第三章 内积空间，正规矩阵与 H-阵定义,设 是实数域 上的 维线性空间，
对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与的 内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件：
V R n
V,
(,)
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,)
( 3 ) (,) (,) (,)
( 4 ) (,) 0
kk
这里 是 中任意向量,为任意实数
，只有当 时,我们称带有这样内积的 维线性空间 为 欧氏空间。
例 1 在 中，对于规定容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个欧氏空间。如果规定
,, V k
0 (,) 0
n V
nR
1 2 1 2(,,,),(,,,)nnx x x y y y
1 1 1 2 2(,) nnx y x y x y
1(,)
nR
nR
2 1 1 2 2(,) 2 nnx y x y n x y
容易验证 也是 上的一个内积
，这样 又成为另外一个欧氏空间。 2
(,) nR
例 2 在 维线性空间 中，规定容易验证这是 上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中，规定
nmR?nm
(,),( )TA B T r A B?
[,]Cab
nmR? nmR?
nR
(,),( ) ( )
b
a
f g f x g x d x
容易验证 是 上的一个内积，
这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义,设 是复数域 上的 维线性空间，
对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与的 内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件：
(,)fg [,]Cab
[,]Cab
V C n
V,
(,)
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,)
( 3 ) (,) (,) (,)
( 4 ) (,) 0
kk
这里 是 中任意向量,为任意复数
，只有当 时,我们称带有这样内积的 维线性空间 为 酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为 内积空间。
例 1 设 是 维复向量空间，任取
,,
0 (,) 0
n V
V k
nC n
1 2 1 2(,,,),(,,,)nna a a b b b
规定容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义
1 1 2 2(,),( )
T
nna b a b a b
(,) nC
nC
[,]C a b [,]ab
(,),( ) ( )
b
a
f g f x g x d x
容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中，规定其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质,
(,) [,]C a b
[,]C a b
2n nnC?
(,),( )HA B T r A B?
HB B
(,) nnC?
nnC?
11
11
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,) (,)
( 3 ) (,) (,)
( 4 ) (,) (,)
tt
i i i i
ii
tt
i i i i
ii
kk
kk
kk
欧氏空间的性质：
酉空间的性质：
11
11
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,) (,)
( 3 ) (,) (,)
( 4 ) (,) (,)
tt
i i i i
ii
tt
i i i i
ii
kk
kk
kk
定义：设 是 维酉空间,为其一组基底，对于 中的任意两个向量那么 与 的内积
V ni?
V
11
,
nn
i i j j
ij
xy
1 1,1
(,) (,) (,)
n n n
i i i i i j i j
i j i j
x y x y
令
(,),,1,2,,ij i jg i j n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
g g g
g g g
G
g g g
称 为基底 的 度量矩阵,而且定义,设,用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记
Gi?
,( ) Tij ijg g G G
nnAC A A
()HTAA?
则称 为 的 复共轭转置矩阵 。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：
HA A
( 1 ) ( )
( 2 ) ( )
( 3 ) ( )
( 4 ) ( )
HT
H
HH
HH
H H H
AA
A B A B
k A k A
AB B A
1
1
( 5 ) ( ) ( )
( 6) ( )
( 7 )
( 8 ) ( ) ( )
k H H k
H
H
HH
AA
AA
AA
AA
定义,设,如果,那么称为 Hermite矩阵；如果,那么称 为反 Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是 H-阵还是反 H-阵。
nnAC HAA?
A HAA
A
4 2 4 2
( 1 ) 2 1
4 2 1 2
6 1 2 3
( 2 ) 1 2 9 1
3 1 7
i i i
ii
ii
ii
ii
ii
0 1 8
( 3 ) 1 0 4
8 4 0
3 1 3 2
( 4 ) 1 3 4 1 5
2 1 5 5
ii
ii
ii
ii
ii
ii
（ 5） 实对称矩阵
（ 6） 反实对称矩阵
（ 7） 欧氏空间的度量矩阵
（ 8） 酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义,设 为酉（欧氏）空间，向量的 长度 定义为非负实数例 在 中求下列向量的长度
V V
(,)
4C
( 1 ) ( 1 2,,3,2 2 )
( 2 ) ( 1,2,3,4 )
i i i?
解,根据上面的公式可知一般地，我们有,对于 中的任意向量其长度为
5 1 9 6 2 1
1 4 9 1 6 3 0
nC
12(,,,)na a a
2
1
n
i
i
a?
这里 表示复数 的模。
定理,向量长度具有如下性质当且仅当 时，
ia ia
(1 ) 0 0 0
( 2 ),k k k C
( 3 )
( 4) (,)
例 1,在线性空间 中，证明例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的,我们有
()nnMC?
( ) ( ) ( )H H HT r A B T r A A T r B B?
[,]C a b [,]ab
( ),( ) [,]f x g x C a b?
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x d x f x d x g x d x
定义,设 为欧氏空间，两个非零向量的 夹角 定义为于是有定理,
V,
(,)
,,a r c c o s
0,
2
,(,) 0
2
因此我们引入下面的概念 ;
定义,在酉空间 中，如果,
则称 与 正交。
定义,长度为 1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量,向量总是单位向量，称此过程为 单位化 。
V (,) 0
标准正交基底与 Schmidt正交化方法定义：设 为一组不含有零向量的向量组，
如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为 正交的向量组。
定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为 标准的正交向量组。
例 在 中向量组
i?
i?
3C
12
3
2 1 2 2 2 1
[,,],[,,]
3 3 3 3 3 3
1 2 2
[,,]
3 3 3
与向量组都是标准正交向量组。
12
3
[ co s,0,s i n ],[ 0,1,0 ]
[ s i n,0,co s ]
i
i
定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为 正交基底 ；由 个标准的正交向量组成的基底称为 标准正交基底。
注意,标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。
定理,向量组 为正交向量组的充分必要条件是;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是
n n
n
i?
(,) 0,ij ij
i?
定理,正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。
Schmidt正交化与单位化过程,
设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。
1
(,) {
0i j ij
ij
ij
Vn
r
12,,,r
r
11
21
2 2 1
11
11
11
1 1 1 1
,
,
,,
,,
r r r
r r r
rr
第一步 正交化容易验证 是一个正交向量组。
12,,,r
第二步 单位化显然 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。
解,先正交化
12
12
12
,,,rr
r
12,,,r
1 2 31,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1
11
21
2 2 1
11
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
1,1,0,0
,11
,,1,0
,2 2
,,111
,,,1
,,3 3 3
再单位化
1
1
1
2
2
2
3
3
3
11
,,0,0
22
1 1 2
,,,0
6 6 6
1 1 1 3
,,,
2 3 2 3 2 3 2 3
那么 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
1 2 3,,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 4 0
2 3 4 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
其解空间的一个标准正交基底。
解,先求出其一个基础解系下面对 进行正交化与单位化：
121,2,0,1,2,3,0,1XX
12,XX
11
21
2 2 1
11
1
1
1
2
2
2
(,) 2 1 4
,,,1 ;
(,) 3 3 3
1 2 1
,,,0
6 6 6
2 1 4 3
,,,
30 30 30 3
X
X
X
即为其解空间的一个标准正交基底。?
