第二章 － 矩阵与矩阵的 Jordan标准形矩阵的基本概念定义,设为数域 上的多项式,则称( ) ( 1,2,,; 1,2,,)ija i m j nF
11 12 1
21 22 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
为多项式矩阵或 矩阵。
定义 如果 矩阵 中有一个 阶子式不为零，而所有 阶子式 (如果有的话 )
全为零，则称 的 秩 为,记为零矩阵的秩为 0。
定义 一个 阶 矩阵称为 可逆 的，如果有一个 阶 矩阵,满足这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的逆矩阵，记为 。
()A? r ( 1)r?
1r?
()A? r
r a nk ( )Ar
n?
n ()B?
( ) ( ) ( ) ( )A B B A E
E n ()B? ()A?
1 ()A
定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是一个非零的常数。
定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的任二行 (列 )互换位置；
(2) 非零常数 乘矩阵的某一行 (列 )；
(3) 矩阵的某一行 (列 )的 倍加到另一行 (列 )上去，
其中 是 的一个多项式。
对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵
n? ()A?
d e t ( )A?
c
()
(,),( ( ) ),(,( ) )P i j P i c P i j?
()
定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，
相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。
定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成
，则称 与 等价,记之为
mn ()A?
m ()A? ()A?
()A?
n
()A?
()A? ()B?
( ) ( )AB
()B?
定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵 与,使得
()A? ()B?
()P? ()Q?
( ) ( ) ( ) ( )B P A Q
矩阵 Smith标准形的存在性定 理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个 对角矩阵,即
mn
1
2
()
()
() ()
0
0
r
d
d
A d
其中 是首项系数为 1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的 Smith标准形 。
称为 的 不变因子 。
1,( )ird
1( ) ( ) ( 1,2,,1 )iid d i r
()A?
12( ),( ),,( )rd d d()A?
例 1
2
2 2 2
1
()
1
A
将其化成 Smith标准形。
22
2 2 2 2 2 2
2
3 2 3 2
4 3 2 4 3 2
1 1 0
()
11
1 0 1 0 0
00
00
A
解,
3 2 3 2
2 4 3 2
1 0 0 1 0 0
00
0 0 0
1 0 0
00
0 0 ( 1 )
例 2
2
( 1 )
()
( 1 )
A
将其化成 Smith标准形。
2
( 1 )
()
( 1 )
A
解,
2
( 1 )
( 1 )
( 1 )
( 2 ) 1
32
2
2
2
( 1 )
20
21
( 1 )
( 1 )
1
1
( 1 )
( 1 )
例 3
将其化为 Smith标准形。
22
22
2
3 2 3 2 1 2 3
( ) 4 3 5 3 2 3 4
4 2 1
A
2
22
22
4 2 1
( ) 3 2 3 2 1 2 3
4 3 5 3 2 3 4
A
解,
2
22
22
2
22
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
4 3 5 3 2 3 4
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
2 1 0
2
22
2
22
2 1 0
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
1 2 0
2 4 1
3 3 4 3 7 3 4
2
22
2
22
1 2 0
01
0 4 3 1 3 4
1 0 0
01
0 4 3 1 3 4
2
22
2
32
1 0 0
01
0 3 4 4 3 1
1 0 0
01
0 0 1
32
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 ) ( 1 )
将其化为 Smith标准形。
例 4 1
1
()
1
a
a
A
a
a
1 0 0
0 1 0
()
0 0 1
000
a
a
A
a
a
解,
2
2
1 0 0
0 ( ) 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
0 ( ) 1 0
0 0 1
0 0 0
a
a
a
a
a
a
a
2
2
3
1 0 0 0
0 1 ( ) 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
0 1 ( ) 0
0 0 ( ) 1
0 0 0
a
a
a
a
a
a
3
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ( ) 1
0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 ( )
0 0 0
a
a
a
a
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 ( )a?
矩阵标准形的唯一性定 义,为一个 矩阵且 对于任意的正整数,,必有非零的阶子式,的全部 阶子式的最大公因式称为 的 阶 行列式因子 。
()A ( ( ) )rank A r
k 1 kr ()A? k
()A? k ()
kD?
()A? k
显然，如果,则行列式因子一共有 个。
例 1 求的各阶行列式因子。
解：
( ( ) )rank A r
r
2
2 2 2
1
()
1
A
由于,所以 。
显然 而且其余的 7各 2 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外
( 1,) 1 1 ( ) 1D
2
2
2
2
3
2
1
( 1 ) ( )
1
( 1 ) ( )
1
f
g
( ( ),( ) )fg
3 2 3 2
3( ) ( )AD
2 ()D
注意,观察 三者之间的关系。
定理,等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。
设 矩阵 的 Smith标准形为
1 2 3( ),( ),( )D D D
()A?
