第五章大数定律与中心极限定理
大数定律
中心极限定理
§1 大数定律一.依概率收敛 p145
设{Y
n
}为随机变量序列，a为常数，若任给 ε>0,
使得
1}|{|lim =<?
∞→
εaYP
n
n
则称{X
n
}依概率收敛 于a,可记为
.aY
P
n
→?
aX
P
n
→
∞→n
时,X
n
落在意思是:当
),( εε +? aa
内的概率越来越大.
n
X
a
ε?a ε+a
,当
0
nn>
0
,0 n?>?ε
aX
n
→而 意思是:
ε<? || aX
n
二.几个常用的大数定律
1,切比雪夫大数定律 设{X
k
,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望 μ，及方差 σ
2
，则
μ?→?==
∑
=
P
n
k
kn
X
n
YX
1
1
即任给 ε>0，有
1}|
1
{|lim
}|{|lim
1
=<?=
<?
∑
=
∞→
∞→
εμ
εμ
n
k
k
n
n
n
X
n
P
YP
证明:由切比雪夫不等式
.
)(
1}|)({|
2
ε
ε
n
nn
YD
YEYP?≥<? 这里
μ==
∑
=
n
k
kn
XE
n
YE
1
)(
1
)(
n
XD
n
YD
n
k
kn
2
1
2
)(
1
)(
σ
==
∑
=
.1}|{|
2
2
ε
σ
εμ
n
YP
n
≥<?
故
1}|{|lim =<?
∞→
εμ
n
n
YP
∑
=
=
n
k
k
X
n
X
1
1
定理的意义,P145
1,当n很大时，随机变量X
1，
…，X
n
的算术平均接近于数学期望E(X
1
)=E(X
2
)=…=E(X
n
)=μ.
这种接近是在概率意义下的接近。
X
2,对于同一个 r.v.X，进行n次独立观察，每次观察的值为Xi，它们也是r.v.，当n充分大时，所有观察值的算术平均依概率收敛于E(X)。
E(X)：理论上的均值,：实际得到的观察值的均值，n很大时，两者会在概率意义下接近。
3,第1000次的观察值也许比第10次的离 μ远。但前
1000次的平均值接近 μ的概率应当比前10次的大。
2,伯努里大数定律 进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记n
A
为n次试验中事件A发生的次数,为频率，则
pfn
p
n
→∞→时，当
n
n
f
A
n
=
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生证明:设第i次试验事件A不发生则
)1()(,)( ppXDpXE
ii
==
由切比雪夫大数定理
p
n
X
f
P
n
i
i
n
→=
∑
= 1
3,辛钦大数定律若{X
k
,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EX
k
=μ <∞,k=1,2,… 则
μ?→?=
∑
=
P
n
k
kn
X
n
Y
1
1
1}|
1
{|lim
}|{|lim
1
=<?=
<?
∑
=
∞→
∞→
εμ
εμ
n
k
k
n
n
n
X
n
P
YP即任给 ε>0，有辛钦定律要求同分布，切比雪夫定律要求方差存在。
1,独立同分布中心极限定理 (Levy-Lindeberg)
设 {X
n
}为独立同分布随机变量序列，若 E(X
k
)=μ<∞，
D(X
k
)= σ
2
>0,k=1,2,…,则令随机变量
§2,中心极限定理
σ
μ
n
nX
Y
n
k
k
n
=
∑
=1
)(xFY
nn
的分布函数为
dtexxF
t
x
n
n
2
2
2
1
)()(lim
∞?
∞→
∫
=Φ=
π
σ
μ
n
nX
XD
XEX
Y
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
=
=
∑
∑
∑∑
=
=
== 1
1
11
)(
)(
∑
=
n
k
k
X
1
标准化
1.
)()(lim xxF
n
n
Φ=
∞→
)(xFY
nn
的分布函数为
2.
σ
μ
n
nX
n
k
k
∑
=1
近似地
～
N(0,1)
3.
在一般情况下，很难求出n个随机变量之和的分布函数。n充分大时，可以用正态分布近似。
∑
=
n
k
k
X
1
近似计算公式：
)(}{
1
σ
μ
n
nx
xXp
n
i
i
Φ≈≤
∑
=
)(
1
aa
n
nX
p
n
k
k
Φ≈
≤
∑
=
σ
μ
σ
μ
n
nx
a
=
例1,将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于
500的概率是多少？
解:设 X
k
为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X
1
,…,X
100
独立同分布.