12,
酉变换与正交变换定义,设 为一个 阶复矩阵，如果其满足则称 是 酉矩阵,一般记为设 为一个 阶实矩阵，如果其满足则称 是 正交矩阵,一般记为
A n
HHA A A A I
A nnAU
A n
TTA A A A I
A nnAE
例：
22
0
22
( 1 ) 1 0 0
22
0
22
是一个正交矩阵
2 1 2
3 3 3
2 2 1
( 2 )
3 3 3
1 2 2
3 3 3
是一个正交矩阵是一个正交矩阵co s s i n
( 3 )
s i n co s
（ 5）设 且,如果则 是一个酉矩阵。通常称为 Householder
矩阵 。
1nC 1H
2 HAI
A
c o s 0 s i n
( 4 ) 0 1 0
s i n 0 c o s
i
i
是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质,
设,那么设,那么
,nnA B U
1
( 1 )
( 2 ) d et ( ) 1
( 3 ),
H n n
nn
A A U
A
A B B A U
,nnA B E
1
( 1 )
( 2 ) d et ( ) 1
( 3 ),
T n n
nn
A A E
A
A B B A E
定理,设,是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。
定义,设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换，如果对任意的 都有
nnAC A
nA
V n? V
,V
( ( ),( ) ) (,)
则称 是 的一个 酉变换 。
定理,设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换，那么下列陈述等价：
（ 1） 是酉变换；
（ 3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；
（ 4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。
注意,关于 正交变换 也有类似的刻划。
V
V n? V
( 2 ) ( ),V
V
幂等矩阵定义：设,如果 满足则称 是一个 幂等矩阵 。
例是一个分块幂等矩阵。
nnAC A
2AA?
A
(),r n n r n rIMA C M C
OO
幂等矩阵的一些性质,设 是幂等矩阵，那么有
（ 1） 都是幂等矩阵；
（ 2）
（ 3）
（ 4） 的充分必要条件是
（ 5）
A
,,,,T H T HA A I A I A I A
( ) ( ) 0A I A I A A
( ) ( )N A R I A
Ax x? ()x R A?
1 ( ) ( )nC R A N A
定理,设 是一个秩为 的 阶矩阵，那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得推论,设 是一个 阶幂等矩阵，则有定义,设 为一个 维标准正交列向量组，那么称 型矩阵
A nr
A
nn
nPC
1 rIOP AP
OO
( ) ( )T r A Ra n k A?
A n
12,,,r n
nr?
1 1 2,,,rU
为一个 次酉矩阵 。一般地将其记为定理,设 为一个 阶矩阵，则的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得其中 。
A n
2HA A A
nr?
1
nr
rUU
1
nr
rUU
11
HA U U?
()r R a n k A?
引理,的充分必要条件是证明,设,那么
1
nr
rUU
11
H
rrU U I
1 1 2,,,rU
1
2
1
()
()
()
T
T
H
T
r
U
必要性：如果 为一个 维标准正交列向量组，那么
12,,,r n
1
2
1 1 1 2
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
()
,,,
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
T
T
H
r
T
r
T T T
r
T T T
r
T T T
r r r r
UU
1
1
1
rr
I
充分性：设,那么由
，可得
1 1 2,,,rU
11
H
rrU U I
1
2
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
()
,,,
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
T
T
r
T
r
T T T
r
T T T
r
rr
T T T
r r r r
I
即这表明 是一个 维标准正交列向量组。
定理的证明,
必要性：因,故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用 Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这个向量为列构成一个 型次酉矩阵
1
(,) ( ) {
0
T
i j j i
ij
ij
12,,,r n
ra n krA? A r
r
r r
nr?
A
r
。注意到 的 个列向量都可以由的 个列向量线性表出。即如果那么可得
n
U
12
12
[,,,],
,,,
nr
rr
n
UU
A
nrrUU
1 2 1 2
11 21 1
12 22 2
12
[,,,] [,,,]
nr
n
n H
r r nr
A
C C C
C C C
UV
C C C
其中
11 12 1
21 22 2
12
r
r nr
n n nr
C C C
C C C
VC
C C C
，由于向量组 的秩为,所以的秩为 。
r
r
12,,,n
HV
下面证明 。
由 可得,即注意到,所以
VU?
2HA A A HA A A?
H H HUV VU UV?
H
rrU U I
HHU V V V?
即因为,所以,这样得到于是
( ) 0HU V V
r a n k ( )HVr? r a nk ( ) 0UV
UV?
HA U U?
充分性：若,则HA U U? 2HA A A
Schur引理与正规矩阵定义,设,若存在
，使得则称 酉相似 (或 正交相似 )于定理 (Schur引理 ),任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上 (下 )三角矩阵。
,( )n n n nA B C R 或 nnUU
()nnE?或
11 ()HTU A U U A U B U A U U A U B或
A B
An
证明,用数学归纳法。 的阶数为 1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑的阶数为 时的情况。
取 阶矩阵 的一个特征值,对应的单位特征向量为,构造以 为第一列的 阶酉矩阵,
A
A
A
1k?
k
k
k
A
1? 1?
1?
1 1 2[,,,]kU
1 1 2
1 1 2
[,,,]
[,,,]
k
k
AU A A A
AA
因为 构成 的一个标准正交基，故 12,,,k
kC
1
( 2,3,,)
k
i i j j
j
A a i k
，因此
1 21 31 1
1 1 2
1
0
[,,,]
0
k
k
a a a
AU
A
其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵 满足
1k?
1k?
1A
W
11
HW A W R?
(上三角矩阵 )
令那么
2
1 kk
UU
W
1 21 1
2 1 1 2
1
0
0
k
HH
bb
U U AU U
R
注意,等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值,
定理 (Schur不等式 ),
设 为矩阵 的特征值,那么例,已知矩阵
A
12,,,,
nn
nAC
A
22
1,
n
i ij
i i j
a?
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵,
解,首先求矩阵 的特征值
U HU A U
A
3( 1 )IA
所以 为矩阵 的三重特征值,当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量
1 A
1 A
1
2 1 1
,,
666
T
1 2 320x x x
2
333
,,
333
T
再解与 内积为零的方程组求得一个单位解向量取
12,
1 2 3
1 2 3
20
0
x x x
x x x
3
22
0,,
22
T
1
23
0
36
1 3 2
326
1 3 2
326
U
计算可得
11
7 2 7 3
1
23
56
04
3
56
06
2
H
U AU
令
1
56
4
3
56
6
2
A
再求矩阵 的特征值所以 为矩阵 的二重特征值,当时,有单位特征向量
1A
2
1 ( 1 )IA
1
1A
1
1A
1
10 15
,
55
T
再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量
1210 15 0xx
2
15 10
,
55
T
取计算可得
1
1 0 1 5
55
1 5 1 0
55
V
1 1 1
25 6
1
6
01
H
V A V
2
1 0 0
10 15
0
55
15 10
0
55
U
令于是有
12
2 30 5
15 56
1 30
0
66
1 30 2 5
30 56
W U U
则
1 0 7 30 / 6
0 1 25 6 / 6
0 0 1
H
W AW
矩阵 即为所求的酉矩阵,
正规矩阵定义,设,如果 满足
W
nnAC A
HHA A A A?
那么称矩阵 为一个 正规矩阵,
设,如果 同样满足那么称矩阵 为一个 实正规矩阵,
例,
(1) 为实正规矩阵
A
nnAR A
HHA A A A?