1
2
()
()
() ()
0
0
r
d
d
A d
容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为
11
2 1 2
12
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
rr
Dd
D d d
D d d d
显然有,
11
2
2
1
1
( ) ( )
()
()
()
()
()
()
r
r
r
dD
D
d
D
D
d
D
由于 与上面的 Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定 理,的 Smith标准形是唯一的。
例 1 求下列 矩阵的 Smith标准形。
()A?
()A?
12( ),( ),,( )rD D D
12( ),( ),,( )rd d d
()A?
2
2
2
2
1
2
1
000
0 0 0
( 1 )
0 ( 1 ) 0 0
0 0 0
( 2 )
n
ac
ac
ac
a
0 0 1 2
0 1 2 0
( 3 )
1 2 0 0
2 0 0 0
解,（ 1）容易计算出
12
2 2 4 4
34
( ) 1,( ) ( 1 )
( ) ( 1 ),( ) ( 1 )
DD
12
22
34
( ) 1,( ) ( 1 ),
( ) ( 1 ),( ) ( 1 )
dd
dd
22
1
( 1 )
()
( 1 )
( 1 )
A
（ 2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即
( ) ( ) nnDa
1n? 1n?
1
2
1 2 1
1
n
n
c
ac
c c c
ac
容易计算出 从而
1 2 1
1 2 1
( ) ( ) ( ) 1
( ) 1,( ) 1,,( ) 1,
( ) ( )
n
n
n
n
D D D
d d d
da
1 ( ) 1nD
1
1
1
()
n
a?
(3)
4
1
1
1
( 2 )?
定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的,它们的 阶行列式因子相同。
定理 矩阵 与 等价的充要条件是与 有相同的不变因子。
()A? ()B?
k k
()A? ()B?
()B?()A?
与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：
推论 矩阵 可逆的充要条件为与单位矩阵等价。
推论 矩阵 可逆的充要条件为可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
()A? ()A?
()A? ()A?
初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：
()A?
12( ),( ),,( )rd d d
11 1 1 2
22 1 2 2
12
1 1 2
2 1 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s
s
rsrr
eee
s
eee
s
eee
rs
d
d
d
其中 是互异的复数,是非负整数。因为,所以满足如下关系1,s
ije
1| ( ) ( 1,,1 )iid d i r
11 21 1
12 22 2
12
0
0
0
r
r
s s rs
e e e
e e e
e e e
定义 在上式中，所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等因子?
()A?
( ),0,1,,,1,,ijej i je i r j s
例 如果 矩阵 的不变因子为? ()A?
1
2
22
3
2 3 3
4
1
( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
d
d
d
d
则 的初等因子为()A? 2,,,1,
2 3 2 3( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 2)
例 如果 矩阵 的秩为 4，其初等因子为
()A?56?
2 2 3 3,,,1,( 1 ),( 1 ),( )i
3()i 求 的 Smith标准形。()A?
解：首先求出 的不变因子()A?
2 3 3 3
4
2
3
2
1
( 1 ) ( ) ( )
( 1 )
( 1 )
1
d i i
d
d
d
从而 的 Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。
()A?
2
2 3 2 3
1 0 0 0 0 0
0 ( 1 ) 0 0 0 0
() 0 0 ( 1 ) 0 0 0
0 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
000000
A
n ()A? ()B?
定理 设 矩阵为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。
此定理也可推广成如下形式：
()
()
()
B
A
C
()B? ()C?
()A?
定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。
1
2
()
()
()
()
t
A
A
A
A
12( ),( ),,( )tA A A
()A?
例 1 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。
解,记
2
2
0 0 0
0 0 0
()
0 0 ( 1 ) 1
0 0 2 2
A
2
12
2
3
( ),( ),
( 1 ) 1
()
22
AA
A
那么对于,其初等因子为由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为 4，故 的不变因子为
1
2
3
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
A
AA
A
3 ()A?,1,1
()A?
,,,1,1,1
()A? ()A?
43
21
( 1 ) ( 1 ),( 1 ),
,1
dd
dd
因此 的 Smith标准形为
()A?
1 0 0 0
0 0 0
()
0 0 ( 1 ) 0
0 0 0 ( 1 ) ( 1 )
A
例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？
22
22
3 1 4 1
( ) 1 1
22
A
2
2
1 2 2
( ) 2 2 3 2
2 1 1
B
例 3 求下面 矩阵不变因子
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5 4 3 2
例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子?
1
2
1
00
10
00
0 0 1
n
n
a
a
a
a
数字矩阵的相似与 矩阵的等价?
