第四章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
随机变量的方差
随机变量的协方差和相关系数
§ 1数学期望一.数学期望的定义例某 班40名学生的成绩及得分人数如下表所示：
分数 40 60 70 80 90 100
人数 1 6 9 15 7 2
则学生的平均成绩是总分÷总人数 (分 )。即
)(5.76100
40
2
90
40
7
80
40
15
70
40
9
60
40
6
40
40
1
2715961
10029078015709606401
分=?+?+?+?+?+?=
+++++
×+×+×+×+×+×
定义,若 X~P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…n,则称
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
为 r.v.X的 数学期望,简称 期望 或 均值 。
定义,(p110)若 X ~ P {X = x
k
} = p
k
,k=1,2,…,且
.)(
1
∑
∞
=
=
k
kk
pxXE
∞<
∑
∞
=1
||
k
kk
px,则称为 r.v.X的 数学期望数学期望数学期望
——描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X
的数学期望。
2
7
)
6
1
()(
6
1
=?=
∑
=i
kXE
定义,若 X~f(x),-∞<x<∞,
∫
∞
∞?
=,dx)x(xf)X(E
∞<
∫
∞
∞?
dxxfx )(||
则称为 X的 数学期望 。 P(110)
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
例3,若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
=
λ
μ
λ
x
xf exp
2
1
)(
试求E(X).
解
dx
x
x
XE
=
∫
∞
∞?
λ
μ
λ
exp
2
)(
{}dtt
t
x
t
λ
λ
μλ
λ
μ
||exp
2
+
=
∫
∞
∞?
=令
{} μμ =?=
∫
∞
dttexp
0
二,几个重要 r.v.的期望
1,0-1分布的数学期望
ppP
X
1
01
E(X)=p
2,二项分布 b(n,p)
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
npXE =)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
)1(
)!(!
!
)(
证一：
knk
n
k
pp
knk
n
=
=
∑
)1(
)!()!1(
!
1
)1(11
1
)1(
)!()!1(
)!1(
=
=
∑
knk
n
k
pp
knk
n
np
lnl
n
l
l
n
ppCnpkl
=
=
∑
1
1
0
1
)1(1令
np=
3.泊松分布
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
∑∑
∞
=
∞
=
=
==
01
1;
)!1(!
)(
kk
kk
k
ee
k
kXE λ
λ
λ
λ
λλ
4,均匀分布 U(a,b)
<<
=
,,0
,,
1
)(~
其他
bxa
ab
xfX
∫
+
=
=
b
a
ba
dx
ab
x
XE ;
2
)(
5.指数分布（p124）
≤
>
=
00
0
1
)(
/
x
xe
xf
x θ
θ
θ=
dxexXE
x
∫
∞
=
0
/
1
)(
θ
θ
∫
∞
=
0
/θx
xde
dxexe
xx
∫
∞
∞
+?=
0
/
0
/ θθ
6,正态分布 N(μ,σ
2
) p126
∞<<∞?
σπ
=
σ
μ?
x,e
2
1
)x(f~X
2
2
2
)x(
dxe
x
XE
x
2
2
2
)(
2
)(
σ
μ
σπ
∞
∞?
∫
=;
2
2
2
dte
tx
t
t
σ
π
μσ
σ
μ
∞
∞?
∫
+?
=令
μ=
三.随机变量函数的期望例,设随机变量X的分布律为
-1 0 1X
求随机变量 Y=X
2
的数学期望
P
k
3
1
3
1
3
1
解一:
Y 1 0
P
k
3
1
3
2
3
2
3
1
0
3
2
1)( =?+?=∴ YE
解二：
3
2
3
1
1
3
1
0
3
1
)1()()(
222
3
1
22
=?+?+===
∑
=k
kk
pxXEYE
定理 (p115) 若 X ~ P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…，则
Y=g(X)的期望 E(g(X))为
.)()]([)(
1
k
k
k
pxgXgEYE
∑
∞
=
==
推广 (p117) 若 (X,Y)～P{X=x
i
,Y=y
j
}= p
ij
,
i,j=1,2,…,则 Z=g(X,Y)的期望
.),()],([)(
11
ij
i
ji
j
pyxgYXgEZE
∑∑
∞
=
∞
=
==
例4 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x y 1 2
00.50.15
10.450.25
解:
=)(XYE 15.010 ×× 15.020 ××+
45.011 ××+ 25.021 ××+
95.0=
EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量
Y=aX+b的数学期望(其中a>0)
a
by
yh
=)(
解：Y=ax+b关于x严单，反函数为
Y的概率密度为
a
e
a
by
1
2
1
2
2
=
π
aa
by
fyf
XY
1
)()(
=
dy
a
e
y
YE
a
by
1
2
)(
2
2
∞
∞?
∫
=
π
dxe
bax
x
2
2
2
∞
∞?
∫
+
=
π
b=
定理
(p115)
若 X~f(x),-∞<x<∞,则 Y=g(X)的期望
∫
∞
∞?
==,)()()]([)( dxxfxgXgEYE
推广 p(116,1.5 式 ) 若 (X,Y) ~f (x,y),-∞<x<∞,
-∞<y<∞,则 Z=g(X,Y)的期望
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
.),(),(
)],([)(
dxdyyxfyxg
YXgEZE
P117 例9。
例2 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
<≤?
<≤?
<≤?
<≤?
==
605570
553055
301030
10010
)(
XX
XX
XX
XX
XgY
<<
=
others
x
xf
X
0
600
60
1
)(
∫∫
∞
∞?
==∴
60
0
)(
60
1
)()()( dxxgdxxfxgYE
=10分25秒设X服从N(0,1)分布，求E(X
2
),E(X
3
),E(X
4
)
2
2
2
1
)(
x
exf
=
π
dxe
x
XE
x
2
2
2
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
解
dxe
x
2
2
2
1
∞
∞?
