第七章 函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵定义,以实变量 的函数为元素的矩阵
11 12 1
21 22 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a x a x a x
a x a x a x
Ax
a x a x a x
x
称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间 上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，
乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。
例,已知
( ),1,2,,; 1,2,,ija x i m j n
[,]ab
1 s i n 1 co s
,
11xx
x x x x
AB
e x e x
计算定义,设 为一个 阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵 使得对于任何都有那么我们称 在区间 上是 可逆的 。
,,,2 ( )TxA B A B A A B
n
()Bx
[,]x a b?
n
( ) ( ) ( ) ( )A x B x B x A x I
()Ax [,]ab
()Ax
称 是 的逆矩阵，一般记为例,已知
，那么 在区间 上是可逆的，其逆为
()Bx ()Ax 1 ()Ax?
1 1
()
0 x
xAx
e
()Ax
1
()
10
x
x
xx
e
Ax
e
[3,5]
函数矩阵可逆的充分必要条件定理,阶矩阵 在区间 上可逆的充分必要条件是 在 上处处不为零，并且
，其中 为矩阵 的伴随矩阵。
定义,区间 上的 型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为 的 秩 。
mn?
()Ax [,]ab
()Ax
[,]ab
1* 1( ) ( )
()
A x A x
Ax
*()Ax ()Ax
[,]ab
()Ax
特别地，设 为区间 上的 阶矩阵函数，如果 的秩为,则称 一个满秩矩阵 。
注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。
例,已知
()Ax [,]ab n
()Ax n ()Ax
2
01
()Ax
xx
那么 。于是 在任何区间上的秩都是 2。即 是满秩的。但是 在 上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间 包含有原点时，
在 上有零点，从而 是不可逆的 。
函数矩阵对纯量的导数和积分定义,如果 的所有各元素 在 处有极限，即
()A x x? ()Ax
[,]ab ()Ax
()Ax [,]ab
,ab [,]ab
()Ax [,]ab ()Ax
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
()ijax 0xx?
0
l i m ( ) ( 1,,; 1,,)i j i j
xx
a x a i m j n
其中 为固定常数。则称 在 处有 极限,且记为其中
ija 0xx?
0
l i m ( )
xx
A x A
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
()Ax
如果 的各元素 在 处连续，
即则称 在 处 连续,且记为其中
()Ax ()ijax 0xx?
0
0l i m ( ) ( ) ( 1,,; 1,,)i j i jxx a x a x i m j n
()Ax 0xx?
0
0l i m ( ) ( )xx A x A x
11 0 12 0 1 0
21 0 22 0 2 0
0
1 0 2 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a x a x a x
a x a x a x
Ax
a x a x a x
容易验证下面的等式是成立的：
设则 00
l i m ( ),l i m ( )
x x x x
A x A B x B
0
( 1 ) l i m ( ( ) ( ) )
xx
A x B x A B
0
0
( 2 ) l i m ( ( ))
( 3 ) l i m ( ( ) ( ))
xx
xx
k A x k A
A x B x A B
定义,如果 的所有各元素在点处 (或在区间 上 )可导，便称此函数矩阵在点 处 (或在区间 上 )可导,
并且记为
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
( ) ( 1,,; 1,,)ija x i m j n
0xx?
[,]ab
()Ax 0xx? [,]ab
0
00
0
0
11 0 12 0 1 0
21 0 22 0 2 0
1 0 2 0 0
d ( ) ( ) ( )
( ) li m
d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
xx
n
n
m m mn
A x A x x A x
Ax
xx
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
函数矩阵的导数运算有下列性质：
(1) 是常数矩阵的充分必要条件是
(2) 设均可导，则
()Ax
d ( ) 0
d
Ax
x
( ) ( ( ) ),( ) ( ( ) )ij m n ij m nA x a x B x b x
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ]
d d d
A x B xA x B x
x x x
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
d d d
k x A xk x A x A x k x
x x x
(3)设 是 的纯量函数,是函数矩阵,与 均可导，则特别地，当 是常数 时有
()kx x ()Ax
()kx ()Ax
()kx k
d d ( )[ ( ) ]
dd
Axk A x k
xx
(4) 设 均可导，且 与 是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以
( ),( )A x B x ()Ax ()Bx
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
d d d
A x B xA x B x B x A x
x x x
2
32
d d ( )
( ) 2 ( )
dd
d d ( )
( ) 3 ( )
dd
Ax
A x A x
xx
Ax
A x A x
xx
(5) 如果 与 均可导，则
(6) 设 为矩阵函数,是 的纯量函数,与 均可导，则
()Ax 1 ()Ax?
1
11d ( ) d ( )( ) ( )
dd
A x A xA x A x
xx
()Ax ()x f t? t
()Ax ()ft
d d ( ) d ( )( ) ( ) ( )
d d d
A x A xA x f t f t
x x x
定义,如果函数矩阵 的所有各元素在 上可积，则称 在 上 可积,
且
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
( ) ( 1,,; 1,,)ija x i m j n
[,]ab ()Ax [,]ab 11 12 1
21 22 2
12
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
b b b
n
a a a
b b b
b
n
a a a
a
b b b
m m mn
a a a
a x x a x x a x x
a x x a x x a x x
A x x
a x x a x x a x x
( ) d ( ) d
[ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d
bb
aa
b b b
a a a
k A x x k A x x k R
A x B x x A x x B x x
函数矩阵的定积分具有如下性质：
例 1,已知函数矩阵试计算
21
()
0
x
Ax
x
23
23
1
( 1 ) ( ),( ),( )
( 2 ) ( )
( 3 ) ( )
d d d
A x A x A x
d x d x d x
d
Ax
dx
d
Ax
dx
证明：
02
()
10
xd
Ax
dx
2
2
0
()
00
xd
Ax
dx
由于,所以下面求 。由伴随矩阵公式可得
3
3
00
()
00
d
Ax
dx
3()A x x
2( ) 3d A x x
dx
1 ()Ax?
