第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量
联合分布
边缘分布
条件分布
相互独立的随机变量
两个随机变量函数的分布
§1 二维随机变量定义 将n个随机变量X
1
，X
2
，...,X
n
构成一个n维向量(X
1,
X
2
,...,X
n
)，称为n维随机变量或随机向量。
多维随机变量的研究方法与一维类似，
用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。
一维随机变量 X——R
1
上的随机点坐标二维随机变量 (X,Y)——R
2
上的随机点坐标,p74
二维随机变量 (X,Y)中的 X,Y定义在同一样本空间 S上二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与 X,Y有关，而且还依赖于它们间的相互关系。
二,联合分布函数定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y) ∈R
2
,则称
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}= P{X≤x,Y≤y}
为(X,Y)的 分布函数,或X与Y的联合分布函数。
注：事件{X ≤x,Y≤y}表示事件{X ≤x}与事件{Y ≤y}之积
P {X≤x,Y≤y} P {X≤x} P{Y≤y}
≠
(除非这两个事件是独立的)
P {X≤x,Y≤y}=P {X≤x} P{Y≤y|X ≤x}
联合分布函数的几何意义
00
,yx
( ){ }
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：
设 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),则
P{x
1
<X≤x
2，
y
1
<y≤y
2
}
＝F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
).
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
(x
2
,y
1
)
(x
1
,y
2
)
分布函数F(x,y)具有如下性质：
(1)归一性对任意(x,y) ∈R
2
,0≤ F(x,y) ≤ 1,
1),(lim),( ==∞∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
0),(lim),( ==?∞?∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFyF
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFxF
y
(2)单调不减对任意y ∈R,当x
1
<x
2
时，F(x
1
,y) ≤ F(x
2
,y)；
对任意x ∈R,当y
1
<y
2
时，F(x,y
1
) ≤ F(x,y
2
),
(3)右连续 对任意x ∈R,y∈R,
).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F
0
yy
0
0
==+
+
→
);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
(4)矩形不等式对于任意 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),
F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
)≥0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例,已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
)]
3
()][
2
([),(
y
arctgC
x
arctgBAyxF ++=
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解:
1]
2
[),( =+=∞∞
π
BAF
0)]
3
(][
2
[),( =+?=?∞
y
arctgCBAyF
π
0]
2
)][
2
([),( =?+=?∞
π
C
x
arctgBAxF
2
1
2 π
π
===? ACB
16
1
)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{ =+=≤<≤< FFFFYXP
三.联合分布律
若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(x
i
,y
j
),
(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为 二维离散型随机变量。
若二维离散型随机变量(X,Y)取(x
i
,y
j
)的概率为p
ij
,
则称 P{X＝x
i
,Y＝y
j
}＝p
ij,
(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.
可记为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
}＝p
ij
(i,j＝1,2,…)
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X
Y y
1
y
2
…y
j
…
p
11
p
12
..,p
1j
..,
p
21
p
22
..,p
2j
..,
p
i1
p
i2
..,p
ij
..,
...
.
..
...,..,..
...,..,..
x
1
x
2
x
i
联合分布律的性质 (1) p
ij
≥0,i,j＝1,2,…
(2)
1p
1i1j
ij
＝
∑ ∑
≥≥
例 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，
令
=
=
第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球
0
1
0
1
Y
X
求(X,Y)的分布律。
X
Y
1 0
10
1
10
3
10
3
10
3
2
5
2
2
}1,1{
P
P
YXP ===
2
5
32
}0,1{
P
YXP
×
===
2
5
23
}1,0{
P
YXP
×
===
2
5
2
3
}0,0{
P
P
YXP ===
1
0
四,二维连续型随机变量及其密度函数
1,定义 p77
对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对?(x,y)∈R
2
，
其分布函数
∫∫
∞?∞?
=
x y
,dudv)v,u(f)y,x(F
则称(X,Y)为 二维连续型随机变量,f(x,y)为
(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的 联合密度函数,可记为
(X,Y)～f (x,y)，(x,y)∈R
2
2、联合密度 f(x,y)的性质
(1) 非负性,f(x,y)≥0,(x,y)∈R
2;
(2) 归一性,
∫∫
∞
∞
∞
∞
=
－－;1),( dxdyyxf
反之，具有以上两个性质的二元函数 f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。
此外，f(x,y)还有下述性质
(3) 若f(x,y)在(x,y) ∈R
2
处连续，则有
);y,x(f
yx
)y,x(F
2
=
(4) 对于任意平面区域 G?R
2
,
∫∫
=∈
G
dxdyyxfGYXP,),(}),{(
设
<<<<
=
others
yx
yxfYX
0
10,101
),(~),(
求,P{X>Y}
2
1
1}{
0
1
0
=?=>
∫∫
x
dydxYXP
>>
=
+?
其它,0
0,0,
),(~),(
)32(
yxAe
yxfYX
yx
例设求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x ≥0,y≥0,2X+3y≤6 内的概率。
解：(1) 由归一性
∫∫ ∫∫
∞
∞
∞
∞
∞∞
+?
==
－－00
)32(
1),( dxdyAedxdyyxf
yx
6=? A
∫∫
+?
==
1
0
1
0
32)32(
)1)(1(6)1,1()2( eedxdyeF
yx
(3) (X,Y)落在区域D：x ≥0,y≥0,2X+3y≤6内的概率
dxdyeDYXP
D
yx
∫∫
+?
=∈
)32(
6}),{(
解
∫∫
+?
=
3
0
3
2
2
0
)32(
6 dyedx
x
yx
6
71
= e
3,两个常用的二维连续型分布
(1) 二维均匀分布
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。
∈
=
其它
，
的面积
,0
),(
1
),(
2
RDyx
D
yxf
D
G
S
S
GYXP =∈ }},{(
易见，若（X,Y）在区域D上(内)服从均匀分布，
对D内任意区域G，有例.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度；
(2)求P{Y<2X} ；
(3)求F(0.5,0.5)
y=-x
y=x
1=
D
S
解：（ 1）
∈
=
other
Dyx
yxf
,0
),(1
),(
，
(2)求P{Y<2X}
y=2x
4
1
1
2
3
2
1
1 =××?=
G
S
P{Y<2X}=S
G
/S
D
=0.25
(3)求F(0.5,0.5)
F(0.5,0.5)=P{X≤0.5,Y≤0.5}
=S
3
/S
D
=0.25
4
1
2
1
1
2
1
3
=××=S
(2) 二维正态分布 N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ)
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)
,e
12
1
)y,x(f
]
)y()y)(x(
2
)x(
[
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
σ
μ?
