第 2章 点、直线和平面的投影
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 求线段实长及对投影面的倾角
2.5 两直线的相对位置
2.6 平面的投影
2.1 投影法的基本知识返回
2.1 投影法的基本知识
2.1.1 投影法概念
2.1.2 投影法的分类
2.1.3 正投影法的基本性质
2.1.1 投影法的概念投影面 P
a 投影投射线
b
S 投影中心
A 空间点
B
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。
2.1.2 投影法的分类
1,中心投影法 投射线汇交于一点。
2,平行投影法 投射线互相平行 。
（ 1） 斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影 。
（ 2） 正投影 投射线与投影面垂直的平行投影 。
1,中心投影法
H
S
2.平行投影法 ----斜投影
H
2.平行投影法 ----正投影
90°
H
2.1.3 正投影法的基本性质
1,实形性 当线段或平面平行于投影面时，
其投影反映实长或实形。
2,积聚性 当线段或平面垂直于投影面时,
其投影积聚为点或线段 。
3,类似性 当线段或平面倾斜于投影面时,
其投影变短或变小 。
1,实形性
C
D
EB
A
H
a
b
e
d
c
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
e
d
c
a（ b）
C
D
EB
A
H
2,积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3,类似性
C
D
E
e
dc
B
A
a b
H
当线段或平面倾斜于投影面时,其投影变短或变小 。
2.2 点的投影
2.2.1 点在两投影面体系中的投影
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
2.2.3 两点的相对位置和重影点
2.2.1 点在两投影面体系中的投影
5,点在其他分角的投影
3,点的两面投影图
2,两投影面体系的建立
4.两投影面体系中点的 投影规律
1,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
1,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
H
V
OX
a?
a
A
2.两投影面体系的建立
X O
两投影面体系由 V面和 H面二个投影面构成。 V面和 H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
正立投影面投影轴
V
H
水平投影面
3.点的两面投影图
H
V
OX
a
A
a?
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。
点 A的正面投影点 A的水平投影
X
H
V
O
a?
a
ax
两面投影图的画法
H
H
V
OX
a?
a
A
ax
展开时，规定 V面不动,H面向下旋转 90?。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。
通常不画出投影面的范围
X O
a?
a
ax
4.两投影面体系中点的投影规律
H
V
OX
a?
a
A
ax X O
a?
a
ax
点的 V面投影与 H面投影之间的连线 a‘a垂直于投影轴 0X；
点的一个投影到 0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa,aax= Aa' 。
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立
2.点的三面投影图
3.点的三面投影与直角坐标的关系
4.三投影面体系中点的投影规律
5.特殊点的投影
1,三投影面体系的建立
H
V
X O
Z
Y
W
三投影面体系由 V,H,W三个投影面构成。 H,V,W
面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
2,点的三面投影图
H
V
X
Z
Y
WO
A
点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定 V面不动,H
面向下旋转 90?,W面向右旋转 90?。
a?
a
a?
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
a?
a
a?
X O
Z
YW
YH
通常不画出投影面的范围
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
3,点的三面投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，
则点的空间位置可用其（ X,Y,Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
yA
xA zA
4,三投影面体系中点的投影规律
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
a?
a
a?
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
点的 V面投影与 H面投影之间的连线垂直于 0X轴，即 a‘a⊥ 0X ；
点的 V面投影与 W面投影之间的连线垂直 0Z轴，即 a’ a“⊥ 0Z；点的 H面投影到 0X轴的距离及点的 W面投影到 0Z 轴的距离两者相等
，都反映点到 V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等
5,特殊位置点的投影
OX
b?
b
c?
c
H
V
OX Cc?ca?
b
Bb?
Aa
a?
a
投影面上的点投影轴上的点与原点重合的点例 1 已知点 A的正面与侧面投影，求点 A的水平投影。
Z
YH
X YWO
a? a?
a
2.1.3 两点的相对位置和重影点
1.两点的相对位置
2.重影点
X O
Z
Y
1,两点的相对位置
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 （ 或坐标大小 ） 来确定的 。 X坐标值大的点在左； Y坐标值大的点在前； Z坐标值大的点在上 。
X
Z
YW
YH
O
a? a?
a
b?
b
b?