∫
=
π
1=
dxe
x
XE
x
2
3
3
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
0=
dxe
x
XE
x
2
4
4
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
3
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
x
2
2
2
2
3
∞
∞?
∫
=
π
3=
四,数学期望的性质 (P119)
1。 E(c)=c,c为常数 ;
2。 E(cX)=cE(X),c为常数 ;
证明：设 X~f(x)，则
∫
∞
∞?
= dxxcxfcXE )()(
)()( XcEdxxxfc ==
∫
∞
∞?
3,E(X+Y)=E(X)+E(Y)；特别地,E(X+a)=E(X)+a
证明,设 (X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+=+ dxdyyxfyxYXE ),()()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxf ),(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dxdyyxyf ),(
dxdyyxfx ]),([
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dydxyxfy ]),([
dxxxf
X
∫
∞
∞?
= )( dyyyf
Y
∫
∞
∞?
+ )(
)()( YEXE +=
4,若 X与 Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y).
证明,设 (X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxyfXYE ),()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyfxxyf
YX
)()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dyyyfdxxxf
YX
)()(
)()( YEXE=
例,设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每
100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，
如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数.(参见 p113 例 5)
解,设X
j
为第j组的化验次数，
10,...1=j
X
j
P
j
100
%)99(
100
%)99(1?
X为1000人的化验次数，则
∑
=
=
10
1j
j
XX
1 101
)99.01)(101(99.0
100100
+=
j
EX
)()()(
10
1
10
1
∑∑
==
==
j
j
j
j
XEXEXE
)]99.01)(101(99.0[10
100100
+=
]99.0
100
1
1[1000
100
+?=
644≈
例3 若 X~b(n,p)，求 E(X)
解:设
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则
∑
=
=
n
i
i
XX
1
pXE
i
=)(
∑
=
=
n
i
i
XEXE
1
)()( npp
n
i
==
∑
=1
EX1 设随机变量X ～N(0,1)，Y ～U(0,1)，
Z～b(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量
U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望解:由X,Y,Z独立，可知(2X+3Y)与(4Z-1)独立。
（P94定理）
2
27
]15.054][
2
1
302[
]1)(4)][(3)(2[)14()32()(
=?×××+×=
+=?+= ZEYEXEZEYXEUE
∫
+∞
∞?
=dxxf )(
∫
∞?
=
x
dxxf )(
F(x)
∫
+∞
∞?
=dxxxf )(
E(x)
1
EX2
§ 2 方差一,定义与性质方差 是衡量随机变量取值 波动 程度的一个数字特征。
如何定义？
1.定义 若E(X),E(X
2
)存在，则称
E[X-E(X)]
2
为r.v.X的 方差,记为D(X),
或Var(X),(p112)
)()( XDX =σ
称 为 r.v.X的 标准差
=?
=
∫
∑
∞
∞?
∞
=
连续型情形离散型情形
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
2,公式 D(X)=E(X
2
)-[E(X)]
2
.
证明,D(X)= E[X-E(X)]
2
})]([)(2{
22
XEXXEXE +?=
22
)]([)()(2)( XEXEXEXE +?=
22
)]([)( XEXE?=
例1：设随机变量X的概率密度为
<≤?
<<?+
=
101
011
)(
xx
xx
xf
(1)求D（X）,(2)求 )(
2
XD
0)1()1()()1(
1
0
0
1
=?++=
∫∫
dxxxdxxxXE解：
6
1
)1()1()(
1
0
2
0
1
22
=?++=
∫∫
dxxxdxxxXE
6
1
))(()()(
22
=?=∴ XEXEXD
2242
)]([)()()2( XEXEXD?=
∫∫
++=
1
0
4
0
1
44
)1()1()( dxxxdxxxXE
15
1
=
2
2
6
1
15
1
)(
=XD
180
7
=
注：若 (X,Y)～f(x,y)，则应当先计算边缘密度
)(),( yfxf
YX
，然后再用相应的公式求各个数值。
例：设(X,Y)服从区域D,0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的期望与方差。
D
1
x=y
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(2
),(
解
D的面积=0.5,
3
2
2)()(
1
0
=?==
∫∫
∞
∞?
xdxxdxxxfXE
X
<<=
=
∫
others
xxdy
xf
x
X
0
1022
)(
0
2
1
2)()(
1
0
222
=?==
∫∫
∞
∞?
xdxxdxxfxXE
X
18
1
3
2
2
1
)(
2
=
=XD
<<?
=
others
yy
yf
Y
0
10)1(2
)(
同理，
18
1
)( =YD
3
1
)( =YE
3,方差的性质 p124
(1) D(c)=0
(2) D(aX)=a
2
D(X),a为常数；
222
)]([)()( aXEXaEaXD?=
证明:
222
)]([)( XaEXEa?=
})]([)({
222
XEXEa?=
)(
2
XDa=
(3) 若 X,Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
22
)]([}){()( YXEYXEYXD +?+=+
证明:
})]([)]()][([2)]({[
}2{
22
22
YEYEXEXE
YXYXE
++?
++=
)()(2)(2
)()(
YEXEXYE
YDXD
+
+=
)()()( YEXEXYEX与Y独立 =?
)()()( YDXDYXD +=+∴
注,D(X+a)=D(X)
∑∑
==
=
n
i
n
i
iin
XDXDXX
11
1
)()(,..,独立，则若二,几个重要 r.v.的方差
1,二项分布 B(n,p)：
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
npXE =)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
22
)1(
)!(!
!
)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
kn
1
)1(
)!()!1(
!
∑
=
+?
=
n
k
knk
pp
knk
nk
1
)1(
)!()!1(
!)11(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
nk
1
1
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!1(
!)1(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
n
1
2
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!2(
!