+
σσ
μ?μ?
ρ?
σ
μ?
ρ?
ρ?σπσ
=
其中,μ
1
,μ
2
为实数,σ
1
>0,σ
2
>0、
|ρ|<1，则称(X,Y)服从参数为
μ
1
,μ
2
,σ
1
,σ
2
,ρ的二维正态分布，可记为
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμNYX
分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形（p79）。
对n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)，
1。 F(x
1
,x
2
,…,x
n
)=P(X
1
≤x
1
,X
2
≤x
2
,…,X
n
≤x
n
)
称为的n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)的分布函数，
或随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)的联合分布函数 。
2。如果存在非负的n元函数f(x
1
,x
2
,...x
n
)，使对任意的n元立方体
( ){ }
nnn
bxabxaxxD ≤<≤<=,...:,...
111
(){}
∫∫
=∈
D
nnn
dxdxxxfDXXP,..),...,x(......
1211
有则称(X
1,
X
2
,...X
n
)为n维连续型随机变量，称
f(x
1
,x
2
,...x
n
)为(X
1,
X
2
,...X
n
)的概率密度。
3。 若(X
1,
X
2
,...X
n
)的全部可能取值为R
n
上的有限或可列无穷多个点，称(X
1,
X
2
,...X
n
)为n维离散的，
称P {X
1
=x
1,
X
2
=x
2
,...X
n
=x
n
}，(x
1
,x
2
,...x
n
)，为n
维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的联合分布律。
EX,随机变量（X，Y）的概率密度为求：(1)P{X ≤0},(2)P{X≤1},(3)P{Y≤y
0
}
<<
=
others
yxe
yxf
y
0
0
),(
y
D
解,P{X≤0}=0
1
1
0
1}1{
∞
==≤
∫∫
edyedxXP
x
y
≤
>
=≤
∫∫
00
0
}{
0
0
0
0
0
0
y
ydyedx
yYP
y
x
y
y
x
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目，写出 (X,Y)的联合分布律。
2
4
22
}0,1{
×
=== YXP
X
Y
0
1
2
0 1 2
A中哪封信另一封信在 CD中选。
2
2
4
2
}0,0{ === YXP
4/16
2/16
4/16 1/16
4/16 0
1/16 0 0 2
4
2
}1,1{ === YXP
2封信交换
AB内无信,2封信,CD内选。
2
4
32
}1{
×
==XP
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目,写出 X的分布律 。
A中哪封信
0 1 2X
p
k
9/16 6/16 1/16
另一封信在 BCD中选。
2
2
4
3
}0{ ==XP
A无信,2封信,BCD内选。
X 0 1 2
p
k
9/16 6/16 1/16
X
Y
0 1 2
9
\
16
6
\
16
1
\
16
0
1
2
4/16 4/16 1/16
2/164/16 0
1/16 0 0
§2 边缘分布一、边缘分布律 (p80)
若随机变量 X与 Y的联合分布律为
(X,Y)～ P{X＝ x
i
,Y＝ y
j
}＝ p
ij,
i,j＝ 1,2,…,则称
P{X＝ x
i
}＝ p
i
.
＝，i＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 X的 边缘分布律 ；
∑
≥1j
ij
p
∑
≥1i
ij
p
P{Y＝ y
j
}＝ p
.
j
＝，j＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例,已知(X,Y)的分布律，求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
解：
x\y10p
i.
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
p
.j
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0 Y 1 0
P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
2/5
3/5
2/5 3/5
二、边缘分布函数(p80)
)y,x(Flim
y +∞→
1。F
X
(x)＝F (x,+∞)＝＝P{X≤x}
称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；
2。F
Y
(y)＝F (+∞,y)＝＝P{Y≤y}
称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.
)y,x(Flim
x +∞→
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。
例1.已知(X,Y)的分布函数，
≤≤
≤≤
=
其它0
01
01
),( xyyee
yxxee
yxF
yy
yx
求F
X
(x)与F
Y
(y)。
解
<
≥?
=∞=
00
01
),()(
x
xe
xFxF
x
X
<
≥
=∞=
00
01
),()(
y
yyee
yFyF
yy
Y
三、边缘密度函数 (p81)
设 (X,Y)～f (x,y),(x,y)∈R
2
,则称
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
为(X,Y)关于X的边缘密度函数。
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
∑
≥1j
ij
p
注,P{X＝ x
i
}＝ p
i
.
＝
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
（对 j求和，关于 y）
p82 例 3,N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ) 的边缘密度函数
f
X
(x) 是 N(μ
1
,σ
1
2
) 的密度函数，
f
Y
(y) 是 N(μ
2
,σ
2
2
) 的密度函数，
二维正态分布的边缘分布是一维正态分布 。
二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布。
设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度
x=y
x= -y
<≤?=
<<?+=
=
∫
∫
others
xxdy
xxdy
xf
x
x
X
0
10,11
01,11
)(
1
1
<<=
=
∫
others
yydx
yf
y
y
Y
0
1021
)(
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
例,设(X,Y)的概率密度为
<≤
=
others
xyxc
yxf
0
),(
2
(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=?c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
100 >< xorx
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目,写出当 B内无信时（ Y=0）,X的分布律 。
9
4
16/9
16/4
)0(
)0,0(
}0|0{ ==
=
==
===
YP
YXP
YXP
解：
P{X=1|Y=0}=4/9,P{X=2|Y=0}=1/9。
X
Y
0
1
2
0 1 2
4/16 4/16 1/16
4/16 4/16 0
1/16 0 0
9
\
16
6
\
16
1
\
16
§3 条件分布一.离散型随机变量的条件分布律p84
设随机变量 X与 Y的联合分布律为
(X,Y)～ P{X＝ x
i
,Y＝ y
j
}＝ p
ij,
(i,j＝ 1,2 … )，
X和 Y的边缘分布律分别为
,...2,1}{
1
====
∑
≥
ippxXP
j
ijii
,...2,1}{
1
====
∑
≥
jppyYP
i
ijjj
对 固定的 j,若 p
.
j
>0,称为 Y＝ y
j
的条件下,X的条件分布律 ;
,...2,1,}|{
.
=== i
p
p
yYxXP
j
ij
ji
＝
对 固定的 i,若 p
i
.
>0,称
,...2,1,}|{
.