定理,设 是两个 阶的数字矩阵，那么与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵与等价。
定义,对于数字矩阵,我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。
,AB n
A B
IA
IB
A IA
A IA
A
对于任何一个数字矩阵所以,于是可得下面两个定理定理,两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
定理,两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。
例 设,证明：
,AB
,AB
,A I A n
()rank I A n
0
（ 1） 阶矩阵与
1
1
a
a
A
a
n
a
a
B
a
相似；
（ 2） 阶矩阵与
n
1
1
a
a
A
a
不相似。
矩阵的 Jordan标准形定义,称 阶矩阵
1
1
a
a
B
a?
n
为 Jordan块 。设 为 Jordan块，称准对角形矩阵
1
1
1
ii
i
i
i
i nn
a
a
J
a
12,,,sJ J J
为 Jordan标准形矩阵 。由前面的例题和定理可知 Jordan块的初等因子为
，从而 Jordan标准形矩阵的初等因子为
1
2
s
J
J
J
J
() inia
1212( ),( ),,( ) snnn sa a a
于是可以得到下面的定理定理,设 的初等因子为则
，这里
,nnA C A
1212( ),( ),,( ) snnn sa a a
AJ
1
2
s
J
J
J
J
其中我们称 是矩阵 的 Jordan标准形 。特别地，我们有定理,可以对角化的充分必要条件是
1
1
1
ii
i
i
i
i nn
a
a
J
a
,( 1,2,,)is?
J A
A A
的初等因子都是一次因式。
例 1 求矩阵的 Jordan标准形。
解,先求出 的初等因子。对运用初等变换可以得到
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
A IA
所以 的初等因子为
2
1 1 0
4 3 0
1 0 2
1
1
( 1 ) ( 2 )
IA
2( 1 ),2
A
故 的标准形为或
A
1 1 0
0 1 0
0 0 2
J
2 0 0
0 1 1
0 0 1
J
例 2 求矩阵的 Jordan标准形。
解,先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
A IA
1 1 2
3 3 6
2 2 4
1
( 2 )
IA
所以 的初等因子为A
,,2
故 的 Jordan标准形为或
0 0 0
0 0 0
0 0 2
J
0 0 0
0 2 0
0 0 0
J
A
求 Jordan标准形的另一种方法,特征矩阵秩的方法,
具体操作步骤：
（ 1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值
（ 2）其 Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值,求出以它为主对角元的各级
Jordan 块的数目,首先求出那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是
A
i?
i?
i?
()iN?
() ir a n k A I
i?
这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是依次先求出直至满足条件
( ) ( )iiN n r a n k A I
n
i?
t
1
1
( ; ) ( )
( ) 2 ( )
t
ii
tt
ii
N t r a n k A I
r a n k A I r a n k A I
( 1 ; ),( 2 ; ),,( ; )i i iN N N t
为止。
（ 3）根据第二步求出的各级 Jordan块的数目，
就可以写出 的一个 Jordan标准形。
例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵的 Jordan标准形。
( ) ( 1 ; ) ( 2 ; ) ( ; )i i i iN N N N t
A
2 3 2
1 8 2
2 1 4 3
A
解,先求出 的特征多项式及其特征值。
对于特征值,它是 的 1重根，
从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为 1 的 Jordan块只有一个且它为一阶的。
A
2
()
2 3 2
1 8 2 ( 1 )( 3 )
2 1 4 3
f I A
1 1 ()f?
1?
A
J
对于特征值,先求所以 从而
2 3 ( 3 )ran k A I?
1 3 2 1 3 2
3 1 5 2 0 8 4
2 1 4 6 0 0 0
AI
( 3 ) 2r a n k A I
2( ) 2 3 2 1Nn
特征值 是 的两重根，从而 在的 Jordan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的 Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为或
2?
A
J
()f?2 3
J
A
1 0 0
0 3 1
0 0 3
J
3 1 0
0 3 0
0 0 1
J
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵的 Jordan标准形。
解,首先求出其特征值，显然其特征多项式为
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
A
4( ) ( 1 )f I A
所以 为 的 4重根，从而 在 的
Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算 中主对角元为 1 的 Jordan块的数目，
先计算,容易得到那么中主对角元为 的 Jordan块数是由此立即可得其 Jordan标准形为
()f? A
J
J
( ) ( ) 4 3 1N n r a n k A I
1
()ran k A I?
( ) 3ran k A I
1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
如何求相似变换矩阵？
设 阶方阵 的 Jordan标准形为,则存在可逆矩阵 使得
n A J
P
1P A P J
，称 为 相似变换矩阵 。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。
例 1 求方阵的 Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
P
P
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
P
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
2
3 0 8
3 1 6
2 0 5
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为,则,对于按列分块记为
21,( 1 )
A
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
P 1P A P J P
1 2 3,,P X X X?
于是有从而可得
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 2 3
,,,,
1 0 0
,,0 1 1
0 0 1
,,
A P A X X X A X A X A X
P J X X X
X X X X
1 1 2 2 3 2 3,,A X X A X X A X X X
整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取,但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
1
2
32
( ) 0
( ) 0
()
I A X
I A X
I A X X
120,1,0,2,0,1TT
11X 22X
2X
12,
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为 1，从而应该使得增广矩阵的秩也为 1。即
2 1 1 2 2X k k
2,I A X?
2
21
2
4 0 8 2
,3 0 6
2 0 4
k
I A X k
k
容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为 1，于是再由第三个方程解出一个特解为
123,2kk
2 1 23 2 4,3,2 TX
3 1,0,0 TX?