∑
∑
=
+
=
+
+
=
1
0
11
1
2
0
22
2
)1(
)1()1(
n
j
jnjj
n
n
l
lnll
n
ppnC
ppCnn
nppnn +?=
2
)1(
)1(
)1()(
222
pnp
pnnppnnXD
=
+?=∴
解法二:
设
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生
∑
=
=
n
i
i
XX
1
第i次试验事件A不发生则
[ ]
2
2
)()()(
iii
XEXEXD?=
)1(
2
pppp?=?=
∑
=
=
n
i
i
XDXD
1
)()(
)1()1(
1
pnppp
n
i
=?=
∑
=
2,泊松分布 p(λ)：
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
D(X)=λλ=)(XE
.
12
)(
)(
2
ab
XD
=
3,均匀分布 U(a,b)：
4,指数分布：
2
)( θ=XD
5,正态分布 N(μ,σ
2
),.)(
2
σ=XD
)(
)(
*
XD
XEX
X
=
称为X的标准化(p123)
EX
*
=0,DX
*
=1
思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。
2,已知随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立，且每个X
i
的期望都是0，方差都是1，令Y= X
1
+X
2
+…+X
n
，求E(Y
2
).
.)()(,0)()(
11
nXDYDXEYE
n
i
i
n
i
i
====
∑∑
==
nYEYDYE =+=
22
))(()()(
六个常用分布的期望和方差,P436附表一。
0,0-1分布,
qpXD =?= )1()(
pXE =)(
1,二项分布 B(n,p)：
npXE =)( npqXD =)(
λ=)(XD
λ=)(XE
2,泊松分布 p(λ)：
.
12
)(
)(
2
ab
XD
=
2
)(
ba
XE
+
=3,均匀分布 U(a,b)：
4.指数分布：
2
)( θ=XD
θ=)(XE
μ=)(XE
5,正态分布 N(μ,σ
2
)：
2
)( σ=XD
练习 1,考题 P109，一 /4
E(X)=2,D(X)=9,E(Y)=(-2+4)/2=1,D(Y)=(4+2)
2
/12=3.
E(2X+Y+1)=2E(X)+E(Y)+1=6，
D(2X+Y+1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=39.(独立 )
练习 2,考题 P150，一 /6
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
∫
∞
+=+=+=+
0
222
3
1
11)()()( dxeeeEXEeXE
xxXX
练习 3,考题 P150，一 /7
解,X~N(0,1/2),Y~N(0,1/2),X-Y~N(0,1/2+1/2)。
见 P96。令 Z=X-Y，则 Z~N(0,1)。
πππ
ππ
2
2
2
2
)
2
(
2
2
2
2
2
1
|||)(|
0
2
0
2
2
0
22
22
22
=
==
==
∞
∞?
∞?∞
∞?
∫
∫∫
zz
zz
e
z
de
dzzedzezZE
三.切比雪夫不等式 (P128)
若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意 ε>0，有;
)X(D
}|)X(EX{|P
2
ε
≤ε≥?
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
.
)X(D
1}|)X(EX{|P
2
ε
≥ε<?
在下一章大数定律有关内容会用到它。
例1：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，用切比雪夫不等式估计a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。;
01.0
}|1{|
2
a
aXP ≤≥?解:由切比雪夫不等式
1.0
01.0
2
≤
a
1.0
2
≥?a 32.0≥?a
令例 2：考题 P176 / 5。
解,X为 6000粒种子中的良种数，则 X~b(6000,1/6)
E(X)=1000,D(X)=5000/6.
2
60
6
5000
1}60|1000{|01.0
6
1
6000
≥<?=
<? XP
X
P
§3 协方差，相关系数一.协方差定义与性质
1.协方差定义 (P129)
若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称
COV(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.
为X与Y的 协方差,易见
COV(X,Y)=E(XY)--E(X)E(Y).
例：设(X,Y)服从区域D,0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的协方差。
解：
D
x=y
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(2
),(
D的面积=0.5,
3
2
)( =XE
3
1
)( =YE
1
4
1
2)()(
0
1
0,
===
∫∫∫∫
∞<<∞?
x
yx
ydyxdxdxdyxyxyfXYE
36
1
)()()(),( =?= YEXEXYEYXCOV
2,协方差性质
(1) COV(X,Y)=COV(Y,X);
(2) COV(X,X)=D(X);
(3) COV(aX,bY)= abCOV(X,Y),其中 a,b为常数
(4) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ 2COV(X,Y).
注：当 a为常数时，
(1) COV(X,a)=0
(2) D(X+a)=D(X)+D(a)+2Cov(X,a)=D(X)
(3) Cov(X+a,Y)=Cov(X,Y)+Cov(a,Y)=Cov(X,Y)
EX,设随机变量X ～B(12,0.5),Y ～N(0,1),
COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1 与 W=-2X+4Y的方差与协方差解,D(X)=npq=3,D(Y)=1.
D(V)=D(4X)+D(3Y+1)+2Cov(4X,3Y+1)
=16D(X)+D(3Y)+2Cov(4X,3Y)
=16D(X)+9D(Y)+24Cov(X,Y)=33
D(W)=D(-2X)+D(4Y)+2Cov(-2X,4Y)
=4D(X)+16D(Y)+2*(-2)*4Cov(X,Y)=44
Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)
=Cov(4X,-2X+4Y)+Cov(3Y+1,-2X+4Y)
=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+Cov(3Y,4Y)
=-8Cov(X,X)+16Cov(X,Y)-6Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)
=-8D(X)+10Cov(X,Y)+12D(Y)=-22
二.相关系数
1,定义 p129 若 r.v,X,Y的方差和协方差均存在,且 DX>0,DY>0，则
)()(
),cov(
YDXD
YX
XY
== ρρ
称为 X与 Y的 相关系数,
例：考题 p34，八。
注,对 X的标准化变量
)(
)(
*
XD
XEX
X
=
易知 EX
*
=0,DX
*
=1且
(p123)
).(),cov(
****
YXEYX
XY
==ρ
2.相关系数的性质 （ p130定理）
(1) |ρ
XY
|≤1；
(2) |ρ
XY
|=1?存在常数 a,b 使 P{Y= aX+b}=1；
X,Y 正相关；10 <<
XY
ρ
X,Y 负相关。01 <<?
