6.3 锁相环路的跟踪特性跟踪过程,环路原本锁定，由于外界因素造成环路失锁，而环路通过自身的调节过程可以重新维持锁定的过程。
6.3
环路中有两种不同的自动调节过程：
捕捉过程,环路原本失锁，闭合后环路通过自身的调节由失锁进入锁定的过程。
当环路处于跟踪状态时，一般相位误差较小，锁相环可视为线性系统。
6.3.1 锁相环的静态特性
1、环路锁定时瞬时角频差为零环路闭合前：由于
0c
控制角频差
0o ie
环路闭合后,0
c
，
o
增加，
e
下降，
环路达到锁定状态。
环路锁定时,VCO振荡角频率等于输入信号角频率，
6.3.1
0e io直到
oi
。即
(锁相环的相位锁定过程 动画）
当环路锁定时，
io,即
0 s i ni d o F ep A A A
0FA 为环路锁定时的 LF的时域传输特性。
其中无 源 滤 波 器,01
FA?
无源比例滤波器,01
FA?
有源比例滤波器,0
FA
e
2、稳态相差
6.3.1
稳态相位误差
a r c si n a r c si n0iie d o F oA A A A
式中：
0o d o FA A A A 为环路锁定时的环路直流总增益。
该式说明：
态相位误差
e
越大，即随着
i
的增加，将 VCO的
o?
调整到等于
i?
所需的控制电压越大，因而产生
c?
的
e
也就越大。直到
ioA
时，上式无解。
6.3.1
i
越大，稳环路锁定时，输入固有角频差或者说：
i
过大，环路无法锁定。其原因在于当
2e
由于环路锁定时,0
e
，即 0
io
所以
io
即 环路可以实现无误差的频率跟踪。
时，
d?
（鉴相器输出）电压已最大，若继续使增大
e
，
。使之等于
i?
d?
反而减小，也就无法获得所需的
c?
以调整
o?
VCO的
6.3.1
若环路原本处于锁定状态，由于某种原因引起输入信号角频率变化，造成输入角频差增大，但环路通过跟踪过程，能够维持环路锁定所允许的最大输入固有频差，
称为 锁相环路的同步带或跟踪带,用
L
表示。
由于
0i A
，根据定义可知同步带为
0L A
6.3.1
3、同步带（跟踪带）
同步带定义：
的效果是一 样的，因此同步带可以表示为
0L A
该式表明,要增大锁相环的同步带，必须提高其直流总增益。
实际上，由于输入信号角频率向
r?
两边偏离不过，这个结论是在假设 VCO的频率控制范围足够大的条件下才成立。
6.3.2 锁相环的跟踪特性环路的瞬变过程与稳态相差统称为 PLL的跟踪特性。
( ) sin ( ) ( )d d e d et A t A t
6.3.2
e?
值一般很小，如前所述，锁相环在跟踪过程中，
6e
的条件，可以近似用线性函数逼近鉴相器的满足器的鉴相特性，即式中 的单位为 。
dA V/rad
图 6.3.1 锁相环路的线性化相位数学模型相应的线性化相位数学模型如图 6.3.1所示。
此时基本环路方程可简化为线性微分方程
0e i d F ep t p t A A A p t
一,PLL的传输特性设
i s?
,
o s?
,
e s?
分别是
i t?
,
o t?
,
e t?
的拉氏变换，而 p用 s取代后可以得到图 6.3.2所示的线性化频域模型：
环路的闭环传递函数为
0
0 1
o d F o
i d F o
s A A A s H sHs
s s A A A s H s
6.3.2
其中
0o d Fo
e
s A A A sHs
ss
为环路的开环传递函数。
环路的误差传递函数为：
0
1
1
ee
e
i e o
o d F
ss
Hs
s s s
s
H s s A A A s
在实际应用中,应将环路滤波器的传输函数代入到上述方程中，就可以得到实际锁相环路的传递函数。
6.3.2
可以看出，传递函数的性质实际上是由环路滤波器的性质决定的。环路中采用的环路滤波器的形式不同，
相应的传递函数也不同。
i s?利用误差传递函数，在给定 的前提下，求出
e s?,再求e s? 的拉氏反变换，即可得到瞬态响应和稳态相位误差。
即
e e is H s s
瞬态响应
e t
￡ -1
eiH s s
利用终值定理，求得稳态相位误差
00l i m l i m l i me e e e it s st s s s H s s
6.3.2
二、瞬时响应及稳态相位误差例 6.3.1 在图 6.3.3所示的锁相环中，已知 2 5 m V rad
dA?
