概率论与数理统计概率论与数理统计教师,陈伟教材：
《概率论与数理统计》
第三版浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社序言概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论
——研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算
概率的定义
等可能概型（古典概型）
条件概率
事件的独立性
§1 随机试验(简称,试验,)
随机试验的特点(p2)
1.可在相同条件下重复进行；
2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;
3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可表为E
随机实验的例
E
1
,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面;
E
2
,将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E
3
,将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
E
4
,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
E
5
,记录某网站一分钟内受到的点击次数；
E
6
,在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
E
7
,任选一人，记录他的身高和体重 。
§ 2 样本空间、随机事件(p2)
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S={e}；
2、样本点,试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.
EX,给出E1-E7的样本空间（p2-p3）
随机事件
1.定义 称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件（试验中可能出现或可能不出现的情况）,简称,事件,.
记作A、B、C等。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
2.两个特殊事件,必然事件S,不可能事件 φ.(p3)
3.基本事件：由一个样本点组成的单点集 。
例如
1,对于试验 E
2
，以下 A,B,C即为三个随机事件,
A=,至少出一个正面,
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}；
B=“三次出现同一面” ={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面” ={HTT,THT,TTH}
2,试验 E
6
中,
D =“灯泡寿命超过 1000小时,
= {x:1000<x<T(小时 )} 为随机事件,
注,可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。
同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，
如试验 E
2
，当试验的结果是 HHH时，可以说事件 A
和 B同时发生了；但事件 B和 C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述 。
事件之间的关系
1.包含关系,A发生必导致B发生,
记为A?B
A与B相等,A＝B? A?B且B?A.
2,和事件：
和事件：
事件事件
A与与
B至少有一个发生，
至少有一个发生，
记作记作
A∪B
2’ n个事件 A
1
,A
2
,…,A
n
至少有一个发生，
记作
i
n
i
A
1=
U
3.积事件(p4),A与
B同时发生，记作
A∩B＝AB
3’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
同时发生，记作A
1
A
2
…A
n
4.差事件 (p5),
A－ B称为 A与 B的差事件,表示事件 A发生而 B不发生思考：何时A-B= φ? 何时A-B=A？
5.互斥的事件 (p5),AB＝ φ
A,B互不相容
6,互逆的事件 (p5)? A∪B＝?,
且 AB＝ φ
BABA
AAB
=?
=
易见的对立事件，称为记作 ;
五、事件的运算(p5)
1、交换律,A∪B＝ B∪A,AB＝ BA
2、结合律,(A∪B)∪C＝ A∪(B∪C)，
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律,(A∪B)C＝ (AC)∪(BC)，
(AB)∪C＝ (A∪C)(B∪C)
4、对偶 (De Morgan)律,
.,
,
UIIU
UIU
k
k
k
k
k
k
k
k
AAAA
BAABBABA
==
==
可推广例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、
B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
解,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
CBA UU
CBACBACBA UU
CBABCACAB UU
BACACB UU
ABC
CBA II
§ 3 频率与概率抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？
用实验来发现规律，首先要定义频率的概念。
（一）频率的定义及性质
在相同的条件下，进行了n次试验，
：事件A发生的次数，称为事件A发生的频数。
：为事件A发生的频率。记为
A
n
n
n
A
)(Af
n
频率的基本性质：P7
频率的性质
(1) 0≤ f
n
(A) ≤1；
(2) f
n
(S)＝ 1； f
n
(φ )=0
(3) 可加性：若 AB＝ φ,则
f
n
(A∪B)＝ f
n
(A) ＋ f
n
(B).