XY
ρ
的意义,是一个可以用来表征X,Y之间线性关系紧密程度的量。
XY
ρ
较大时，X,Y 线性相关的程度较好较小时，X,Y 线性相关的程度较差
XY
ρ
XY
ρ
0=
XY
ρ 称 X和Y不相关
0=
XY
ρX与Y不相关? COV(X,Y)=0?
“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
例：
<<<
=
others
xxy
yxf
0
10,1
),(
E(X)=2/3
E(Y)=0
E(X,Y)=0=E(X)E(Y)
Cov(X,Y)=0
<<
=
others
xx
xf
X
0
102
)(
<<?+
<<?
=
others
yy
yy
xf
Y
0
011
101
)(
X与 Y不相关，但不是相互独立的。
1.是否独立：
jiij
ppp
=
)()(),( yfxfyxf
YX
=
)()(),( yFxFyxF
YX
=
0=
XY
ρ是否相关：
2.“相互独立”就一般关系而言，“不相关”就线性关系而言
3.独立不相关
0=
XY
ρ?
Cov(X,Y)=0
E(X)E(Y) = E(XY)
\
D(X+Y) = D(X)+D(Y)
XY
XY
XYUX
XYUX
ρ
ρ
求）
求
,),1,1(~2
,),1,0(~)1
2
2
=?
=
解1 )
45
4
)(,
12
1
)(
,
4
1
)()(,
3
1
)()(,
2
1
)(
32
==
=====
YDXD
XEXYEXEYEXE
968.0
45
4
12
1
12
1
≈
×
=
XY
ρ
0)(,0)( == XYEXE
0=
XY
ρ
2)
同样是均匀分布，相关系数差别很大。
关于二维正态分布的一些结论
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμNYX设
1.两个边缘分布都是正态分布。 (p83)
),(~
2
11
σμNX ),(~
2
22
σμNY
2,ρ是X与Y的相关系数。即 (P132)
XY
ρρ =
3,X与Y相互独立?ρ=0 (p91-92)
可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则
X与Y相互独立? X与Y不相关 。
附：正态分布一些性质
),(~
2
iii
NX σμ
∑
=
=
n
i
i
XZ
1
∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i
NZ
1
22
1
2
,),,(~ σσμμσμ 且则
2
)(,)(),,(~.1 σμσμ == XDXENX
2.设对 i=1,…,n,
))(,(~,.3
2
σμ abaNYbaXY ++= 则
),(~),,(~.4
2
22
2
11
σμσμ NYNX设
),(~
2
2
2
121
σσμμ + NYX则设(X,Y)服从N(1,0,3
2
,4
2
,-0.5)分布，Z=X/3+Y/2
1)求Z的概率密度 2)求X与Z的相关系数
3)问X与Z是否相互独立？为什么？
解：(1) X~N(1,9)，Y~N(0,16)，Z也服从正态分布
Cov(X,Y)=ρσ
X
σ
Y
=-0.5*3*4=-6
3),(
2
1
3
1
2)(
4
1
)(
9
1
2
,
3
2
2323
)(
=××++=
+
+
=
+=
YXCovYDXD
YX
Cov
Y
D
X
D
YX
DZD
3
1
)(
2
1
)(
3
1
23
)( =+=
+
= YEXE
Y
E
X
EZE
6
)3/1(
32
)3/1(
22
6
1
32
1
)(
),3,
3
1
(~
×
==
∴
xx
Z
eezf
NZ
ππ
(2)
0),(
2
1
)(
3
1
2
,
3
,
23
,
=+=
+
=
+
YXCovXD
Y
XCov
X
XCov
YX
XCov
(3) 因为X、Z都服从均匀分布，Cov(X,Z)=0，
所以X、Z不相关，于是X、Z独立。
§ 4 矩、协方差矩阵一、矩 (p133-134)
1,K阶原点矩 A
k
=E(X
k
),k=1,2,…
2,K阶中心矩 B
k
=E[X-E(X)]
k
,k=1,2,…
3,K+l阶混合原点矩
E(X
k
Y
l
),k,l=0,1,2,…；
4,K+l阶混合中心矩
E{[X?E(X)]
k
[Y?E(Y)]
l
},k,l=0,1,2,…
二,协方差矩阵 (p134)
1.定义 设 X
1
,…,X
n
为 n个 r.v.,记 c
ij
=cov(X
i
,X
j
),
i,j=1,2,…,n,则称由 c
ij
组成的矩阵为随机变量 X
1
,…,X
n
的协方差矩阵 C。即
==
×
nnnn
n
n
nnij
ccc
ccc
ccc
cC
...
............
...
...
)(
21
22221
11211
2,n维正态分布（ P136）
E(C)
E(cX)
E(X+Y)
EXY（）
定义式函数的期望
E（X)
D(C)
D(cX)
D(X+Y)
定义式计算式
D（X)
COV(X,X)
COV(aX,bY)
COV(X+Y,Z)
定义式计算式
COV（X,Y)
不相关与独立相关系数六种常用随机变量的期望与方差小结
随机变量的数学期望
随机变量的方差
随机变量的协方差和相关系数
§ 1数学期望一.数学期望的定义例某 班40名学生的成绩及得分人数如下表所示：
分数 40 60 70 80 90 100
人数 1 6 9 15 7 2
则学生的平均成绩是总分÷总人数 (分 )。即
)(5.76100
40
2
90
40
7
80
40
15
70
40
9
60
40
6
40
40
1
2715961
10029078015709606401
分=?+?+?+?+?+?=
+++++
×+×+×+×+×+×
定义,若 X~P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…n,则称
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
为 r.v.X的 数学期望,简称 期望 或 均值 。
定义,(p110)若 X ~ P {X = x
k
} = p
k
,k=1,2,…,且
.)(
1
∑
∞
=
=
k
kk
pxXE
∞<
∑
∞
=1
||
k
kk
px,则称为 r.v.X的 数学期望数学期望数学期望
——描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X
的数学期望。
2
7
)
6
1
()(
6
1
=?=
∑
=i
kXE
定义,若 X~f(x),-∞<x<∞,
∫
∞
∞?