2,重影点
c
c?(d?)
da(b)
a?
b?
A
B
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。
X
YH
Z
YWO
c?(d)?
b?
a(b)
a?
c
d
a?
b?
c?d?
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
例 2 已知 A点在 B点的右 10毫米、前 6毫米、上 12毫米，求 A点的投影。
a? a?
a
X
Z
YW
YH
O
b?
b
b?
12
10
6
2.3 直线的投影
2.3.1 直线的三面投影
2.3.2 直线对投影面的相对位置
2.3.3 直线上的点
OX
Z
Y
2.3.1 直线的三面投影
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
X
a? b?
a
O
Y
Y
a?
b
b?
空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线水平线 — 平行于水平投影面的直线
X
Z
Y
O
a
a? b?
a?
b
b?
X
a? b? a? b?
O
z
YH
YW?
b
a?
A
B
投影特性,1,a?b OX ; a?b OYW 2,ab=AB
3,反映?,? 角的真实大小
X
Z
Y
O
正平线 — 平行于正面投影面的直线
X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YWA
B?
投影特性,1,abOX ; a? b OZ
2,a? b?=AB
3,反映?,?角的真实大小
a
a?
b?
a?
b?
b
X
Z
Y
O
侧平线 — 平行于侧面投影面的直线
X
Z
O
YH
YW
a?
b?
b
a
b?
a?
A
B
投影特性,1,a?b OZ ; ab OYH
2,a?b? =AB
3,反映?,? 角的真实大小
a
a?
b?
a?
b?
b
OX
Z
Y
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? bOX ; a? b OY
3,a? b? = a? b? = AB
铅垂线 — 垂直于水平投影面的直线
A
B
b?
a(b)
a?
a?
b?
正垂线 — 垂直于正面投影面的直线
OX
Z
Y
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OX ; a?bOZ
3,ab = a?b? =AB
A
B
z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
bb
a?b?
a?
b?
a
侧垂线 — 垂直于侧面投影面的直线
OX
Z
Y
A B
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OYH ; a?b OZ
3,ab = a?b? =AB
b
a?
a?b?
a
b?
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
OX
Z
Y
一般位置直线
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
X
a? b?
a
O
YH
YW
a?
b
b?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a? b?均倾斜于投影轴
3,不反映?,?,? 实角直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c,c b= a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
2.3.3 直线上的点
A
B
b
b?
a
a?X O
c
c?
C
c
b?
X
a?
a
b
c
c?
例 3 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 1,2两段，求分点 C
的投影。
O
例 4 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
b?
X a?
a
b
c
c? ac
cb
X OA
B
b
b?
a
a?
c?
C
c
H
V
O
直线的迹点
X A
b?
a
a?
m?
N n?
b
B
M m
n O
V
H
a?
b?
ba
m?
m
n
m?
X O
直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。
一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角 。
1.几何分析
2.作图要领用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边,再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边,所作直角三角形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角 。
3.直角三角形 的四个要素实长,投影长,坐标差及直线对投影面的倾角 。 已知四要素中的任意两个,便可确定另外两个 。
2.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角几何分析
|zA-zB |
AB
A
B
b
b?
a
a?
C
X O
|zA-zB|
X
a?
a
b?
b
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
例 5 已知 线段的实长 AB以及 ab和 a’，求它的正面投影 a’b’。
a
X
a?
b
A OB
b0
bb0
bb0
b’
b’
2.5 两直线的相对位置
（ 1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
（ 2）平行两线段之比等于其投影之比。
X
b?
a
a?
d?
b b
c
c?
A
B
C
D
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
1.平行两直线
O
O
2.相交两直线两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
X
B
D
A
C
K
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
k?
k
O
O
3.交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c d
d?
2
1
1?(2?)
2
1
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
O
d?
a?
c?
b?
o Y
W
YH
Z
X
a?
a
c?
d?
d
c
b
b?
