矩阵分析
欢迎大家
( ) ( ) ;
( ) ( ),
X A t X B t U
Y C t X D t U
其中 ()Ut 为 l 维输入变量,()Xt 维状态向量，为
n
矩阵理论的简单应用一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为第一章 线性空间和线性映射分别为维输出向量，矩阵
()Yt m
为
( ),( ),( ),( )A t B t C t D t
,,,n n n l m n m l
型矩阵且均为时间
t
的函数矩阵。
定义,如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形方程为考虑一个线性定常系统
,,,A B C D
X A X B U
Y C X D U
X A X B U
Y C X D U
定义,对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入,在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；
否则，称该系统是不可控的。
()ut
定义,对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。
我们首先以单输入单输出系统为例 。
考虑系统下面的单输入单输出系统：
T
X A X b u
Y c X
其中 和 是 维矢量,是 矩阵，
b c n A nn? u
及 是标量。
Y
定理,上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵
1(,,,)nQ b b A b
是可逆（非奇异）矩阵。
例 1,设
0 1 0 1
0 0 1,2
0 0 0 3
Ab
由于矩阵
2
1 2 3
2 3 0
3 0 0
b Ab A b
是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。
例 2,设
0 0 0 0
1 0 0,1
0 1 0 1
Ab
由于矩阵
2
000
1 0 0
1 1 0
b Ab A b
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。
定理,上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵
1
T
T
Tn
c
c
V
cA
是可逆（非奇异）矩阵。
例 3,设
11
,1 2
11
TAc
由于矩阵
12
33
T
T
c
cA
是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。
例 4,设
0 1 0 0
3 0 0 2
,1 0 0 0
0 0 0 1
0 2 0 0
T
Ac
由于矩阵
2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
3 0 0 2
0 1 0 0
T
T
T
T
c
cA
cA
cA
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。
我们再以多输入多输出系统为例 。
考虑系统下面的多输入多输出系统：
X A X B u
Y C X
定理,上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵
1(,,,)nQ B B A B
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵
1n
C
CA
V
CA
是列满秩的。
0 1 1 1
,
1 0 1 1
AB
由于矩阵
1 1 1 1
1 1 1 1
B AB
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
例 5,设二 矩阵理论在生物数学中的应用在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如 百合花的花瓣有 3瓣； 毛茛属 的植物有 5瓣花；许多 翠雀属的植物有 8瓣花； 万寿菊 的花瓣有 13瓣； 紫菀属 的植物有 21瓣花；大多数的 雏菊 有 34,55,89 瓣花。
另外，在 向日葵 的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的 叶序 中也存在此种现象。这就是著名的 Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为 Fibonacci级数。它满足下述第推公式：
0,1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,
以及初始条件,试求该数列的通项公式，并且求出极限
21,0,1,2,3,k k kf f f k
010,1,ff
1
lim,k
k
k
f
f
解,设
1,0,1,2,k
k
k
f
Uk
f
因为,所以
21k k kf f f
令
21
1
11
10
kk
kk
ff
ff
11
10
A
那么我们有
10,
k
k k kU AU U A U
于是我们为了求 Fibonacci数列的通项公式只需求出
kA 即可，我们利用 的相似标准形来化简的计算。
A kA
的特征多项式为,它的两个特征根为：
A 2 1IA
12
11( 1 5 ),( 1 5 ),
22
由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组A
1( ( 1 5 ) ) 0
2
I A X
可以得到它的一个基础解系：
1
1
1
( 1 5 )
2
1
1
同理可得
1( ( 1 5 ) ) 0
2
I A X
一个基础解系是
2
2
1
( 1 5 )
2
1
1
令
12
11
U
那么
11
2
0
0
U A U
从而
11 121
2 2
00
0 11 0
k
k
k
A U U
11
2 1 2 2
11 12
1111
55
kk
kk
由递推公式以及初始条件可得
1 1
0
k
k
k
f
A
f
比较上式的第二个分量得这就是著名的 Fibonacci数列通项公式，容易计算出：
12
1
()
5
1 1 5 1 5
( ) ( )
225
kk
k
kk
f
11
1 1 5
l i m 0,6 1 8
2
k
k
k
f
f
这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。
0.618
第一节 线性空间一,线性空间的定义与例子定义 设 是一个非空的集合,是一个数域，
在集和 中定义两种代数运算,一种是加法运算,
用 来表示 ; 另一种是数乘运算,用 来表示,并且这两种运算满足下列 八 条运算律：
V F
V
（ 1） 加法交换律
（ 2） 加法结合律 ( ) ( )
（ 3） 零元素 在 中存在一个元素,使得对于任意的 都有
0
0V
V
（ 4） 负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得 V
0
1（ 5）
( ) ( )k l k l（ 6）
（ 7） ()k l k l
（ 8） ()k k k
称这样的 为数域 上的 线性空间 。V F
例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。
RR R
例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。
C mn?