1*
2
3
23
1
( ) ( )
()
1
0
01
111
A x A x
Ax
x x
x x
xx
再求
1 ()d Ax
dx
2
1
34
1
0
()
23
d x
Ax
d
xx
例 2,已知函数矩阵
2
3
s i n co s
sin
()
10
x
x x x
x
A x e x
x
x
试求
0
2
2
( 1 ) li m ( )
d
( 2 ) ( )
d
d
( 3 ) ( )
d
d
( 4 ) ( )
d
d
( 5 ) ( )
d
x
Ax
Ax
x
Ax
x
Ax
x
Ax
x
例 3,已知函数矩阵试求证明：
s i n co s
()
co s s i n
xx
Ax
xx
2
'
00
( ),( ( ) )
xx
A x d x A x d x
00
0
00
si n c o s
()
c o s si n
1 c o s si n
si n 1 c o s
xx
x
xx
x d x x d x
A x d x
x d x x d x
xx
xx
同样可以求得
2 22
'
220
s i n c o s
( ( ) ) 2
c o s s i n
x xx
A x d x x
xx
例 4,已知函数矩阵试计算
22
( ) 2 0
3 0 0
xx
xx
e xe x
A x e e
x
31
'
00
( ),( ( ) )
x
A x dx A x dx
函数向量的线性相关性定义,设有定义在区间 上的 个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的 等式成立，我们称，在 上
[,]ab m
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) ( 1,2,,)i i i i nx a x a x a x i m
12,,,mk k k
[,]x a b?
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0mmk x k x k x
[,]ab
12( ),( ),,( )mx x x
线性相关 。
12( ),( ),,( )mx x x
否则就说 线性无关。
即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关 。
定义,设 是 个定义在区间 上的连续函数向量记
12 0mk k k
12( ),( ),,( )mx x x
12( ),( ),,( )mx x x
m
[,]ab
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) ( 1,2,,)i i i i nx a x a x a x i m
( ) ( ) d (,1,2,,)b Ti j i j
a
g x x x i j m
以 为元素的常数矩阵称为 的 Gram矩阵,
称为 Gram行列式 。
定理,定义在区间 上的连续函数向量线性无关的充要条件是它的 Gram矩阵为满秩矩阵。
ijg
()ij m nGg
12( ),( ),,( )mx x x
detG
[,]ab
12( ),( ),,( )mx x x
12( ) (0,),( ) (,0 )x x x x
例,设则于是 的 Gram矩阵为
2 3 3
11
1 2 2 1
2 3 3
22
1
d ( )
3
0
1
d ( )
3
b
a
b
a
g x x b a
gg
g x x b a
12( ),( )xx
33
33
1
( ) 0
3
1
0 ( )
3
ba
G
ba
所以故当 时，
在 上是线性无关的。
3 3 21d e t ( )
9
G b a
12d e t 0,( ),( )G x xab?
[,]ab
定义,设是 个定义在区间 上的有 阶导数的函数向量，记那么称矩阵
12( ) ( ( ),( ),,( ) )i i i i nx a x a x a x
( 1,2,,)im? m
1m?
[,]ab
1 11 12 1
2 21 22 2
12
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
m m m mn
x a x a x a x
x a x a x a x
Ax
x a x a x a x
( 1 )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 2 2
( 1 ) ( 1 )
12
( ) ( ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
m mn
n
n
m m mn
m m m
n
m m m
n
mm
mm
W x A x A x A x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a
( 1 )
()
m
mn
x
是 的 Wronski矩阵。
12( ),( ),,( )mx x x
( 1 )( ),( ),,( )mA x A x A x
其中 分别是的一阶，二阶,…,阶导数矩阵。
定理,设 是 的
Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点
，常数矩阵 的秩等于,则向量 在 上线性无关。
()Ax 1m?
()Wx 12( ),( ),,( )mx x x
0 [,]x a b? 0()Wx
m
12( ),( ),,( )mx x x
[,]ab
[,]ab
例,设则因为 的秩为 2，所以 与 线性无关。
2
12( ) ( 1,,),( ) (,1,)
xx x x x e x
2
2
1
()
1
0 1 2
()
01
1 0 1 2
()
1 0 1
x
x
xx
xx
Ax
ex
x
Ax
e
x x x
Wx
e x e
(0)W 1()x? 2 ()x?
函数矩阵在微分方程中的应用形如
1
1 1 1 1 2 2 1 1
2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n
n n n n n n
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式其中
() ( ) ( ) ( )d x t A t x t f t
dt
11 12 1
21 22 2
12
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ),( ),,( ) ]
( ) [ ( ),( ),,( ) ]
n
n
n n nn
T
n
T
n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
x t x t x t x t
f t f t f t f t
上述方程组的初始条件为可以表示成定理,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为
1 0 1 0 2 0 2 0 0 0( ),( ),,( )nnx t x x t x x t x
0 1 0 2 0 0( ) [,,,]
T
nx t x x x?
A n
() ()d x t A x t
dt
00()x t x?
0()
0
A t tx e x
定理,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为例 1,设
A n
() ( ) ( )d x t A x t f t
dt
00()x t x?