实践证明：当试验次数 n增大时,f
n
(A) 逐渐趋向一个稳定值 。 可将此稳定值记作 P(A)，
作为事件 A的概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者 nn
H
f
n
(H)
De Morgan 2048 1061 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
1.定义(p9) 若对随机试验E所对应的样本空间S每一事件A，均赋予一实数 P(A)，集合函数
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性：P(A)≥0；
(2) 规范性：P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A
1
，A
2
,…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝ φ，(i ≠j),i,j＝1,2,…,
有P( A
1
∪ A
2
∪ … )＝P(A
1
)+P(A
2
)+…,(3.1)
则称P(A)为事件A的概率。
（二）概率的公理化定义
2.概率的性质 P(10-12)
(1) P（ φ）=0
(2) 有限可加性,
设A
1
，A
2
,…A
n
,是n个两两互不相容的事件，即当
i≠j时，A
i
A
j
＝ φ，则有
P( A
1
∪ A
2
∪ … ∪ A
n
)＝P(A
1
)＋P(A
2
)+…P(A
n
);
(3) 若事件A?B，则
P(A)≥P(B),
P(A--B)=P(A)--P(B).
(3)的推论,A
、
B是两个事件，
则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
证明：由AB?A可得。
(4)对任一事件A,0≤ P(A)≤ 1。
证明：由A?S及性质(3)可得。
(5)逆事件的概率：
P(A)＝1－P(A);
(6) 加法公式,对任意两事件 A,B，有
P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB)
该公式可推广到任意 n个事件 A
1
,A
2
,…,A
n
的情形；三个事件的加法公式如下：
注：对任意两事件 A,B，有
P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ),
)()()()(
)()()()(
ABCPBCPACPABP
CPBPAPCBAP
+
++=UU
例,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的 30%,其中有 10%的人同时定甲,乙两种报纸,没有人同时订甲乙或乙丙报纸,
求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,
解,设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
%80000%103%30
)()()()(
)()()()(
=+×=
+
++=
ABCPBCPACPABP
CPBPAPCBAP UU
例,在1 ～10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3 整除的 概率,
（3）取到的数能被2整除而不能被3 整除的 概率 。
2
1
)( =AP
10
3
)( =BP
解:设A —取到的数能被2整除;
B--取到的数能被3整除
)()()()()1( ABPBPAPBAP?+=U
10
7
=
)(1)()2( BAPBAP UI?=
10
3
=
)()()()3( ABPAPBAP?=?
5
2
=
10
1
)( =ABP
§ 4 等可能概型（古典概型）
(p12)若某试验 E满足
1.有限性：样本空间只包含有限个元素即,S＝ {e
1
,e
2
,…,e
n
};
2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同即,P(e
1
)=P(e
2
)=…=P(e
n
),
则称 E为古典概型也叫等可能概型。
例,p1-2，哪些是等可能概型？
古典概型中的概率计算
N（A）：事件A中所含样本点个数
N（S）：样本空间S中样本点总数
)(
)(
)(
SN
AN
AP =
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
n={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
k={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
8
7
)(
)(
)( ==
SN
AN
AP
二、古典概型的几类基本问题复习：排列与组合的基本概念乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有
n
1
种方法,第二步有n
2
种方法，
则完成这件事共有n
1
n
2
种方法。
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n
1
种方法，第二种途径有n
2
种方法，则完成这件事共有n
1
+n
2
种方法。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，
每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列。
nnn
n
共有n
k
种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，
每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
n n-1 n-2 n-k+1
共有P
n
k
=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，
共有
)!(!
!
! knk
n
k
P
k
n
C
k
n
k
n
==
≡
种取法.
1、抽球问题例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。
解:设A-----取到一红一白
1
2
1
3
)( CCAN =
2
5
)( CSN =
5
3
)(
2
5
1
2
1
3
==∴
C
CC
AP
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
p
=
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景参见p15，例4。
2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
3
3)( =SN
!3)( =AN
9
2
)( =AP
}{}{1)( 全有球空两合 PPBP=
3
2
9
2
3
3
1
3
==
P14，例3
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(n ≤m)，
则每盒至多有一球的概率是：
n
n
m
m
P
p =
某班级有 n 个人 (n≤365)，
问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？
3.分组问题例 3,30名学生中有 3名运动员，将这 30名学生平均分成 3组，求：（ 1）每组有一名运动员的概率；
（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解,设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组
!10!10!10
!30
)( ==
10
10
10
20
10
30
CCCSN
203
50
)(
!9!9!9
!27
!3
)( ==
SN
AP
)(
3
)(
10
10
10
20
7
27
SN
CCC
BP
×
=
一般地，把 n个球随机地分成 m组 (n>m),要求第 i 组恰有 n
i
个球 (i=1,…m)，共有分法：
!!....