例 6 判断两直线的相对位置判断重影点的可见性
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
(3?)4?
1(2) 4
3
3
4
1?
2?
1
2
判断重影点的可见性时，
需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
b?
b
c?
d?
d
c
X
a?
a
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
例 7 判断两直线重影点的可见性
O
4,垂直两直线的投影
A
H
B
C a
c b
c
X
b?a?
c?
b
a
互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行。
反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定平行。
O
b
b?
a?
a
O
f
e?
e
f?
X
例 8 过点 A 作 EF 线段的垂线 AB。
例 9 求点 E 到水平线 AB的距离。
X O
a’ b’
a
b
e’
e
d’
d
yD-yE 所求距离例 10 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN上，且 BC?AB=2?3。
b?
bc
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
n
m?
a?
a
X
m
n?
O
2.6 平面的投影
2.6.1 平面的表示法
1,几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：
（ 1） 不在一直线上的三个点；
（ 2） 一直线和直线外一点；
（ 3） 相交两直线；
（ 4） 平行两直线；
（ 5） 任意平面图形 。
2.平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1,几何元素表示法
a?
a
b?
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
用几何元素表示平面有五种形式：
（ 1） 不在一直线上的三个点；
（ 2） 一直线和直线外一点；
（ 3） 相交两直线；
（ 4） 平行两直线；
（ 5） 任意平面图形 。
2,迹线表示法
PX
PV
PH
OX
Z
Y
PH
PV
PW
PZ
PY
PX
X O
PW
PZ
PYH
PYW
YH
Z
YW
2.6.2 各种位置平面的投影特性
1.投影的垂直面
(1)铅垂面
(2)正垂面
(3)侧垂面
2.投影的平行面
(1)水平面
(2)正平面
(3)侧平面
3.一般位置平面铅垂面投影特性,1,水平投影 abc积聚为一条直线
2,正面投影 a?b?c?,侧面投影 a?b?c?为?ABC的类似形
3,abc与 OX,OY的夹角 反映?,?角的真实大小
V
W
H
P
PH
A
B
Ca
c
b?
a?
b?
a?
b?
b
a
c
c?c?
铅垂面迹线表示
V
W
H
P
PH
PH
PV PW
正垂面投影特性,1,正面投影 a?b?c? 积聚为一条直线
2,水平投影 abc、侧面投影 a?b?c?是? ABC的类似形
3,a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
V
W
H
Q
QV?
αa?
b?
a?
b?
b
a
c?c?
c
A
c?
C
a?
b?
B
正垂面的迹线表示
V
W
H
Q
QV
α
γQV
侧垂面投影特性,1,侧面投影 a?b?c?积聚为一条直线
2,水平投影 abc、正面投影 a?b?c?为? ABC的类似形
3,a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
V
W
H
SWS
C
a?
b?
A
B
c?
a?
b? b?
b
a
a?α
β
c
c? c?
侧垂面的迹线表示
V
W
H
SHS
Z
X O
YH
SH
Yα
β
水平面
V
W
H
C
A B a?b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
c
a? b? b?
b
a
a?c? c?
投影特性：
1,a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性
2,水平投影 abc反映? ABC实形正平面
V
W
H
c?
a?
b?b?
a?
c?
bc a
b?
a?
c?
a?
b?
c?
bc a
C
B
A
投影特性：
1,abc,a?b?c? 积聚为一条直线，具有积聚性
2.正平面投影 a?b?c?反映? ABC实形侧平面
V
W
H
a?
b? b?
b
a?
c? c?
c
a
b?
c?
b
a
c
a?
b?
c?C
A
B
a?
投影特性：
1,abc,a?b?c?积聚为一直条线，具有积聚性
2,侧平面投影 a?b?c?反映? ABC实形一般位置平面
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
a?
b? b?
a?
c? c?
b
a
c
C
A
B
投影特性
1,abc,a?b?c?,a?b?c?均为? ABC的类似形
2,不反映?,?,? 的真实角度
2.6.3 平面上的点和直线
（ 1） 平面上的直线直线在平面上的几何条件是,① 通过平面上的两点； ② 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线 。
（ 2） 平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点,直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题 。 利用在平面上取点,直线的作图,可以解决三类问题：判别已知点,线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影 。
1,平面上取直线和点
（ 1） 平面上取直线取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
A
B
C
E
D
F
f
f?