00
0
( ) ( )
0 ()
tA t t A t t
t
x e x e f d
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
求微分方程组 满足初始条件 的解。
解,首先计算出矩阵函数
() ()d x t A x t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
( 1 2 ) 2 6
( 1 ) 3
( 1 3 )
t t t
A t t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
由前面的定理可知微分方程组满足初始条件 的解为
() ()d x t A x t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
( 0 ) ( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) TA t t t tx e x t e t e t e
例 2,设
1 2 6
1 0 3,( ) 0
1 1 4
t
t
e
A f t
e
求微分方程组 满足初始条件 的解。
解,由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为
() ( ) ( )d x t A x t f t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
()
0
( ) ( 0 ) ( )
tA t A t
x t e x e f d
由上面的例题可知而
( 0 ) ( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) TA t t t te x t e t e t e
()
( 1 2 2 ) 2 ( ) 6 ( )
( ) ( 1 ) 3 ( )
( ) ( ) ( 1 3 3 )
t t t
A t t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
所以有
()
1 8 ( )
( ) 4 ( )
1 4 ( )
A t t
t
e f e t
t
0
()
00
0
2
2
2
[ 1 8 ( ) ]
( ) 4 ( )
[ 1 4 ( ) ]
4
2
2
t
tt
A t t
t
t
td
e f d e t d
td
tt
et
tt
故有
2
2
2
( 1 4 )
( ) ( 1 2 )
( 1 2 2 )
t
t
t
t t e
x t t t e
t t e
第八章 广义逆矩阵定理,设 是数域 上一个 矩阵，则矩阵方程总是有解。如果,并且其中 与 分别是 阶,阶可逆矩阵，则矩阵方程 (1)的一般解 (通解 )为
A K sn?
A X A A?
r a nk ( )Ar?
0
00
rIA P Q
P Q s n
(1)
(2)
11rIBX Q P
CD
其中 分别是任意矩阵。
证明：把形如 (3)的矩阵以及 (2)式代入矩阵方程
(1)，得到：
,,B C D ( ),r s r ( ),n r r
(3)
1100
0 0 0 0
r r rI I B IP QQ P P Q
CD
左边
( ) ( )n r s r
00
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
00
r r r
rr
r
I I B I
PQ
CD
I B I
PQ
I
PQ
A
右边所以形如 (3)的每一个矩阵都是矩阵方程 (1)的解。
为了说明 (3)是矩阵方程 (1)的通解，现在任取 (1)的一个解,则由 (1)和 (2)得因为 可逆，所以从上式得
XG?
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI I IP Q G P Q P Q
,PQ
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI I IQGP
(4)
把矩阵 分块，设代入 (4)式得即
QGP
HB
QGP
CD
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI H B I I
CD
00
0 0 0 0
rHI
(5)
由此得出，,代入 (5)式便得出这证明了矩阵方程 (1)得任意一个解都能表示成
(3)的形式，所以公式 (3)是矩阵方程 (1)的通解。
定义,设 是一个 矩阵，矩阵方程的通解称为 的 广义逆矩阵,简称为 的 广义逆 。我们用记号 表示 的一个广义逆。
rHI?
11rIBG Q P
CD
A sn?
A X A A? A
A A? A
定理 (非齐次线性方程组的相容性定理 )：非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是证明：必要性。设 有解,则
。因为,所以充分性。设,则取 得所以 是 的解。
AX
AA
AX X
A A A A A
A A A A A A
AA A
()A A A
A AX
定理 (非齐次线性方程组解的结构定理 )：设非齐次线性方程组 有解，则它的一般解 (通解）为其中 是 的任意一个广义逆。
证明：任取 的一个广义逆,我们来证是方程组 的解：
已知 有解，根据前一个定理得：
这表明 是 的一个解。
AX
XA
A? A
A A?
AXXA
AX
()A A A A
AXA
反之，对于 的任意一个解,我们要证存在 的一个广义逆,使得 。
设 是 矩阵，它的秩为,且
AX
A A? A
A sn? r
0
00
rIA P Q
其中 与 分别是 阶,阶可逆矩阵。由于的广义逆具有形式 (3)，因此我们要找矩阵
，使
P Q s n
A
,,B C D
11rIBQP
CD
即先分析 与 之间的关系。由已知,
因此我们有分别把 分块，设
1rIBQP
CD
Q? 1P A
10
00
rI QP
1,QP
1
2
}
}
Y r
Q
Y nr
行行
(6)
11
2
}
}
Z r
P
Z sr
行行
11
22
0
00
r YZI
YZ
则 (6)式成为所以,因为,所以
，从而 。设,
且设 。
取
1 1 2,0Y Z Z
1 0P
0
1 0Z? 11(,,)rZ k k
0ik?
1
20,0,( 0,,0,,0,,0)iB D C k Y
则于是从而只要取则
1111
12
00
0 0 0
rr ZYI I ZPQ
C Z YCC
11 0
0
rIQP
C
11 0
0
rIA Q P
C
A
定理 (齐次线性方程组解的结构定理 )：数域 上元齐次线性方程组 的通解为其中 是 的任意给定的一个广义逆,取遍中任意列向量。
证明：任取,我们有所以 是方程组 的解。
K n
0AX?
()nnX I A A Z
1A? A Z
nK
nZK?
[ ( ) ] ( ) 0 0nnA I A A Z A AA A Z Z
()nnX I A A Z 0AX?
反之，设 是方程组 的解，要证存在
，使得 。取我们有所以 是方程组的通解。
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。
0AX?
nZK? ()
nnI A A Z?