,0 1 0 0 0 rad sVA?
1msRC?,当输入角频率发生阶跃变化时,1 0 0 ra d si,要求环路的稳态相位误差为 0.1rad,试确定放大器的增益 1A,并求出相位误差函数
e t?
。
解,由于环路滤波器为 RC低通滤波器，其传递函数为
1111FAs R C s s RC
于是，环路的误差传递函数为
22222e ne
i n n
s ssHs
s s s
6.3.2
式中 12
01
11
2 dA A A
12
01d
n
A A A?
称为阻尼系数。 n? 是 0 时系统的无阻尼振荡角频率 —— 自然谐振角频率。
设 0t? 时，环路锁定，且有
ior
, 0
i t
。在 0t?
位差i t? 为
0ti i it dt t
其拉氏变换为
2
1
iis s
6.3.2
时，输入信号角频率产生幅度为
i
阶跃变化，则在 0t? 后的固有相因此环路的相位误差为
2
2 2 2 22
22
2 2
nini
e
nn nn
ssss
s s s s s s
瞬态响应
e t ￡ -1e seiH s s￡ -1
2
1 2 1 2
22
12
2
2
12
s in 1 2 c o s 1
1
n
i
n
ti
nn
n
e t t
式中，等式右边第二项为振幅按指数衰减的两个正弦函数的差值。这两个正弦函数的角频率相同（其值与
dA
、
0A
,? 有关），相位差为,2?
振幅不同。
t当 时，该项的振幅值趋于零，是瞬态相位误差。当 01dA A A
一定时,? 取不同值时，由上式画出的曲线如图 6.3.4所示。
6.3.2
（动画）
稳态相位误差为
0
01
l i m 2 iie e is
nd
sH s s A A A
显然，提高环路直流总增益
01odA A A A,可以减小 。e
将已知数值代入上述各式中，可以求得
1 33
0
100 40
25 10 10 0.1
i
de
A AA
6.3.2
此时
12 12
3 3 3
01
1 1 1 1 1
2 2 2 5 1 0 1 0 4 0 1 0 2dA A A
1212 33
01
3
2 5 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 r a d s
10
d
n
A A A?
因而相位误差函数
500 30,1 0,1 s in 5 0 0 3 c o s 5 0 0 3 r a d3te t e t t
三、正弦稳态响应在 PLL中，正弦稳态响应是指输入相位
i t?
为正弦信号时环路的输出响应。
当输入信号的相位 按正弦规律变化时（即输入
i t?
正弦调频或调相信号）,PLL的输出信号相角，即压控振荡器振荡信号的相角，也将按正弦规律变化。但相位变化的幅度和初始相位将随频率的不同而不同，称这种性质为环路的频率特性或频率响应。
6.3.2
若输入信号相角为
s ini im itt
则环路的稳态响应输出也必为正弦信号，即
s ino o m ott
相应的锁相环路输入、输出信号电压分别为：
c o s s i ni i m r i m iV t t
c o s s i no o m r o m oV t t
显然它们均为单音频调制的调相信号。
若将 ()
i t?
,()
o t?
用复数表示为
ijim imje
ojo m o mje
令 PLL中的正弦稳态 响应即环路对调相信号中的正弦相位的频率特性为Hj?
且
om
im
jHj
j
PLL的频率特性
Hj?
可以用 j? 代替闭环传递函数中的 S求得。
6.3.2
其中
im? i?
、
om?
、
o?
,均为? 的函数。
例如，采用简单 RC积分滤波器的 PLL，其闭环传递函数为
2222o n
i n n
sHs
s s s
若令 sj,相应的幅频特性为
222
2
1
21
o
i
nn
H
图 6.3.5 画出了不同? 时的幅频特性曲线。
6.3.2
6.3.2
由图可见，
对于输入正弦相位来说,PLL具有低通滤波器的特性。其形状与
有关。当 0.707
时，特性曲线最线最平坦，上限频率为：
12
0d
Hn
AA
解,根据已知数据求得
12 12
0
1 1 1 2 0 0,7 0 7
2 2 1 0dAA
所以
12
120 2 0 1 0 1 4,1 4d
H
AA r a d s
由上例可见，通过增大环路滤波器的时间常数，减小环路的直流总增益，可以将环路的带宽做的非常窄。
6.3.2
例 6.3.2 在采用简单 RC积分滤波器的 PLL中，若
0 10dA A r a d s
1
20 s
，求
H?