，那么所求相似变换矩阵为例 2 求方阵的 Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
1 2 3
0 4 1
,,1 3 0
0 2 0
P X X X
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
2
1 2 6
13
1 1 4
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为,则,对于按列分块记为
A
21,( 1 )
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
1 2 3,,P X X X?
P 1P A P J
于是有从而可得
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 2 3
,,,,
1 0 0
,,0 1 1
0 0 1
,,
A P A X X X A X A X A X
P J X X X
X X X X
1 1 2 2 3 2 3,,A X X A X X A X X X
整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取,但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
1
2
32
()0
( ) 0
()
I A X
I A X
I A X X
12 1,1,0,3,0,1TT
11X 22X
2X
12,
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为 1，从而应该使得增广矩阵的秩也为 1。即
2 1 1 2 2X k k
2,I A X
12
21
2
2 2 6 3
,1 1 3
1 1 3
kk
I A X k
k
容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为 1。令,于是再由第三个方程解出一个特解为
12kk?
12 1kk
2 1 2 2,1,1 TX
3 2,0,1 TX?
，那么所求相似变换矩阵为从而有
1 2 3
1 2 2
,,1 1 0
0 1 1
P X X X
1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
P A P
一般地,设,则存在 阶可逆矩阵使得其中 为 Jordan块，记这里
nnAC n P
1
21
t
J
J
P AP
J
iJ12
,,,tP P P P?
inniPC
那么有记,又可得
1 2 1 1 2 2,,,,,,
,1,2,,
t t t
i i i
A P A P A P P J P J P J
A P P J i t
12,,,ii i i inP X X X
11
2 1 2
1
i i i
i i i
i i i i
i n i n i i n
AX X
AX X X
AX X X
注意,是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得线性无关。
Jordan标准形的某些应用例 1 对于方阵
1iX
A
i?
1iX
2iX 2iX
3iX
12,,,ii i inX X X
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
求 。
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
10A
2
1 2 6
13
1 1 4
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为A
21,( 1 )
从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵 且,那么按照前面例题的方式，容易计算出
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
P 1P A P J
10 10 1A PJ P
1 2 2
1 1 0
0 1 1
P
从而
10 10 1
1 2 2 1 0 0
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1
1 0 2 1 9 2 0 6 0
1 1 2 1 0 9 3 0
1 1 3 1 0 1 0 3 1
A PJ P
例 2 求解常系数线性微分方程组解,令
1
13
2
1 2 3
3
13
38
38
25
dx
xx
dt
dx
x x x
dt
dx
xx
dt
1
1
2
2
3
3
3 0 8
3 1 6,,
2 0 5
dx
dt
x
dX dx
A X x
dt dt
x
dx
dt
那么此方程组可表示成
dX AX
dt
由前面的例题可知存在使得
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
P A P J
作线性替换从而可得整理即得方程
1 2 3,,,TX P Y Y y y y
1dY P A P Y J Y
dt
1
1
2
23
3
3
dy
y
dt
dy
yy
dt
dy
y
dt
首先得到两个很显然的解
1 1 3 3,
tty k e y k e
然后再解第三个方程其解为这样得到
2
23
tdy y k e
dt
2 3 2()
ty e k t k
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2
0 4 1 4
1 3 0 3
0 2 0 2
x y y y
x y y y
x y y
即其中 为任意常数。
例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足
，证明,与对角矩阵
1 3 2 3
2 3 2 1
3 3 2
( 4 4 )
( 3 3 )
( 2 2 )
t
t
t
x k t k k e
x k t k k e
x k t k e
1 2 3,,k k k
A F n
2AA? A
1
1
0
0
J
相似。
证明,设 的 Jordan标准形为A
1
2
1
,
1
i
i
i
ti
J
J
JJ
J
即有可逆矩阵 使得由于,所以有
Q
1Q A Q J
2AA?
2 1 2 1 2 1()J Q A Q Q A Q Q A Q J
从而 即
2,1,2,,.
iiJ J i t
2
2
2
21
1
2
11
2
ii
i
iii
ii
i
因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且,所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为 1 或 0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵
iJ
2
ii
1,0ii
J
1
1
0
0
此矩阵仍然与 相似。
例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在
A
A F n
正整数 使得,证明,与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。
证明,设 的 Jordan标准形为
n nAI?
n
A
A
1
2
1
,
1
i
i
i
ti
J
J
JJ
J
即有可逆矩阵 使得由于,所以有从而有
Q
1Q A Q J
nAI?
1 1 1()n n nJ Q A Q Q A Q Q I Q I
n
i
n
n i
ik
n
i
JI
因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有,这表明 为对角矩阵，所以 与对角矩阵相似。
例 5 试写出 Jordan标准形均为的两个矩阵。
iJ
tn? J
A
1
21
2
解答：
2 2 1
2,1,2
1 2 2
ab
c
这里 为任意的非零数。,,a b c
11 12 1
21 22 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
为多项式矩阵或 矩阵。
定义 如果 矩阵 中有一个 阶子式不为零，而所有 阶子式 (如果有的话 )
全为零，则称 的 秩 为,记为零矩阵的秩为 0。
定义 一个 阶 矩阵称为 可逆 的，如果有一个 阶 矩阵,满足这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的逆矩阵，记为 。
()A? r ( 1)r?