=== j
p
p
xXyYP
i
ij
ij
＝
为 X＝ x
i
的条件下,Y的条件分布律。
条件分布律具有分布律的性质
1}|{).2(
0}|{).1(
1
===
≥==
∑
∞
=i
ji
ji
yYxXP
yYxXP
1}|{).'2(
0}|{).'1(
1
===
≥==
∑
∞
=j
ij
ij
xXyYP
xXyYP
P84，例 1。
二、连续型随机变量的条件概率密度定义：给定y，设对任意固定的正数 ε>0，极限
}{
},{
lim
}|{lim
0
0
εε
εε
εε
ε
ε
+≤<?
+≤<?≤
=
+≤<?≤
→
→
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数.
记作
}|{)|(
|
yYxXPyxF
YX
=≤≡
同理，在条件X=x下Y的条件分布函数为
}|{)|(
|
xXyYPxyF
XY
=≤≡
0)( ≠yf
y
)(
),(
)|(
|
yf
duvuf
yxF
Y
x
YX
∫
∞?
=
可证当 时
)3.3(
)(
),(
)|(
|
∫
∞?
=
x
Y
YX
dx
yf
yxf
yxF
即 p87
∫
∞?
=
y
X
XY
dy
yf
yxf
xyF
)(
),(
)|(
|
而若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，
则由(3.3)式知,当 时,
)|(
|
yxf
YX
0)( ≠yf
Y
)(
),(
)|(
)|(
|
|
yf
yxf
x
yxF
yxf
Y
YX
YX
=
=
类似地，当 时
0)( ≠xf
X
)(
),(
)|(
)|(
|
|
xf
yxf
y
xyF
xyf
X
XY
XY
=
=
例2.已知(X,Y)的概率密度为
<<
=
其它0
1
4
21
),(
22
yxyx
yxf
y
1
(1)求条件概率密度
)|(
|
xyf
XY
(2)求条件概率
}
3
1
|
3
1
{?=> XYP
x
解,
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
<<?
=
∫
others
xydyx
x
,0
11,
4
21
1
2
2
<<
=
others
xxx
xf
X
,0
11),1(
8
21
)(
42
<<
=
其它0
1
4
21
),(
22
yxyx
yxf
<<
=
others
yx
x
y
xyf
XY
0
1
1
2
)|(
2
4
|
<<
=
others
yx
x
y
xyf
XY
0
1
1
2
)|(
2
4
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
0
1
3
1
,
3
1
1
2
)
3
1
|(
2
4
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
,0
1
9
1
,
40
81
)
3
1
|(
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
,0
1
9
1
,
40
81
)
3
1
|(
|
10
9
40
81
)
3
1
|(
3
1
3
1
1
3
1
3
1
|
==?=
=>
∫∫
∞
dy
y
dyyfXYP
XY
注 1,注意积分上下限
∫∫
∞?
=?=
=<
3
1
9
1
3
1
|
40
81
)
3
1
|(
3
1
3
1
dy
y
dyyfXYP
XY
注 2,条件 X=1/3和 X<1/3，求概率的方法不同。
见考题 P162(五 )。（与 P177(六 )比较。）
)()|(),(
|
xfxyfyxf
XXY
=
注 3：
见 P89例 4。
§ 4 相互独立的随机变量事件A与事件B独立,P{AB}=P{A}P{B}
随机变量 X与Y独立 (p90)
设F(x,y)及F
X
(x)、F
Y
(y)分别是二维随机变量
(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有的x,y,有 P{X≤x,Y≤y}= P{X≤x}P{Y≤y}
即 F(x,y) = F
X
(x) F
Y
(y)
则称随机变量X和Y是相互独立的。
(p90) 二维 连续型 随机变量，X与Y 独立
f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)
二维 离散型 随机变量，X与Y 独立
P
i,j
=P
i?.
P
j
任意i,j
由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可例,已知随机变量(X,Y)的分布律为
x12
01/6/6
1ab
且知X与Y独立，求a、b的值。
12
0 1/6 2/6 1/2
1a b a+b
a+1/6 b+2/6
(b+2/6)1/2=2/6，得 b=2/6.(a+1/6)1/2=1/6，得 a=1/6.
解：
验算,(a+1/6)(a+b)=a,(b+2/6)(a+b)=b.
P92 例例,甲乙约定8:00 ～9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率 。
二维正态分布
2.对于二位正态随机变量（X,Y），
X和Y相互独立的充要条件是 ρ =0。
1.N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ)的 边缘分布也是正态分布
f
X
(x)是N( μ
1
,σ
1
2
)的密度函数，
f
Y
(y)是N( μ
2
,σ
2
2
)的密度函数（p82 例3）
五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p93)
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F(x
1
,x
2
,...x
n
),(X
1,
X
2
,...X
n
)的k（1 ≤k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X
1,
X
2
)的边缘分布函数是F
X1,X2
（x
1
,x
2
,)=F(x
1
,x
2,
∞,∞...∞)
若X
k
的边缘分布函数为F
Xk
(x
k
),k=1,2,…,n,
)()....()(),...(
211
21
nXXXn
xFxFxFxxF
n
=
则称X
1,
X
2
,...X
n
相互独立。
1,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数
i
1
,i
2
,…,i
n
及实数 有则称离散型随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立 。
n
iii
,...,x,xx
21
}{}{
1111 nnnn
iiiiiiii
xX...PxXP}x,...,XxP{X =====
2,设X
1
，X
2
,…，X
n
为n 个连续型随机变量，若对任意的(x
1
,x
2
,…,x
n
)∈R
n
，
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)＝f
X
1
(x
1
)f
X
2
(x
2
)…f
X
n
(x
n
)
几乎处处成立，则称X
1
，X
2
,…，X
n
相互独立。
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F
X
(x
1
,x
2
,...x
n
)；m维随机变量(Y
1,
Y
2
,…Y
m
)的分布函数为F
Y
(y
1,
y
2
,…y
m
),X
1,
X
2
,...X
n
,Y
1,
Y
2
,…Y
m
组成的n+m维随机变量（X
1,
X
2
,...X
n
,Y
1,
Y
2
,…Y
m
)
的分布函数为F(x
1
,x
2
,...x
n
,y
1,
y
2
,…y
m
).如果
F(x
1
,...x
n
,y
1
,…y
m
)=F
X
(x
1
,...x
n
)F
Y
(y
1,
y
2
,…y
m
)
则称n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)与m维随机变量(Y
1,
Y
2
,…Y
m
)独立。
定理 P94
设(X
1
,X
2
,…X
n
)与(Y
1
,Y
2
,…Y
m
)相互独立，则
(1)X
i
(i=1,2,…n)与Y
j
(j=1,2,…m)相互独立；
(2)若h,g是连续函数，则
h(X
1
,
,
X
2
,…X
n
)与g(Y
1
,Y
2
,…Y
m
)相互独立.