。
从稳定性判定准则可知，如果 PLL的闭环传递函数中的极点全部位于 S平面的左半平面，即极点的Hs
四,PLL的稳定性实部小于零，则系统是稳定的。
6.3
环路中有两种不同的自动调节过程：
捕捉过程,环路原本失锁，闭合后环路通过自身的调节由失锁进入锁定的过程。
当环路处于跟踪状态时，一般相位误差较小，锁相环可视为线性系统。
6.3.1 锁相环的静态特性
1、环路锁定时瞬时角频差为零环路闭合前：由于
0c
控制角频差
0o ie
环路闭合后,0
c
，
o
增加，
e
下降，
环路达到锁定状态。
环路锁定时,VCO振荡角频率等于输入信号角频率，
6.3.1
0e io直到
oi
。即
(锁相环的相位锁定过程 动画）
当环路锁定时，
io,即
0 s i ni d o F ep A A A
0FA 为环路锁定时的 LF的时域传输特性。
其中无 源 滤 波 器,01
FA?
无源比例滤波器,01
FA?
有源比例滤波器,0
FA
e
2、稳态相差
6.3.1
稳态相位误差
a r c si n a r c si n0iie d o F oA A A A
式中：
0o d o FA A A A 为环路锁定时的环路直流总增益。
该式说明：
态相位误差
e
越大，即随着
i
的增加，将 VCO的
o?
调整到等于
i?
所需的控制电压越大，因而产生
c?
的
e
也就越大。直到
ioA
时，上式无解。
6.3.1
i
越大，稳环路锁定时，输入固有角频差或者说：
i
过大，环路无法锁定。其原因在于当
2e
由于环路锁定时,0
e
，即 0
io
所以
io
即 环路可以实现无误差的频率跟踪。
时，
d?
（鉴相器输出）电压已最大，若继续使增大
e
，
。使之等于
i?
d?
反而减小，也就无法获得所需的
c?
以调整
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VCO的
6.3.1
若环路原本处于锁定状态，由于某种原因引起输入信号角频率变化，造成输入角频差增大，但环路通过跟踪过程，能够维持环路锁定所允许的最大输入固有频差，
称为 锁相环路的同步带或跟踪带,用
L
表示。
由于
0i A
，根据定义可知同步带为
0L A
6.3.1
3、同步带（跟踪带）
同步带定义：
的效果是一 样的，因此同步带可以表示为
0L A
该式表明,要增大锁相环的同步带，必须提高其直流总增益。
实际上，由于输入信号角频率向
r?
两边偏离不过，这个结论是在假设 VCO的频率控制范围足够大的条件下才成立。
6.3.2 锁相环的跟踪特性环路的瞬变过程与稳态相差统称为 PLL的跟踪特性。
( ) sin ( ) ( )d d e d et A t A t
6.3.2
e?
值一般很小，如前所述，锁相环在跟踪过程中，
6e
的条件，可以近似用线性函数逼近鉴相器的满足器的鉴相特性，即式中 的单位为 。
dA V/rad
图 6.3.1 锁相环路的线性化相位数学模型相应的线性化相位数学模型如图 6.3.1所示。
此时基本环路方程可简化为线性微分方程
0e i d F ep t p t A A A p t
一,PLL的传输特性设
i s?
,
o s?
,
e s?
分别是
i t?
,
o t?
,
e t?
的拉氏变换，而 p用 s取代后可以得到图 6.3.2所示的线性化频域模型：
环路的闭环传递函数为
0
0 1
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i d F o
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6.3.2
其中
0o d Fo
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s A A A sHs
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为环路的开环传递函数。
环路的误差传递函数为：
0
1
1
ee
e
i e o
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Hs
s s s
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H s s A A A s
在实际应用中,应将环路滤波器的传输函数代入到上述方程中，就可以得到实际锁相环路的传递函数。
6.3.2
可以看出，传递函数的性质实际上是由环路滤波器的性质决定的。环路中采用的环路滤波器的形式不同，
相应的传递函数也不同。
i s?利用误差传递函数，在给定 的前提下，求出
e s?,再求e s? 的拉氏反变换，即可得到瞬态响应和稳态相位误差。
即
e e is H s s
瞬态响应
e t
￡ -1
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利用终值定理，求得稳态相位误差
00l i m l i m l i me e e e it s st s s s H s s
6.3.2
二、瞬时响应及稳态相位误差例 6.3.1 在图 6.3.3所示的锁相环中，已知 2 5 m V rad
dA?