1r?
()A? r
r a nk ( )Ar
n?
n ()B?
( ) ( ) ( ) ( )A B B A E
E n ()B? ()A?
1 ()A
定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是一个非零的常数。
定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的任二行 (列 )互换位置；
(2) 非零常数 乘矩阵的某一行 (列 )；
(3) 矩阵的某一行 (列 )的 倍加到另一行 (列 )上去，
其中 是 的一个多项式。
对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵
n? ()A?
d e t ( )A?
c
()
(,),( ( ) ),(,( ) )P i j P i c P i j?
()
定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，
相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。
定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成
，则称 与 等价,记之为
mn ()A?
m ()A? ()A?
()A?
n
()A?
()A? ()B?
( ) ( )AB
()B?
定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵 与,使得
()A? ()B?
()P? ()Q?
( ) ( ) ( ) ( )B P A Q
矩阵 Smith标准形的存在性定 理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个 对角矩阵,即
mn
1
2
()
()
() ()
0
0
r
d
d
A d
其中 是首项系数为 1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的 Smith标准形 。
称为 的 不变因子 。
1,( )ird
1( ) ( ) ( 1,2,,1 )iid d i r
()A?
12( ),( ),,( )rd d d()A?
例 1
2
2 2 2
1
()
1
A
将其化成 Smith标准形。
22
2 2 2 2 2 2
2
3 2 3 2
4 3 2 4 3 2
1 1 0
()
11
1 0 1 0 0
00
00
A
解,
3 2 3 2
2 4 3 2
1 0 0 1 0 0
00
0 0 0
1 0 0
00
0 0 ( 1 )
例 2
2
( 1 )
()
( 1 )
A
将其化成 Smith标准形。
2
( 1 )
()
( 1 )
A
解,
2
( 1 )
( 1 )
( 1 )
( 2 ) 1
32
2
2
2
( 1 )
20
21
( 1 )
( 1 )
1
1
( 1 )
( 1 )
例 3
将其化为 Smith标准形。
22
22
2
3 2 3 2 1 2 3
( ) 4 3 5 3 2 3 4
4 2 1
A
2
22
22
4 2 1
( ) 3 2 3 2 1 2 3
4 3 5 3 2 3 4
A
解,
2
22
22
2
22
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
4 3 5 3 2 3 4
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
2 1 0
2
22
2
22
2 1 0
4 2 1
4 3 7 3 3 3 4
1 2 0
2 4 1
3 3 4 3 7 3 4
2
22
2
22
1 2 0
01
0 4 3 1 3 4
1 0 0
01
0 4 3 1 3 4
2
22
2
32
1 0 0
01
0 3 4 4 3 1
1 0 0
01
0 0 1
32
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 ) ( 1 )
将其化为 Smith标准形。
例 4 1
1
()
1
a
a
A
a
a
1 0 0
0 1 0
()
0 0 1
000
a
a
A
a
a
解,
2
2
1 0 0
0 ( ) 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
0 ( ) 1 0
0 0 1
0 0 0
a
a
a
a
a
a
a
2
2
3
1 0 0 0
0 1 ( ) 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
0 1 ( ) 0
0 0 ( ) 1
0 0 0
a
a
a
a
a
a
3
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ( ) 1
0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 ( )
0 0 0
a
a
a
a
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 ( )a?
矩阵标准形的唯一性定 义,为一个 矩阵且 对于任意的正整数,,必有非零的阶子式,的全部 阶子式的最大公因式称为 的 阶 行列式因子 。
()A ( ( ) )rank A r
k 1 kr ()A? k
()A? k ()
kD?
()A? k
显然，如果,则行列式因子一共有 个。
例 1 求的各阶行列式因子。
解：
( ( ) )rank A r
r
2
2 2 2
1
()
1
A
由于,所以 。
显然 而且其余的 7各 2 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外
( 1,) 1 1 ( ) 1D
2
2
2
2
3
2
1
( 1 ) ( )
1
( 1 ) ( )
1
f
g
( ( ),( ) )fg
3 2 3 2
3( ) ( )AD
2 ()D
注意,观察 三者之间的关系。
定理,等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。
设 矩阵 的 Smith标准形为
1 2 3( ),( ),( )D D D
()A?
1
2
()
()
() ()
0
0
r
d
d
A d
容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为
11
2 1 2
12
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
rr
Dd
D d d
D d d d
显然有,
11
2
2
1
1
( ) ( )
()
()
()
()
()
()
r
r
r
dD
D
d
D
D
d
D
由于 与上面的 Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定 理,的 Smith标准形是唯一的。
例 1 求下列 矩阵的 Smith标准形。
()A?