（ 2） 平面上取点
A
B
CD
E
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线例 11 已知?ABC 给定一平面，（ 1）判断点 K是否属于该平面。
（ 2）已知平面上一点 E的正面投影 e’作出水平投影。
k?
k
a?
b?
c?
a
b
c
d
d?
e?
e
1
1?
X O
例 12 已知平面 P上 K点的正面投影 k’，求作水平投影 k。
X O
PV
PH
PX
k’
n’
n m
m
k
2,平面上的特殊位置直线
V
H
P
PV
PH
（ 1） 平面上投影面平行线 — 既在平面上又平行于投影面的直线 。
在一个平面上对 V,H,W投影面分别有三组投影面平行线 。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质,又与所属平面保持从属关系 。
水平线 正平线例 13
a?
b?
c?
b
a
c
m?
n?
n
m
已知? ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，
过点 A作属于该平面 的水平线。
例 14 已知点 E 在?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，
试求点 E的投影。
X
a?
b?
c?
b
a
c
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
（ 2） 平面上投影面的最大斜度线平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。
最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义,
用来测定平面对投影面的角度
H
P
C
D
aE1?S
A
E
例 15 求? ABC平面与水平投影面的夹角 α。
be
α
BE
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
例 16 过正平线作平面与水平投影面成 60°
abe
f
f?
e?
e f
f?
e?
60°
b
b
b?
a?
a
AB
本章小结
1.熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别 。
2.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；
掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平行,相交,交叉三种相对位置的投影特性,熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法,并能灵活运用直线的实长,投影,直线与投影面倾角三者之间的关系 。 掌握直角的投影定理及其应用 。
3.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法,
掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法 。 了解平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性和作图方法 。
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 求线段实长及对投影面的倾角
2.5 两直线的相对位置
2.6 平面的投影
2.1 投影法的基本知识返回
2.1 投影法的基本知识
2.1.1 投影法概念
2.1.2 投影法的分类
2.1.3 正投影法的基本性质
2.1.1 投影法的概念投影面 P
a 投影投射线
b
S 投影中心
A 空间点
B
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。
2.1.2 投影法的分类
1,中心投影法 投射线汇交于一点。
2,平行投影法 投射线互相平行 。
（ 1） 斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影 。
（ 2） 正投影 投射线与投影面垂直的平行投影 。
1,中心投影法
H
S
2.平行投影法 ----斜投影
H
2.平行投影法 ----正投影
90°
H
2.1.3 正投影法的基本性质
1,实形性 当线段或平面平行于投影面时，
其投影反映实长或实形。
2,积聚性 当线段或平面垂直于投影面时,
其投影积聚为点或线段 。
3,类似性 当线段或平面倾斜于投影面时,
其投影变短或变小 。
1,实形性
C
D
EB
A
H
a
b
e
d
c
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
e
d
c
a（ b）
C
D
EB
A
H
2,积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3,类似性
C
D
E
e
dc
B
A
a b
H
当线段或平面倾斜于投影面时,其投影变短或变小 。
2.2 点的投影
2.2.1 点在两投影面体系中的投影
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
2.2.3 两点的相对位置和重影点
2.2.1 点在两投影面体系中的投影
5,点在其他分角的投影
3,点的两面投影图
2,两投影面体系的建立
4.两投影面体系中点的 投影规律
1,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
1,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
H
V
OX
a?
a
A
2.两投影面体系的建立
X O
两投影面体系由 V面和 H面二个投影面构成。 V面和 H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
正立投影面投影轴
V
H
水平投影面
3.点的两面投影图
H
V
OX
a
A
a?