,0 1 0 0 0 rad sVA?
1msRC?,当输入角频率发生阶跃变化时,1 0 0 ra d si,要求环路的稳态相位误差为 0.1rad,试确定放大器的增益 1A,并求出相位误差函数
e t?
。
解,由于环路滤波器为 RC低通滤波器，其传递函数为
1111FAs R C s s RC
于是，环路的误差传递函数为
22222e ne
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s s s
6.3.2
式中 12
01
11
2 dA A A
12
01d
n
A A A?
称为阻尼系数。 n? 是 0 时系统的无阻尼振荡角频率 —— 自然谐振角频率。
设 0t? 时，环路锁定，且有
ior
, 0
i t
。在 0t?
位差i t? 为
0ti i it dt t
其拉氏变换为
2
1
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6.3.2
时，输入信号角频率产生幅度为
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阶跃变化，则在 0t? 后的固有相因此环路的相位误差为
2
2 2 2 22
22
2 2
nini
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nn nn
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瞬态响应
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式中，等式右边第二项为振幅按指数衰减的两个正弦函数的差值。这两个正弦函数的角频率相同（其值与
dA
、
0A
,? 有关），相位差为,2?
振幅不同。
t当 时，该项的振幅值趋于零，是瞬态相位误差。当 01dA A A
一定时,? 取不同值时，由上式画出的曲线如图 6.3.4所示。
6.3.2
（动画）
稳态相位误差为
0
01
l i m 2 iie e is
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sH s s A A A
显然，提高环路直流总增益
01odA A A A,可以减小 。e
将已知数值代入上述各式中，可以求得
1 33
0
100 40
25 10 10 0.1
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A AA
6.3.2
此时
12 12
3 3 3
01
1 1 1 1 1
2 2 2 5 1 0 1 0 4 0 1 0 2dA A A
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01
3
2 5 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 r a d s
10
d
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A A A?
因而相位误差函数
500 30,1 0,1 s in 5 0 0 3 c o s 5 0 0 3 r a d3te t e t t
三、正弦稳态响应在 PLL中，正弦稳态响应是指输入相位
i t?
为正弦信号时环路的输出响应。
当输入信号的相位 按正弦规律变化时（即输入
i t?
正弦调频或调相信号）,PLL的输出信号相角，即压控振荡器振荡信号的相角，也将按正弦规律变化。但相位变化的幅度和初始相位将随频率的不同而不同，称这种性质为环路的频率特性或频率响应。
6.3.2
若输入信号相角为
s ini im itt
则环路的稳态响应输出也必为正弦信号，即
s ino o m ott
相应的锁相环路输入、输出信号电压分别为：
c o s s i ni i m r i m iV t t
c o s s i no o m r o m oV t t
显然它们均为单音频调制的调相信号。
若将 ()
i t?
,()
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用复数表示为
ijim imje
ojo m o mje
令 PLL中的正弦稳态 响应即环路对调相信号中的正弦相位的频率特性为Hj?
且
om
im
jHj
j
PLL的频率特性
Hj?
可以用 j? 代替闭环传递函数中的 S求得。
6.3.2
其中
im? i?
、
om?
、
o?
,均为? 的函数。
例如，采用简单 RC积分滤波器的 PLL，其闭环传递函数为
2222o n
i n n
sHs
s s s
若令 sj,相应的幅频特性为
222
2
1
21
o
i
nn
H
图 6.3.5 画出了不同? 时的幅频特性曲线。
6.3.2
6.3.2
由图可见，
对于输入正弦相位来说,PLL具有低通滤波器的特性。其形状与
有关。当 0.707
时，特性曲线最线最平坦，上限频率为：
12
0d
Hn
AA
解,根据已知数据求得
12 12
0
1 1 1 2 0 0,7 0 7
2 2 1 0dAA
所以
12
120 2 0 1 0 1 4,1 4d
H
AA r a d s
由上例可见，通过增大环路滤波器的时间常数，减小环路的直流总增益，可以将环路的带宽做的非常窄。
6.3.2
例 6.3.2 在采用简单 RC积分滤波器的 PLL中，若
0 10dA A r a d s
1
20 s
，求
H?
。
从稳定性判定准则可知，如果 PLL的闭环传递函数中的极点全部位于 S平面的左半平面，即极点的Hs
四,PLL的稳定性实部小于零，则系统是稳定的。