Cmn? mmC
例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间
R n
[]nRx R
例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：
R?
:,,
:,,k
a b a b a b R
k a a a k R
例 5 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合。即
R? R
1 2 3
,
[,,,]
1,2,3,
iaFR a a a
i
在 中定义加法与数乘：
则 为实数域 上的一个线性空间。
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
[,,,] [,,,]
[,,,]
[,,,] [,,,]
a a a b b b
a b a b a b
k a a a k a k a k a
R?
R? R
例 6 在 中满足 Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。 Cauchy条件是：
使得对于 都有
0,0,N,m n N?
mnaa
R?
R
例 7 在 中满足 Hilbert条件的无限序列组成的子集合 不 构成 上的线性空间。 Hilbert条件是：
级数 收敛例 8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列称为有界的，如果存在一个实数,使得
2
1
n
n
a
R?
R
1 2 3[,,,]a a a
r
,1,2,ia r i
R?
R
二,线性空间的基本概念及其性质定义,线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：
（ 1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（ 2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（ 3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；
（ 4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；
（ 5）如果向量组（ I）可以由向量组（ II）线性表出，
那么向量组（ I）的秩 向量组（ II）的秩；
（ 6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。
例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。
例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组也是线性无关的。
R RR
12,,,n xxxe e e
12,,,n
R RR
12,,,nx x x
12,,,n
R RR
1,c o s,c o s 2,,c o sx x n x
例 4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。
R RR
21,c o s,c o s 2xx
22s i n,co s,s i n,co s,,
s i n,co s,4,nn
x x x x
x x n
线性空间的基底，维数与坐标变换定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在中存在 个线性无关的向量 使得中的任意一个向量 都可以由线性表出则称 为 的一个 基底 ；
为向量 在基底 下的 坐标 。此时我们称 为一个 维线性空间，记为例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组
V F
n
12,,,n
V?
12,,,n
V
1 1 2 2 nnk k k
12,,,n V 12(,,,) Tnk k k
12,,,n
V n d im,Vn?
R 3R
( 1,0,0 ),( 1,1,0 ),( 1,1,1 )
都是 的基。 是 3维线性空间。
例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组都是 的基。 是 4维线性空间。
例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组
1 0 1 1 1 1 1 1
,,,
0 0 0 0 1 0 1 1
22R?
0 1 1 0 1 1 1 1
,,,
1 1 1 1 0 1 1 0
R 22R?
( 0,1,1 ),( 1,0,1 ),( 1,1,0 )
3R 3R
22R?
R []
nRx
与向量组都是 的基底。 的维数为注意,通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为 有限维线性空间 和 无限维线性空间 。目前，我们主要讨论 有限维的线性空间 。
例 4 在 4维线性空间 中，向量组
21,,,,nx x x
21,2,( 2),,( 2) nx x x
[]nRx []nRx 1.n?
22R?
0 1 1 0 1 1 1 1
,,,
1 1 1 1 0 1 1 0
与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。
解,设向量 在第一组基下的坐标为
1 0 1 1 1 1 1 1
,,,
0 0 0 0 1 0 1 1
12
34
A
A
1 2 3 4(,,,)
Tx x x x
于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为
12
34
1 2 0 1 1 0
3 4 1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
xx
xx
1 2 3 4
7 4 1 2,,,
3 3 3 3
x x x x
1 2 3 41,1,1,4y y y y
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。
基变换与坐标变换设 （ 旧的 ）与 （ 新的 ）
是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为
12,,,n 12,,,n
Vn
1 1 2 2
1
2
12
,,,,1,2,,
i i i n i n
i
i
n
ni
a a a
a
a
in
a
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
,,,,,
n
n
nn
n nn
a a a
a a a
a a a
将上式 矩阵化 可以得到下面的关系式：
称 阶方阵n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
P
a a a
是由旧的基底到新的基底的 过渡矩阵,那么上式可以写成定理,过渡矩阵 是可逆的。
1 2 1 2,,,,,nn P
P
任取,设 在两组基下的坐标分别为与,那么我们有：
称上式为 坐标变换公式 。
例 1 在 4维线性空间 中，向量组
V
12,,,Tnx x x12,,,Tny y y
11
22
nn
xy
xy
P
xy
22R?