!
1 m
nn
n
4 随机取数问题例 从 1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率
(2)求取到的数能被8整除的概率
(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(1)=[200/6]=33,
N(3)=[200/24]=8N(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3)的概率分别为
:33/200,1/8,1/25
§ 5 条件概率袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球 (不放回 )，问第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？
已知事件A 发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，
每次取一个，取后不放回，
（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;
（2）求第二次取到红球的概率
（3）求两次均取到红球的概率解：设A ——第一次取到红球,B ——第二次取到红球
4
1
)|()1( =ABP
5
22312
)()2(
2
5
=
×+×
=
P
BP
10
112
)()3(
2
5
=
×
=
P
ABP
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
A
B
S=
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有n
A
个样本点,AB含有n
AB
个样本点，则
A
AB
n
n
ABP =)|(
)(
)(
AP
ABP
n
n
n
n
A
AB
==
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP =
称为 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
P20 例 2
考题 P9：一 /6：已知事件 A,B是互不相容的随机事件，且 P(A)=0.2,P(B)=0.3，则 P(B|A)=？
考题 P11：二 /6：
)}(|{,5.0)(,4.0)(,3.0)( BABPBAPBPAP ∪=== 求
何时P(A|B)=P(A)? P(A|B)>P(A)?
P(A|B)<P(A)?
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件。
对概率所证明的一些重要结果都是用于条件概率。
)|()|()|()|(
212121
ABBPABPABPABBP?+=∪
1)|()|( =+ ABPABP
例：一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。
红白新
40 30
旧
20 10
设A--从盒中随机取到一只红球.
B--从盒中随机取到一只新球.
60=
A
n 40=
AB
n
3
2
)|( ==
A
AB
n
n
ABP
二、乘法公式(p21)
设A、B?S，P(A)>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A),(5.3)
此为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB),(5.4)
一般地，有下列公式：
P(A
1
A
2
…A
n
)＝P(A
1
)P(A
2
|A
1
)...P(A
n
|A
1
…A
n－1
).
(5.5)
盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，
观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。
解：设A
i
为第i次取球时取到白球，则
)|()|()|()()(
3
21
4
21
3
121
43
21
AAAAPAAAPAAPAPAAAAP =
5
2
)(
1
=AP
7
3
)|(
21
3
=AAAP
8
4
)|(
3
21
4
=AAAAP
6
3
)|(
12
=AAP
三、全概率公式与贝叶斯公式例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，
已知 三家 工厂 的市 场占 有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品
：买到一件次品设：
:
:
:
3
2
1
A
A
A
B
)()|()()|()()|(
332211
APABPAPABPAPABP ++=
0225.0
2
1
03.0
4
1
01.0
4
1
02.0 ≈×+×+×=
)()()()(
321
BAPBAPBAPBP ++=
定义 (p22)事件组A
1
，A
2
,…，A
n
，称为样本空间 S的一个划分,若满足：
.,...,2,1,),(,)(;)(
1
njijiAAii
SAi
ji
n
i
i
=≠=
=
=
φ
U
A
1
A
2…
…
…
…
…
A
n
B
定理 1,(p23) 设 A
1
,…,A
n
是 S的一个划分，且 P(A
i
)>0,(i＝ 1,…,n)，
则对任何事件 B? S有全概率公式
)6.5()|()()(
1
∑
=
n
i
ii
ABPAPBP ＝
例 有 甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球,1个红球，
乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
解：设A
1
——从甲袋放入乙袋的是白球；
A
2
——从甲袋放入乙袋的是红球；
B——从乙袋中任取一球是红球；
12
7
3
1
4
3
3
2
2
1
)()|()()|()(
2211
=×+×=+= APABPAPABPBP
甲乙思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？
7
4
12
7
)()|(
)(
)(
)|(
111
1
===
APABP
BP
BAP
BAP
答:
定理 设A
1
,…,A
n
是S的一个划分，且P(A
i
)>0，
P(B)>0,(i＝1,…，n)，则对任何事件B? S，有
)7.5(),...,1(,
)|()(
)|()(
)|(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j
==
∑
=
贝叶斯公式商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0、
B
1、
B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为 0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0
的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和
“不清,。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0,1
接收为1、0和,不清,。现接收端接收到一个,1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?