12
35
4
49
6
1
)(,
2
7
)(
6
1
2
=?==
∑
=i
kk
kXDXE
由中心极限定理
×
×?
Φ?≈≥
∑
=
12
35
100
2
7
100500
1}500{
100
1i
i
XP
0)78.8(1 ≈Φ?=
2.德莫佛-拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)
设随机变量 η
n
(n=1,2,...)服从参数为n、p(0<p<1)
的二项分布，则
)(lim xx
npq
np
P
n
n
Φ=
≤
∞→
η
证明:设
=
0
1
i
X
∑
=
=?==
n
i
inii
XppXDpXE
1
),1()(,)( η
第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布中心极限定理,结论得证。
∑
=
n
k
k
X
1 σ
μ
n
nX
Y
n
k
k
n
=
∑
=1
标准化
)(xFY
nn
的分布函数为
)()(lim xxF
n
n
Φ=
∞→
σ
μ
n
nX
n
k
k
∑
=1
近似地
～
N(0,1)
n
n
k
k
X η=
∑
=1
1.
npq
np
Y
n
n
=
η
2.
≤
= x
npq
np
PxF
n
n
η
)(
3.
p150（2.5）式
X
k
服从同一个0-1分布,μ=p,σ
2
=pq
二项分布可用正态分布近似计算
n
η
～B (n，p)
{}
Φ≈
≤
=≤
npq
npa
npq
npa
npq
np
PaP
n
n
η
η
例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为有90%的把握使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？
解,设 X表示一年内死亡的人数，则 X~b(n,p),
其中 n= 10000,p=0.6%,np=60,设 Y表示保险公司一年的利润,Y=10000×12-1000X
于是由中心极限定理
(1) P{Y<0}=P{10000×12-1000X<0}
=1?P{X≤120}≈1 - Φ(7.77)=0;
{}
)7693.7(
7227.7
60
994.060
60120
994.060
60
120
Φ=
Φ≈
≤
=≤
X
PXP
9.0}60000{ ≥≥YP
P{Y>60000}=P{X≤60000/a}≥0.9;
（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于
9.0
7227.7
60
60000
7227.7
60
60000
7227.7
6060000
≥
Φ≈
≤
=
≤
a
a
X
P
a
XP
6.857
,29.1
7227.7
60
60000
≤
≥
a
a
大数定律
中心极限定理
§1 大数定律一.依概率收敛 p145
设{Y
n
}为随机变量序列，a为常数，若任给 ε>0,
使得
1}|{|lim =<?
∞→
εaYP
n
n
则称{X
n
}依概率收敛 于a,可记为
.aY
P
n
→?
aX
P
n
→
∞→n
时,X
n
落在意思是:当
),( εε +? aa
内的概率越来越大.
n
X
a
ε?a ε+a
,当
0
nn>
0
,0 n?>?ε
aX
n
→而 意思是:
ε<? || aX
n
二.几个常用的大数定律
1,切比雪夫大数定律 设{X
k
,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望 μ，及方差 σ
2
，则
μ?→?==
∑
=
P
n
k
kn
X
n
YX
1
1
即任给 ε>0，有
1}|
1
{|lim
}|{|lim
1
=<?=
<?
∑
=
∞→
∞→
εμ
εμ
n
k
k
n
n
n
X
n
P
YP
证明:由切比雪夫不等式
.
)(
1}|)({|
2
ε
ε
n
nn
YD
YEYP?≥<? 这里
μ==
∑
=
n
k
kn
XE
n
YE
1
)(
1
)(
n
XD
n
YD
n
k
kn
2
1
2
)(
1
)(
σ
==
∑
=
.1}|{|
2
2
ε
σ
εμ
n
YP
n
≥<?
故
1}|{|lim =<?
∞→
εμ
n
n
YP
∑
=
=
n
k
k
X
n
X
1
1
定理的意义,P145
1,当n很大时，随机变量X
1，
…，X
n
的算术平均接近于数学期望E(X
1
)=E(X
2
)=…=E(X
n
)=μ.