12
34
0 1 1 0
,,
1 1 1 1
1 1 1 1
,,
0 1 1 0
12
34
1 0 1 1
,,
0 0 0 0
1 1 1 1
,,
1 0 1 1
与向量组
12
34
A
为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，
并求向量 在这两组基下的坐标。
解,容易计算出下面的矩阵表达式
1 2 3 4,,, 1 2 3 4,,,
1 2 3 4 1 2 3 4
,,,,,,
2 1 1
0
3 3 3
1 1 1
0
3 3 3
1 2 1
0
3 3 3
1 2 1
1
3 3 3
1 2 3 4
7 4 1 2,,,
3 3 3 3
x x x x
向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为A
A
1
11
22
33
44
2 1 1
0
3 3 3
1
1 1 1
0
1
3 3 3
1 2 1 1
0
3 3 3 4
1 2 1
1
3 3 3
yx
yx
yx
yx
例 2 教材 13页例 1.2.6
线性空间的子空间定义 设 为数域 上的一个 维线性空间，
为 的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的 都有那么我们称 为 的一个 子空间 。
例 1 对于任意一个有限维线性空间,它必有两个 平凡的子空间,即由单个零向量构成的子空间
FV n
VW
,W,k l F?
k l W
VW
V
以及线性空间 本身。
例 2 设,那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为 齐次线性方程组的解空间 。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例 3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合
0 V
mnAR 0AX?
n nR
0AX?
12,,,s
n V
12
1 1 2 2
,,,s
s s i
span
k k k k F
构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。
的基底即为向量组的极大线性无关组,的维数即为向量组的秩。
例 4 实数域 上的线性空间 中全体 上三角 矩阵集合，全体 下三角 矩阵集合，全体 对称 矩阵集合，
全体 反对称 矩阵集合分别都构成 的子空间，
V
12,,,s
12,,,ss p a n
12,,,s
12,,,ss p a n
12,,,s
nnR?R
nnR?
问题,这几个子空间的基底与维数分别时什么？
子空间的交与和矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量定义 设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素,中都存在一个非零向量,使得那么称 为 的一个 特征值,而 称为 的属于特征值 的一个 特征向量 。
现在设 是数域 上的 维线性空间，
中取定一个基,设线性变换在这组基下的矩阵是,向量 在这组基下的坐标是,。那么我们有
f F V
F
0?
V
0()f
0? f? f
0?
V F n
V 12,,,n f
A?
X
0 F
由此可得定理,
是 的特征值 是 的特征值是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。
00()f A X X
0?
f
0?
A?
f
0 X A
0?
A
f A
0?
f 0?
例 1 设 是数域 上的 3维 线性空间,是 上的一个线性变换,在 的一个基 下的矩阵是求 的全部特征值与特征向量。
解,的特征多项式为
V K f
f V 1 2 3,,
2 2 2
2 1 4
2 4 1
A
f
V
A
2
2 2 2
2 1 4
2 4 1
( 3 ) ( 6)
IA
所以 的特征值是 （二重）与 。
对于特征值,解齐次线性方程组得到一个基础解系：
A 3 6?
3
( 3 ) 0I A X
2 1 0,2 0 1TT?
从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量是这里 为数域 中不全为零的数对。
对于特征值,解齐次线性方程组得到一个基础解系：
3f
1 1 2 2 1 32,2
f 3
1 1 2 2 1 2,,k k k k K
12,kk
K
6?
( 6 ) 0I A X
1 2 2 T?
从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量这里 为数域 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质,
相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征
f 6?
3 1 2 322
3,k k K
f 6?
k K
值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，
有相同的谱。
矩阵的特征值与特征向量的性质,
（ 1） 阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的 特征子空间,记为,不难看出 正是特征方程组的解空间。
（ 2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
An 0?
nR
A
0?