解：设A--发射端发射0,B--接收端接收到一个,1”的信号．
)BA (P ＝
)A(P)AB(P)A(P)AB(P
)A(P)AB(P
+
＝＝
0.067
45.085.055.005.0
55.005.0
×+×
×
0
1
不清
(0.9)
(0.05)
(0.05)
0 (0.55) 1 (0.45)
1
0
不清
(0.85)
(0.05)
(0.1)
条件概率 小 结条件概率缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式 贝叶斯公式
§ 6 事件的独立性一、两事件独立定义 设A、B是两事件，P(A)≠0,若
P(B)＝P(B|A)
则称事件A与B相互独立 。
此式等价于,P(AB)＝P(A)P(B)
从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？
解：P(A)=4/52，P(B)=1/4，P(AB)=1/52=P(A)P(B)。
所以A、B独立。
定理,以下四个命题等价：
(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；
(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。
二、多个事件的独立定义 若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
则称事件A、B、C 两两相互独立 ；
(2) 若在此基础上还满足：P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C),
则称事件 A、B、C相互独立 。
一般地，设A
1
，A
2
,…，A
n
是n个事件，如果对任意 k
(1
<
k
≤
n),任意的1
≤
i
1
<
i
2
<
…
<
i
k
≤
n，具有等式
P(A
i1
A
i2
… A
ik
)＝P(A
i1
)P(A
i2
)…P(A
ik
)
,
则称n个事件
A
1
，A
2
,…，A
n
相互独立。
思考,1,设事件 A,B,C,D相互独立，则独立吗？与 CDBAU
2,一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷
24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？
1,P(A∪B)P(CD)=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)P(D)
=P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
P((A ∪B)CD )= P(ACD ∪BCD )
=P(ACD)+P(BCD)-P(ACD∩BCD)
=P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
P(A∪B)P(CD)= P ((A ∪B)CD )
∴CD与 A∪B独立。
2,1-(5/6)
4
=0.518,1-(35/36)
24
=0.4914
3,考题 P125，八 /2,要加上条件 P(B)>0.
（ 1） A,B相容，即 。
证：
矛盾。
，则若
0,P(AB)B)AP(P(B)
0,P(AB)B)AP(φAB
=+=
===
φ≠AB
)()()]()()[()(
)()()()()(
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
),|()|(
BPAPBAPABPAPABP
BAPAPAPABPABP
AP
ABP
AP
BAP
AP
ABP
ABPABP
=+=
=?
==∴=Q
（ 2） A,B独立，即 P(AB)=P(A)P(B) 。
证：
事件独立性的应用
1,加法公式的简化,若事件 A
1
,A
2
,…,A
n
相互独立,则
2,在可靠性理论上的应用
P26．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。
)()....(1)...{
1
21
n
n
APAPAAAP?=UUU
设 A,L至 R为通路,A
i：
第 i个继电器通,i=1,2,…5
)()|(
5241
3
AAAAPAAP U=
42
2 pp?=
)})({()|(
54213
AAAAPAAP UU=
)()(
5421
AAPAAP UU=
22
)2( pp?=
由全概率公式
)()|()()|()(
33
33
APAAPAPAAPAP +=
5432
2522 pppp +?+=
第一章 小结六个概念：随机试验、事件、概率、条件概率、独立性四个公式：加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式一个概型：古典概型
《概率论与数理统计》
第三版浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社序言概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论
——研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算
概率的定义
等可能概型（古典概型）
条件概率
事件的独立性
§1 随机试验(简称,试验,)
随机试验的特点(p2)
1.可在相同条件下重复进行；
2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;
3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可表为E
随机实验的例
E
1
,抛一枚硬币，分别用,H” 和,T” 表示出正面和反面;
E
2
,将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E
3
,将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
E
4
,掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
E
5
,记录某网站一分钟内受到的点击次数；
E
6
,在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
E
7
,任选一人，记录他的身高和体重 。
§ 2 样本空间、随机事件(p2)
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S={e}；
2、样本点,试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.