Z
()
( ) 0
nnI A A A A
AA
()nnX I A A Z 0AX?
推论,设数域 是 元非齐次线性方程组有解，则它的通解为其中 是 的任意给定的一个广义逆,取遍 中任意列向量。
证明：我们已经知道 是非齐次线性方程组 的一个解，又知道是导出组 的通解，所以是 的通解。
K n
AX
()nnX A I A A Z
A? A Z
nK
A
AX ()nnI A A Z
0AX?
()nnX A I A A ZAX
伪逆矩阵定义,设,若,且同时有则称 是 的 伪逆矩阵 。上述条件称为
Moore－ Penrose 方程。
例,
设,那么
mnAC nmAC
,
( ),( )HH
A A A A A A A A
A A A A A A A A
A? A
11
00
A
1 0
2
1 0
2
A?
设,那么设,其中 是可逆矩阵，则如果 是一个可逆矩阵，那么
1
1
A
1
2
1
2
A
BO
A
OO
B
1BO
A
OO
A 1AA
下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理,设 是 的一个满秩分解，则是 的伪逆矩阵。
例 1,设求 。
解：利用满秩分解公式可得
,mnA C A B C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
A
A
1 0 1
2 0 2
A
A?
1 1 0 1
2
A B C
从而 的伪逆矩阵是A
11
1
1
( ) ( )
11
0 ( 1 0 1 0 )
11
1
( 1 2 ) 1 2
2
1 1 2
11
0 1 2 0 0
10 10
1 1 2
H H H H
A C C C B B B
例 2,设求 。
解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为
11
22
A
A?
1 11
2
A BC
11
11
( ) ( )
1 1 1
( 1 1 ) ( 1 2 ) 1 2
1 1 2
1 1 111
12
1 2 21 0 1 0
11
1 0 5
11
1 0 5
H H H H
A C C C B B B
推论,若,则若,则定理,伪逆矩阵 唯一。
证明：设 都是 的伪逆矩阵，则
mr
rAC
1()HHA A A A
rn
rAC
1()HHA A A A
A?
A,XY
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
HH
HH
HH
HH
X X A X X A Y A X X A Y A X
X A X A Y X A Y X A Y
X A Y A Y X A Y A Y
Y A X A Y Y A Y Y A Y Y
根据此定理知,若,则 。
nn
nAC
1AA
定理,设,则证明：容易验证 (1),(2)，现在只证 (3)。
设 是 的满秩分解，则 的满秩分解可以写成
mnAC
( 1 ) ( )
( 2 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ) ( )
H H H
H H H
H H H H
AA
A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A A
A HAAA B C?
()H H HA A C B B C?
其中 是列满秩,为行满秩，故由式得因此同理可证：
HC HB B C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
11
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
H H H H H H H
H H H H H H H
H H H H
A A B B C B B C C B B C C C
C B B B B C C B B C C C
C C C B B C C C
1 1 1
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
H H H H H H H H
H H H H
A A A C C C B B C C C C B
C C C B B B A
()HHA A A A
例,设,则 是正定或半正定
Hermite矩阵，故存在,使得证明解：因为
mn
rAC
HAA
nnUC
12di a g (,,,)
H H H
nA A U U U U
HHA U U A
12dia g (,,,)
HH
nU A AU
1 2 1 2,,,0,0r r r n
不妨设则
1
0
HH
r
A A U U
1
1
11
0
0
r
nr
H
r
rn
HH
U
U
UU
其中故于是
1
1
0
r
1
1 1 1 1
,
HH
r
r rr
令由,知11,
n r H H r n
rrB U C C U C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
11
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1 1 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
0
H H H H H H H
H H H H
HH
r
nn
A A U U U U U U
UU
U U U U
因此由得例,已知求 。
解,的特征值的特征向量为
( ) ( )H H H HA A A A A A A
() H H H HA A A A U U A
1 0 1
2 0 2
A
A?
HAA
1 2 3 11 0,0,1 0
1
11(,0,)
22
TX
2
3
11
(,0,)
22
( 0,1,0 )
T
T
X
X
23 0
的特征向量为故
11
0
1022
0 0 1,0
1 1 0
0
22
U
1 / 10
0
0
代入 得：HHA U U A
11
1 0 5
00
11
1 0 5
HH
A U U A
练习 1,已知求其奇异值分解与 。
练习 2,设
10
01
10
A
A?
10
21
01
A
求 。
答案,（ 1）奇异值分解式为
A?
11
2022
10
0 1 0 0 1
01
1 1 0 10
22
o
A
11
0
221
0010
2 0 1 0
01
0 1 0
11
0
22
11
0
22
0 1 0
A
（ 2）其伪逆矩阵为
1 1 1
3 3 3
511
3 6 6
A?
不相容线性方程组 的解定义,设,,如果 维向量对于任何一个 维向量,都有则称 是方程组 的一个 最小二乘解 。
若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解 都有不等式则称 是 最佳最小二乘解 。
AX b?
mnAC mbC? n
n
0x
x
22
0Ax b Ax b
0x
Ax b?
u
0ux?
u
定理,设,则是方程组 的最佳最小二乘解。
例 1,求不相容方程组的最佳最小二乘解。
,m n mA C b C x A b
Ax b?