这个结论在数理统计中有广泛应用
§ 5 两个随机变量函数的分布掌握三种形式：Z=X+Y,Z=max(X,Y),Z=min(X,Y)
一,二维离散型随机变量函数的分布律例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布,
(1) 求W＝X＋Y的分布律;
(2) 求V＝max(X,Y)的分布律；
(3) 求U＝min(X,Y)的分布律。
(4) 求w与V的联合分布律。
X 1 0
p
k
p q
Y 1 0
p
k
p q
表中后三行是W、V、U相应的取值
U＝min(X,Y)
V＝max(X,Y)
W＝X＋Y
p
ij
(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)(X,Y)
2
q
pq pq
2
p
01 12
1
0
0
01
V
W
2
q
pq2
2
p
0 1 2
0
1
00
0
二,二维连续型随机变量函数的分布掌握三种形式：Z=X+Y,Z=max(X,Y),Z=min(X,Y)
1。已知二维随机变量(X,Y)～f(x,y),求Z＝X＋Y的概率密度。
(1) Z是一维连续型随机变量。
(2) Z的概率密度公式为：
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxfdyyyzfzf
Z
z
x+y=z
x+y≤ z
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxfdyyyzfzf
Z
(3) 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数为：
.)()()()()( dxxzfxfdyyfyzfzf
YXYXZ
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
或
＝
例：已知 (X,Y)的概率密度如下，求 Z=X+Y的概率密度
<<<<
=
other
xyx
yxf
0
)1(20,101
),(
解：
∫
∞
∞?
= dxxzxfzf
Z
),()(
<?<<<
=?
other
xxzx
xzxf
0
)1(20,101
),(
:0),( Gxzxf的区域≠?
<
<
<<
<?
>?
<<
zx
zx
x
xxz
xz
x
2
10
)1(2
0
10
x=z
x+z=2
z
x
2
1
1
对 x积分,G要分成两块：
当 0<z<1时，
∫∫
==?=
∞
∞?
z
Z
zdxdxxzxfzf
0
1),()(
∫∫
∞
∞?
==?=
z
Z
zdxdxxzxfzf
2
0
21),()(
当 1≤z<2时，
<≤?
<<
=∴
other
zz
zz
zf
Z
0
212
10
)(
例：已知 X,Y的概率密度如下,X与 Y相互独立，求
Z=X+Y的概率密度
<
≥
=
00
0
)(
y
ye
yf
y
Y
<
≥
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
X
x
.)()()( dxxzfxfzf
YXZ
=
∫
∞
∞?
解：
<?
≥?
=?
00
0
)(
)(
xz
xze
xzf
xz
Y
z
≥
≥
0x
xz
:0)()( Gxzfxf
YX
的区域≠?
当 z≥0时，对 x积分：
∫
==
z
zxzx
Z
zedxeezf
0
)(
)(
<
≥
=∴
00
0
)(
z
zze
zf
z
Z
P95 例1,设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。
一般地，设随机变量X
1
,X
2
，...,X
n
独立，且
X
i
服从正态分布N( μ
i
,σ
i
2
),i=1,...,n,
则
),(~
2
1
2
11
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
aaNXa σμ
∑∑∑
===
例,卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从
N(50,2.5
2
)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.
解,设最多装n袋水泥,X
i
为第i袋水泥的重量.则
05.0}2000{
1
≤>
∑
=
n
i
i
XP )5.2,50(~
2
1
nnNX
n
i
i∑
=
05.0)
5.2
502000
(1}2000{
1
≤
Φ?=>?
∑
=
n
n
XP
n
i
i
95.0)
5.2
502000
( ≥
Φ
n
n
查表得
645.1
5.2
502000
≥
n
n
39≥?n
2、极大值、极小值的分布
(1) 设 X与 Y相互独立,F
X
(x),F
Y
(y)分别是其边缘分布函数。 M＝ max{X,Y},N＝ min{X,Y}
F
M
(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
=F
X
(z)F
Y
(z)
F
N
(z)=P{N≤z}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}
=1-P{X>z}P{Y>z}
=1-[1-F
X
(z)][1-F
Y
(z)]
(2) 设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,其分布函数分别为F
1
(x
1
),F
2
(x
2
),…,F
n
(x
n
)，记
M＝max{X
1
,X
2
,…,X
n
},N＝min{X
1
,X
2
,…,X
n
}
则M和N的分布函数分别为：
F
M
(z)＝F
1
(z) … F
n
(z)
.)](1[1)(
1
∏
=
=
n
i
iN
zFzF
(3) 特别地，当 X
1
,X
2
,…,X
n
独立同分布 (分布函数或密度函数相同 )时，有
F
M
(z)＝ [F(z)]
n
F
N
(z)＝ 1－ [1－ F(z)]
n
进一步地，若 X
1
,X
2
,…,X
n
独立且具相同的密度函数 f(x)，则 M和 N的密度函数分别由下式表出
f
M
(z)＝ n[F(z)]
n－ 1
f(z)；
f
N
(z)＝ n[1－ F(z)]
n－ 1
f(z).
例4,设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设
L
1
,L
2
的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
X
α
α
≤
>
=
00
0
)(
y
ye
yf
y
Y
β
β
其中 α>0,β>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．
？ p100 第三种连接方式应当怎样计算小结边缘分布律离散型——分布律归一性概率计算分布函数与分布立场律的互变独立性边缘分布函数分布函数归一性概率计算边缘概率密度均匀分布正态分布连续型——概率密度归一性概率计算分布函数与概率密度的互变多维随机变量二维随机变量函数的分布
二维随机变量
联合分布
边缘分布
条件分布
相互独立的随机变量
两个随机变量函数的分布
§1 二维随机变量定义 将n个随机变量X
1
，X
2
，...,X
n
构成一个n维向量(X
1,
X
2
,...,X
n
)，称为n维随机变量或随机向量。
多维随机变量的研究方法与一维类似，
用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。
一维随机变量 X——R
1
上的随机点坐标二维随机变量 (X,Y)——R
2
上的随机点坐标,p74
二维随机变量 (X,Y)中的 X,Y定义在同一样本空间 S上二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与 X,Y有关，而且还依赖于它们间的相互关系。
二,联合分布函数定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y) ∈R
2
,则称
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}= P{X≤x,Y≤y}
为(X,Y)的 分布函数,或X与Y的联合分布函数。
注：事件{X ≤x,Y≤y}表示事件{X ≤x}与事件{Y ≤y}之积
P {X≤x,Y≤y} P {X≤x} P{Y≤y}
≠
(除非这两个事件是独立的)
P {X≤x,Y≤y}=P {X≤x} P{Y≤y|X ≤x}
联合分布函数的几何意义
00
,yx
( ){ }
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：
设 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),则
P{x
1
<X≤x
2，
y
1
<y≤y
2
}
＝F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
).