EX,给出E1-E7的样本空间（p2-p3）
随机事件
1.定义 称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件（试验中可能出现或可能不出现的情况）,简称,事件,.
记作A、B、C等。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
2.两个特殊事件,必然事件S,不可能事件 φ.(p3)
3.基本事件：由一个样本点组成的单点集 。
例如
1,对于试验 E
2
，以下 A,B,C即为三个随机事件,
A=,至少出一个正面,
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}；
B=“三次出现同一面” ={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面” ={HTT,THT,TTH}
2,试验 E
6
中,
D =“灯泡寿命超过 1000小时,
= {x:1000<x<T(小时 )} 为随机事件,
注,可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。
同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，
如试验 E
2
，当试验的结果是 HHH时，可以说事件 A
和 B同时发生了；但事件 B和 C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述 。
事件之间的关系
1.包含关系,A发生必导致B发生,
记为A?B
A与B相等,A＝B? A?B且B?A.
2,和事件：
和事件：
事件事件
A与与
B至少有一个发生，
至少有一个发生，
记作记作
A∪B
2’ n个事件 A
1
,A
2
,…,A
n
至少有一个发生，
记作
i
n
i
A
1=
U
3.积事件(p4),A与
B同时发生，记作
A∩B＝AB
3’n个事件A
1
,A
2
,…,A
n
同时发生，记作A
1
A
2
…A
n
4.差事件 (p5),
A－ B称为 A与 B的差事件,表示事件 A发生而 B不发生思考：何时A-B= φ? 何时A-B=A？
5.互斥的事件 (p5),AB＝ φ
A,B互不相容
6,互逆的事件 (p5)? A∪B＝?,
且 AB＝ φ
BABA
AAB
=?
=
易见的对立事件，称为记作 ;
五、事件的运算(p5)
1、交换律,A∪B＝ B∪A,AB＝ BA
2、结合律,(A∪B)∪C＝ A∪(B∪C)，
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律,(A∪B)C＝ (AC)∪(BC)，
(AB)∪C＝ (A∪C)(B∪C)
4、对偶 (De Morgan)律,
.,
,
UIIU
UIU
k
k
k
k
k
k
k
k
AAAA
BAABBABA
==
==
可推广例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、
B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
解,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标
::
::
::
::
::
::
6
5
4
3
2
1
“三人均未命中目标”
“三人均命中目标”
”“最多有一人命中目标
“恰有两人命中目标”
“恰有一人命中目标”
”“至少有一人命中目标
A
A
A
A
A
A
CBA UU
CBACBACBA UU
CBABCACAB UU
BACACB UU
ABC
CBA II
§ 3 频率与概率抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？
用实验来发现规律，首先要定义频率的概念。
（一）频率的定义及性质
在相同的条件下，进行了n次试验，
：事件A发生的次数，称为事件A发生的频数。
：为事件A发生的频率。记为
A
n
n
n
A
)(Af
n
频率的基本性质：P7
频率的性质
(1) 0≤ f
n
(A) ≤1；
(2) f
n
(S)＝ 1； f
n
(φ )=0
(3) 可加性：若 AB＝ φ,则
f
n
(A∪B)＝ f
n
(A) ＋ f
n
(B).