0V?
0V?
0( ) 0I A X
（ 3） 设 是 的 个互不同的特征值,的几何重数为,是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。
（ 4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。
12,,,r A
r
i? i
q 12,,,
ii i iq
i? i
q
1
2
11 12 1
21 22 2
12
,,,;
,,,;
,,,
r
q
q
r r rq
（ 5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
矩阵（线性变换）的相似对角化定义 数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为 可以对角化的,如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。
我们在 中取定一个基底,设线性变换 在这个基下的矩阵为,那么可以得到下面的定理定理,可以对角化 可以对角化。
定理,阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是
F n V
f V
f
V
12,,,n
f A
f A?
An
有 个线性无关的特征向量。
定理,阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
例 1 判断矩阵是否可以对角化？
解,先求出 的特征值
A n
n A
3 1 1
2 0 1
1 1 2
A
A
于是的特征值为 （二重）
由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑
2
3 1 1
21
1 1 2
( 1 ) ( 2 )
IA
121,2
1 1
2 2
于是从而 不可以相似对角化 。
例 2 设 是数域 上的 3维 线性空间,是 上的一个线性变换,在 的一个基 下的矩阵是
2
1 1 1 1 1 1
2 2 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
IA?
2 2 2( ) 2,( ) 1r I A q n r I A
V K f V
f V 1 2 3,,
2 2 2
2 1 4
2 4 1
A
判断是 否可以对角化？
解,根据前面例题的讨论可知 有 3个线性无关的特征向量,
因此 可以对角化,在这组基下的矩阵是
f
1 1 2 2 1 32,2
3 1 2 322
f
f f
3 0 0
0 3 0
0 0 6
B
由基 到基 的过渡矩阵是于是有
1 2 3,, 1 2 3,,
2 2 1
1 0 2
0 1 2
P
1P A P B
例 3 数域 上的 维线性空间 的任一幂等变换一定可以对角化。
第二章 － 矩阵与矩阵的 Jordan标准形
K n V
欢迎大家
( ) ( ) ;
( ) ( ),
X A t X B t U
Y C t X D t U
其中 ()Ut 为 l 维输入变量,()Xt 维状态向量，为
n
矩阵理论的简单应用一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为第一章 线性空间和线性映射分别为维输出向量，矩阵
()Yt m
为
( ),( ),( ),( )A t B t C t D t
,,,n n n l m n m l
型矩阵且均为时间
t
的函数矩阵。
定义,如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形方程为考虑一个线性定常系统
,,,A B C D
X A X B U
Y C X D U
X A X B U
Y C X D U
定义,对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入,在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；
否则，称该系统是不可控的。
()ut
定义,对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的。
我们首先以单输入单输出系统为例 。
考虑系统下面的单输入单输出系统：
T
X A X b u
Y c X
其中 和 是 维矢量,是 矩阵，
b c n A nn? u
及 是标量。
Y
定理,上面的单输入单输出系统是可控的充分必要条件是可控性判别矩阵
1(,,,)nQ b b A b
是可逆（非奇异）矩阵。
例 1,设
0 1 0 1
0 0 1,2
0 0 0 3
Ab
由于矩阵
2
1 2 3
2 3 0
3 0 0
b Ab A b
是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。
例 2,设
0 0 0 0
1 0 0,1
0 1 0 1
Ab
由于矩阵
2
000
1 0 0
1 1 0
b Ab A b
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。
定理,上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵
1
T
T
Tn
c
c
V
cA
是可逆（非奇异）矩阵。
例 3,设
11
,1 2
11
TAc
由于矩阵
12
33
T
T
c
cA
是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。
例 4,设
0 1 0 0
3 0 0 2
,1 0 0 0
0 0 0 1
0 2 0 0
T
Ac
由于矩阵
2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
3 0 0 2
0 1 0 0
T
T
T
T
c
cA
cA
cA
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。
我们再以多输入多输出系统为例 。
考虑系统下面的多输入多输出系统：
X A X B u
Y C X
定理,上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要条件是可控制性判别矩阵
1(,,,)nQ B B A B
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测性判别矩阵
1n
C
CA
V
CA
是列满秩的。
0 1 1 1
,
1 0 1 1
AB
由于矩阵
1 1 1 1
1 1 1 1
B AB
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
例 5,设二 矩阵理论在生物数学中的应用在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如 百合花的花瓣有 3瓣； 毛茛属 的植物有 5瓣花；许多 翠雀属的植物有 8瓣花； 万寿菊 的花瓣有 13瓣； 紫菀属 的植物有 21瓣花；大多数的 雏菊 有 34,55,89 瓣花。