=,dx)x(xf)X(E
∞<
∫
∞
∞?
dxxfx )(||
则称为 X的 数学期望 。 P(110)
∑
=
=
n
k
kk
pxXE
1
)(
例3,若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
=
λ
μ
λ
x
xf exp
2
1
)(
试求E(X).
解
dx
x
x
XE
=
∫
∞
∞?
λ
μ
λ
exp
2
)(
{}dtt
t
x
t
λ
λ
μλ
λ
μ
||exp
2
+
=
∫
∞
∞?
=令
{} μμ =?=
∫
∞
dttexp
0
二,几个重要 r.v.的期望
1,0-1分布的数学期望
ppP
X
1
01
E(X)=p
2,二项分布 b(n,p)
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
npXE =)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
)1(
)!(!
!
)(
证一：
knk
n
k
pp
knk
n
=
=
∑
)1(
)!()!1(
!
1
)1(11
1
)1(
)!()!1(
)!1(
=
=
∑
knk
n
k
pp
knk
n
np
lnl
n
l
l
n
ppCnpkl
=
=
∑
1
1
0
1
)1(1令
np=
3.泊松分布
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
∑∑
∞
=
∞
=
=
==
01
1;
)!1(!
)(
kk
kk
k
ee
k
kXE λ
λ
λ
λ
λλ
4,均匀分布 U(a,b)
<<
=
,,0
,,
1
)(~
其他
bxa
ab
xfX
∫
+
=
=
b
a
ba
dx
ab
x
XE ;
2
)(
5.指数分布（p124）
≤
>
=
00
0
1
)(
/
x
xe
xf
x θ
θ
θ=
dxexXE
x
∫
∞
=
0
/
1
)(
θ
θ
∫
∞
=
0
/θx
xde
dxexe
xx
∫
∞
∞
+?=
0
/
0
/ θθ
6,正态分布 N(μ,σ
2
) p126
∞<<∞?
σπ
=
σ
μ?
x,e
2
1
)x(f~X
2
2
2
)x(
dxe
x
XE
x
2
2
2
)(
2
)(
σ
μ
σπ
∞
∞?
∫
=;
2
2
2
dte
tx
t
t
σ
π
μσ
σ
μ
∞
∞?
∫
+?
=令
μ=
三.随机变量函数的期望例,设随机变量X的分布律为
-1 0 1X
求随机变量 Y=X
2
的数学期望
P
k
3
1
3
1
3
1
解一:
Y 1 0
P
k
3
1
3
2
3
2
3
1
0
3
2
1)( =?+?=∴ YE
解二：
3
2
3
1
1
3
1
0
3
1
)1()()(
222
3
1
22
=?+?+===
∑
=k
kk
pxXEYE
定理 (p115) 若 X ~ P{X=x
k
}=p
k
,k=1,2,…，则
Y=g(X)的期望 E(g(X))为
.)()]([)(
1
k
k
k
pxgXgEYE
∑
∞
=
==
推广 (p117) 若 (X,Y)～P{X=x
i
,Y=y
j
}= p
ij
,
i,j=1,2,…,则 Z=g(X,Y)的期望
.),()],([)(
11
ij
i
ji
j
pyxgYXgEZE
∑∑
∞
=
∞
=
==
例4 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)
x y 1 2
00.50.15
10.450.25
解:
=)(XYE 15.010 ×× 15.020 ××+
45.011 ××+ 25.021 ××+
95.0=
EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量
Y=aX+b的数学期望(其中a>0)
a
by
yh
=)(
解：Y=ax+b关于x严单，反函数为
Y的概率密度为
a
e
a
by
1
2
1
2
2
=
π
aa
by
fyf
XY
1
)()(
=
dy
a
e
y
YE
a
by
1
2
)(
2
2
∞
∞?
∫
=
π
dxe
bax
x
2
2
2
∞
∞?
∫
+
=
π
b=
定理
(p115)
若 X~f(x),-∞<x<∞,则 Y=g(X)的期望
∫
∞
∞?
==,)()()]([)( dxxfxgXgEYE
推广 p(116,1.5 式 ) 若 (X,Y) ~f (x,y),-∞<x<∞,
-∞<y<∞,则 Z=g(X,Y)的期望
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
.),(),(
)],([)(
dxdyyxfyxg
YXgEZE
P117 例9。
例2 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
<≤?
<≤?
<≤?
<≤?
==
605570
553055
301030
10010
)(
XX
XX
XX
XX
XgY
<<
=
others
x
xf
X
0
600
60
1
)(
∫∫
∞
∞?
==∴
60
0
)(
60
1
)()()( dxxgdxxfxgYE
=10分25秒设X服从N(0,1)分布，求E(X
2
),E(X
3
),E(X
4
)
2
2
2
1
)(
x
exf
=
π
dxe
x
XE
x
2
2
2
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
解
dxe
x
2
2
2
1
∞
∞?
∫
=
π
1=
dxe
x
XE
x
2
3
3
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
0=
dxe
x
XE
x
2
4
4
2
2
)(
∞
∞?
∫
=
π
2
3
2
2
x
de
x
∞
∞?