实践证明：当试验次数 n增大时,f
n
(A) 逐渐趋向一个稳定值 。 可将此稳定值记作 P(A)，
作为事件 A的概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者 nn
H
f
n
(H)
De Morgan 2048 1061 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
1.定义(p9) 若对随机试验E所对应的样本空间S每一事件A，均赋予一实数 P(A)，集合函数
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性：P(A)≥0；
(2) 规范性：P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A
1
，A
2
,…,是一列两两互不相容的事件，即A
i
A
j
＝ φ，(i ≠j),i,j＝1,2,…,
有P( A
1
∪ A
2
∪ … )＝P(A
1
)+P(A
2
)+…,(3.1)
则称P(A)为事件A的概率。
（二）概率的公理化定义
2.概率的性质 P(10-12)
(1) P（ φ）=0
(2) 有限可加性,
设A
1
，A
2
,…A
n
,是n个两两互不相容的事件，即当
i≠j时，A
i
A
j
＝ φ，则有
P( A
1
∪ A
2
∪ … ∪ A
n
)＝P(A
1
)＋P(A
2
)+…P(A
n
);
(3) 若事件A?B，则
P(A)≥P(B),
P(A--B)=P(A)--P(B).
(3)的推论,A
、
B是两个事件，
则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
证明：由AB?A可得。
(4)对任一事件A,0≤ P(A)≤ 1。
证明：由A?S及性质(3)可得。
(5)逆事件的概率：
P(A)＝1－P(A);
(6) 加法公式,对任意两事件 A,B，有
P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB)
该公式可推广到任意 n个事件 A
1
,A
2
,…,A
n
的情形；三个事件的加法公式如下：
注：对任意两事件 A,B，有
P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ),
)()()()(
)()()()(
ABCPBCPACPABP
CPBPAPCBAP
+
++=UU
例,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的 30%,其中有 10%的人同时定甲,乙两种报纸,没有人同时订甲乙或乙丙报纸,
求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,
解,设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
%80000%103%30
)()()()(
)()()()(
=+×=
+
++=
ABCPBCPACPABP
CPBPAPCBAP UU
例,在1 ～10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3 整除的 概率,
（3）取到的数能被2整除而不能被3 整除的 概率 。
2
1
)( =AP
10
3
)( =BP
解:设A —取到的数能被2整除;
B--取到的数能被3整除
)()()()()1( ABPBPAPBAP?+=U
10
7
=
)(1)()2( BAPBAP UI?=
10
3
=
)()()()3( ABPAPBAP?=?
5
2
=
10
1
)( =ABP
§ 4 等可能概型（古典概型）
(p12)若某试验 E满足
1.有限性：样本空间只包含有限个元素即,S＝ {e
1
,e
2
,…,e
n
};
2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同即,P(e
1
)=P(e
2
)=…=P(e
n
),
则称 E为古典概型也叫等可能概型。
例,p1-2，哪些是等可能概型？
古典概型中的概率计算
N（A）：事件A中所含样本点个数
N（S）：样本空间S中样本点总数
)(
)(
)(
SN
AN
AP =
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
n={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
k={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
8
7
)(
)(
)( ==
SN
AN
AP
二、古典概型的几类基本问题复习：排列与组合的基本概念乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有
n
1
种方法,第二步有n
2
种方法，
则完成这件事共有n
1
n
2
种方法。
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n
1
种方法，第二种途径有n
2
种方法，则完成这件事共有n
1
+n
2
种方法。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，
每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列。
nnn
n
共有n
k
种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，
每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
n n-1 n-2 n-k+1
共有P
n
k
=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，
共有
)!(!
!
! knk
n
k
P
k
n
C
k
n
k
n
==
≡
种取法.
1、抽球问题例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。
解:设A-----取到一红一白
1
2
1
3
)( CCAN =
2
5
)( CSN =
5
3
)(
2
5
1
2
1
3
==∴
C
CC
AP
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
p
=
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景参见p15，例4。
2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
3
3)( =SN
!3)( =AN
9
2
)( =AP
}{}{1)( 全有球空两合 PPBP=
3
2
9
2
3
3
1
3
==
P14，例3
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(n ≤m)，
则每盒至多有一球的概率是：
n
n
m
m
P
p =
某班级有 n 个人 (n≤365)，
问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？
3.分组问题例 3,30名学生中有 3名运动员，将这 30名学生平均分成 3组，求：（ 1）每组有一名运动员的概率；
（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解,设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组
!10!10!10
!30
)( ==
10
10
10
20
10
30
CCCSN
203
50
)(
!9!9!9
!27
!3
)( ==
SN
AP
)(
3
)(
10
10
10
20
7
27
SN
CCC
BP
×
=
一般地，把 n个球随机地分成 m组 (n>m),要求第 i 组恰有 n
i
个球 (i=1,…m)，共有分法：
!!....
