1
第 4章 投影变换
4.1 概 述
4.2 换面法
2
4.1 概 述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置 （
平行或垂直 ） 时,它们的投影反映线段的实长,
平面的实形及其与投影面的倾角,当它们处于垂直位置时,其中有一投影具有积聚性 。
当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们的投影就不具备上述的特性 。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置,以简便地解决它们的定位和度量问题 。
3
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两点之间距离
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三角形实形
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直线与平面的交点
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两平面夹角
4
4,2 换 面 法
4.2.1 换面法的基本概念
4.2.2 点的投影变换规律
4.2.3 直线的换面
4.2.4 平面的换面
5
换面法就是保持空间几何元素不动,用新的投影面替换旧的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置 。
6
V
A
H
C
B
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X
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a
b
c
4.2.1 换面法的基本概念
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V/H 体系变为 V1/H 体系
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X
1,新投影体系的建立
7
（ 1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
（ 2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。
V
A
H
C
B
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X
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V1
X1
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2,新投影面的选择原则
8
4.2.2 点的投影变换规律
1,点的一次变换
V
H
X
X1
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A
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9
10
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X VH
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V
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X
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A
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变换 V面时点的投影作图
11
2,点的投影变换规律
a1?
a?
X VH
a
（ 1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
（ 2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
12
V
H
X
点在 V/H1体系中的投影
a1
X VH
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a
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A
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13
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3,点的两次变换
V1
X1
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A
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14
15
4.2.3 直线的换面
1,将一般位置直线变为 投影面平行线
V
H
X
A
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B
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例 1 把一般位置直线 AB变为 H1投影面平行线
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2,将 投影面平行线 变为投影面垂直线
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3,将一般位置直线变为 投影面垂直线
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将 一般位置直线 变为 投影面垂直线
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思考题 1 如何求点 C到直线 AB的距离？
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提示
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a
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思考题 2 如何求两直线 AB与 CD间的距离？
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例 2 求两直线 AB与 CD的公垂线 。
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4.2.3 平面的换面
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1,将一般位置平面变为投影面垂直面
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例 3 求点 S到平面 ABC的距离
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例 4 已知 E到平面 ABC的距离为 N，求 E点的正面投影 e?。
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2,将 投影面垂直面 变为 投影面平行面
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3,将一般位置平 面 变为 投影面平行面
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例 5 已知 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点的投影。
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本章小结
（ 1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。
（ 2）掌握用换面法求图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。
（ 3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。
第 4章 投影变换
4.1 概 述
4.2 换面法
2
4.1 概 述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置 （
平行或垂直 ） 时,它们的投影反映线段的实长,
平面的实形及其与投影面的倾角,当它们处于垂直位置时,其中有一投影具有积聚性 。
当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们的投影就不具备上述的特性 。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置,以简便地解决它们的定位和度量问题 。
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两平面夹角
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4,2 换 面 法
4.2.1 换面法的基本概念
4.2.2 点的投影变换规律
4.2.3 直线的换面
4.2.4 平面的换面
5
换面法就是保持空间几何元素不动,用新的投影面替换旧的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置 。
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4.2.1 换面法的基本概念
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1,新投影体系的建立
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（ 1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
（ 2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。
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2,新投影面的选择原则
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4.2.2 点的投影变换规律
1,点的一次变换
V
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2,点的投影变换规律
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（ 1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
（ 2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
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点在 V/H1体系中的投影
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4.2.3 直线的换面
1,将一般位置直线变为 投影面平行线
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例 5 已知 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点的投影。
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本章小结
（ 1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。
（ 2）掌握用换面法求图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。
（ 3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。