A
11
11
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
(2)
其中 是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵,,,,a b c d
(3)
这是一个正规矩阵,
(4) H-阵,反 H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵,
正规矩阵的性质与结构定理
4 3 4 6 2
4 4 3 2 6
6 2 2 6 1
i i i
i i i
ii
引理 1,设 是一个正规矩阵,则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵,
引理 2,设 是一个正规矩阵,且又是三角矩阵,则 必为对角矩阵,
由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理,设,则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得
A A
A
A
nnAC A
U
1
2H
n
U AU
其中 是矩阵 的特征值,
推论 1,阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量,
12,,,n
A
nn
推论 2,正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交,
例 1,设求正交矩阵 使得 为对角矩阵,
解,先计算矩阵的特征值
3 2 4
2 0 2
4 2 3
A
Q 1Q AQ?
2( 1 ) ( 8 )IA
其特征值为对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系现在将 单位化并正交化,得到两个标准正交向量
1 2 31,8
1 1
( ) 0I A X
12 1,2,0,1,0,1TTXX
12,XX
12
1 2 4 2 5
,,0,,,
35 5 3 5 2 5
TT
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
2 8
( 8 ) 0I A X
3 2,1,2 TX?
3
2 1 2
,,
333
T
将这三个标准正交向量组成矩阵
1 2 3
1 4 2
35 3 5
2 2 1
,,
35 3 5
52
0
33
Q
则矩阵 即为所求正交矩阵且有
Q
1
1
1
8
Q A Q
例 2,设
4 3 4 6 2
4 4 3 2 6
6 2 2 6 1
i i i
A i i i
ii
求酉矩阵 使得 为对角矩阵,Q
HQ A Q
解,先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系
2( 8 1 ) ( 9 )IA
1 2 39 i,9
1 9 i
( 9 ) 0iI A X
1 / 2,1,1 TXi
现在将 单位化,得到一个单位向量
1X
1
22
,,
3 3 3
T
i
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
2 9 i
( 9 ) 0iI A X
2,1 / 2,1 TXi
2
2 1 2
,,
3 3 3
T
i
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
3 9
( 9 ) 0I A X
3,1,1 / 2 TXi
3
2 2 1
,,
3 3 3
T
i
将这三个标准正交向量组成矩阵
1 2 3
22
3 3 3
2 1 2
,,
3 3 3
2 2 1
3 3 3
i i i
Q
则矩阵 即为所求酉矩阵且有
Q
9
9
9
H
i
Q A Q i
例 3 证明,
(1) H-矩阵的特征值为实数 ; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的,
(2) 反 H-矩阵的特征值为零或纯虚数,
(3) 酉矩阵的特征值模长为 1.
定理,设 是正规矩阵,则
(1) 是 H-阵的充要条件是 的特征值为实数,A
A
A
(2) 是反 H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零,
(3) 是 U-阵的充要条件是 的特征值的模长为 1,
注意,正规矩阵绝不仅此三类,
例 4,设 是一个反 H-阵,证明,
是 U-阵,
证明,根据 U-阵的定义
A
A
A
1( ) ( )W A I A I
A
A
11( ) ( ) [ ( ) ] ( )H H HW W A I A I A I A I
由于 是反 H-阵,所以
,这样于是可得
A () HA I A I
11[ ( ) ] ( )HA I A I
11
11
1
1
11
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
H H H
H
W W A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
I
这说明 为酉矩阵,
W
例 5,设 是一个 阶 H-阵且存在自然数使得,证明,,
证明,由于 是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵 使得
A n
k 0kA? 0A?
nnUU
A
1
2
,
H
i
n
A U U R
于是可得从而这样
1
2
0
k
k
kH
k
n
A U U
0,kii R
0,1,2,,i in
即
Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式 )
Hermite矩阵的基本性质引理,设,则
(1) 都是 H-阵,
0A?
,,H H HA A A A A A?
nnAC
(2) 是反 H-阵,
(3) 如果 是 H-阵,那么 也是 H-阵,
为任意正整数,
(4) 如果 是可逆的 H-阵,那么 也是可逆的 H-阵,
(5) 如果 是 H-阵 (反 H-阵 ),那么是反 H-矩阵 (H-阵 ),这里 为虚数单位,
(6) 如果 都是 H-阵,那么也是 H-阵,这里 均为实数,
(7) 如果 都是 H-阵,那么 也是 H-阵的充分必要条件是
HAA?
A kA
k
A 1A?
A iA
i
,AB kA lB?
,kl
,AB AB
A B B A?
nnAC定理,设,则
(1) 是 H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数,
(2) 是 H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为 H-阵,
H-阵的结构定理定理,设,则 是 H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得
A
,nHX C X A X?
A
n,HB B A B
nnAC A
nnUU
1
2H
n
U AU
其中,此定理经常叙述为,H-阵酉相似于实对角矩阵,
推论,实对称阵正交相似于实对角矩阵,
12,,,n R
例,设 为一个幂等 H-阵,则存在酉矩阵 使得证明,由于 为一个 H-阵,所以存在酉矩阵 使得
A
nnUU
0
00
rH IU A U
A
nnWU
1
2H
n
W A W
又由于 为一个幂等 H-阵,从而或将 1放在一起,将 0放在一起,那么可找到一个酉矩阵 使得
A
0i 1i
nnUU
0
00
rH IU A U
这里 为矩阵 的秩,
Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式 )
定义,由 个复变量,系数为复数的二次齐次多项式
Ar
n 12,,,nx x x
12
11
(,,,)
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x
称为 Hermite二次型,这里如果记 ij ji
aa?
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,,,
T
n
n
n
n
n n n n
X x x x C
a a a
a a a
A
a a a
那么上面的 Hermite二次型可以记为称为 Hermite二次型对应的矩阵,并称 的秩为 Hermite二次型的秩,
对于 Hermite二次型作可逆的线性替换则
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
A
X C Y?
12(,,,) ( )
H H H
n
H
f x x x X A X Y C A C Y
Y B Y
这里
Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的 Hermite二次型为 标准形的 Hermite二次型,
定理,对于任意一个 Hermite二次型
,HHB C A C B B
1 2 1 1 1 2 2 2(,,,)n n n nf y y y y y y y y y
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
必存在酉线性替换可以将 Hermite二次型 化为标准形其中 是 H-矩阵 的特征值,
进一步,我们有定理,对于 Hermite二次型
X U Y?
()fx
1 1 1 2 2 2() n n nf x y y y y y y
12,,,n
A
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
必存在可逆的线性替换可以将 Hermite二次型 化为其中,
我们称上面的标准形为 Hermite二次型的 规范形,
例,写出下面 Hermite二次型的矩阵表达式,
并用酉线性替换将其化为标准形,
X P Y?
()fx
1 1 1 1() s s s s r rf x y y y y y y y y
()r r a n k A?