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。
点 A的正面投影点 A的水平投影
X
H
V
O
a?
a
ax
两面投影图的画法
H
H
V
OX
a?
a
A
ax
展开时，规定 V面不动,H面向下旋转 90?。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。
通常不画出投影面的范围
X O
a?
a
ax
4.两投影面体系中点的投影规律
H
V
OX
a?
a
A
ax X O
a?
a
ax
点的 V面投影与 H面投影之间的连线 a‘a垂直于投影轴 0X；
点的一个投影到 0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa,aax= Aa' 。
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立
2.点的三面投影图
3.点的三面投影与直角坐标的关系
4.三投影面体系中点的投影规律
5.特殊点的投影
1,三投影面体系的建立
H
V
X O
Z
Y
W
三投影面体系由 V,H,W三个投影面构成。 H,V,W
面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
2,点的三面投影图
H
V
X
Z
Y
WO
A
点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定 V面不动,H
面向下旋转 90?,W面向右旋转 90?。
a?
a
a?
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
a?
a
a?
X O
Z
YW
YH
通常不画出投影面的范围
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
3,点的三面投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，
则点的空间位置可用其（ X,Y,Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
yA
xA zA
4,三投影面体系中点的投影规律
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
a?
a
a?
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
点的 V面投影与 H面投影之间的连线垂直于 0X轴，即 a‘a⊥ 0X ；
点的 V面投影与 W面投影之间的连线垂直 0Z轴，即 a’ a“⊥ 0Z；点的 H面投影到 0X轴的距离及点的 W面投影到 0Z 轴的距离两者相等
，都反映点到 V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等
5,特殊位置点的投影
OX
b?
b
c?
c
H
V
OX Cc?ca?
b
Bb?
Aa
a?
a
投影面上的点投影轴上的点与原点重合的点例 1 已知点 A的正面与侧面投影，求点 A的水平投影。
Z
YH
X YWO
a? a?
a
2.1.3 两点的相对位置和重影点
1.两点的相对位置
2.重影点
X O
Z
Y
1,两点的相对位置
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 （ 或坐标大小 ） 来确定的 。 X坐标值大的点在左； Y坐标值大的点在前； Z坐标值大的点在上 。
X
Z
YW
YH
O
a? a?
a
b?
b
b?
2,重影点
c
c?(d?)
da(b)
a?
b?
A
B
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。
X
YH
Z
YWO
c?(d)?
b?
a(b)
a?
c
d
a?
b?
c?d?
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
例 2 已知 A点在 B点的右 10毫米、前 6毫米、上 12毫米，求 A点的投影。
a? a?
a
X
Z
YW
YH
O
b?
b
b?
12
10
6
2.3 直线的投影
2.3.1 直线的三面投影
2.3.2 直线对投影面的相对位置
2.3.3 直线上的点
OX
Z
Y
2.3.1 直线的三面投影
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
X
a? b?
a
O
Y
Y
a?
b
b?
空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
2.3.2 直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线水平线 — 平行于水平投影面的直线
X
Z
Y
O
a
a? b?
a?
b
b?
X
a? b? a? b?
O
z
YH
YW?
b
a?
A
B
投影特性,1,a?b OX ; a?b OYW 2,ab=AB
3,反映?,? 角的真实大小
X
Z
Y
O
正平线 — 平行于正面投影面的直线
X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YWA
B?
投影特性,1,abOX ; a? b OZ
2,a? b?=AB
3,反映?,?角的真实大小
a
a?
b?
a?
b?
b
X
Z
Y
O
侧平线 — 平行于侧面投影面的直线
X
Z
O
YH
YW
a?
b?
b
a
b?
a?
A
B
投影特性,1,a?b OZ ; ab OYH
2,a?b? =AB
3,反映?,? 角的真实大小
a
a?
b?
a?
b?
b
OX
Z
Y
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? bOX ; a? b OY
3,a? b? = a? b? = AB
铅垂线 — 垂直于水平投影面的直线
A
B
b?
a(b)
a?
a?
b?