!
1 m
nn
n
4 随机取数问题例 从 1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率
(2)求取到的数能被8整除的概率
(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(1)=[200/6]=33,
N(3)=[200/24]=8N(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3)的概率分别为
:33/200,1/8,1/25
§ 5 条件概率袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球 (不放回 )，问第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？
已知事件A 发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，
每次取一个，取后不放回，
（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;
（2）求第二次取到红球的概率
（3）求两次均取到红球的概率解：设A ——第一次取到红球,B ——第二次取到红球
4
1
)|()1( =ABP
5
22312
)()2(
2
5
=
×+×
=
P
BP
10
112
)()3(
2
5
=
×
=
P
ABP
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
A
B
S=
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有n
A
个样本点,AB含有n
AB
个样本点，则
A
AB
n
n
ABP =)|(
)(
)(
AP
ABP
n
n
n
n
A
AB
==
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP =
称为 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
P20 例 2
考题 P9：一 /6：已知事件 A,B是互不相容的随机事件，且 P(A)=0.2,P(B)=0.3，则 P(B|A)=？
考题 P11：二 /6：
)}(|{,5.0)(,4.0)(,3.0)( BABPBAPBPAP ∪=== 求
何时P(A|B)=P(A)? P(A|B)>P(A)?
P(A|B)<P(A)?
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件。
对概率所证明的一些重要结果都是用于条件概率。
)|()|()|()|(
212121
ABBPABPABPABBP?+=∪
1)|()|( =+ ABPABP
例：一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。
红白新
40 30
旧
20 10
设A--从盒中随机取到一只红球.
B--从盒中随机取到一只新球.
60=
A
n 40=
AB
n
3
2
)|( ==
A
AB
n
n
ABP
二、乘法公式(p21)
设A、B?S，P(A)>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A),(5.3)
此为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB),(5.4)
一般地，有下列公式：
P(A
1
A
2
…A
n
)＝P(A
1
)P(A
2
|A
1
)...P(A
n
|A
1
…A
n－1
).
(5.5)
盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，
观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。
解：设A
i
为第i次取球时取到白球，则
)|()|()|()()(
3
21
4
21
3
121
43
21
AAAAPAAAPAAPAPAAAAP =
5
2
)(
1
=AP
7
3
)|(
21
3
=AAAP
8
4
)|(
3
21
4
=AAAAP
6
3
)|(
12
=AAP
三、全概率公式与贝叶斯公式例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，
已知 三家 工厂 的市 场占 有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品
：买到一件次品设：
:
:
:
3
2
1
A
A
A
B
)()|()()|()()|(
332211
APABPAPABPAPABP ++=
0225.0
2
1
03.0
4
1
01.0
4
1
02.0 ≈×+×+×=
)()()()(
321
BAPBAPBAPBP ++=
定义 (p22)事件组A
1
，A
2
,…，A
n
，称为样本空间 S的一个划分,若满足：
.,...,2,1,),(,)(;)(
1
njijiAAii
SAi
ji
n
i
i
=≠=
=
=
φ
U
A
1
A
2…
…
…
…
…
A
n
B
定理 1,(p23) 设 A
1
,…,A
n
是 S的一个划分，且 P(A
i
)>0,(i＝ 1,…,n)，
则对任何事件 B? S有全概率公式
)6.5()|()()(
1
∑
=
n
i
ii
ABPAPBP ＝
例 有 甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球,1个红球，
乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
解：设A
1
——从甲袋放入乙袋的是白球；
A
2
——从甲袋放入乙袋的是红球；
B——从乙袋中任取一球是红球；
12
7
3
1
4
3
3
2
2
1
)()|()()|()(
2211
=×+×=+= APABPAPABPBP
甲乙思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？
7
4
12
7
)()|(
)(
)(
)|(
111
1
===
APABP
BP
BAP
BAP
答:
定理 设A
1
,…,A
n
是S的一个划分，且P(A
i
)>0，
P(B)>0,(i＝1,…，n)，则对任何事件B? S，有
)7.5(),...,1(,
)|()(
)|()(
)|(
1
nj
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
j
==
∑
=
贝叶斯公式商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0、
B
1、
B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
已知:P(B
0
)=0.8,P(B
1
)=0.1,P(B
2
)=0.1
1)|(
0
=BAP
5
4
)|(
4
20
4
19
1
==
C
C
BAP
19
12
)|(
4
20
4
18
2
==
C
C
BAP
由Bayes公式:
∑
=
=
2
0
11
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
4
1.0
≈
×+×+×
×
=
数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为 0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0
的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和
“不清,。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0,1
接收为1、0和,不清,。现接收端接收到一个,1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?