另外，在 向日葵 的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的 叶序 中也存在此种现象。这就是著名的 Fibonacci级数模式。我们称下面的数列为 Fibonacci级数。它满足下述第推公式：
0,1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,
以及初始条件,试求该数列的通项公式，并且求出极限
21,0,1,2,3,k k kf f f k
010,1,ff
1
lim,k
k
k
f
f
解,设
1,0,1,2,k
k
k
f
Uk
f
因为,所以
21k k kf f f
令
21
1
11
10
kk
kk
ff
ff
11
10
A
那么我们有
10,
k
k k kU AU U A U
于是我们为了求 Fibonacci数列的通项公式只需求出
kA 即可，我们利用 的相似标准形来化简的计算。
A kA
的特征多项式为,它的两个特征根为：
A 2 1IA
12
11( 1 5 ),( 1 5 ),
22
由此可以看出 可以对角化。解齐次线性方程组A
1( ( 1 5 ) ) 0
2
I A X
可以得到它的一个基础解系：
1
1
1
( 1 5 )
2
1
1
同理可得
1( ( 1 5 ) ) 0
2
I A X
一个基础解系是
2
2
1
( 1 5 )
2
1
1
令
12
11
U
那么
11
2
0
0
U A U
从而
11 121
2 2
00
0 11 0
k
k
k
A U U
11
2 1 2 2
11 12
1111
55
kk
kk
由递推公式以及初始条件可得
1 1
0
k
k
k
f
A
f
比较上式的第二个分量得这就是著名的 Fibonacci数列通项公式，容易计算出：
12
1
()
5
1 1 5 1 5
( ) ( )
225
kk
k
kk
f
11
1 1 5
l i m 0,6 1 8
2
k
k
k
f
f
这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。
0.618
第一节 线性空间一,线性空间的定义与例子定义 设 是一个非空的集合,是一个数域，
在集和 中定义两种代数运算,一种是加法运算,
用 来表示 ; 另一种是数乘运算,用 来表示,并且这两种运算满足下列 八 条运算律：
V F
V
（ 1） 加法交换律
（ 2） 加法结合律 ( ) ( )
（ 3） 零元素 在 中存在一个元素,使得对于任意的 都有
0
0V
V
（ 4） 负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得 V
0
1（ 5）
( ) ( )k l k l（ 6）
（ 7） ()k l k l
（ 8） ()k k k
称这样的 为数域 上的 线性空间 。V F
例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。
RR R
例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。
C mn?
Cmn? mmC
例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间
R n
[]nRx R
例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：
R?
:,,
:,,k
a b a b a b R
k a a a k R
例 5 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合。即
R? R
1 2 3
,
[,,,]
1,2,3,
iaFR a a a
i
在 中定义加法与数乘：
则 为实数域 上的一个线性空间。
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
[,,,] [,,,]
[,,,]
[,,,] [,,,]
a a a b b b
a b a b a b
k a a a k a k a k a
R?
R? R
例 6 在 中满足 Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。 Cauchy条件是：
使得对于 都有
0,0,N,m n N?
mnaa
R?
R
例 7 在 中满足 Hilbert条件的无限序列组成的子集合 不 构成 上的线性空间。 Hilbert条件是：
级数 收敛例 8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列称为有界的，如果存在一个实数,使得
2
1
n
n
a
R?
R
1 2 3[,,,]a a a
r
,1,2,ia r i
R?
R
二,线性空间的基本概念及其性质定义,线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：
（ 1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（ 2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（ 3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；
（ 4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；
（ 5）如果向量组（ I）可以由向量组（ II）线性表出，
那么向量组（ I）的秩 向量组（ II）的秩；
（ 6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。
例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。
例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组也是线性无关的。
R RR
12,,,n xxxe e e
12,,,n
R RR
12,,,nx x x
12,,,n
R RR
1,c o s,c o s 2,,c o sx x n x
例 4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。
R RR
21,c o s,c o s 2xx
22s i n,co s,s i n,co s,,
s i n,co s,4,nn
x x x x
x x n
线性空间的基底，维数与坐标变换定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在中存在 个线性无关的向量 使得中的任意一个向量 都可以由线性表出则称 为 的一个 基底 ；
为向量 在基底 下的 坐标 。此时我们称 为一个 维线性空间，记为例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组
V F
n
12,,,n
V?