正垂线 — 垂直于正面投影面的直线
OX
Z
Y
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OX ; a?bOZ
3,ab = a?b? =AB
A
B
z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
bb
a?b?
a?
b?
a
侧垂线 — 垂直于侧面投影面的直线
OX
Z
Y
A B
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OYH ; a?b OZ
3,ab = a?b? =AB
b
a?
a?b?
a
b?
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
OX
Z
Y
一般位置直线
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
X
a? b?
a
O
YH
YW
a?
b
b?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a? b?均倾斜于投影轴
3,不反映?,?,? 实角直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c,c b= a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
2.3.3 直线上的点
A
B
b
b?
a
a?X O
c
c?
C
c
b?
X
a?
a
b
c
c?
例 3 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 1,2两段，求分点 C
的投影。
O
例 4 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
b?
X a?
a
b
c
c? ac
cb
X OA
B
b
b?
a
a?
c?
C
c
H
V
O
直线的迹点
X A
b?
a
a?
m?
N n?
b
B
M m
n O
V
H
a?
b?
ba
m?
m
n
m?
X O
直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。
一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角 。
1.几何分析
2.作图要领用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边,再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边,所作直角三角形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角 。
3.直角三角形 的四个要素实长,投影长,坐标差及直线对投影面的倾角 。 已知四要素中的任意两个,便可确定另外两个 。
2.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角几何分析
|zA-zB |
AB
A
B
b
b?
a
a?
C
X O
|zA-zB|
X
a?
a
b?
b
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
例 5 已知 线段的实长 AB以及 ab和 a’，求它的正面投影 a’b’。
a
X
a?
b
A OB
b0
bb0
bb0
b’
b’
2.5 两直线的相对位置
（ 1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
（ 2）平行两线段之比等于其投影之比。
X
b?
a
a?
d?
b b
c
c?
A
B
C
D
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
1.平行两直线
O
O
2.相交两直线两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
X
B
D
A
C
K
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
k?
k
O
O
3.交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c d
d?
2
1
1?(2?)
2
1
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
O
d?
a?
c?
b?
o Y
W
YH
Z
X
a?
a
c?
d?
d
c
b
b?
例 6 判断两直线的相对位置判断重影点的可见性
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
(3?)4?
1(2) 4
3
3
4
1?
2?
1
2
判断重影点的可见性时，
需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
b?
b
c?
d?
d
c
X
a?
a
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
例 7 判断两直线重影点的可见性
O
4,垂直两直线的投影
A
H
B
C a
c b
c
X
b?a?
c?
b
a
互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行。
反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定平行。
O
b
b?
a?
a
O
f
e?
e
f?
X
例 8 过点 A 作 EF 线段的垂线 AB。
例 9 求点 E 到水平线 AB的距离。
X O
a’ b’
a
b
e’
e
d’
d
yD-yE 所求距离例 10 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN上，且 BC?AB=2?3。
b?
bc
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
n
m?
a?
a
X
m
n?
O
2.6 平面的投影
2.6.1 平面的表示法
1,几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：
（ 1） 不在一直线上的三个点；
（ 2） 一直线和直线外一点；
（ 3） 相交两直线；
（ 4） 平行两直线；
（ 5） 任意平面图形 。
2.平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1,几何元素表示法
a?
a
b?
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
用几何元素表示平面有五种形式：
（ 1） 不在一直线上的三个点；
（ 2） 一直线和直线外一点；
（ 3） 相交两直线；
（ 4） 平行两直线；
（ 5） 任意平面图形 。
2,迹线表示法
PX
PV
PH
OX
Z
Y
PH
PV
PW
PZ
PY
PX
X O
PW
PZ
PYH
PYW
YH
Z
YW
2.6.2 各种位置平面的投影特性
1.投影的垂直面
(1)铅垂面
(2)正垂面
(3)侧垂面
2.投影的平行面
(1)水平面
(2)正平面
(3)侧平面
3.一般位置平面铅垂面投影特性,1,水平投影 abc积聚为一条直线
2,正面投影 a?b?c?,侧面投影 a?b?c?为?ABC的类似形
3,abc与 OX,OY的夹角 反映?,?角的真实大小
V
W
H
P
PH
A
B
Ca
c
b?
a?
b?
a?
b?
b
a
c
c?c?
