第六章 矩阵函数矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式定义,已知 和关于变量 的多项式那么我们称为 的 矩阵多项式 。A
x
1
1 1 0()
nn
nnf x a x a x a x a
1
1 1 0()
nn
nnf A a A a A a A a I
nnAC
设 为一个 阶矩阵,为其 Jordan标准形，则于是有
nA J
11
12
1
1 1 2 2
d i ag (,,,)
d i ag ( ( ),( ),,( ))
r
rr
A P JP P J J J P
P J J J P
1
1 1 0
1 1 1
1
1
10
11
1 1 0
1
1
12
()
( ) ( )
()
()
()
( ( ),( ),,( ))
nn
nn
nn
nn
nn
nn
r
f A a A a A a A a I
a P J P a P J P
a P J P a I
P a J a J a J a I P
P f J P
P d i a g f J f J f J P
我们称上面的表达式为 矩阵多项式 的
Jordan表示 。其中 ()fA
1
( ) ( 1,2,,)
1
ii
i
i
ii
i dd
J i r
1111
11
()
ii
ii
d k dkk
i k i k i
k
k i
ii k
ki
k
i dd
cc
J
c
( 1 )'
'
1
( ) ( ) ( )
( 1 ) !
()()
()
()
i
ii
d
i i i
i
ii
i
i dd
f f f
d
ffJ
f
f
例 已知多项式与矩阵
43( ) 2 1f x x x x
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
求 。
解,首先求出矩阵的 的 Jordan标准形及其相似变换矩阵
()fA
A J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
1
301
2
100
2
1 0 2
P
那么有
1
'
''
''
''
( ) ( )
3
01
20 4 1 ( 1 ) 0 0
1
1 3 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
2
0 2 0 0 0 ( 1 )
1 0 2
( 1 ) 4 ( 1 ) 0 8 ( 1 )
3 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )
2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 )
f A Pf J P
f
ff
f
f f f
f f f
f f f
3 5 0 7 2
2 7 1 5 4
1 8 0 3 7
定义,已知 和关于变量 的多项式如果 满足,那么称为矩阵 的一个 零化多项式 。
1
1 1 0()
nn
nnf x a x a x a x a
nnAC x
()fx () nnf A O ()fx
A
定理,已知,为其特征多项式
，则有我们称此定理为 Hamilton-Cayley定理 。
定义,已知,在 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为 1的零化多项式称为的 最小多项式,通常记为 。
最小多项式的性质,已知,那么
（ 1）矩阵 的最小多项式是唯一的。
（ 2）矩阵的任何一个零化多项式均能被
nnAC ()f?
() nnf A O
A
A
()m?
nnAC
nnAC
A
()m?
整除。
（ 3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑 Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1,已知一个 Jordan块
1
1
ii
i
i
i
i dd
J
求其最小多项式。
解,注意到其特征多项式为
，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状其中 。但是当 时
( ) ( ) idif
()m?
( ) ( ) kim
1 ikd ikd?
( ) ( )
0 0 1 0
00
01
0
00
0
ii
k
i i i
dd
m J J I
O
因此有例 2,已知对角块矩阵
,分别为子块的最小多项式，则 的最小多项式为即为 的最小公倍数。
( ) ( ) idim
12= d i a g (,,,)rA A A A
12( ),( ),,( )rm m m
12,,,rA A A
A
12[ ( ),( ),,( ) ]rm m m
12( ),( ),,( )rm m m
例 3,求下列矩阵的最小多项式
3 0 8
( 1 ) 3 1 6
2 0 5
2 3 2
( 2 ) 1 8 2
2 14 3
A
B
1 2 6
( 3 ) 1 0 3
1 1 4
3 1 0 0
0 3 0 0
( 4 )
0 0 3 0
0 0 0 5
C
D
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
解,（ 1）首先求出其 Jordan标准形为所以其最小多项式为 。
（ 2）此矩阵的 Jordan标准形为
2( 1)
1 0 0
0 3 1
0 0 3
J
从而其最小多项式为 。
（ 3）该矩阵的 Jordan标准形为
2( 1 )( 3 )
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
故其最小多项式为 。
（ 4）此矩阵本身就是一个 Jordan标准形，
所以其最小多项式 。
矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义,设,为 的个互不相同的特征值,为其最小多项式且有
2( 1)
2( 5 ) ( 3 )
nnAC
12,,,r
r
()m?