12
3
12
21
1
2 4 3
xx
x
xx
例 2,求不相容方程组的最佳最小二乘解。
1 2 3
13
13
1 2 3
2 3 1
0
2 2 1
2 4 6 1
x x x
xx
xx
x x x
11 12 1
21 22 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a x a x a x
a x a x a x
Ax
a x a x a x
x
称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间 上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，
乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。
例,已知
( ),1,2,,; 1,2,,ija x i m j n
[,]ab
1 s i n 1 co s
,
11xx
x x x x
AB
e x e x
计算定义,设 为一个 阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵 使得对于任何都有那么我们称 在区间 上是 可逆的 。
,,,2 ( )TxA B A B A A B
n
()Bx
[,]x a b?
n
( ) ( ) ( ) ( )A x B x B x A x I
()Ax [,]ab
()Ax
称 是 的逆矩阵，一般记为例,已知
，那么 在区间 上是可逆的，其逆为
()Bx ()Ax 1 ()Ax?
1 1
()
0 x
xAx
e
()Ax
1
()
10
x
x
xx
e
Ax
e
[3,5]
函数矩阵可逆的充分必要条件定理,阶矩阵 在区间 上可逆的充分必要条件是 在 上处处不为零，并且
，其中 为矩阵 的伴随矩阵。
定义,区间 上的 型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为 的 秩 。
mn?
()Ax [,]ab
()Ax
[,]ab
1* 1( ) ( )
()
A x A x
Ax
*()Ax ()Ax
[,]ab
()Ax
特别地，设 为区间 上的 阶矩阵函数，如果 的秩为,则称 一个满秩矩阵 。
注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。
例,已知
()Ax [,]ab n
()Ax n ()Ax
2
01
()Ax
xx
那么 。于是 在任何区间上的秩都是 2。即 是满秩的。但是 在 上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间 包含有原点时，
在 上有零点，从而 是不可逆的 。
函数矩阵对纯量的导数和积分定义,如果 的所有各元素 在 处有极限，即
()A x x? ()Ax
[,]ab ()Ax
()Ax [,]ab
,ab [,]ab
()Ax [,]ab ()Ax
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
()ijax 0xx?
0
l i m ( ) ( 1,,; 1,,)i j i j
xx
a x a i m j n
其中 为固定常数。则称 在 处有 极限,且记为其中
ija 0xx?
0
l i m ( )
xx
A x A
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
()Ax
如果 的各元素 在 处连续，
即则称 在 处 连续,且记为其中
()Ax ()ijax 0xx?
0
0l i m ( ) ( ) ( 1,,; 1,,)i j i jxx a x a x i m j n
()Ax 0xx?
0
0l i m ( ) ( )xx A x A x
11 0 12 0 1 0
21 0 22 0 2 0
0
1 0 2 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n
m m mn
a x a x a x
a x a x a x
Ax
a x a x a x
容易验证下面的等式是成立的：
设则 00
l i m ( ),l i m ( )
x x x x
A x A B x B
0
( 1 ) l i m ( ( ) ( ) )
xx
A x B x A B
0
0
( 2 ) l i m ( ( ))
( 3 ) l i m ( ( ) ( ))
xx
xx
k A x k A
A x B x A B
定义,如果 的所有各元素在点处 (或在区间 上 )可导，便称此函数矩阵在点 处 (或在区间 上 )可导,
并且记为
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
( ) ( 1,,; 1,,)ija x i m j n
0xx?
[,]ab
()Ax 0xx? [,]ab
0
00
0
0
11 0 12 0 1 0
21 0 22 0 2 0
1 0 2 0 0
d ( ) ( ) ( )
( ) li m
d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
xx
n
n
m m mn
A x A x x A x
Ax
xx
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
函数矩阵的导数运算有下列性质：
(1) 是常数矩阵的充分必要条件是
(2) 设均可导，则
()Ax
d ( ) 0
d
Ax
x
( ) ( ( ) ),( ) ( ( ) )ij m n ij m nA x a x B x b x
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ]
d d d
A x B xA x B x
x x x
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
d d d
k x A xk x A x A x k x
x x x
(3)设 是 的纯量函数,是函数矩阵,与 均可导，则特别地，当 是常数 时有
()kx x ()Ax
()kx ()Ax
()kx k
d d ( )[ ( ) ]
dd
Axk A x k
xx
(4) 设 均可导，且 与 是可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以
( ),( )A x B x ()Ax ()Bx
d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
d d d
A x B xA x B x B x A x
x x x
2
32
d d ( )
( ) 2 ( )
dd
d d ( )
( ) 3 ( )
dd
Ax
A x A x
xx
Ax
A x A x
xx
(5) 如果 与 均可导，则
(6) 设 为矩阵函数,是 的纯量函数,与 均可导，则
()Ax 1 ()Ax?
1
11d ( ) d ( )( ) ( )
dd
A x A xA x A x
xx
()Ax ()x f t? t
()Ax ()ft
d d ( ) d ( )( ) ( ) ( )
d d d
A x A xA x f t f t
x x x
定义,如果函数矩阵 的所有各元素在 上可积，则称 在 上 可积,
且
( ) ( ( ) )ij m nA x a x
( ) ( 1,,; 1,,)ija x i m j n
[,]ab ()Ax [,]ab 11 12 1
21 22 2
12
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
( ) d
( ) d ( ) d ( ) d
b b b
n
a a a
b b b
b
n
a a a
a
b b b
m m mn
a a a
a x x a x x a x x
a x x a x x a x x
A x x
a x x a x x a x x
( ) d ( ) d
[ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d
bb
aa
b b b
a a a
k A x x k A x x k R
A x B x x A x x B x x
函数矩阵的定积分具有如下性质：
例 1,已知函数矩阵试计算
21
()
0
x
Ax
x
23
23
1
( 1 ) ( ),( ),( )
( 2 ) ( )
( 3 ) ( )
d d d
A x A x A x
d x d x d x
d
Ax
dx
d
Ax
dx
证明：
02
()
10
xd
Ax
dx
2
2
0
()
00
xd
Ax
dx
由于,所以下面求 。由伴随矩阵公式可得
3
3
00
()
00
d
Ax
dx
3()A x x
2( ) 3d A x x
dx
1 ()Ax?