(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)
(x
2
,y
1
)
(x
1
,y
2
)
分布函数F(x,y)具有如下性质：
(1)归一性对任意(x,y) ∈R
2
,0≤ F(x,y) ≤ 1,
1),(lim),( ==∞∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
0),(lim),( ==?∞?∞
∞→
∞→
yxFF
y
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFyF
x
0),(lim),( ==?∞
∞→
yxFxF
y
(2)单调不减对任意y ∈R,当x
1
<x
2
时，F(x
1
,y) ≤ F(x
2
,y)；
对任意x ∈R,当y
1
<y
2
时，F(x,y
1
) ≤ F(x,y
2
),
(3)右连续 对任意x ∈R,y∈R,
).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F
0
yy
0
0
==+
+
→
);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F
0
xx
0
0
==+
+
→
(4)矩形不等式对于任意 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)∈R
2
,(x
1
<x
2，
y
1
<y
2
),
F(x
2
,y
2
)－F(x
1
,y
2
)－F (x
2
,y
1
)＋F (x
1
,y
1
)≥0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例,已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
)]
3
()][
2
([),(
y
arctgC
x
arctgBAyxF ++=
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解:
1]
2
[),( =+=∞∞
π
BAF
0)]
3
(][
2
[),( =+?=?∞
y
arctgCBAyF
π
0]
2
)][
2
([),( =?+=?∞
π
C
x
arctgBAxF
2
1
2 π
π
===? ACB
16
1
)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{ =+=≤<≤< FFFFYXP
三.联合分布律
若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(x
i
,y
j
),
(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为 二维离散型随机变量。
若二维离散型随机变量(X,Y)取(x
i
,y
j
)的概率为p
ij
,
则称 P{X＝x
i
,Y＝y
j
}＝p
ij,
(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.
可记为
(X,Y)～P{X＝x
i
,Y＝y
j
}＝p
ij
(i,j＝1,2,…)
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X
Y y
1
y
2
…y
j
…
p
11
p
12
..,p
1j
..,
p
21
p
22
..,p
2j
..,
p
i1
p
i2
..,p
ij
..,
...
.
..
...,..,..
...,..,..
x
1
x
2
x
i
联合分布律的性质 (1) p
ij
≥0,i,j＝1,2,…
(2)
1p
1i1j
ij
＝
∑ ∑
≥≥
例 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，
令
=
=
第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球
0
1
0
1
Y
X
求(X,Y)的分布律。
X
Y
1 0
10
1
10
3
10
3
10
3
2
5
2
2
}1,1{
P
P
YXP ===
2
5
32
}0,1{
P
YXP
×
===
2
5
23
}1,0{
P
YXP
×
===
2
5
2
3
}0,0{
P
P
YXP ===
1
0
四,二维连续型随机变量及其密度函数
1,定义 p77
对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对?(x,y)∈R
2
，
其分布函数
∫∫
∞?∞?
=
x y
,dudv)v,u(f)y,x(F
则称(X,Y)为 二维连续型随机变量,f(x,y)为
(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的 联合密度函数,可记为
(X,Y)～f (x,y)，(x,y)∈R
2
2、联合密度 f(x,y)的性质
(1) 非负性,f(x,y)≥0,(x,y)∈R
2;
(2) 归一性,
∫∫
∞
∞
∞
∞
=
－－;1),( dxdyyxf
反之，具有以上两个性质的二元函数 f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。
此外，f(x,y)还有下述性质
(3) 若f(x,y)在(x,y) ∈R
2
处连续，则有
);y,x(f
yx
)y,x(F
2
=
(4) 对于任意平面区域 G?R
2
,
∫∫
=∈
G
dxdyyxfGYXP,),(}),{(
设
<<<<
=
others
yx
yxfYX
0
10,101
),(~),(
求,P{X>Y}
2
1
1}{
0
1
0
=?=>
∫∫
x
dydxYXP
>>
=
+?
其它,0
0,0,
),(~),(
)32(
yxAe
yxfYX
yx
例设求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x ≥0,y≥0,2X+3y≤6 内的概率。
解：(1) 由归一性
∫∫ ∫∫
∞
∞
∞
∞
∞∞
+?
==
－－00
)32(
1),( dxdyAedxdyyxf
yx
6=? A
∫∫
+?
==
1
0
1
0
32)32(
)1)(1(6)1,1()2( eedxdyeF
yx
(3) (X,Y)落在区域D：x ≥0,y≥0,2X+3y≤6内的概率
dxdyeDYXP
D
yx
∫∫
+?
=∈
)32(
6}),{(
解
∫∫
+?
=
3
0
3
2
2
0
)32(
6 dyedx
x
yx
6
71
= e
3,两个常用的二维连续型分布
(1) 二维均匀分布
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。
∈
=
其它
，
的面积
,0
),(
1
),(
2
RDyx
D
yxf
D
G
S
S
GYXP =∈ }},{(
易见，若（X,Y）在区域D上(内)服从均匀分布，
对D内任意区域G，有例.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度；
(2)求P{Y<2X} ；
(3)求F(0.5,0.5)
y=-x
y=x
1=
D
S
解：（ 1）
∈
=
other
Dyx
yxf
,0
),(1
),(
，
(2)求P{Y<2X}
y=2x
4
1
1
2
3
2
1
1 =××?=
G
S
P{Y<2X}=S
G
/S
D
=0.25
(3)求F(0.5,0.5)
F(0.5,0.5)=P{X≤0.5,Y≤0.5}
=S
3
/S
D
=0.25
4
1
2
1
1
2
1
3
=××=S
(2) 二维正态分布 N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ)
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)
,e
12
1
)y,x(f
]
)y()y)(x(
2
)x(
[
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
σ
μ?