A
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
其中如果函数 具有足够高阶的导数并且下列 个值存在，则称函数 在矩阵 的 谱上有定义 。
例,设
1
1 ( 1,2,),
r
ii
i
d i r d m
()fx
( 1 )'( ),( ),,( ),1,2,,id
i i if f f i r
()fx A
m
1()
( 3 )( 4 )
fx
xx
又已知容易求得矩阵 的最小多项式为并且
8 3 6
3 2 0
4 2 2
A
A
2( ) ( 2 )( 1 )m
' 511( 2 ),( 1 ),( 1 )
2 6 3 6f f f
所以 在 的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵 的最小多项式为显然 不存在，所以在 的谱上无定义。
考虑下面两个问题：
()fx A
3 1 0
0 3 0
0 0 1
B
B
2( ) ( 1 ) ( 3 )m
(3)f B
（ 1）设,如果 有定义，那么 是否也有定义？
（ 2）设 且 可逆，如果 有定义，那么 是否也有定义？
如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。
定义,设矩阵 的最小多项式为
A
nnAC ()fA
()TfA
nnAC ()fA
1()fA?
nnAC
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
函数 在矩阵 的谱上有定义，如果存在多项式 且满足则定义 矩阵函数 为如何求矩阵函数？矩阵函数的 Jordan表示，
多项式表示与幂级数表示定理,设,为矩阵 的 Jordan
标准形,为其相似变换矩阵且使得
()fx A
()gx
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
fg
i r k d
( ) ( )f A g A?
nnAC J A
P
A1A P J P,如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么其中
()fx
1
1
12
( ) ( )
( ( ),( ),,( ) )r
f A P f J P
P d i a g f J f J f J P
( 1 )' ''
''
'
11
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! ( 1 ) !
()
()
1
()
2!
()
()
i
ii
d
i i i i
i
i
i
i
i
i
dd
f f f f
d
f
fJ
f
f
f
我们称此表达式为 矩阵函数 的 Jordan
表示 。 ()fA
例 1,设求 的 Jordan表示并计算
。
解：首先求出其 Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
()fA,,s inA tAe e A
J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
1 2 2
1 1 0
0 1 1
P
从而 的 Jordan表示为()fA
() xf x e? '( 1 ),( 1 )f e f e
1
'
' ' '
' ' '
' ' '
( ) ( )
1 2 2 ( 1 ) 0 0 1 0 2
1 1 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 2
0 1 1 0 0 ( 1 ) 1 1 3
( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 6 ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 )
f A P f J P
f
ff
f
f f f f
f f f f
f f f f
当 时，可得从而有当 时，可得于是有 ()
txf x e? '( 1 ),( 1 )ttf e f te
26
03
4
A
e e e
e e e
e e e
( 1 2 ) 2 6
( 1 ) 3
( 1 3 )
t t t
t A t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
当 时，可得同样可得
()f x si nx?
'( 1 ) 1,( 1 ) 1f s i n f c o s
1 2 1 2 1 6 1
1 1 1 3 1
1 1 1 3 1
s i n co s co s C o s
s i n A co s s i n co s co s
co s co s s i n co s
例 2,设求 的 Jordan表示并计算解：首先求出其 Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
()fA
,i n,co s 2tAe s A A
J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
从而 的 Jordan表示为()fA
1
'
''
''
''
( ) ( )
3
01
20 4 1 ( 1 ) 0 0
1
1 3 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
2
0 2 0 0 0 ( 1 )
1 0 2
( 1 ) 4 ( 1 ) 0 8 ( 1 )
3 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )
2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 )
f A Pf J P
f
ff
f
f f f
f f f
f f f
当 时，可得() txf x e? '( 1 ),( 1 )ttf e f t e
4 0 8
36
2 0 4
t t t
t A t t t
tt
e t e t e
e t e e t e
t e t e
于是有当 时，可得故
()f x sin x
'( 1 ) 0,( 1 )ff
4 0 8
3 0 6
2 0 4
s i n A
类似可求得
2 0 4
3c o s 0 3
22
02
A
矩阵函数的多项式表示定理,设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。
设矩阵 的最小多项式为其中 为矩阵 的 个互异特征值且
()fx ()gx A
( ) ( )f A g A?
()fx ()gx A
nnAC
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
12,,,r
rA
如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的 Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式且满足条件
1
1 ( 1,2,),
r
ii
i
d i r d m
()px ()pA
()fA
1m?
12
1 2 1 0()
mm
mmp x a x a x a x a
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
pf
i r k d
这样，多项式中的系数 完全可以通过关系式确定出来。则我们称为 矩阵函数 的多项式表示 。
12
1 2 1 0()
mm
mmp x a x a x a x a
1 2 1 0,,,,mma a a a
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
pf
i r k d
12
1 2 1 0()
mm
mmf A a A a A a A a I
()fA
例 1,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
,i n,co s44tAe s A A
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )m x x x x
()fA
这是一个 3次多项式，从而存在一个次数为
2 的多项式且满足于是可得
2
2 1 0()p x a x a x a
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 ),( 3 ) ( 3 )p f p f p f
2 1 0
2 1 0
2 1 0
( 1 )
( 2 ) 4 2
( 3 ) 9 3
f a a a
f a a a
f a a a
解得所以其多项式表示为
0
1
2
( 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( 1 )
1
( 3 ( 3 ) 8 ( 2 ) 5 ( 1 ) )
2
1
( ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) )
2
a f f f
a f f f
a f f f
2
2 1 0
( 1 ) 0 0
( ) 0 ( 2 ) 0
0 0 ( 3 )
f
f A a A a A a I f
f
当 时，可得于是有当 时，可得
() txf x e?