()fx
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 3 1 1 1 2 1 3 2 1
2 3 3 1 3 1 3 3
( 1 ) (,,)
( 2 ) (,,) ( 1 )
( 1 ) 2
f x x x i x x x x i x x x x
f x x x x x i x x i x x i x x
x x i x x x x x x
解,
1
1 2 3 1 2 3 2
3
01
( 1 ) (,,),,0 0
1 0 0
ix
f x x x x x x i x
x
1
1 2 3 1 2 3 2
3
11
( 2 ) (,,),,0 1
1 1 2
i i x
f x x x x x x i x
ix
正定 Hermite二次型与正定 Hermite矩阵定义,对于给定的 Hermite二次形如果对于任意一组不全为零复数都有
12
11
( ) (,,,)
n
nn
H
ij i j
ij
f X f x x x
a x x X AX
12,,,nx x x
12(,,,) 0 ( 0 )nf x x x
则称该 Hermite二次形为 正定的 (半正定的 ),
并称相应的 H-矩阵 为 正定的 (半正定的 ),
例,判断下列 Hermite二次形的类别
A
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 4 8 3f y y y y y y y y y
1 2 3 2 2 3 3(,,) 1 2 9f y y y y y y y
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 7 6f y y y y y y y y y
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 4 3f y y y y y y y y y
1 2 3 1 1 3 3(,,) 6 1 3f y y y y y y y
与正定的实二次形一样,关于正定的 Hermite
二次形我们有定理,对于给定的 Hermite二次形下列叙述是等价的
() Hf X X A X?
(1) 是正定的
(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有为正定矩阵
(3) 的 个特征值都大于零
(4) 存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在 阶可逆矩阵 使得
(6) 存在正线上三角矩阵 使得
,且此分解是唯一的,
例 1,设 是一个正定的 H-阵,且又是酉矩阵,则证明,由于 是一个正定 H-阵,所以必存在
()fX
n P HP AP
A n
n P
HP A P I?
n Q HA Q Q?
R HA R R?
A
AI?
A
酉矩阵 使得由于 又是酉矩阵,所以
1
2
,0
H
i
n
A U U R
nnUU
A
1i
这样必有,从而例 2,设 是一个正定的 H-阵,是一个反 H-阵,证明,与 的特征值实部为零,
证明,设 为矩阵的任意一个特征值,那么有,由于 是一个正定 H-
阵,所以存在可逆矩阵 使得将其代入上面的特征多项式有
1i AI?
A B
AB BA
0I A B A
Q
HA Q Q?
11
1
0
( ) ( )
()
H
H H H H H
H H H
H
I AB I Q QB
Q Q Q QBQ Q
Q I QBQ Q
I QBQ
这说明 也是矩阵 的特征值,另一方面注意矩阵 为 H-反阵,从而 实部为零,
同样可以证明另一问,
HQBQ
HQBQ?
例 3,设 是一个正定的 H-阵,是一个反 H-阵,证明,是可逆矩阵,
证明,由于 是一个正定 H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这表明 是可逆的,于是另一方面注意矩阵 仍然为正定 H-阵,而矩阵 为 H-反阵,由上面的例题结论可知
A B
AB?
A
Q
HA Q Q?
A
11A B A AA B A I A B
1A?
B
矩阵 的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而
1AB?
1I A B
1 0I A B
定理,对于给定的 Hermite二次形下列叙述是等价的,
(1) 是半正定的
() Hf X X A X?
()fX
(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有为半正定矩阵
(3) 的 个特征值全是非负的
(4) 存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在秩为 的 阶矩阵 使得
n P
0
00
rH IP A P
A n
n P
HP AP
HA Q Q?
r n Q
定理,设 是正定 (半正定 )Hermite矩阵,
那么存在正定 (半正定 ) Hermite矩阵 使得例 1,设 是一个半正定的 H-阵且证明,
证明,设 为 的全部特征值,
由于 是半正定的,所以,于是有
A
H
2AH?
A 0A?
1AI
12,,,n
A
A 0
i
12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1nAI
例 2,设 是一个半正定的 H-阵且是一个正定的 H-阵,证明,
证明,由于 是一个正定的 H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这样有
0A?
B
A B B
A
Q
B
HB Q Q?
11
11
()
()
H H H
H
A B A Q Q Q Q A Q I Q
B Q A Q I
注意矩阵仍然是一个半正定的 H-阵,有上面的例题可知从而
11()HQ A Q
11( ) 1HI Q A Q
11() HA B B Q AQ I B
例 3,证明：
（ 1） 半正定 H-矩阵之和仍然是半正定的 ;
（ 2） 半正定 H-矩阵与正定 H-阵之和和是正定的 ;
证明,设 都是半正定 H-阵，那么二者之和 仍然是一个 H-阵，其对应的 Hermite二次型为其中
,AB
AB?
12
( ) ( ),
(,,,)
H
T
n
f X X A B X
X x x x
由于 都是半正定 H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明 为一个半正定 H-阵。
类似地，可以证明另外一问。
,AB
12,,,nx x x
( ) ( )
0
H
HH
f X X A B X
X A X X B X
AB?
例 4,设 都是 阶正定 H-阵，则的根全为正实数。
证明,因为 是正定的，所以存在可逆矩阵使得另一方面注意到 是一个正定 H-阵，
从而有
,AB n
0BA
B
nn
nPC
HP B P I?
HP A P
0HI P A P
的根全为正实数。又由于故 的根全为正实数。
定理,设 是一个（半）正定 H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定 H-阵,使得
H H H
H
I P A P P B P P A P
P B A P
0BA
A
'A
'2()AA?
Hermite矩阵偶在复合同（复相合）
下的标准形例,设 均为 阶 Hermite-阵,且又是正定的，证明必存在 使得
n,AB B
nn
nPC
1
2H
n
P AP
H
nnP BP I
与同时成立，其中 是与 无关的实数。
证明,由于 是正定 H-阵，所以存在使得又由于 也是 H-阵，那么存在使得
12,,,n
P
B
1
nn
nPC
11
H
nnP B P I
11
HP A P
2
nn
nPU
11
HP A P
1
2
2 1 1 2
HH
n
P P A P P
其中 是 H-阵 的个实特征值。
如果记,则有
12,,,n
n
12P P P?
1
2
,
HH
n
P AP P BP I
下面证明 个实特征值 与 无关。令,那么 是特征方程12,,,nn
P
11
HQ P A P? i?
0IQ
的特征根。又由于因此 是方程的根。它完全是由 决定的与 无关 。
由此可以得到下面的 H-阵偶标准形定理：
1 1 1 1
11
HH
H
I Q P BP P AP
P B A P
i?
0BA
,AB P
定理,对于给定的两个二次型其中 是正定的，则存在非退化的线性替换可以将 同时化成标准形
1
,1
2
,1
()
()
n
H
ij i j
ij
n
H
ij i j
ij
f X X A X a x x
f X X B X b x x
12( ),( )f X f X
X P Y?
2 ()fX
1 1 1 1 2 2 2
2 1 1 1 2 2
n n n
nn
f y y y y y y
f y y y y y y
其中 是方程的根，而且全为实数。
定义,设 均为 阶 Hermite-阵,且又是正定的，求 使得方程有非零解的充分必要条件是
12,,,n 0BA
,AB n B
A X B X
0BA
关于 的 次代数方程方程成立。我们称此方程是 相对于 的 特征方程。 它的根 称为 相对于的 广义特征值 。将 代入到方程中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量 。
广义特征值与广义特征向量的性质 ;
n
BA
12,,,n
A
B
i?
A X B X
X
i?
命题,
（ 1）有 个广义特征值；
（ 2）有 个线性无关的广义特征向量
，即
（ 3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足
n
n
12,,,nX X X
,1,2,,i i iA X B X i n
n
H
i j ij
H
i j j ij
X BX
X AX
其中 为 Kronecker符号。
ij?