+
σσ
μ?μ?
ρ?
σ
μ?
ρ?
ρ?σπσ
=
其中,μ
1
,μ
2
为实数,σ
1
>0,σ
2
>0、
|ρ|<1，则称(X,Y)服从参数为
μ
1
,μ
2
,σ
1
,σ
2
,ρ的二维正态分布，可记为
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμNYX
分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形（p79）。
对n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)，
1。 F(x
1
,x
2
,…,x
n
)=P(X
1
≤x
1
,X
2
≤x
2
,…,X
n
≤x
n
)
称为的n维随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)的分布函数，
或随机变量(X
1
,X
2
,…,X
n
)的联合分布函数 。
2。如果存在非负的n元函数f(x
1
,x
2
,...x
n
)，使对任意的n元立方体
( ){ }
nnn
bxabxaxxD ≤<≤<=,...:,...
111
(){}
∫∫
=∈
D
nnn
dxdxxxfDXXP,..),...,x(......
1211
有则称(X
1,
X
2
,...X
n
)为n维连续型随机变量，称
f(x
1
,x
2
,...x
n
)为(X
1,
X
2
,...X
n
)的概率密度。
3。 若(X
1,
X
2
,...X
n
)的全部可能取值为R
n
上的有限或可列无穷多个点，称(X
1,
X
2
,...X
n
)为n维离散的，
称P {X
1
=x
1,
X
2
=x
2
,...X
n
=x
n
}，(x
1
,x
2
,...x
n
)，为n
维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的联合分布律。
EX,随机变量（X，Y）的概率密度为求：(1)P{X ≤0},(2)P{X≤1},(3)P{Y≤y
0
}
<<
=
others
yxe
yxf
y
0
0
),(
y
D
解,P{X≤0}=0
1
1
0
1}1{
∞
==≤
∫∫
edyedxXP
x
y
≤
>
=≤
∫∫
00
0
}{
0
0
0
0
0
0
y
ydyedx
yYP
y
x
y
y
x
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目，写出 (X,Y)的联合分布律。
2
4
22
}0,1{
×
=== YXP
X
Y
0
1
2
0 1 2
A中哪封信另一封信在 CD中选。
2
2
4
2
}0,0{ === YXP
4/16
2/16
4/16 1/16
4/16 0
1/16 0 0 2
4
2
}1,1{ === YXP
2封信交换
AB内无信,2封信,CD内选。
2
4
32
}1{
×
==XP
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目,写出 X的分布律 。
A中哪封信
0 1 2X
p
k
9/16 6/16 1/16
另一封信在 BCD中选。
2
2
4
3
}0{ ==XP
A无信,2封信,BCD内选。
X 0 1 2
p
k
9/16 6/16 1/16
X
Y
0 1 2
9
\
16
6
\
16
1
\
16
0
1
2
4/16 4/16 1/16
2/164/16 0
1/16 0 0
§2 边缘分布一、边缘分布律 (p80)
若随机变量 X与 Y的联合分布律为
(X,Y)～ P{X＝ x
i
,Y＝ y
j
}＝ p
ij,
i,j＝ 1,2,…,则称
P{X＝ x
i
}＝ p
i
.
＝，i＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 X的 边缘分布律 ；
∑
≥1j
ij
p
∑
≥1i
ij
p
P{Y＝ y
j
}＝ p
.
j
＝，j＝ 1,2,…
为 (X,Y)关于 Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例,已知(X,Y)的分布律，求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
解：
x\y10p
i.
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
p
.j
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0 Y 1 0
P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
2/5
3/5
2/5 3/5
二、边缘分布函数(p80)
)y,x(Flim
y +∞→
1。F
X
(x)＝F (x,+∞)＝＝P{X≤x}
称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；
2。F
Y
(y)＝F (+∞,y)＝＝P{Y≤y}
称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.
)y,x(Flim
x +∞→
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。
例1.已知(X,Y)的分布函数，
≤≤
≤≤
=
其它0
01
01
),( xyyee
yxxee
yxF
yy
yx
求F
X
(x)与F
Y
(y)。
解
<
≥?
=∞=
00
01
),()(
x
xe
xFxF
x
X
<
≥
=∞=
00
01
),()(
y
yyee
yFyF
yy
Y
三、边缘密度函数 (p81)
设 (X,Y)～f (x,y),(x,y)∈R
2
,则称
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
为(X,Y)关于X的边缘密度函数。
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
∑
≥1j
ij
p
注,P{X＝ x
i
}＝ p
i
.
＝
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
（对 j求和，关于 y）
p82 例 3,N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ) 的边缘密度函数
f
X
(x) 是 N(μ
1
,σ
1
2
) 的密度函数，
f
Y
(y) 是 N(μ
2
,σ
2
2
) 的密度函数，
二维正态分布的边缘分布是一维正态分布 。
二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布。
设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度
x=y
x= -y
<≤?=
<<?+=
=
∫
∫
others
xxdy
xxdy
xf
x
x
X
0
10,11
01,11
)(
1
1
<<=
=
∫
others
yydx
yf
y
y
Y
0
1021
)(
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
∫
∞
∞?
= dxyxfyf
Y
),()(
例,设(X,Y)的概率密度为
<≤
=
others
xyxc
yxf
0
),(
2
(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=?c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
100 >< xorx
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
例,将两封信随机地往编号为 A,B,C,D的四个邮筒里投,X,Y分别表示 A,B邮筒内信的数目,写出当 B内无信时（ Y=0）,X的分布律 。
9
4
16/9
16/4
)0(
)0,0(
}0|0{ ==
=
==
===
YP
YXP
YXP
解：
P{X=1|Y=0}=4/9,P{X=2|Y=0}=1/9。
X
Y
0
1
2
0 1 2
4/16 4/16 1/16
4/16 4/16 0
1/16 0 0
9
\
16
6
\
16
1
\
16
§3 条件分布一.离散型随机变量的条件分布律p84
设随机变量 X与 Y的联合分布律为
(X,Y)～ P{X＝ x
i
,Y＝ y
j
}＝ p
ij,
(i,j＝ 1,2 … )，
X和 Y的边缘分布律分别为
,...2,1}{
1
====
∑
≥
ippxXP
j
ijii
,...2,1}{
1
====
∑
≥
jppyYP
i
ijjj
对 固定的 j,若 p
.
j
>0,称为 Y＝ y
j
的条件下,X的条件分布律 ;
,...2,1,}|{
.