解：设A--发射端发射0,B--接收端接收到一个,1”的信号．
)BA (P ＝
)A(P)AB(P)A(P)AB(P
)A(P)AB(P
+
＝＝
0.067
45.085.055.005.0
55.005.0
×+×
×
0
1
不清
(0.9)
(0.05)
(0.05)
0 (0.55) 1 (0.45)
1
0
不清
(0.85)
(0.05)
(0.1)
条件概率 小 结条件概率缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式 贝叶斯公式
§ 6 事件的独立性一、两事件独立定义 设A、B是两事件，P(A)≠0,若
P(B)＝P(B|A)
则称事件A与B相互独立 。
此式等价于,P(AB)＝P(A)P(B)
从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？
解：P(A)=4/52，P(B)=1/4，P(AB)=1/52=P(A)P(B)。
所以A、B独立。
定理,以下四个命题等价：
(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；
(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。
二、多个事件的独立定义 若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
则称事件A、B、C 两两相互独立 ；
(2) 若在此基础上还满足：P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C),
则称事件 A、B、C相互独立 。
一般地，设A
1
，A
2
,…，A
n
是n个事件，如果对任意 k
(1
<
k
≤
n),任意的1
≤
i
1
<
i
2
<
…
<
i
k
≤
n，具有等式
P(A
i1
A
i2
… A
ik
)＝P(A
i1
)P(A
i2
)…P(A
ik
)
,
则称n个事件
A
1
，A
2
,…，A
n
相互独立。
思考,1,设事件 A,B,C,D相互独立，则独立吗？与 CDBAU
2,一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷
24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？
1,P(A∪B)P(CD)=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)P(D)
=P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
P((A ∪B)CD )= P(ACD ∪BCD )
=P(ACD)+P(BCD)-P(ACD∩BCD)
=P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
P(A∪B)P(CD)= P ((A ∪B)CD )
∴CD与 A∪B独立。
2,1-(5/6)
4
=0.518,1-(35/36)
24
=0.4914
3,考题 P125，八 /2,要加上条件 P(B)>0.
（ 1） A,B相容，即 。
证：
矛盾。
，则若
0,P(AB)B)AP(P(B)
0,P(AB)B)AP(φAB
=+=
===
φ≠AB
)()()]()()[()(
)()()()()(
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
),|()|(
BPAPBAPABPAPABP
BAPAPAPABPABP
AP
ABP
AP
BAP
AP
ABP
ABPABP
=+=
=?
==∴=Q
（ 2） A,B独立，即 P(AB)=P(A)P(B) 。
证：
事件独立性的应用
1,加法公式的简化,若事件 A
1
,A
2
,…,A
n
相互独立,则
2,在可靠性理论上的应用
P26．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。
)()....(1)...{
1
21
n
n
APAPAAAP?=UUU
设 A,L至 R为通路,A
i：
第 i个继电器通,i=1,2,…5
)()|(
5241
3
AAAAPAAP U=
42
2 pp?=
)})({()|(
54213
AAAAPAAP UU=
)()(
5421
AAPAAP UU=
22
)2( pp?=
由全概率公式
)()|()()|()(
33
33
APAAPAPAAPAP +=
5432
2522 pppp +?+=
第一章 小结六个概念：随机试验、事件、概率、条件概率、独立性四个公式：加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式一个概型：古典概型