()A?
12( ),( ),,( )rD D D
12( ),( ),,( )rd d d
()A?
2
2
2
2
1
2
1
000
0 0 0
( 1 )
0 ( 1 ) 0 0
0 0 0
( 2 )
n
ac
ac
ac
a
0 0 1 2
0 1 2 0
( 3 )
1 2 0 0
2 0 0 0
解,（ 1）容易计算出
12
2 2 4 4
34
( ) 1,( ) ( 1 )
( ) ( 1 ),( ) ( 1 )
DD
12
22
34
( ) 1,( ) ( 1 ),
( ) ( 1 ),( ) ( 1 )
dd
dd
22
1
( 1 )
()
( 1 )
( 1 )
A
（ 2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即
( ) ( ) nnDa
1n? 1n?
1
2
1 2 1
1
n
n
c
ac
c c c
ac
容易计算出 从而
1 2 1
1 2 1
( ) ( ) ( ) 1
( ) 1,( ) 1,,( ) 1,
( ) ( )
n
n
n
n
D D D
d d d
da
1 ( ) 1nD
1
1
1
()
n
a?
(3)
4
1
1
1
( 2 )?
定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的,它们的 阶行列式因子相同。
定理 矩阵 与 等价的充要条件是与 有相同的不变因子。
()A? ()B?
k k
()A? ()B?
()B?()A?
与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：
推论 矩阵 可逆的充要条件为与单位矩阵等价。
推论 矩阵 可逆的充要条件为可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
()A? ()A?
()A? ()A?
初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：
()A?
12( ),( ),,( )rd d d
11 1 1 2
22 1 2 2
12
1 1 2
2 1 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s
s
rsrr
eee
s
eee
s
eee
rs
d
d
d
其中 是互异的复数,是非负整数。因为,所以满足如下关系1,s
ije
1| ( ) ( 1,,1 )iid d i r
11 21 1
12 22 2
12
0
0
0
r
r
s s rs
e e e
e e e
e e e
定义 在上式中，所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等因子?
()A?
( ),0,1,,,1,,ijej i je i r j s
例 如果 矩阵 的不变因子为? ()A?
1
2
22
3
2 3 3
4
1
( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
d
d
d
d
则 的初等因子为()A? 2,,,1,
2 3 2 3( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 2)
例 如果 矩阵 的秩为 4，其初等因子为
()A?56?
2 2 3 3,,,1,( 1 ),( 1 ),( )i
3()i 求 的 Smith标准形。()A?
解：首先求出 的不变因子()A?
2 3 3 3
4
2
3
2
1
( 1 ) ( ) ( )
( 1 )
( 1 )
1
d i i
d
d
d
从而 的 Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。
()A?
2
2 3 2 3
1 0 0 0 0 0
0 ( 1 ) 0 0 0 0
() 0 0 ( 1 ) 0 0 0
0 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
000000
A
n ()A? ()B?
定理 设 矩阵为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。
此定理也可推广成如下形式：
()
()
()
B
A
C
()B? ()C?
()A?
定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。
1
2
()
()
()
()
t
A
A
A
A
12( ),( ),,( )tA A A
()A?
例 1 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。
解,记
2
2
0 0 0
0 0 0
()
0 0 ( 1 ) 1
0 0 2 2
A
2
12
2
3
( ),( ),
( 1 ) 1
()
22
AA
A
那么对于,其初等因子为由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为 4，故 的不变因子为
1
2
3
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
A
AA
A
3 ()A?,1,1
()A?
,,,1,1,1
()A? ()A?
43
21
( 1 ) ( 1 ),( 1 ),
,1
dd
dd
因此 的 Smith标准形为
()A?
1 0 0 0
0 0 0
()
0 0 ( 1 ) 0
0 0 0 ( 1 ) ( 1 )
A
例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？
22
22
3 1 4 1
( ) 1 1
22
A
2
2
1 2 2
( ) 2 2 3 2
2 1 1
B
例 3 求下面 矩阵不变因子
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5 4 3 2
例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子?
1
2
1
00
10
00
0 0 1
n
n
a
a
a
a
数字矩阵的相似与 矩阵的等价?
定理,设 是两个 阶的数字矩阵，那么与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵与等价。
定义,对于数字矩阵,我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。
,AB n
A B
IA
IB
A IA
A IA
A
对于任何一个数字矩阵所以,于是可得下面两个定理定理,两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
定理,两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。
例 设,证明：
,AB
,AB
,A I A n
()rank I A n
0
（ 1） 阶矩阵与
1
1
a
a
A
a
n
a
a
B
a
相似；
（ 2） 阶矩阵与
n
1
1
a
a
A
a
不相似。
矩阵的 Jordan标准形定义,称 阶矩阵
1
1
a
a
B
a?
n
为 Jordan块 。设 为 Jordan块，称准对角形矩阵
1
1
1
ii
i
i
i
i nn
a
a
J
a
12,,,sJ J J
为 Jordan标准形矩阵 。由前面的例题和定理可知 Jordan块的初等因子为
，从而 Jordan标准形矩阵的初等因子为
1
2
s
J
J
J
J
() inia
1212( ),( ),,( ) snnn sa a a
于是可以得到下面的定理定理,设 的初等因子为则
，这里
,nnA C A
1212( ),( ),,( ) snnn sa a a
AJ
1
2
s
J
J
J
J
其中我们称 是矩阵 的 Jordan标准形 。特别地，我们有定理,可以对角化的充分必要条件是
1
1
1
ii
i
i
i
i nn
a
a
J
a
,( 1,2,,)is?