对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与的 内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件：
V R n
V,
(,)
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,)
( 3 ) (,) (,) (,)
( 4 ) (,) 0
kk
这里 是 中任意向量,为任意实数
，只有当 时,我们称带有这样内积的 维线性空间 为 欧氏空间。
例 1 在 中，对于规定容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个欧氏空间。如果规定
,, V k
0 (,) 0
n V
nR
1 2 1 2(,,,),(,,,)nnx x x y y y
1 1 1 2 2(,) nnx y x y x y
1(,)
nR
nR
2 1 1 2 2(,) 2 nnx y x y n x y
容易验证 也是 上的一个内积
，这样 又成为另外一个欧氏空间。 2
(,) nR
例 2 在 维线性空间 中，规定容易验证这是 上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中，规定
nmR?nm
(,),( )TA B T r A B?
[,]Cab
nmR? nmR?
nR
(,),( ) ( )
b
a
f g f x g x d x
容易验证 是 上的一个内积，
这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义,设 是复数域 上的 维线性空间，
对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与的 内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件：
(,)fg [,]Cab
[,]Cab
V C n
V,
(,)
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,)
( 3 ) (,) (,) (,)
( 4 ) (,) 0
kk
这里 是 中任意向量,为任意复数
，只有当 时,我们称带有这样内积的 维线性空间 为 酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为 内积空间。
例 1 设 是 维复向量空间，任取
,,
0 (,) 0
n V
V k
nC n
1 2 1 2(,,,),(,,,)nna a a b b b
规定容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义
1 1 2 2(,),( )
T
nna b a b a b
(,) nC
nC
[,]C a b [,]ab
(,),( ) ( )
b
a
f g f x g x d x
容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中，规定其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质,
(,) [,]C a b
[,]C a b
2n nnC?
(,),( )HA B T r A B?
HB B
(,) nnC?
nnC?
11
11
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,) (,)
( 3 ) (,) (,)
( 4 ) (,) (,)
tt
i i i i
ii
tt
i i i i
ii
kk
kk
kk
欧氏空间的性质：
酉空间的性质：
11
11
( 1 ) (,) (,)
( 2 ) (,) (,) (,)
( 3 ) (,) (,)
( 4 ) (,) (,)
tt
i i i i
ii
tt
i i i i
ii
kk
kk
kk
定义：设 是 维酉空间,为其一组基底，对于 中的任意两个向量那么 与 的内积
V ni?
V
11
,
nn
i i j j
ij
xy
1 1,1
(,) (,) (,)
n n n
i i i i i j i j
i j i j
x y x y
令
(,),,1,2,,ij i jg i j n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
g g g
g g g
G
g g g
称 为基底 的 度量矩阵,而且定义,设,用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记
Gi?
,( ) Tij ijg g G G
nnAC A A
()HTAA?
则称 为 的 复共轭转置矩阵 。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：
HA A
( 1 ) ( )
( 2 ) ( )
( 3 ) ( )
( 4 ) ( )
HT
H
HH
HH
H H H
AA
A B A B
k A k A
AB B A
1
1
( 5 ) ( ) ( )
( 6) ( )
( 7 )
( 8 ) ( ) ( )
k H H k
H
H
HH
AA
AA
AA
AA
定义,设,如果,那么称为 Hermite矩阵；如果,那么称 为反 Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是 H-阵还是反 H-阵。
nnAC HAA?
A HAA
A
4 2 4 2
( 1 ) 2 1
4 2 1 2
6 1 2 3
( 2 ) 1 2 9 1
3 1 7
i i i
ii
ii
ii
ii
ii
0 1 8
( 3 ) 1 0 4
8 4 0
3 1 3 2
( 4 ) 1 3 4 1 5
2 1 5 5
ii
ii
ii
ii
ii
ii
（ 5） 实对称矩阵
（ 6） 反实对称矩阵
（ 7） 欧氏空间的度量矩阵
（ 8） 酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义,设 为酉（欧氏）空间，向量的 长度 定义为非负实数例 在 中求下列向量的长度
V V
(,)
4C
( 1 ) ( 1 2,,3,2 2 )
( 2 ) ( 1,2,3,4 )
i i i?
解,根据上面的公式可知一般地，我们有,对于 中的任意向量其长度为
5 1 9 6 2 1
1 4 9 1 6 3 0
nC
12(,,,)na a a
2
1
n
i
i
a?
这里 表示复数 的模。
定理,向量长度具有如下性质当且仅当 时，
ia ia
(1 ) 0 0 0
( 2 ),k k k C
( 3 )
( 4) (,)
例 1,在线性空间 中，证明例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的,我们有
()nnMC?
( ) ( ) ( )H H HT r A B T r A A T r B B?
[,]C a b [,]ab
( ),( ) [,]f x g x C a b?
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x d x f x d x g x d x
定义,设 为欧氏空间，两个非零向量的 夹角 定义为于是有定理,
V,
(,)
,,a r c c o s
0,
2
,(,) 0
2
因此我们引入下面的概念 ;
定义,在酉空间 中，如果,
则称 与 正交。
定义,长度为 1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量,向量总是单位向量，称此过程为 单位化 。
V (,) 0
标准正交基底与 Schmidt正交化方法定义：设 为一组不含有零向量的向量组，
如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为 正交的向量组。
定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为 标准的正交向量组。
例 在 中向量组
i?
i?
3C
12
3
2 1 2 2 2 1
[,,],[,,]
3 3 3 3 3 3
1 2 2
[,,]
3 3 3
与向量组都是标准正交向量组。
12
3
[ co s,0,s i n ],[ 0,1,0 ]
[ s i n,0,co s ]
i
i
定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为 正交基底 ；由 个标准的正交向量组成的基底称为 标准正交基底。
注意,标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。
定理,向量组 为正交向量组的充分必要条件是;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是
n n
n
i?
(,) 0,ij ij
i?
定理,正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。
Schmidt正交化与单位化过程,
设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。
1
(,) {
0i j ij
ij
ij
Vn
r
12,,,r
r
11
21
2 2 1
11
11
11
1 1 1 1
,
,
,,
,,
r r r
r r r
rr
第一步 正交化容易验证 是一个正交向量组。
12,,,r
第二步 单位化显然 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。
解,先正交化
12
12
12
,,,rr
r
12,,,r
1 2 31,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1
11
21
2 2 1
11
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
1,1,0,0
,11
,,1,0
,2 2
,,111
,,,1
,,3 3 3
再单位化
1
1
1
2
2
2
3
3
3
11
,,0,0
22
1 1 2
,,,0
6 6 6
1 1 1 3
,,,
2 3 2 3 2 3 2 3
那么 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
1 2 3,,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 4 0
2 3 4 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
其解空间的一个标准正交基底。
解,先求出其一个基础解系下面对 进行正交化与单位化：
121,2,0,1,2,3,0,1XX
12,XX
11
21
2 2 1
11
1
1
1
2
2
2
(,) 2 1 4
,,,1 ;
(,) 3 3 3
1 2 1
,,,0
6 6 6
2 1 4 3
,,,
30 30 30 3
X
X
X
即为其解空间的一个标准正交基底。?