铅垂面迹线表示
V
W
H
P
PH
PH
PV PW
正垂面投影特性,1,正面投影 a?b?c? 积聚为一条直线
2,水平投影 abc、侧面投影 a?b?c?是? ABC的类似形
3,a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
V
W
H
Q
QV?
αa?
b?
a?
b?
b
a
c?c?
c
A
c?
C
a?
b?
B
正垂面的迹线表示
V
W
H
Q
QV
α
γQV
侧垂面投影特性,1,侧面投影 a?b?c?积聚为一条直线
2,水平投影 abc、正面投影 a?b?c?为? ABC的类似形
3,a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
V
W
H
SWS
C
a?
b?
A
B
c?
a?
b? b?
b
a
a?α
β
c
c? c?
侧垂面的迹线表示
V
W
H
SHS
Z
X O
YH
SH
Yα
β
水平面
V
W
H
C
A B a?b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
c
a? b? b?
b
a
a?c? c?
投影特性：
1,a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性
2,水平投影 abc反映? ABC实形正平面
V
W
H
c?
a?
b?b?
a?
c?
bc a
b?
a?
c?
a?
b?
c?
bc a
C
B
A
投影特性：
1,abc,a?b?c? 积聚为一条直线，具有积聚性
2.正平面投影 a?b?c?反映? ABC实形侧平面
V
W
H
a?
b? b?
b
a?
c? c?
c
a
b?
c?
b
a
c
a?
b?
c?C
A
B
a?
投影特性：
1,abc,a?b?c?积聚为一直条线，具有积聚性
2,侧平面投影 a?b?c?反映? ABC实形一般位置平面
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
a?
b? b?
a?
c? c?
b
a
c
C
A
B
投影特性
1,abc,a?b?c?,a?b?c?均为? ABC的类似形
2,不反映?,?,? 的真实角度
2.6.3 平面上的点和直线
（ 1） 平面上的直线直线在平面上的几何条件是,① 通过平面上的两点； ② 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线 。
（ 2） 平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点,直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题 。 利用在平面上取点,直线的作图,可以解决三类问题：判别已知点,线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影 。
1,平面上取直线和点
（ 1） 平面上取直线取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
A
B
C
E
D
F
f
f?
（ 2） 平面上取点
A
B
CD
E
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线例 11 已知?ABC 给定一平面，（ 1）判断点 K是否属于该平面。
（ 2）已知平面上一点 E的正面投影 e’作出水平投影。
k?
k
a?
b?
c?
a
b
c
d
d?
e?
e
1
1?
X O
例 12 已知平面 P上 K点的正面投影 k’，求作水平投影 k。
X O
PV
PH
PX
k’
n’
n m
m
k
2,平面上的特殊位置直线
V
H
P
PV
PH
（ 1） 平面上投影面平行线 — 既在平面上又平行于投影面的直线 。
在一个平面上对 V,H,W投影面分别有三组投影面平行线 。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质,又与所属平面保持从属关系 。
水平线 正平线例 13
a?
b?
c?
b
a
c
m?
n?
n
m
已知? ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，
过点 A作属于该平面 的水平线。
例 14 已知点 E 在?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，
试求点 E的投影。
X
a?
b?
c?
b
a
c
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
（ 2） 平面上投影面的最大斜度线平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。
最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义,
用来测定平面对投影面的角度
H
P
C
D
aE1?S
A
E
例 15 求? ABC平面与水平投影面的夹角 α。
be
α
BE
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
例 16 过正平线作平面与水平投影面成 60°
abe
f
f?
e?
e f
f?
e?
60°
b
b
b?
a?
a
AB
本章小结
1.熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别 。
2.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；
掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平行,相交,交叉三种相对位置的投影特性,熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法,并能灵活运用直线的实长,投影,直线与投影面倾角三者之间的关系 。 掌握直角的投影定理及其应用 。
3.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法,
掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法 。 了解平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性和作图方法 。