1*
2
3
23
1
( ) ( )
()
1
0
01
111
A x A x
Ax
x x
x x
xx
再求
1 ()d Ax
dx
2
1
34
1
0
()
23
d x
Ax
d
xx
例 2,已知函数矩阵
2
3
s i n co s
sin
()
10
x
x x x
x
A x e x
x
x
试求
0
2
2
( 1 ) li m ( )
d
( 2 ) ( )
d
d
( 3 ) ( )
d
d
( 4 ) ( )
d
d
( 5 ) ( )
d
x
Ax
Ax
x
Ax
x
Ax
x
Ax
x
例 3,已知函数矩阵试求证明：
s i n co s
()
co s s i n
xx
Ax
xx
2
'
00
( ),( ( ) )
xx
A x d x A x d x
00
0
00
si n c o s
()
c o s si n
1 c o s si n
si n 1 c o s
xx
x
xx
x d x x d x
A x d x
x d x x d x
xx
xx
同样可以求得
2 22
'
220
s i n c o s
( ( ) ) 2
c o s s i n
x xx
A x d x x
xx
例 4,已知函数矩阵试计算
22
( ) 2 0
3 0 0
xx
xx
e xe x
A x e e
x
31
'
00
( ),( ( ) )
x
A x dx A x dx
函数向量的线性相关性定义,设有定义在区间 上的 个连续的函数向量如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的 等式成立，我们称，在 上
[,]ab m
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) ( 1,2,,)i i i i nx a x a x a x i m
12,,,mk k k
[,]x a b?
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0mmk x k x k x
[,]ab
12( ),( ),,( )mx x x
线性相关 。
12( ),( ),,( )mx x x
否则就说 线性无关。
即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关 。
定义,设 是 个定义在区间 上的连续函数向量记
12 0mk k k
12( ),( ),,( )mx x x
12( ),( ),,( )mx x x
m
[,]ab
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) ( 1,2,,)i i i i nx a x a x a x i m
( ) ( ) d (,1,2,,)b Ti j i j
a
g x x x i j m
以 为元素的常数矩阵称为 的 Gram矩阵,
称为 Gram行列式 。
定理,定义在区间 上的连续函数向量线性无关的充要条件是它的 Gram矩阵为满秩矩阵。
ijg
()ij m nGg
12( ),( ),,( )mx x x
detG
[,]ab
12( ),( ),,( )mx x x
12( ) (0,),( ) (,0 )x x x x
例,设则于是 的 Gram矩阵为
2 3 3
11
1 2 2 1
2 3 3
22
1
d ( )
3
0
1
d ( )
3
b
a
b
a
g x x b a
gg
g x x b a
12( ),( )xx
33
33
1
( ) 0
3
1
0 ( )
3
ba
G
ba
所以故当 时，
在 上是线性无关的。
3 3 21d e t ( )
9
G b a
12d e t 0,( ),( )G x xab?
[,]ab
定义,设是 个定义在区间 上的有 阶导数的函数向量，记那么称矩阵
12( ) ( ( ),( ),,( ) )i i i i nx a x a x a x
( 1,2,,)im? m
1m?
[,]ab
1 11 12 1
2 21 22 2
12
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
m m m mn
x a x a x a x
x a x a x a x
Ax
x a x a x a x
( 1 )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 2 2
( 1 ) ( 1 )
12
( ) ( ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
m mn
n
n
m m mn
m m m
n
m m m
n
mm
mm
W x A x A x A x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a
( 1 )
()
m
mn
x
是 的 Wronski矩阵。
12( ),( ),,( )mx x x
( 1 )( ),( ),,( )mA x A x A x
其中 分别是的一阶，二阶,…,阶导数矩阵。
定理,设 是 的
Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点
，常数矩阵 的秩等于,则向量 在 上线性无关。
()Ax 1m?
()Wx 12( ),( ),,( )mx x x
0 [,]x a b? 0()Wx
m
12( ),( ),,( )mx x x
[,]ab
[,]ab
例,设则因为 的秩为 2，所以 与 线性无关。
2
12( ) ( 1,,),( ) (,1,)
xx x x x e x
2
2
1
()
1
0 1 2
()
01
1 0 1 2
()
1 0 1
x
x
xx
xx
Ax
ex
x
Ax
e
x x x
Wx
e x e
(0)W 1()x? 2 ()x?
函数矩阵在微分方程中的应用形如
1
1 1 1 1 2 2 1 1
2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n
n n n n n n
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
dx
a t x t a t x t a t x t f t
dt
的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式其中
() ( ) ( ) ( )d x t A t x t f t
dt
11 12 1
21 22 2
12
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ),( ),,( ) ]
( ) [ ( ),( ),,( ) ]
n
n
n n nn
T
n
T
n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
x t x t x t x t
f t f t f t f t
上述方程组的初始条件为可以表示成定理,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为
1 0 1 0 2 0 2 0 0 0( ),( ),,( )nnx t x x t x x t x
0 1 0 2 0 0( ) [,,,]
T
nx t x x x?
A n
() ()d x t A x t
dt
00()x t x?
0()
0
A t tx e x
定理,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件 的解为例 1,设
A n
() ( ) ( )d x t A x t f t
dt
00()x t x?