12,
酉变换与正交变换定义,设 为一个 阶复矩阵，如果其满足则称 是 酉矩阵,一般记为设 为一个 阶实矩阵，如果其满足则称 是 正交矩阵,一般记为
A n
HHA A A A I
A nnAU
A n
TTA A A A I
A nnAE
例：
22
0
22
( 1 ) 1 0 0
22
0
22
是一个正交矩阵
2 1 2
3 3 3
2 2 1
( 2 )
3 3 3
1 2 2
3 3 3
是一个正交矩阵是一个正交矩阵co s s i n
( 3 )
s i n co s
（ 5）设 且,如果则 是一个酉矩阵。通常称为 Householder
矩阵 。
1nC 1H
2 HAI
A
c o s 0 s i n
( 4 ) 0 1 0
s i n 0 c o s
i
i
是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质,
设,那么设,那么
,nnA B U
1
( 1 )
( 2 ) d et ( ) 1
( 3 ),
H n n
nn
A A U
A
A B B A U
,nnA B E
1
( 1 )
( 2 ) d et ( ) 1
( 3 ),
T n n
nn
A A E
A
A B B A E
定理,设,是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。
定义,设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换，如果对任意的 都有
nnAC A
nA
V n? V
,V
( ( ),( ) ) (,)
则称 是 的一个 酉变换 。
定理,设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换，那么下列陈述等价：
（ 1） 是酉变换；
（ 3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；
（ 4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。
注意,关于 正交变换 也有类似的刻划。
V
V n? V
( 2 ) ( ),V
V
幂等矩阵定义：设,如果 满足则称 是一个 幂等矩阵 。
例是一个分块幂等矩阵。
nnAC A
2AA?
A
(),r n n r n rIMA C M C
OO
幂等矩阵的一些性质,设 是幂等矩阵，那么有
（ 1） 都是幂等矩阵；
（ 2）
（ 3）
（ 4） 的充分必要条件是
（ 5）
A
,,,,T H T HA A I A I A I A
( ) ( ) 0A I A I A A
( ) ( )N A R I A
Ax x? ()x R A?
1 ( ) ( )nC R A N A
定理,设 是一个秩为 的 阶矩阵，那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得推论,设 是一个 阶幂等矩阵，则有定义,设 为一个 维标准正交列向量组，那么称 型矩阵
A nr
A
nn
nPC
1 rIOP AP
OO
( ) ( )T r A Ra n k A?
A n
12,,,r n
nr?
1 1 2,,,rU
为一个 次酉矩阵 。一般地将其记为定理,设 为一个 阶矩阵，则的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得其中 。
A n
2HA A A
nr?
1
nr
rUU
1
nr
rUU
11
HA U U?
()r R a n k A?
引理,的充分必要条件是证明,设,那么
1
nr
rUU
11
H
rrU U I
1 1 2,,,rU
1
2
1
()
()
()
T
T
H
T
r
U
必要性：如果 为一个 维标准正交列向量组，那么
12,,,r n
1
2
1 1 1 2
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
()
,,,
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
T
T
H
r
T
r
T T T
r
T T T
r
T T T
r r r r
UU
1
1
1
rr
I
充分性：设,那么由
，可得
1 1 2,,,rU
11
H
rrU U I
1
2
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
()
,,,
()
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
T
T
r
T
r
T T T
r
T T T
r
rr
T T T
r r r r
I
即这表明 是一个 维标准正交列向量组。
定理的证明,
必要性：因,故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用 Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这个向量为列构成一个 型次酉矩阵
1
(,) ( ) {
0
T
i j j i
ij
ij
12,,,r n
ra n krA? A r
r
r r
nr?
A
r
。注意到 的 个列向量都可以由的 个列向量线性表出。即如果那么可得
n
U
12
12
[,,,],
,,,
nr
rr
n
UU
A
nrrUU
1 2 1 2
11 21 1
12 22 2
12
[,,,] [,,,]
nr
n
n H
r r nr
A
C C C
C C C
UV
C C C
其中
11 12 1
21 22 2
12
r
r nr
n n nr
C C C
C C C
VC
C C C
，由于向量组 的秩为,所以的秩为 。
r
r
12,,,n
HV
下面证明 。
由 可得,即注意到,所以
VU?
2HA A A HA A A?
H H HUV VU UV?
H
rrU U I
HHU V V V?
即因为,所以,这样得到于是
( ) 0HU V V
r a n k ( )HVr? r a nk ( ) 0UV
UV?
HA U U?
充分性：若,则HA U U? 2HA A A
Schur引理与正规矩阵定义,设,若存在
，使得则称 酉相似 (或 正交相似 )于定理 (Schur引理 ),任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上 (下 )三角矩阵。
,( )n n n nA B C R 或 nnUU
()nnE?或
11 ()HTU A U U A U B U A U U A U B或
A B
An
证明,用数学归纳法。 的阶数为 1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑的阶数为 时的情况。
取 阶矩阵 的一个特征值,对应的单位特征向量为,构造以 为第一列的 阶酉矩阵,
A
A
A
1k?
k
k
k
A
1? 1?
1?
1 1 2[,,,]kU
1 1 2
1 1 2
[,,,]
[,,,]
k
k
AU A A A
AA
因为 构成 的一个标准正交基，故 12,,,k
kC
1
( 2,3,,)
k
i i j j
j
A a i k
，因此
1 21 31 1
1 1 2
1
0
[,,,]
0
k
k
a a a
AU
A
其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵 满足
1k?
1k?
1A
W
11
HW A W R?
(上三角矩阵 )
令那么
2
1 kk
UU
W
1 21 1
2 1 1 2
1
0
0
k
HH
bb
U U AU U
R
注意,等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值,
定理 (Schur不等式 ),
设 为矩阵 的特征值,那么例,已知矩阵
A
12,,,,
nn
nAC
A
22
1,
n
i ij
i i j
a?
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵,
解,首先求矩阵 的特征值
U HU A U
A
3( 1 )IA
所以 为矩阵 的三重特征值,当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量
1 A
1 A
1
2 1 1
,,
666
T
1 2 320x x x
2
333
,,
333
T
再解与 内积为零的方程组求得一个单位解向量取
12,
1 2 3
1 2 3
20
0
x x x
x x x
3
22
0,,
22
T
1
23
0
36
1 3 2
326
1 3 2
326
U
计算可得
11
7 2 7 3
1
23
56
04
3
56
06
2
H
U AU
令
1
56
4
3
56
6
2
A
再求矩阵 的特征值所以 为矩阵 的二重特征值,当时,有单位特征向量
1A
2
1 ( 1 )IA
1
1A
1
1A
1
10 15
,
55
T
再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量
1210 15 0xx
2
15 10
,
55
T
取计算可得
1
1 0 1 5
55
1 5 1 0
55
V
1 1 1
25 6
1
6
01
H
V A V
2
1 0 0
10 15
0
55
15 10
0
55
U
令于是有
12
2 30 5
15 56
1 30
0
66
1 30 2 5
30 56
W U U
则
1 0 7 30 / 6
0 1 25 6 / 6
0 0 1
H
W AW
矩阵 即为所求的酉矩阵,
正规矩阵定义,设,如果 满足
W
nnAC A
HHA A A A?
那么称矩阵 为一个 正规矩阵,
设,如果 同样满足那么称矩阵 为一个 实正规矩阵,
例,
(1) 为实正规矩阵
A
nnAR A
HHA A A A?
