消息中的英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。
例如,SEND MONEY”这九个字母就用下面九个数来表示；
[5,8,10,21,7,2,10,8,3]。 5代表 S,8代表
E,… 等等。
这种方法是很容易被破译的。在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母。
用矩阵乘法来对这个消息进一步加密。
如 A是一个行列式等于 ± 1的整数矩阵，则
A?1的元素也必定是整数。可以用这样的一个矩阵来对消息进行变换。
设 可得把编了码的消息也组成一个矩阵
1 2 1
2 5 3
2 3 2
A
，
1
1 1 1
2 0 1
4 1 1
A?
5 2 1 1 0
8 7 8
1 0 2 3
B
乘积所以发出的消息为 [31,80,54,37,83,67,29,69,50]
通过以下的变换可以解出原来的消息：
1 2 1 5 21 10 31 37 29
2 5 3 8 7 8 80 83 69
2 3 2 10 2 3 54 67 50
AB
1 1 1 31 37 29 5 21 10
2 0 1 80 83 69 8 7 8
4 1 1 54 67 50 10 2 3
3.5.4 用行列式计算面积例 3.17 设一个三角形的三个顶点的坐标为
(x1;y1),(x2;y2),(x3;y3)，
（ 1）试求此三角形的面积。
（ 2）利用此结果计算四个顶点坐标为
(0,1),(3,5),(4,3),(2,0)任意四边形的面积 。
（ 3）将此结果推广至任意多边形 。
解：（ 1）三角形面积为对应的平行四边形面积之半，利用行列式等于两向量所构成的平行四边形面积的关系，可求出三角形面积与顶点坐标之间的关系。
将三角形一个顶点 (x1;y1)移到原点，则其余两顶点坐标分别为 (x2-x1,y2-y1),(x3-x1,y3-y1)，
根据（ 3.2）式，此两个顶点所对应的向量构成的平行四边形面积为三角形面积为
（ 3-18）
（ 2）画出此四边形所对应的图形如下图，别计算其面积再相加即可。
1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )pS a b a b x x y y x x y y
2 1 3 1 3 1 2 10,5 0,5 ( ) ( ) ( ) ( )spS S x x y y x x y y
图 3.5 题 3.5.2的四边形三角形 ABD的面积为：
S1=0.5|(2-0)(5-1)-(3-0)(0-1)|=0.5(8+3)=5.5
三角形 CBD的面积为：
S2=0.5|(4-2)(5-0)-(3-2)(3-0)|=0.5(10-3)=3.5
此四边形的面积为,S=S1+S2=9
（ 3）此问题留作为作业。