J A
A A
的初等因子都是一次因式。
例 1 求矩阵的 Jordan标准形。
解,先求出 的初等因子。对运用初等变换可以得到
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
A IA
所以 的初等因子为
2
1 1 0
4 3 0
1 0 2
1
1
( 1 ) ( 2 )
IA
2( 1 ),2
A
故 的标准形为或
A
1 1 0
0 1 0
0 0 2
J
2 0 0
0 1 1
0 0 1
J
例 2 求矩阵的 Jordan标准形。
解,先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到
1 1 2
3 3 6
2 2 4
A
A IA
1 1 2
3 3 6
2 2 4
1
( 2 )
IA
所以 的初等因子为A
,,2
故 的 Jordan标准形为或
0 0 0
0 0 0
0 0 2
J
0 0 0
0 2 0
0 0 0
J
A
求 Jordan标准形的另一种方法,特征矩阵秩的方法,
具体操作步骤：
（ 1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值
（ 2）其 Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值,求出以它为主对角元的各级
Jordan 块的数目,首先求出那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是
A
i?
i?
i?
()iN?
() ir a n k A I
i?
这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是依次先求出直至满足条件
( ) ( )iiN n r a n k A I
n
i?
t
1
1
( ; ) ( )
( ) 2 ( )
t
ii
tt
ii
N t r a n k A I
r a n k A I r a n k A I
( 1 ; ),( 2 ; ),,( ; )i i iN N N t
为止。
（ 3）根据第二步求出的各级 Jordan块的数目，
就可以写出 的一个 Jordan标准形。
例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵的 Jordan标准形。
( ) ( 1 ; ) ( 2 ; ) ( ; )i i i iN N N N t
A
2 3 2
1 8 2
2 1 4 3
A
解,先求出 的特征多项式及其特征值。
对于特征值,它是 的 1重根，
从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为 1 的 Jordan块只有一个且它为一阶的。
A
2
()
2 3 2
1 8 2 ( 1 )( 3 )
2 1 4 3
f I A
1 1 ()f?
1?
A
J
对于特征值,先求所以 从而
2 3 ( 3 )ran k A I?
1 3 2 1 3 2
3 1 5 2 0 8 4
2 1 4 6 0 0 0
AI
( 3 ) 2r a n k A I
2( ) 2 3 2 1Nn
特征值 是 的两重根，从而 在的 Jordan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的 Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为或
2?
A
J
()f?2 3
J
A
1 0 0
0 3 1
0 0 3
J
3 1 0
0 3 0
0 0 1
J
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵的 Jordan标准形。
解,首先求出其特征值，显然其特征多项式为
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
A
4( ) ( 1 )f I A
所以 为 的 4重根，从而 在 的
Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算 中主对角元为 1 的 Jordan块的数目，
先计算,容易得到那么中主对角元为 的 Jordan块数是由此立即可得其 Jordan标准形为
()f? A
J
J
( ) ( ) 4 3 1N n r a n k A I
1
()ran k A I?
( ) 3ran k A I
1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
如何求相似变换矩阵？
设 阶方阵 的 Jordan标准形为,则存在可逆矩阵 使得
n A J
P
1P A P J
，称 为 相似变换矩阵 。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。
例 1 求方阵的 Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
P
P
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
P
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
2
3 0 8
3 1 6
2 0 5
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为,则,对于按列分块记为
21,( 1 )
A
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
P 1P A P J P
1 2 3,,P X X X?
于是有从而可得
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 2 3
,,,,
1 0 0
,,0 1 1
0 0 1
,,
A P A X X X A X A X A X
P J X X X
X X X X
1 1 2 2 3 2 3,,A X X A X X A X X X
整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取,但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
1
2
32
( ) 0
( ) 0
()
I A X
I A X
I A X X
120,1,0,2,0,1TT
11X 22X
2X
12,
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为 1，从而应该使得增广矩阵的秩也为 1。即
2 1 1 2 2X k k
2,I A X?
2
21
2
4 0 8 2
,3 0 6
2 0 4
k
I A X k
k
容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为 1，于是再由第三个方程解出一个特解为
123,2kk
2 1 23 2 4,3,2 TX
3 1,0,0 TX?