∫
=
π
dxe
x
x
2
2
2
2
3
∞
∞?
∫
=
π
3=
四,数学期望的性质 (P119)
1。 E(c)=c,c为常数 ;
2。 E(cX)=cE(X),c为常数 ;
证明：设 X~f(x)，则
∫
∞
∞?
= dxxcxfcXE )()(
)()( XcEdxxxfc ==
∫
∞
∞?
3,E(X+Y)=E(X)+E(Y)；特别地,E(X+a)=E(X)+a
证明,设 (X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+=+ dxdyyxfyxYXE ),()()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxf ),(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dxdyyxyf ),(
dxdyyxfx ]),([
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+ dydxyxfy ]),([
dxxxf
X
∫
∞
∞?
= )( dyyyf
Y
∫
∞
∞?
+ )(
)()( YEXE +=
4,若 X与 Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y).
证明,设 (X,Y)~f(x,y)
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyxxyfXYE ),()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dxdyyfxxyf
YX
)()(
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
= dyyyfdxxxf
YX
)()(
)()( YEXE=
例,设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每
100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，
如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数.(参见 p113 例 5)
解,设X
j
为第j组的化验次数，
10,...1=j
X
j
P
j
100
%)99(
100
%)99(1?
X为1000人的化验次数，则
∑
=
=
10
1j
j
XX
1 101
)99.01)(101(99.0
100100
+=
j
EX
)()()(
10
1
10
1
∑∑
==
==
j
j
j
j
XEXEXE
)]99.01)(101(99.0[10
100100
+=
]99.0
100
1
1[1000
100
+?=
644≈
例3 若 X~b(n,p)，求 E(X)
解:设
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则
∑
=
=
n
i
i
XX
1
pXE
i
=)(
∑
=
=
n
i
i
XEXE
1
)()( npp
n
i
==
∑
=1
EX1 设随机变量X ～N(0,1)，Y ～U(0,1)，
Z～b(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量
U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望解:由X,Y,Z独立，可知(2X+3Y)与(4Z-1)独立。
（P94定理）
2
27
]15.054][
2
1
302[
]1)(4)][(3)(2[)14()32()(
=?×××+×=
+=?+= ZEYEXEZEYXEUE
∫
+∞
∞?
=dxxf )(
∫
∞?
=
x
dxxf )(
F(x)
∫
+∞
∞?
=dxxxf )(
E(x)
1
EX2
§ 2 方差一,定义与性质方差 是衡量随机变量取值 波动 程度的一个数字特征。
如何定义？
1.定义 若E(X),E(X
2
)存在，则称
E[X-E(X)]
2
为r.v.X的 方差,记为D(X),
或Var(X),(p112)
)()( XDX =σ
称 为 r.v.X的 标准差
=?
=
∫
∑
∞
∞?
∞
=
连续型情形离散型情形
,)()]([
},{)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
xXPXEx
XD k
kk
2,公式 D(X)=E(X
2
)-[E(X)]
2
.
证明,D(X)= E[X-E(X)]
2
})]([)(2{
22
XEXXEXE +?=
22
)]([)()(2)( XEXEXEXE +?=
22
)]([)( XEXE?=
例1：设随机变量X的概率密度为
<≤?
<<?+
=
101
011
)(
xx
xx
xf
(1)求D（X）,(2)求 )(
2
XD
0)1()1()()1(
1
0
0
1
=?++=
∫∫
dxxxdxxxXE解：
6
1
)1()1()(
1
0
2
0
1
22
=?++=
∫∫
dxxxdxxxXE
6
1
))(()()(
22
=?=∴ XEXEXD
2242
)]([)()()2( XEXEXD?=
∫∫
++=
1
0
4
0
1
44
)1()1()( dxxxdxxxXE
15
1
=
2
2
6
1
15
1
)(
=XD
180
7
=
注：若 (X,Y)～f(x,y)，则应当先计算边缘密度
)(),( yfxf
YX
，然后再用相应的公式求各个数值。
例：设(X,Y)服从区域D,0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的期望与方差。
D
1
x=y
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(2
),(
解
D的面积=0.5,
3
2
2)()(
1
0
=?==
∫∫
∞
∞?
xdxxdxxxfXE
X
<<=
=
∫
others
xxdy
xf
x
X
0
1022
)(
0
2
1
2)()(
1
0
222
=?==
∫∫
∞
∞?
xdxxdxxfxXE
X
18
1
3
2
2
1
)(
2
=
=XD
<<?
=
others
yy
yf
Y
0
10)1(2
)(
同理，
18
1
)( =YD
3
1
)( =YE
3,方差的性质 p124
(1) D(c)=0
(2) D(aX)=a
2
D(X),a为常数；
222
)]([)()( aXEXaEaXD?=
证明:
222
)]([)( XaEXEa?=
})]([)({
222
XEXEa?=
)(
2
XDa=
(3) 若 X,Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
22
)]([}){()( YXEYXEYXD +?+=+
证明:
})]([)]()][([2)]({[
}2{
22
22
YEYEXEXE
YXYXE
++?
++=
)()(2)(2
)()(
YEXEXYE
YDXD
+
+=
)()()( YEXEXYEX与Y独立 =?
)()()( YDXDYXD +=+∴
注,D(X+a)=D(X)
∑∑
==
=
n
i
n
i
iin
XDXDXX
11
1
)()(,..,独立，则若二,几个重要 r.v.的方差
1,二项分布 B(n,p)：
nkppCkXP
knkk
n
,...1.0)1(}{ =?==
npXE =)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
n
kXE
1
22
)1(
)!(!
!
)(
∑
=
=
n
k
knk
pp
knk
kn
1
)1(
)!()!1(
!
∑
=
+?
=
n
k
knk
pp
knk
nk
1
)1(
)!()!1(
!)11(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
nk
1
1
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!1(
!)1(
∑
∑
=
=
+
=
n
k
knk
n
k
knk
pp
knk
n
pp
knk
n
1
2
)1(
)!()!1(
!