=== i
p
p
yYxXP
j
ij
ji
＝
对 固定的 i,若 p
i
.
>0,称
,...2,1,}|{
.
=== j
p
p
xXyYP
i
ij
ij
＝
为 X＝ x
i
的条件下,Y的条件分布律。
条件分布律具有分布律的性质
1}|{).2(
0}|{).1(
1
===
≥==
∑
∞
=i
ji
ji
yYxXP
yYxXP
1}|{).'2(
0}|{).'1(
1
===
≥==
∑
∞
=j
ij
ij
xXyYP
xXyYP
P84，例 1。
二、连续型随机变量的条件概率密度定义：给定y，设对任意固定的正数 ε>0，极限
}{
},{
lim
}|{lim
0
0
εε
εε
εε
ε
ε
+≤<?
+≤<?≤
=
+≤<?≤
→
→
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数.
记作
}|{)|(
|
yYxXPyxF
YX
=≤≡
同理，在条件X=x下Y的条件分布函数为
}|{)|(
|
xXyYPxyF
XY
=≤≡
0)( ≠yf
y
)(
),(
)|(
|
yf
duvuf
yxF
Y
x
YX
∫
∞?
=
可证当 时
)3.3(
)(
),(
)|(
|
∫
∞?
=
x
Y
YX
dx
yf
yxf
yxF
即 p87
∫
∞?
=
y
X
XY
dy
yf
yxf
xyF
)(
),(
)|(
|
而若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，
则由(3.3)式知,当 时,
)|(
|
yxf
YX
0)( ≠yf
Y
)(
),(
)|(
)|(
|
|
yf
yxf
x
yxF
yxf
Y
YX
YX
=
=
类似地，当 时
0)( ≠xf
X
)(
),(
)|(
)|(
|
|
xf
yxf
y
xyF
xyf
X
XY
XY
=
=
例2.已知(X,Y)的概率密度为
<<
=
其它0
1
4
21
),(
22
yxyx
yxf
y
1
(1)求条件概率密度
)|(
|
xyf
XY
(2)求条件概率
}
3
1
|
3
1
{?=> XYP
x
解,
∫
∞
∞?
= dyyxfxf
X
),()(
<<?
=
∫
others
xydyx
x
,0
11,
4
21
1
2
2
<<
=
others
xxx
xf
X
,0
11),1(
8
21
)(
42
<<
=
其它0
1
4
21
),(
22
yxyx
yxf
<<
=
others
yx
x
y
xyf
XY
0
1
1
2
)|(
2
4
|
<<
=
others
yx
x
y
xyf
XY
0
1
1
2
)|(
2
4
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
0
1
3
1
,
3
1
1
2
)
3
1
|(
2
4
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
,0
1
9
1
,
40
81
)
3
1
|(
|
<<
=?
others
y
y
yf
XY
,0
1
9
1
,
40
81
)
3
1
|(
|
10
9
40
81
)
3
1
|(
3
1
3
1
1
3
1
3
1
|
==?=
=>
∫∫
∞
dy
y
dyyfXYP
XY
注 1,注意积分上下限
∫∫
∞?
=?=
=<
3
1
9
1
3
1
|
40
81
)
3
1
|(
3
1
3
1
dy
y
dyyfXYP
XY
注 2,条件 X=1/3和 X<1/3，求概率的方法不同。
见考题 P162(五 )。（与 P177(六 )比较。）
)()|(),(
|
xfxyfyxf
XXY
=
注 3：
见 P89例 4。
§ 4 相互独立的随机变量事件A与事件B独立,P{AB}=P{A}P{B}
随机变量 X与Y独立 (p90)
设F(x,y)及F
X
(x)、F
Y
(y)分别是二维随机变量
(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有的x,y,有 P{X≤x,Y≤y}= P{X≤x}P{Y≤y}
即 F(x,y) = F
X
(x) F
Y
(y)
则称随机变量X和Y是相互独立的。
(p90) 二维 连续型 随机变量，X与Y 独立
f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)
二维 离散型 随机变量，X与Y 独立
P
i,j
=P
i?.
P
j
任意i,j
由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可例,已知随机变量(X,Y)的分布律为
x12
01/6/6
1ab
且知X与Y独立，求a、b的值。
12
0 1/6 2/6 1/2
1a b a+b
a+1/6 b+2/6
(b+2/6)1/2=2/6，得 b=2/6.(a+1/6)1/2=1/6，得 a=1/6.
解：
验算,(a+1/6)(a+b)=a,(b+2/6)(a+b)=b.
P92 例例,甲乙约定8:00 ～9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率 。
二维正态分布
2.对于二位正态随机变量（X,Y），
X和Y相互独立的充要条件是 ρ =0。
1.N(μ
1
,μ
2
,σ
1
2
,σ
2
2
,ρ)的 边缘分布也是正态分布
f
X
(x)是N( μ
1
,σ
1
2
)的密度函数，
f
Y
(y)是N( μ
2
,σ
2
2
)的密度函数（p82 例3）
五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p93)
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F(x
1
,x
2
,...x
n
),(X
1,
X
2
,...X
n
)的k（1 ≤k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X
1,
X
2
)的边缘分布函数是F
X1,X2
（x
1
,x
2
,)=F(x
1
,x
2,
∞,∞...∞)
若X
k
的边缘分布函数为F
Xk
(x
k
),k=1,2,…,n,
)()....()(),...(
211
21
nXXXn
xFxFxFxxF
n
=
则称X
1,
X
2
,...X
n
相互独立。
1,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数
i
1
,i
2
,…,i
n
及实数 有则称离散型随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立 。
n
iii
,...,x,xx
21
}{}{
1111 nnnn
iiiiiiii
xX...PxXP}x,...,XxP{X =====
2,设X
1
，X
2
,…，X
n
为n 个连续型随机变量，若对任意的(x
1
,x
2
,…,x
n
)∈R
n
，
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)＝f
X
1
(x
1
)f
X
2
(x
2
)…f
X
n
(x
n
)
几乎处处成立，则称X
1
，X
2
,…，X
n
相互独立。
定义,设n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)的分布函数为
F
X
(x
1
,x
2
,...x
n
)；m维随机变量(Y
1,
Y
2
,…Y
m
)的分布函数为F
Y
(y
1,
y
2
,…y
m
),X
1,
X
2
,...X
n
,Y
1,
Y
2
,…Y
m
组成的n+m维随机变量（X
1,
X
2
,...X
n
,Y
1,
Y
2
,…Y
m
)
的分布函数为F(x
1
,x
2
,...x
n
,y
1,
y
2
,…y
m
).如果
F(x
1
,...x
n
,y
1
,…y
m
)=F
X
(x
1
,...x
n
)F
Y
(y
1,
y
2
,…y
m
)
则称n维随机变量(X
1,
X
2
,...X
n
)与m维随机变量(Y
1,
Y
2
,…Y
m
)独立。
定理 P94
设(X
1
,X
2
,…X
n
)与(Y
1
,Y
2
,…Y
m
)相互独立，则
(1)X
i
(i=1,2,…n)与Y
j
(j=1,2,…m)相互独立；
(2)若h,g是连续函数，则
h(X
1
,
,
X
2
,…X
n
)与g(Y
1
,Y
2
,…Y
m
)相互独立.