00
0
( ) ( )
0 ()
tA t t A t t
t
x e x e f d
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
求微分方程组 满足初始条件 的解。
解,首先计算出矩阵函数
() ()d x t A x t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
( 1 2 ) 2 6
( 1 ) 3
( 1 3 )
t t t
A t t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
由前面的定理可知微分方程组满足初始条件 的解为
() ()d x t A x t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
( 0 ) ( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) TA t t t tx e x t e t e t e
例 2,设
1 2 6
1 0 3,( ) 0
1 1 4
t
t
e
A f t
e
求微分方程组 满足初始条件 的解。
解,由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为
() ( ) ( )d x t A x t f t
dt
( 0 ) 1 1 1 Tx?
()
0
( ) ( 0 ) ( )
tA t A t
x t e x e f d
由上面的例题可知而
( 0 ) ( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) TA t t t te x t e t e t e
()
( 1 2 2 ) 2 ( ) 6 ( )
( ) ( 1 ) 3 ( )
( ) ( ) ( 1 3 3 )
t t t
A t t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
所以有
()
1 8 ( )
( ) 4 ( )
1 4 ( )
A t t
t
e f e t
t
0
()
00
0
2
2
2
[ 1 8 ( ) ]
( ) 4 ( )
[ 1 4 ( ) ]
4
2
2
t
tt
A t t
t
t
td
e f d e t d
td
tt
et
tt
故有
2
2
2
( 1 4 )
( ) ( 1 2 )
( 1 2 2 )
t
t
t
t t e
x t t t e
t t e
第八章 广义逆矩阵定理,设 是数域 上一个 矩阵，则矩阵方程总是有解。如果,并且其中 与 分别是 阶,阶可逆矩阵，则矩阵方程 (1)的一般解 (通解 )为
A K sn?
A X A A?
r a nk ( )Ar?
0
00
rIA P Q
P Q s n
(1)
(2)
11rIBX Q P
CD
其中 分别是任意矩阵。
证明：把形如 (3)的矩阵以及 (2)式代入矩阵方程
(1)，得到：
,,B C D ( ),r s r ( ),n r r
(3)
1100
0 0 0 0
r r rI I B IP QQ P P Q
CD
左边
( ) ( )n r s r
00
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
00
r r r
rr
r
I I B I
PQ
CD
I B I
PQ
I
PQ
A
右边所以形如 (3)的每一个矩阵都是矩阵方程 (1)的解。
为了说明 (3)是矩阵方程 (1)的通解，现在任取 (1)的一个解,则由 (1)和 (2)得因为 可逆，所以从上式得
XG?
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI I IP Q G P Q P Q
,PQ
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI I IQGP
(4)
把矩阵 分块，设代入 (4)式得即
QGP
HB
QGP
CD
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r rI H B I I
CD
00
0 0 0 0
rHI
(5)
由此得出，,代入 (5)式便得出这证明了矩阵方程 (1)得任意一个解都能表示成
(3)的形式，所以公式 (3)是矩阵方程 (1)的通解。
定义,设 是一个 矩阵，矩阵方程的通解称为 的 广义逆矩阵,简称为 的 广义逆 。我们用记号 表示 的一个广义逆。
rHI?
11rIBG Q P
CD
A sn?
A X A A? A
A A? A
定理 (非齐次线性方程组的相容性定理 )：非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是证明：必要性。设 有解,则
。因为,所以充分性。设,则取 得所以 是 的解。
AX
AA
AX X
A A A A A
A A A A A A
AA A
()A A A
A AX
定理 (非齐次线性方程组解的结构定理 )：设非齐次线性方程组 有解，则它的一般解 (通解）为其中 是 的任意一个广义逆。
证明：任取 的一个广义逆,我们来证是方程组 的解：
已知 有解，根据前一个定理得：
这表明 是 的一个解。
AX
XA
A? A
A A?
AXXA
AX
()A A A A
AXA
反之，对于 的任意一个解,我们要证存在 的一个广义逆,使得 。
设 是 矩阵，它的秩为,且
AX
A A? A
A sn? r
0
00
rIA P Q
其中 与 分别是 阶,阶可逆矩阵。由于的广义逆具有形式 (3)，因此我们要找矩阵
，使
P Q s n
A
,,B C D
11rIBQP
CD
即先分析 与 之间的关系。由已知,
因此我们有分别把 分块，设
1rIBQP
CD
Q? 1P A
10
00
rI QP
1,QP
1
2
}
}
Y r
Q
Y nr
行行
(6)
11
2
}
}
Z r
P
Z sr
行行
11
22
0
00
r YZI
YZ
则 (6)式成为所以,因为,所以
，从而 。设,
且设 。
取
1 1 2,0Y Z Z
1 0P
0
1 0Z? 11(,,)rZ k k
0ik?
1
20,0,( 0,,0,,0,,0)iB D C k Y
则于是从而只要取则
1111
12
00
0 0 0
rr ZYI I ZPQ
C Z YCC
11 0
0
rIQP
C
11 0
0
rIA Q P
C
A
定理 (齐次线性方程组解的结构定理 )：数域 上元齐次线性方程组 的通解为其中 是 的任意给定的一个广义逆,取遍中任意列向量。
证明：任取,我们有所以 是方程组 的解。
K n
0AX?
()nnX I A A Z
1A? A Z
nK
nZK?
[ ( ) ] ( ) 0 0nnA I A A Z A AA A Z Z
()nnX I A A Z 0AX?
反之，设 是方程组 的解，要证存在
，使得 。取我们有所以 是方程组的通解。
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。
0AX?
nZK? ()
nnI A A Z?