这种接近是在概率意义下的接近。
X
2,对于同一个 r.v.X，进行n次独立观察，每次观察的值为Xi，它们也是r.v.，当n充分大时，所有观察值的算术平均依概率收敛于E(X)。
E(X)：理论上的均值,：实际得到的观察值的均值，n很大时，两者会在概率意义下接近。
3,第1000次的观察值也许比第10次的离 μ远。但前
1000次的平均值接近 μ的概率应当比前10次的大。
2,伯努里大数定律 进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记n
A
为n次试验中事件A发生的次数,为频率，则
pfn
p
n
→∞→时，当
n
n
f
A
n
=
=
0
1
i
X
第i次试验事件A发生证明:设第i次试验事件A不发生则
)1()(,)( ppXDpXE
ii
==
由切比雪夫大数定理
p
n
X
f
P
n
i
i
n
→=
∑
= 1
3,辛钦大数定律若{X
k
,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EX
k
=μ <∞,k=1,2,… 则
μ?→?=
∑
=
P
n
k
kn
X
n
Y
1
1
1}|
1
{|lim
}|{|lim
1
=<?=
<?
∑
=
∞→
∞→
εμ
εμ
n
k
k
n
n
n
X
n
P
YP即任给 ε>0，有辛钦定律要求同分布，切比雪夫定律要求方差存在。
1,独立同分布中心极限定理 (Levy-Lindeberg)
设 {X
n
}为独立同分布随机变量序列，若 E(X
k
)=μ<∞，
D(X
k
)= σ
2
>0,k=1,2,…,则令随机变量
§2,中心极限定理
σ
μ
n
nX
Y
n
k
k
n
=
∑
=1
)(xFY
nn
的分布函数为
dtexxF
t
x
n
n
2
2
2
1
)()(lim
∞?
∞→
∫
=Φ=
π
σ
μ
n
nX
XD
XEX
Y
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
=
=
∑
∑
∑∑
=
=
== 1
1
11
)(
)(
∑
=
n
k
k
X
1
标准化
1.
)()(lim xxF
n
n
Φ=
∞→
)(xFY
nn
的分布函数为
2.
σ
μ
n
nX
n
k
k
∑
=1
近似地
～
N(0,1)
3.
在一般情况下，很难求出n个随机变量之和的分布函数。n充分大时，可以用正态分布近似。
∑
=
n
k
k
X
1
近似计算公式：
)(}{
1
σ
μ
n
nx
xXp
n
i
i
Φ≈≤
∑
=
)(
1
aa
n
nX
p
n
k
k
Φ≈
≤
∑
=
σ
μ
σ
μ
n
nx
a
=
例1,将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于
500的概率是多少？
解:设 X
k
为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X
1
,…,X
100
独立同分布.
12
35
4
49
6
1
)(,
2
7
)(
6
1
2
=?==
∑
=i
kk
kXDXE
由中心极限定理
×
×?
Φ?≈≥
∑
=
12
35
100
2
7
100500
1}500{
100
1i
i
XP
0)78.8(1 ≈Φ?=
2.德莫佛-拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)
设随机变量 η
n
(n=1,2,...)服从参数为n、p(0<p<1)
的二项分布，则
)(lim xx
npq
np
P
n
n
Φ=
≤
∞→
η
证明:设
=
0
1
i
X
∑
=
=?==
n
i
inii
XppXDpXE
1
),1()(,)( η
第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布中心极限定理,结论得证。
∑
=
n
k
k
X
1 σ
μ
n
nX
Y
n
k
k
n
=
∑
=1
标准化
)(xFY
nn
的分布函数为
)()(lim xxF
n
n
Φ=
∞→
σ
μ
n
nX
n
k
k
∑
=1
近似地
～
N(0,1)
n
n
k
k
X η=
∑
=1
1.
npq
np
Y
n
n
=
η
2.
≤
= x
npq
np
PxF
n
n
η
)(
3.
p150（2.5）式
X
k
服从同一个0-1分布,μ=p,σ
2
=pq
二项分布可用正态分布近似计算
n
η
～B (n，p)
{}
Φ≈
≤
=≤
npq
npa
npq
npa
npq
np
PaP
n
n
η
η
例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为有90%的把握使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？
解,设 X表示一年内死亡的人数，则 X~b(n,p),
其中 n= 10000,p=0.6%,np=60,设 Y表示保险公司一年的利润,Y=10000×12-1000X
于是由中心极限定理
(1) P{Y<0}=P{10000×12-1000X<0}
=1?P{X≤120}≈1 - Φ(7.77)=0;
{}
)7693.7(
7227.7
60
994.060
60120
994.060
60
120
Φ=
Φ≈
≤
=≤
X
PXP
9.0}60000{ ≥≥YP
P{Y>60000}=P{X≤60000/a}≥0.9;
（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于
9.0
7227.7
60
60000
7227.7
60
60000
7227.7
6060000
≥
Φ≈
≤
=
≤
a
a
X
P
a
XP
6.857
,29.1
7227.7
60
60000
≤
≥
a
a