这个结论在数理统计中有广泛应用
§ 5 两个随机变量函数的分布掌握三种形式：Z=X+Y,Z=max(X,Y),Z=min(X,Y)
一,二维离散型随机变量函数的分布律例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布,
(1) 求W＝X＋Y的分布律;
(2) 求V＝max(X,Y)的分布律；
(3) 求U＝min(X,Y)的分布律。
(4) 求w与V的联合分布律。
X 1 0
p
k
p q
Y 1 0
p
k
p q
表中后三行是W、V、U相应的取值
U＝min(X,Y)
V＝max(X,Y)
W＝X＋Y
p
ij
(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)(X,Y)
2
q
pq pq
2
p
01 12
1
0
0
01
V
W
2
q
pq2
2
p
0 1 2
0
1
00
0
二,二维连续型随机变量函数的分布掌握三种形式：Z=X+Y,Z=max(X,Y),Z=min(X,Y)
1。已知二维随机变量(X,Y)～f(x,y),求Z＝X＋Y的概率密度。
(1) Z是一维连续型随机变量。
(2) Z的概率密度公式为：
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxfdyyyzfzf
Z
z
x+y=z
x+y≤ z
∫∫
∞
∞?
∞
∞
=?=
－
或
.),(),()( dxxzxfdyyyzfzf
Z
(3) 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数为：
.)()()()()( dxxzfxfdyyfyzfzf
YXYXZ
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
或
＝
例：已知 (X,Y)的概率密度如下，求 Z=X+Y的概率密度
<<<<
=
other
xyx
yxf
0
)1(20,101
),(
解：
∫
∞
∞?
= dxxzxfzf
Z
),()(
<?<<<
=?
other
xxzx
xzxf
0
)1(20,101
),(
:0),( Gxzxf的区域≠?
<
<
<<
<?
>?
<<
zx
zx
x
xxz
xz
x
2
10
)1(2
0
10
x=z
x+z=2
z
x
2
1
1
对 x积分,G要分成两块：
当 0<z<1时，
∫∫
==?=
∞
∞?
z
Z
zdxdxxzxfzf
0
1),()(
∫∫
∞
∞?
==?=
z
Z
zdxdxxzxfzf
2
0
21),()(
当 1≤z<2时，
<≤?
<<
=∴
other
zz
zz
zf
Z
0
212
10
)(
例：已知 X,Y的概率密度如下,X与 Y相互独立，求
Z=X+Y的概率密度
<
≥
=
00
0
)(
y
ye
yf
y
Y
<
≥
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
X
x
.)()()( dxxzfxfzf
YXZ
=
∫
∞
∞?
解：
<?
≥?
=?
00
0
)(
)(
xz
xze
xzf
xz
Y
z
≥
≥
0x
xz
:0)()( Gxzfxf
YX
的区域≠?
当 z≥0时，对 x积分：
∫
==
z
zxzx
Z
zedxeezf
0
)(
)(
<
≥
=∴
00
0
)(
z
zze
zf
z
Z
P95 例1,设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。
一般地，设随机变量X
1
,X
2
，...,X
n
独立，且
X
i
服从正态分布N( μ
i
,σ
i
2
),i=1,...,n,
则
),(~
2
1
2
11
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
aaNXa σμ
∑∑∑
===
例,卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从
N(50,2.5
2
)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.
解,设最多装n袋水泥,X
i
为第i袋水泥的重量.则
05.0}2000{
1
≤>
∑
=
n
i
i
XP )5.2,50(~
2
1
nnNX
n
i
i∑
=
05.0)
5.2
502000
(1}2000{
1
≤
Φ?=>?
∑
=
n
n
XP
n
i
i
95.0)
5.2
502000
( ≥
Φ
n
n
查表得
645.1
5.2
502000
≥
n
n
39≥?n
2、极大值、极小值的分布
(1) 设 X与 Y相互独立,F
X
(x),F
Y
(y)分别是其边缘分布函数。 M＝ max{X,Y},N＝ min{X,Y}
F
M
(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
=F
X
(z)F
Y
(z)
F
N
(z)=P{N≤z}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}
=1-P{X>z}P{Y>z}
=1-[1-F
X
(z)][1-F
Y
(z)]
(2) 设X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,其分布函数分别为F
1
(x
1
),F
2
(x
2
),…,F
n
(x
n
)，记
M＝max{X
1
,X
2
,…,X
n
},N＝min{X
1
,X
2
,…,X
n
}
则M和N的分布函数分别为：
F
M
(z)＝F
1
(z) … F
n
(z)
.)](1[1)(
1
∏
=
=
n
i
iN
zFzF
(3) 特别地，当 X
1
,X
2
,…,X
n
独立同分布 (分布函数或密度函数相同 )时，有
F
M
(z)＝ [F(z)]
n
F
N
(z)＝ 1－ [1－ F(z)]
n
进一步地，若 X
1
,X
2
,…,X
n
独立且具相同的密度函数 f(x)，则 M和 N的密度函数分别由下式表出
f
M
(z)＝ n[F(z)]
n－ 1
f(z)；
f
N
(z)＝ n[1－ F(z)]
n－ 1
f(z).
例4,设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设
L
1
,L
2
的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
X
α
α
≤
>
=
00
0
)(
y
ye
yf
y
Y
β
β
其中 α>0,β>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．
？ p100 第三种连接方式应当怎样计算小结边缘分布律离散型——分布律归一性概率计算分布函数与分布立场律的互变独立性边缘分布函数分布函数归一性概率计算边缘概率密度均匀分布正态分布连续型——概率密度归一性概率计算分布函数与概率密度的互变多维随机变量二维随机变量函数的分布