)1(
)!()!2(
!
∑
∑
=
+
=
+
+
=
1
0
11
1
2
0
22
2
)1(
)1()1(
n
j
jnjj
n
n
l
lnll
n
ppnC
ppCnn
nppnn +?=
2
)1(
)1(
)1()(
222
pnp
pnnppnnXD
=
+?=∴
解法二:
设
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生
∑
=
=
n
i
i
XX
1
第i次试验事件A不发生则
[ ]
2
2
)()()(
iii
XEXEXD?=
)1(
2
pppp?=?=
∑
=
=
n
i
i
XDXD
1
)()(
)1()1(
1
pnppp
n
i
=?=
∑
=
2,泊松分布 p(λ)：
...,2,1,0,
!
}{~ ===
ke
k
kXPX
k
λ
λ
D(X)=λλ=)(XE
.
12
)(
)(
2
ab
XD
=
3,均匀分布 U(a,b)：
4,指数分布：
2
)( θ=XD
5,正态分布 N(μ,σ
2
),.)(
2
σ=XD
)(
)(
*
XD
XEX
X
=
称为X的标准化(p123)
EX
*
=0,DX
*
=1
思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。
2,已知随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立，且每个X
i
的期望都是0，方差都是1，令Y= X
1
+X
2
+…+X
n
，求E(Y
2
).
.)()(,0)()(
11
nXDYDXEYE
n
i
i
n
i
i
====
∑∑
==
nYEYDYE =+=
22
))(()()(
六个常用分布的期望和方差,P436附表一。
0,0-1分布,
qpXD =?= )1()(
pXE =)(
1,二项分布 B(n,p)：
npXE =)( npqXD =)(
λ=)(XD
λ=)(XE
2,泊松分布 p(λ)：
.
12
)(
)(
2
ab
XD
=
2
)(
ba
XE
+
=3,均匀分布 U(a,b)：
4.指数分布：
2
)( θ=XD
θ=)(XE
μ=)(XE
5,正态分布 N(μ,σ
2
)：
2
)( σ=XD
练习 1,考题 P109，一 /4
E(X)=2,D(X)=9,E(Y)=(-2+4)/2=1,D(Y)=(4+2)
2
/12=3.
E(2X+Y+1)=2E(X)+E(Y)+1=6，
D(2X+Y+1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=39.(独立 )
练习 2,考题 P150，一 /6
≤
>
=
00
0
)(
x
xe
xf
x
∫
∞
+=+=+=+
0
222
3
1
11)()()( dxeeeEXEeXE
xxXX
练习 3,考题 P150，一 /7
解,X~N(0,1/2),Y~N(0,1/2),X-Y~N(0,1/2+1/2)。
见 P96。令 Z=X-Y，则 Z~N(0,1)。
πππ
ππ
2
2
2
2
)
2
(
2
2
2
2
2
1
|||)(|
0
2
0
2
2
0
22
22
22
=
==
==
∞
∞?
∞?∞
∞?
∫
∫∫
zz
zz
e
z
de
dzzedzezZE
三.切比雪夫不等式 (P128)
若 r.v.X的期望和方差存在，则对任意 ε>0，有;
)X(D
}|)X(EX{|P
2
ε
≤ε≥?
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
.
)X(D
1}|)X(EX{|P
2
ε
≥ε<?
在下一章大数定律有关内容会用到它。
例1：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，用切比雪夫不等式估计a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。;
01.0
}|1{|
2
a
aXP ≤≥?解:由切比雪夫不等式
1.0
01.0
2
≤
a
1.0
2
≥?a 32.0≥?a
令例 2：考题 P176 / 5。
解,X为 6000粒种子中的良种数，则 X~b(6000,1/6)
E(X)=1000,D(X)=5000/6.
2
60
6
5000
1}60|1000{|01.0
6
1
6000
≥<?=
<? XP
X
P
§3 协方差，相关系数一.协方差定义与性质
1.协方差定义 (P129)
若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称
COV(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.
为X与Y的 协方差,易见
COV(X,Y)=E(XY)--E(X)E(Y).
例：设(X,Y)服从区域D,0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的协方差。
解：
D
x=y
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(2
),(
D的面积=0.5,
3
2
)( =XE
3
1
)( =YE
1
4
1
2)()(
0
1
0,
===
∫∫∫∫
∞<<∞?
x
yx
ydyxdxdxdyxyxyfXYE
36
1
)()()(),( =?= YEXEXYEYXCOV
2,协方差性质
(1) COV(X,Y)=COV(Y,X);
(2) COV(X,X)=D(X);
(3) COV(aX,bY)= abCOV(X,Y),其中 a,b为常数
(4) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ 2COV(X,Y).
注：当 a为常数时，
(1) COV(X,a)=0
(2) D(X+a)=D(X)+D(a)+2Cov(X,a)=D(X)
(3) Cov(X+a,Y)=Cov(X,Y)+Cov(a,Y)=Cov(X,Y)
EX,设随机变量X ～B(12,0.5),Y ～N(0,1),
COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1 与 W=-2X+4Y的方差与协方差解,D(X)=npq=3,D(Y)=1.