12,,,n
V
1 1 2 2 nnk k k
12,,,n V 12(,,,) Tnk k k
12,,,n
V n d im,Vn?
R 3R
( 1,0,0 ),( 1,1,0 ),( 1,1,1 )
都是 的基。 是 3维线性空间。
例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组都是 的基。 是 4维线性空间。
例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组
1 0 1 1 1 1 1 1
,,,
0 0 0 0 1 0 1 1
22R?
0 1 1 0 1 1 1 1
,,,
1 1 1 1 0 1 1 0
R 22R?
( 0,1,1 ),( 1,0,1 ),( 1,1,0 )
3R 3R
22R?
R []
nRx
与向量组都是 的基底。 的维数为注意,通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为 有限维线性空间 和 无限维线性空间 。目前，我们主要讨论 有限维的线性空间 。
例 4 在 4维线性空间 中，向量组
21,,,,nx x x
21,2,( 2),,( 2) nx x x
[]nRx []nRx 1.n?
22R?
0 1 1 0 1 1 1 1
,,,
1 1 1 1 0 1 1 0
与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。
解,设向量 在第一组基下的坐标为
1 0 1 1 1 1 1 1
,,,
0 0 0 0 1 0 1 1
12
34
A
A
1 2 3 4(,,,)
Tx x x x
于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为
12
34
1 2 0 1 1 0
3 4 1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
xx
xx
1 2 3 4
7 4 1 2,,,
3 3 3 3
x x x x
1 2 3 41,1,1,4y y y y
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。
基变换与坐标变换设 （ 旧的 ）与 （ 新的 ）
是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为
12,,,n 12,,,n
Vn
1 1 2 2
1
2
12
,,,,1,2,,
i i i n i n
i
i
n
ni
a a a
a
a
in
a
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
,,,,,
n
n
nn
n nn
a a a
a a a
a a a
将上式 矩阵化 可以得到下面的关系式：
称 阶方阵n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
P
a a a
是由旧的基底到新的基底的 过渡矩阵,那么上式可以写成定理,过渡矩阵 是可逆的。
1 2 1 2,,,,,nn P
P
任取,设 在两组基下的坐标分别为与,那么我们有：
称上式为 坐标变换公式 。
例 1 在 4维线性空间 中，向量组
V
12,,,Tnx x x12,,,Tny y y
11
22
nn
xy
xy
P
xy
22R?
12
34
0 1 1 0
,,
1 1 1 1
1 1 1 1
,,
0 1 1 0
12
34
1 0 1 1
,,
0 0 0 0
1 1 1 1
,,
1 0 1 1
与向量组
12
34
A
为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，
并求向量 在这两组基下的坐标。
解,容易计算出下面的矩阵表达式
1 2 3 4,,, 1 2 3 4,,,
1 2 3 4 1 2 3 4
,,,,,,
2 1 1
0
3 3 3
1 1 1
0
3 3 3
1 2 1
0
3 3 3
1 2 1
1
3 3 3
1 2 3 4
7 4 1 2,,,
3 3 3 3
x x x x
向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为A
A
1
11
22
33
44
2 1 1
0
3 3 3
1
1 1 1
0
1
3 3 3
1 2 1 1
0
3 3 3 4
1 2 1
1
3 3 3
yx
yx
yx
yx
例 2 教材 13页例 1.2.6
线性空间的子空间定义 设 为数域 上的一个 维线性空间，
为 的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的 都有那么我们称 为 的一个 子空间 。
例 1 对于任意一个有限维线性空间,它必有两个 平凡的子空间,即由单个零向量构成的子空间
FV n
VW
,W,k l F?
k l W
VW
V
以及线性空间 本身。
例 2 设,那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为 齐次线性方程组的解空间 。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例 3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合
0 V
mnAR 0AX?
n nR
0AX?