Z
()
( ) 0
nnI A A A A
AA
()nnX I A A Z 0AX?
推论,设数域 是 元非齐次线性方程组有解，则它的通解为其中 是 的任意给定的一个广义逆,取遍 中任意列向量。
证明：我们已经知道 是非齐次线性方程组 的一个解，又知道是导出组 的通解，所以是 的通解。
K n
AX
()nnX A I A A Z
A? A Z
nK
A
AX ()nnI A A Z
0AX?
()nnX A I A A ZAX
伪逆矩阵定义,设,若,且同时有则称 是 的 伪逆矩阵 。上述条件称为
Moore－ Penrose 方程。
例,
设,那么
mnAC nmAC
,
( ),( )HH
A A A A A A A A
A A A A A A A A
A? A
11
00
A
1 0
2
1 0
2
A?
设,那么设,其中 是可逆矩阵，则如果 是一个可逆矩阵，那么
1
1
A
1
2
1
2
A
BO
A
OO
B
1BO
A
OO
A 1AA
下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理,设 是 的一个满秩分解，则是 的伪逆矩阵。
例 1,设求 。
解：利用满秩分解公式可得
,mnA C A B C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
A
A
1 0 1
2 0 2
A
A?
1 1 0 1
2
A B C
从而 的伪逆矩阵是A
11
1
1
( ) ( )
11
0 ( 1 0 1 0 )
11
1
( 1 2 ) 1 2
2
1 1 2
11
0 1 2 0 0
10 10
1 1 2
H H H H
A C C C B B B
例 2,设求 。
解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为
11
22
A
A?
1 11
2
A BC
11
11
( ) ( )
1 1 1
( 1 1 ) ( 1 2 ) 1 2
1 1 2
1 1 111
12
1 2 21 0 1 0
11
1 0 5
11
1 0 5
H H H H
A C C C B B B
推论,若,则若,则定理,伪逆矩阵 唯一。
证明：设 都是 的伪逆矩阵，则
mr
rAC
1()HHA A A A
rn
rAC
1()HHA A A A
A?
A,XY
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
HH
HH
HH
HH
X X A X X A Y A X X A Y A X
X A X A Y X A Y X A Y
X A Y A Y X A Y A Y
Y A X A Y Y A Y Y A Y Y
根据此定理知,若,则 。
nn
nAC
1AA
定理,设,则证明：容易验证 (1),(2)，现在只证 (3)。
设 是 的满秩分解，则 的满秩分解可以写成
mnAC
( 1 ) ( )
( 2 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ) ( )
H H H
H H H
H H H H
AA
A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A A
A HAAA B C?
()H H HA A C B B C?
其中 是列满秩,为行满秩，故由式得因此同理可证：
HC HB B C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
11
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
H H H H H H H
H H H H H H H
H H H H
A A B B C B B C C B B C C C
C B B B B C C B B C C C
C C C B B C C C
1 1 1
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
H H H H H H H H
H H H H
A A A C C C B B C C C C B
C C C B B B A
()HHA A A A
例,设,则 是正定或半正定
Hermite矩阵，故存在,使得证明解：因为
mn
rAC
HAA
nnUC
12di a g (,,,)
H H H
nA A U U U U
HHA U U A
12dia g (,,,)
HH
nU A AU
1 2 1 2,,,0,0r r r n
不妨设则
1
0
HH
r
A A U U
1
1
11
0
0
r
nr
H
r
rn
HH
U
U
UU
其中故于是
1
1
0
r
1
1 1 1 1
,
HH
r
r rr
令由,知11,
n r H H r n
rrB U C C U C
11( ) ( )H H H HX C C C B B B
11
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1 1 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
0
H H H H H H H
H H H H
HH
r
nn
A A U U U U U U
UU
U U U U
因此由得例,已知求 。
解,的特征值的特征向量为
( ) ( )H H H HA A A A A A A
() H H H HA A A A U U A
1 0 1
2 0 2
A
A?
HAA
1 2 3 11 0,0,1 0
1
11(,0,)
22
TX
2
3
11
(,0,)
22
( 0,1,0 )
T
T
X
X
23 0
的特征向量为故
11
0
1022
0 0 1,0
1 1 0
0
22
U
1 / 10
0
0
代入 得：HHA U U A
11
1 0 5
00
11
1 0 5
HH
A U U A
练习 1,已知求其奇异值分解与 。
练习 2,设
10
01
10
A
A?
10
21
01
A
求 。
答案,（ 1）奇异值分解式为
A?
11
2022
10
0 1 0 0 1
01
1 1 0 10
22
o
A
11
0
221
0010
2 0 1 0
01
0 1 0
11
0
22
11
0
22
0 1 0
A
（ 2）其伪逆矩阵为
1 1 1
3 3 3
511
3 6 6
A?
不相容线性方程组 的解定义,设,,如果 维向量对于任何一个 维向量,都有则称 是方程组 的一个 最小二乘解 。
若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解 都有不等式则称 是 最佳最小二乘解 。
AX b?
mnAC mbC? n
n
0x
x
22
0Ax b Ax b
0x
Ax b?
u
0ux?
u
定理,设,则是方程组 的最佳最小二乘解。
例 1,求不相容方程组的最佳最小二乘解。
,m n mA C b C x A b
Ax b?
12
3
12
21
1
2 4 3
xx
x
xx
例 2,求不相容方程组的最佳最小二乘解。
1 2 3
13
13
1 2 3
2 3 1
0
2 2 1
2 4 6 1
x x x
xx
xx
x x x