A
11
11
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
(2)
其中 是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵,,,,a b c d
(3)
这是一个正规矩阵,
(4) H-阵,反 H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵,
正规矩阵的性质与结构定理
4 3 4 6 2
4 4 3 2 6
6 2 2 6 1
i i i
i i i
ii
引理 1,设 是一个正规矩阵,则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵,
引理 2,设 是一个正规矩阵,且又是三角矩阵,则 必为对角矩阵,
由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理,设,则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得
A A
A
A
nnAC A
U
1
2H
n
U AU
其中 是矩阵 的特征值,
推论 1,阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量,
12,,,n
A
nn
推论 2,正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交,
例 1,设求正交矩阵 使得 为对角矩阵,
解,先计算矩阵的特征值
3 2 4
2 0 2
4 2 3
A
Q 1Q AQ?
2( 1 ) ( 8 )IA
其特征值为对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系现在将 单位化并正交化,得到两个标准正交向量
1 2 31,8
1 1
( ) 0I A X
12 1,2,0,1,0,1TTXX
12,XX
12
1 2 4 2 5
,,0,,,
35 5 3 5 2 5
TT
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
2 8
( 8 ) 0I A X
3 2,1,2 TX?
3
2 1 2
,,
333
T
将这三个标准正交向量组成矩阵
1 2 3
1 4 2
35 3 5
2 2 1
,,
35 3 5
52
0
33
Q
则矩阵 即为所求正交矩阵且有
Q
1
1
1
8
Q A Q
例 2,设
4 3 4 6 2
4 4 3 2 6
6 2 2 6 1
i i i
A i i i
ii
求酉矩阵 使得 为对角矩阵,Q
HQ A Q
解,先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系
2( 8 1 ) ( 9 )IA
1 2 39 i,9
1 9 i
( 9 ) 0iI A X
1 / 2,1,1 TXi
现在将 单位化,得到一个单位向量
1X
1
22
,,
3 3 3
T
i
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
2 9 i
( 9 ) 0iI A X
2,1 / 2,1 TXi
2
2 1 2
,,
3 3 3
T
i
对于特征值 解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
3 9
( 9 ) 0I A X
3,1,1 / 2 TXi
3
2 2 1
,,
3 3 3
T
i
将这三个标准正交向量组成矩阵
1 2 3
22
3 3 3
2 1 2
,,
3 3 3
2 2 1
3 3 3
i i i
Q
则矩阵 即为所求酉矩阵且有
Q
9
9
9
H
i
Q A Q i
例 3 证明,
(1) H-矩阵的特征值为实数 ; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的,
(2) 反 H-矩阵的特征值为零或纯虚数,
(3) 酉矩阵的特征值模长为 1.
定理,设 是正规矩阵,则
(1) 是 H-阵的充要条件是 的特征值为实数,A
A
A
(2) 是反 H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零,
(3) 是 U-阵的充要条件是 的特征值的模长为 1,
注意,正规矩阵绝不仅此三类,
例 4,设 是一个反 H-阵,证明,
是 U-阵,
证明,根据 U-阵的定义
A
A
A
1( ) ( )W A I A I
A
A
11( ) ( ) [ ( ) ] ( )H H HW W A I A I A I A I
由于 是反 H-阵,所以
,这样于是可得
A () HA I A I
11[ ( ) ] ( )HA I A I
11
11
1
1
11
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
H H H
H
W W A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
A I A I A I A I
I
这说明 为酉矩阵,
W
例 5,设 是一个 阶 H-阵且存在自然数使得,证明,,
证明,由于 是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵 使得
A n
k 0kA? 0A?
nnUU
A
1
2
,
H
i
n
A U U R
于是可得从而这样
1
2
0
k
k
kH
k
n
A U U
0,kii R
0,1,2,,i in
即
Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式 )
Hermite矩阵的基本性质引理,设,则
(1) 都是 H-阵,
0A?
,,H H HA A A A A A?
nnAC
(2) 是反 H-阵,
(3) 如果 是 H-阵,那么 也是 H-阵,
为任意正整数,
(4) 如果 是可逆的 H-阵,那么 也是可逆的 H-阵,
(5) 如果 是 H-阵 (反 H-阵 ),那么是反 H-矩阵 (H-阵 ),这里 为虚数单位,
(6) 如果 都是 H-阵,那么也是 H-阵,这里 均为实数,
(7) 如果 都是 H-阵,那么 也是 H-阵的充分必要条件是
HAA?
A kA
k
A 1A?
A iA
i
,AB kA lB?
,kl
,AB AB
A B B A?
nnAC定理,设,则
(1) 是 H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数,
(2) 是 H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为 H-阵,
H-阵的结构定理定理,设,则 是 H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得
A
,nHX C X A X?
A
n,HB B A B
nnAC A
nnUU
1
2H
n
U AU
其中,此定理经常叙述为,H-阵酉相似于实对角矩阵,
推论,实对称阵正交相似于实对角矩阵,
12,,,n R
例,设 为一个幂等 H-阵,则存在酉矩阵 使得证明,由于 为一个 H-阵,所以存在酉矩阵 使得
A
nnUU
0
00
rH IU A U
A
nnWU
1
2H
n
W A W
又由于 为一个幂等 H-阵,从而或将 1放在一起,将 0放在一起,那么可找到一个酉矩阵 使得
A
0i 1i
nnUU
0
00
rH IU A U
这里 为矩阵 的秩,
Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式 )
定义,由 个复变量,系数为复数的二次齐次多项式
Ar
n 12,,,nx x x
12
11
(,,,)
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x
称为 Hermite二次型,这里如果记 ij ji
aa?
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,,,
T
n
n
n
n
n n n n
X x x x C
a a a
a a a
A
a a a
那么上面的 Hermite二次型可以记为称为 Hermite二次型对应的矩阵,并称 的秩为 Hermite二次型的秩,
对于 Hermite二次型作可逆的线性替换则
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
A
X C Y?
12(,,,) ( )
H H H
n
H
f x x x X A X Y C A C Y
Y B Y
这里
Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的 Hermite二次型为 标准形的 Hermite二次型,
定理,对于任意一个 Hermite二次型
,HHB C A C B B
1 2 1 1 1 2 2 2(,,,)n n n nf y y y y y y y y y
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
必存在酉线性替换可以将 Hermite二次型 化为标准形其中 是 H-矩阵 的特征值,
进一步,我们有定理,对于 Hermite二次型
X U Y?
()fx
1 1 1 2 2 2() n n nf x y y y y y y
12,,,n
A
12(,,,)
H
nf x x x X A X?
必存在可逆的线性替换可以将 Hermite二次型 化为其中,
我们称上面的标准形为 Hermite二次型的 规范形,
例,写出下面 Hermite二次型的矩阵表达式,
并用酉线性替换将其化为标准形,
X P Y?
()fx
1 1 1 1() s s s s r rf x y y y y y y y y
()r r a n k A?