12,,,s
n V
12
1 1 2 2
,,,s
s s i
span
k k k k F
构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。
的基底即为向量组的极大线性无关组,的维数即为向量组的秩。
例 4 实数域 上的线性空间 中全体 上三角 矩阵集合，全体 下三角 矩阵集合，全体 对称 矩阵集合，
全体 反对称 矩阵集合分别都构成 的子空间，
V
12,,,s
12,,,ss p a n
12,,,s
12,,,ss p a n
12,,,s
nnR?R
nnR?
问题,这几个子空间的基底与维数分别时什么？
子空间的交与和矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量定义 设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素,中都存在一个非零向量,使得那么称 为 的一个 特征值,而 称为 的属于特征值 的一个 特征向量 。
现在设 是数域 上的 维线性空间，
中取定一个基,设线性变换在这组基下的矩阵是,向量 在这组基下的坐标是,。那么我们有
f F V
F
0?
V
0()f
0? f? f
0?
V F n
V 12,,,n f
A?
X
0 F
由此可得定理,
是 的特征值 是 的特征值是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。
00()f A X X
0?
f
0?
A?
f
0 X A
0?
A
f A
0?
f 0?
例 1 设 是数域 上的 3维 线性空间,是 上的一个线性变换,在 的一个基 下的矩阵是求 的全部特征值与特征向量。
解,的特征多项式为
V K f
f V 1 2 3,,
2 2 2
2 1 4
2 4 1
A
f
V
A
2
2 2 2
2 1 4
2 4 1
( 3 ) ( 6)
IA
所以 的特征值是 （二重）与 。
对于特征值,解齐次线性方程组得到一个基础解系：
A 3 6?
3
( 3 ) 0I A X
2 1 0,2 0 1TT?
从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量是这里 为数域 中不全为零的数对。
对于特征值,解齐次线性方程组得到一个基础解系：
3f
1 1 2 2 1 32,2
f 3
1 1 2 2 1 2,,k k k k K
12,kk
K
6?
( 6 ) 0I A X
1 2 2 T?
从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量这里 为数域 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质,
相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征
f 6?
3 1 2 322
3,k k K
f 6?
k K
值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，
有相同的谱。
矩阵的特征值与特征向量的性质,
（ 1） 阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的 特征子空间,记为,不难看出 正是特征方程组的解空间。
（ 2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
An 0?
nR
A
0?
0V?
0V?
0( ) 0I A X
（ 3） 设 是 的 个互不同的特征值,的几何重数为,是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。
（ 4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。
12,,,r A
r
i? i
q 12,,,
ii i iq
i? i
q
1
2
11 12 1
21 22 2
12
,,,;
,,,;
,,,
r
q
q
r r rq
（ 5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
矩阵（线性变换）的相似对角化定义 数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为 可以对角化的,如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。
我们在 中取定一个基底,设线性变换 在这个基下的矩阵为,那么可以得到下面的定理定理,可以对角化 可以对角化。
定理,阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是
F n V
f V
f
V
12,,,n
f A
f A?
An
有 个线性无关的特征向量。
定理,阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
例 1 判断矩阵是否可以对角化？
解,先求出 的特征值
A n
n A
3 1 1
2 0 1
1 1 2
A
A
于是的特征值为 （二重）
由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑
2
3 1 1
21
1 1 2
( 1 ) ( 2 )
IA
121,2
1 1
2 2
于是从而 不可以相似对角化 。
例 2 设 是数域 上的 3维 线性空间,是 上的一个线性变换,在 的一个基 下的矩阵是
2
1 1 1 1 1 1
2 2 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
IA?
2 2 2( ) 2,( ) 1r I A q n r I A
V K f V
f V 1 2 3,,
2 2 2
2 1 4
2 4 1
A
判断是 否可以对角化？
解,根据前面例题的讨论可知 有 3个线性无关的特征向量,
因此 可以对角化,在这组基下的矩阵是
f
1 1 2 2 1 32,2
3 1 2 322
f
f f
3 0 0
0 3 0
0 0 6
B
由基 到基 的过渡矩阵是于是有
1 2 3,, 1 2 3,,
2 2 1
1 0 2
0 1 2
P
1P A P B
例 3 数域 上的 维线性空间 的任一幂等变换一定可以对角化。
第二章 － 矩阵与矩阵的 Jordan标准形
K n V