D(V)=D(4X)+D(3Y+1)+2Cov(4X,3Y+1)
=16D(X)+D(3Y)+2Cov(4X,3Y)
=16D(X)+9D(Y)+24Cov(X,Y)=33
D(W)=D(-2X)+D(4Y)+2Cov(-2X,4Y)
=4D(X)+16D(Y)+2*(-2)*4Cov(X,Y)=44
Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)
=Cov(4X,-2X+4Y)+Cov(3Y+1,-2X+4Y)
=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+Cov(3Y,4Y)
=-8Cov(X,X)+16Cov(X,Y)-6Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)
=-8D(X)+10Cov(X,Y)+12D(Y)=-22
二.相关系数
1,定义 p129 若 r.v,X,Y的方差和协方差均存在,且 DX>0,DY>0，则
)()(
),cov(
YDXD
YX
XY
== ρρ
称为 X与 Y的 相关系数,
例：考题 p34，八。
注,对 X的标准化变量
)(
)(
*
XD
XEX
X
=
易知 EX
*
=0,DX
*
=1且
(p123)
).(),cov(
****
YXEYX
XY
==ρ
2.相关系数的性质 （ p130定理）
(1) |ρ
XY
|≤1；
(2) |ρ
XY
|=1?存在常数 a,b 使 P{Y= aX+b}=1；
X,Y 正相关；10 <<
XY
ρ
X,Y 负相关。01 <<?
XY
ρ
的意义,是一个可以用来表征X,Y之间线性关系紧密程度的量。
XY
ρ
较大时，X,Y 线性相关的程度较好较小时，X,Y 线性相关的程度较差
XY
ρ
XY
ρ
0=
XY
ρ 称 X和Y不相关
0=
XY
ρX与Y不相关? COV(X,Y)=0?
“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
例：
<<<
=
others
xxy
yxf
0
10,1
),(
E(X)=2/3
E(Y)=0
E(X,Y)=0=E(X)E(Y)
Cov(X,Y)=0
<<
=
others
xx
xf
X
0
102
)(
<<?+
<<?
=
others
yy
yy
xf
Y
0
011
101
)(
X与 Y不相关，但不是相互独立的。
1.是否独立：
jiij
ppp
=
)()(),( yfxfyxf
YX
=
)()(),( yFxFyxF
YX
=
0=
XY
ρ是否相关：
2.“相互独立”就一般关系而言，“不相关”就线性关系而言
3.独立不相关
0=
XY
ρ?
Cov(X,Y)=0
E(X)E(Y) = E(XY)
\
D(X+Y) = D(X)+D(Y)
XY
XY
XYUX
XYUX
ρ
ρ
求）
求
,),1,1(~2
,),1,0(~)1
2
2
=?
=
解1 )
45
4
)(,
12
1
)(
,
4
1
)()(,
3
1
)()(,
2
1
)(
32
==
=====
YDXD
XEXYEXEYEXE
968.0
45
4
12
1
12
1
≈
×
=
XY
ρ
0)(,0)( == XYEXE
0=
XY
ρ
2)
同样是均匀分布，相关系数差别很大。
关于二维正态分布的一些结论
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμNYX设
1.两个边缘分布都是正态分布。 (p83)
),(~
2
11
σμNX ),(~
2
22
σμNY
2,ρ是X与Y的相关系数。即 (P132)
XY
ρρ =
3,X与Y相互独立?ρ=0 (p91-92)
可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则
X与Y相互独立? X与Y不相关 。
附：正态分布一些性质
),(~
2
iii
NX σμ
∑
=
=
n
i
i
XZ
1
∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i
NZ
1
22
1
2
,),,(~ σσμμσμ 且则
2
)(,)(),,(~.1 σμσμ == XDXENX
2.设对 i=1,…,n,
))(,(~,.3
2
σμ abaNYbaXY ++= 则
),(~),,(~.4
2
22
2
11
σμσμ NYNX设
),(~
2
2
2
121
σσμμ + NYX则设(X,Y)服从N(1,0,3
2
,4
2
,-0.5)分布，Z=X/3+Y/2
1)求Z的概率密度 2)求X与Z的相关系数
3)问X与Z是否相互独立？为什么？
解：(1) X~N(1,9)，Y~N(0,16)，Z也服从正态分布
Cov(X,Y)=ρσ
X
σ
Y
=-0.5*3*4=-6
3),(
2
1
3
1
2)(
4
1
)(
9
1
2
,
3
2
2323
)(
=××++=
+
+
=
+=
YXCovYDXD
YX
Cov
Y
D
X
D
YX
DZD
3
1
)(
2
1
)(
3
1
23
)( =+=
+
= YEXE
Y
E
X
EZE
6
)3/1(
32
)3/1(
22
6
1
32
1
)(
),3,
3
1
(~
×
==
∴
xx
Z
eezf
NZ
ππ
(2)
0),(
2
1
)(
3
1
2
,
3
,
23
,
=+=
+
=
+
YXCovXD
Y
XCov
X
XCov
YX
XCov
(3) 因为X、Z都服从均匀分布，Cov(X,Z)=0，
所以X、Z不相关，于是X、Z独立。
§ 4 矩、协方差矩阵一、矩 (p133-134)
1,K阶原点矩 A
k
=E(X
k
),k=1,2,…
2,K阶中心矩 B
k
=E[X-E(X)]
k
,k=1,2,…
3,K+l阶混合原点矩
E(X
k
Y
l
),k,l=0,1,2,…；
4,K+l阶混合中心矩
E{[X?E(X)]
k
[Y?E(Y)]
l
},k,l=0,1,2,…
二,协方差矩阵 (p134)
1.定义 设 X
1
,…,X
n
为 n个 r.v.,记 c
ij
=cov(X
i
,X
j
),
i,j=1,2,…,n,则称由 c
ij
组成的矩阵为随机变量 X
1
,…,X
n
的协方差矩阵 C。即
==
×
nnnn
n
n
nnij
ccc
ccc
ccc
cC
...
............
...
...
)(
21
22221
11211
2,n维正态分布（ P136）
E(C)
E(cX)
E(X+Y)
EXY（）
定义式函数的期望
E（X)
D(C)
D(cX)
D(X+Y)
定义式计算式
D（X)
COV(X,X)
COV(aX,bY)
COV(X+Y,Z)
定义式计算式
COV（X,Y)
不相关与独立相关系数六种常用随机变量的期望与方差小结