()fx
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 3 1 1 1 2 1 3 2 1
2 3 3 1 3 1 3 3
( 1 ) (,,)
( 2 ) (,,) ( 1 )
( 1 ) 2
f x x x i x x x x i x x x x
f x x x x x i x x i x x i x x
x x i x x x x x x
解,
1
1 2 3 1 2 3 2
3
01
( 1 ) (,,),,0 0
1 0 0
ix
f x x x x x x i x
x
1
1 2 3 1 2 3 2
3
11
( 2 ) (,,),,0 1
1 1 2
i i x
f x x x x x x i x
ix
正定 Hermite二次型与正定 Hermite矩阵定义,对于给定的 Hermite二次形如果对于任意一组不全为零复数都有
12
11
( ) (,,,)
n
nn
H
ij i j
ij
f X f x x x
a x x X AX
12,,,nx x x
12(,,,) 0 ( 0 )nf x x x
则称该 Hermite二次形为 正定的 (半正定的 ),
并称相应的 H-矩阵 为 正定的 (半正定的 ),
例,判断下列 Hermite二次形的类别
A
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 4 8 3f y y y y y y y y y
1 2 3 2 2 3 3(,,) 1 2 9f y y y y y y y
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 7 6f y y y y y y y y y
1 2 3 1 1 2 2 3 3(,,) 4 3f y y y y y y y y y
1 2 3 1 1 3 3(,,) 6 1 3f y y y y y y y
与正定的实二次形一样,关于正定的 Hermite
二次形我们有定理,对于给定的 Hermite二次形下列叙述是等价的
() Hf X X A X?
(1) 是正定的
(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有为正定矩阵
(3) 的 个特征值都大于零
(4) 存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在 阶可逆矩阵 使得
(6) 存在正线上三角矩阵 使得
,且此分解是唯一的,
例 1,设 是一个正定的 H-阵,且又是酉矩阵,则证明,由于 是一个正定 H-阵,所以必存在
()fX
n P HP AP
A n
n P
HP A P I?
n Q HA Q Q?
R HA R R?
A
AI?
A
酉矩阵 使得由于 又是酉矩阵,所以
1
2
,0
H
i
n
A U U R
nnUU
A
1i
这样必有,从而例 2,设 是一个正定的 H-阵,是一个反 H-阵,证明,与 的特征值实部为零,
证明,设 为矩阵的任意一个特征值,那么有,由于 是一个正定 H-
阵,所以存在可逆矩阵 使得将其代入上面的特征多项式有
1i AI?
A B
AB BA
0I A B A
Q
HA Q Q?
11
1
0
( ) ( )
()
H
H H H H H
H H H
H
I AB I Q QB
Q Q Q QBQ Q
Q I QBQ Q
I QBQ
这说明 也是矩阵 的特征值,另一方面注意矩阵 为 H-反阵,从而 实部为零,
同样可以证明另一问,
HQBQ
HQBQ?
例 3,设 是一个正定的 H-阵,是一个反 H-阵,证明,是可逆矩阵,
证明,由于 是一个正定 H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这表明 是可逆的,于是另一方面注意矩阵 仍然为正定 H-阵,而矩阵 为 H-反阵,由上面的例题结论可知
A B
AB?
A
Q
HA Q Q?
A
11A B A AA B A I A B
1A?
B
矩阵 的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而
1AB?
1I A B
1 0I A B
定理,对于给定的 Hermite二次形下列叙述是等价的,
(1) 是半正定的
() Hf X X A X?
()fX
(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有为半正定矩阵
(3) 的 个特征值全是非负的
(4) 存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在秩为 的 阶矩阵 使得
n P
0
00
rH IP A P
A n
n P
HP AP
HA Q Q?
r n Q
定理,设 是正定 (半正定 )Hermite矩阵,
那么存在正定 (半正定 ) Hermite矩阵 使得例 1,设 是一个半正定的 H-阵且证明,
证明,设 为 的全部特征值,
由于 是半正定的,所以,于是有
A
H
2AH?
A 0A?
1AI
12,,,n
A
A 0
i
12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1nAI
例 2,设 是一个半正定的 H-阵且是一个正定的 H-阵,证明,
证明,由于 是一个正定的 H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这样有
0A?
B
A B B
A
Q
B
HB Q Q?
11
11
()
()
H H H
H
A B A Q Q Q Q A Q I Q
B Q A Q I
注意矩阵仍然是一个半正定的 H-阵,有上面的例题可知从而
11()HQ A Q
11( ) 1HI Q A Q
11() HA B B Q AQ I B
例 3,证明：
（ 1） 半正定 H-矩阵之和仍然是半正定的 ;
（ 2） 半正定 H-矩阵与正定 H-阵之和和是正定的 ;
证明,设 都是半正定 H-阵，那么二者之和 仍然是一个 H-阵，其对应的 Hermite二次型为其中
,AB
AB?
12
( ) ( ),
(,,,)
H
T
n
f X X A B X
X x x x
由于 都是半正定 H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明 为一个半正定 H-阵。
类似地，可以证明另外一问。
,AB
12,,,nx x x
( ) ( )
0
H
HH
f X X A B X
X A X X B X
AB?
例 4,设 都是 阶正定 H-阵，则的根全为正实数。
证明,因为 是正定的，所以存在可逆矩阵使得另一方面注意到 是一个正定 H-阵，
从而有
,AB n
0BA
B
nn
nPC
HP B P I?
HP A P
0HI P A P
的根全为正实数。又由于故 的根全为正实数。
定理,设 是一个（半）正定 H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定 H-阵,使得
H H H
H
I P A P P B P P A P
P B A P
0BA
A
'A
'2()AA?
Hermite矩阵偶在复合同（复相合）
下的标准形例,设 均为 阶 Hermite-阵,且又是正定的，证明必存在 使得
n,AB B
nn
nPC
1
2H
n
P AP
H
nnP BP I
与同时成立，其中 是与 无关的实数。
证明,由于 是正定 H-阵，所以存在使得又由于 也是 H-阵，那么存在使得
12,,,n
P
B
1
nn
nPC
11
H
nnP B P I
11
HP A P
2
nn
nPU
11
HP A P
1
2
2 1 1 2
HH
n
P P A P P
其中 是 H-阵 的个实特征值。
如果记,则有
12,,,n
n
12P P P?
1
2
,
HH
n
P AP P BP I
下面证明 个实特征值 与 无关。令,那么 是特征方程12,,,nn
P
11
HQ P A P? i?
0IQ
的特征根。又由于因此 是方程的根。它完全是由 决定的与 无关 。
由此可以得到下面的 H-阵偶标准形定理：
1 1 1 1
11
HH
H
I Q P BP P AP
P B A P
i?
0BA
,AB P
定理,对于给定的两个二次型其中 是正定的，则存在非退化的线性替换可以将 同时化成标准形
1
,1
2
,1
()
()
n
H
ij i j
ij
n
H
ij i j
ij
f X X A X a x x
f X X B X b x x
12( ),( )f X f X
X P Y?
2 ()fX
1 1 1 1 2 2 2
2 1 1 1 2 2
n n n
nn
f y y y y y y
f y y y y y y
其中 是方程的根，而且全为实数。
定义,设 均为 阶 Hermite-阵,且又是正定的，求 使得方程有非零解的充分必要条件是
12,,,n 0BA
,AB n B
A X B X
0BA
关于 的 次代数方程方程成立。我们称此方程是 相对于 的 特征方程。 它的根 称为 相对于的 广义特征值 。将 代入到方程中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量 。
广义特征值与广义特征向量的性质 ;
n
BA
12,,,n
A
B
i?
A X B X
X
i?
命题,
（ 1）有 个广义特征值；
（ 2）有 个线性无关的广义特征向量
，即
（ 3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足
n
n
12,,,nX X X
,1,2,,i i iA X B X i n
n
H
i j ij
H
i j j ij
X BX
X AX
其中 为 Kronecker符号。
ij?