，那么所求相似变换矩阵为例 2 求方阵的 Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
1 2 3
0 4 1
,,1 3 0
0 2 0
P X X X
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
2
1 2 6
13
1 1 4
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为,则,对于按列分块记为
A
21,( 1 )
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
1 2 3,,P X X X?
P 1P A P J
于是有从而可得
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 2 3
,,,,
1 0 0
,,0 1 1
0 0 1
,,
A P A X X X A X A X A X
P J X X X
X X X X
1 1 2 2 3 2 3,,A X X A X X A X X X
整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取,但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
1
2
32
()0
( ) 0
()
I A X
I A X
I A X X
12 1,1,0,3,0,1TT
11X 22X
2X
12,
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为 1，从而应该使得增广矩阵的秩也为 1。即
2 1 1 2 2X k k
2,I A X
12
21
2
2 2 6 3
,1 1 3
1 1 3
kk
I A X k
k
容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为 1。令,于是再由第三个方程解出一个特解为
12kk?
12 1kk
2 1 2 2,1,1 TX
3 2,0,1 TX?
，那么所求相似变换矩阵为从而有
1 2 3
1 2 2
,,1 1 0
0 1 1
P X X X
1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
P A P
一般地,设,则存在 阶可逆矩阵使得其中 为 Jordan块，记这里
nnAC n P
1
21
t
J
J
P AP
J
iJ12
,,,tP P P P?
inniPC
那么有记,又可得
1 2 1 1 2 2,,,,,,
,1,2,,
t t t
i i i
A P A P A P P J P J P J
A P P J i t
12,,,ii i i inP X X X
11
2 1 2
1
i i i
i i i
i i i i
i n i n i i n
AX X
AX X X
AX X X
注意,是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得线性无关。
Jordan标准形的某些应用例 1 对于方阵
1iX
A
i?
1iX
2iX 2iX
3iX
12,,,ii i inX X X
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
求 。
解,首先用初等变换法求其 Jordan标准形：
10A
2
1 2 6
13
1 1 4
1 0 0
0 1 0
0 0 ( 1 )
IA
故 的初等因子为A
21,( 1 )
从而 的 Jordan标准形为再求相似变换矩阵 且,那么按照前面例题的方式，容易计算出
A
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
P 1P A P J
10 10 1A PJ P
1 2 2
1 1 0
0 1 1
P
从而
10 10 1
1 2 2 1 0 0
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1
1 0 2 1 9 2 0 6 0
1 1 2 1 0 9 3 0
1 1 3 1 0 1 0 3 1
A PJ P
例 2 求解常系数线性微分方程组解,令
1
13
2
1 2 3
3
13
38
38
25
dx
xx
dt
dx
x x x
dt
dx
xx
dt
1
1
2
2
3
3
3 0 8
3 1 6,,
2 0 5
dx
dt
x
dX dx
A X x
dt dt
x
dx
dt
那么此方程组可表示成
dX AX
dt
由前面的例题可知存在使得
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
P A P J
作线性替换从而可得整理即得方程
1 2 3,,,TX P Y Y y y y
1dY P A P Y J Y
dt
1
1
2
23
3
3
dy
y
dt
dy
yy
dt
dy
y
dt
首先得到两个很显然的解
1 1 3 3,
tty k e y k e
然后再解第三个方程其解为这样得到
2
23
tdy y k e
dt
2 3 2()
ty e k t k
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2
0 4 1 4
1 3 0 3
0 2 0 2
x y y y
x y y y
x y y
即其中 为任意常数。
例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足
，证明,与对角矩阵
1 3 2 3
2 3 2 1
3 3 2
( 4 4 )
( 3 3 )
( 2 2 )
t
t
t
x k t k k e
x k t k k e
x k t k e
1 2 3,,k k k
A F n
2AA? A
1
1
0
0
J
相似。
证明,设 的 Jordan标准形为A
1
2
1
,
1
i
i
i
ti
J
J
JJ
J
即有可逆矩阵 使得由于,所以有
Q
1Q A Q J
2AA?
2 1 2 1 2 1()J Q A Q Q A Q Q A Q J
从而 即
2,1,2,,.
iiJ J i t
2
2
2
21
1
2
11
2
ii
i
iii
ii
i
因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且,所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为 1 或 0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵
iJ
2
ii
1,0ii
J
1
1
0
0
此矩阵仍然与 相似。
例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在
A
A F n
正整数 使得,证明,与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。
证明,设 的 Jordan标准形为
n nAI?
n
A
A
1
2
1
,
1
i
i
i
ti
J
J
JJ
J
即有可逆矩阵 使得由于,所以有从而有
Q
1Q A Q J
nAI?
1 1 1()n n nJ Q A Q Q A Q Q I Q I
n
i
n
n i
ik
n
i
JI
因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有,这表明 为对角矩阵，所以 与对角矩阵相似。
例 5 试写出 Jordan标准形均为的两个矩阵。
iJ
tn? J
A
1
21
2
解答：
2 2 1
2,1,2
1 2 2
ab
c
这里 为任意的非零数。,,a b c