23( 1 ),( 2),( 3 )t t tf e f e f e
2
3
00
00
00
t
tA t
t
e
ee
e
() 4f x s in x
22( 1 ),( 2 ) 1,( 3 )
22f f f
故有类似地有
2
00
2
sin 0 1 0
4
2
00
2
A?
2
00
2
c o s 0 0 0
4
2
00
2
A?
例 2,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个 3次多项式，从而存在一个次数为 2
1 0 0
0 2 1
0 0 2
A
()fA
,i n,co s 4tAe s A A
2( ) ( 1 )( 2 )m x x x
的多项式且满足于是有
2
2 1 0()p x a x a x a
''( 1 ) ( 1 ),( 2) ( 2),( 2) ( 2)p f p f p f
2 1 0
2 1 0
'
21
( 1 )
( 2 ) 4 2
( 2 ) 4
f a a a
f a a a
f a a
'
0
'
1
'
2
2 ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 1 )
3 ( 2 ) 4 ( 2 ) 4 ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
a f f f
a f f f
a f f f
解得所以其多项式表示为
2'
2 1 0
( 1 ) 0 0
( ) 0 ( 2 ) ( 2 )
0 0 ( 2 )
f
f A a A a A a I f f
f
当 时，可得于是有当 时，可得
() txf x e?
2 ' 2( 1 ),( 2),( 2)t t tf e f e f t e
22
2
00
0
00
t
t A t t
t
e
e e t e
e
()f x sin x
'( 1 ) 0,( 2 ) 0,( 2 )f f f
故有类似地有
0 0 0
s i n 0 0
0 0 0
A
2
00
2
c o s 0 0
44
0 0 0
A
例 3,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个 2次多项式，从而存在一个次数为 1
的多项式
2 0 0
0 1 0
0 0 1
A
()fA
( ) ( 1 ) ( 2 )m x x x
,i n,co s22tAe s A A
10()p x a x a
且满足于是有解得
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 )p f p f
10
10
( 1 )
( 2 ) 2
f a a
f a a
0
1
( 2 ) 2 ( 1 )
( 2 ) ( 1 )
a f f
a f f
所以其多项式表示为当 时，可得从而可得
10
()
2 ( 1 ) ( 2 ) 0 2 ( 2 ) 2 ( 1 )
0 ( 1 ) 0
( 2 ) ( 1 ) 0 2 ( 2 ) ( 1 )
f A a A a I
f f f f
f
f f f f
() txf x e?
2( 1 ),( 2)ttf e f e
22
22
2 0 2 2
00
02
t t t t
t A t
t t t t
e e e e
ee
e e e e
当 时，可得故有
() 2f x s in x
( 1 ) 1,( 2 ) 0ff
2 0 2
s i n 0 1 0
2
1 0 1
A?
同样可以得到练习,设求 的多项式表示并且计算
1 0 2
s 0 0 0
2
1 0 2
c o A?
1 1 0
0 1 1
0 0 1
A
()fA
,i n,co s 4tAe s A A
矩阵函数的幂级数表示定义,设,一元函数 能够展开成关于 的幂级数并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数
nnAC ()fx
x
0
() kk
k
f x c x
R A
()AR
0
k
k
k
cx
的和定义为矩阵函数，一般记为,即因为当 时，有
()fA
0
() kk
k
f A c A
x
2111
2 ! !
xne x x x
n
35
21
11
in
3 ! 5 !
1
( 1 )
( 2 1 ) !
nn
s x x x x
x
n
24
2
11
1
2 ! 4 !
1
( 1 )
( 2 ) !
nn
c osx x x
x
n
当 时，有当 时，有所以对于任意的矩阵,当
1x?
1 2 3( 1 ) 1 ( 1 ) nnx x x x x
11x
23
1
11
l n ( 1 )
23
1
( 1 )
1
nn
x x x x
x
n
nnAC ()AR
211
2 ! !
Ane I A A A
n
35
21
11
sin
3 ! 5 !
1
( 1 )
( 2 1 ) !
nn
A A A A
A
n
时，我们有
1 2 3( ) ( 1 ) nnI A I A A A A
24
2
11
c o s
2 ! 4 !
1
( 1 )
( 2 ) !
nn
A I A A
A
n
2 3 4
1
1 1 1
l n ( )
2 3 4
1
( 1 )
nn
I A A A A A
A
n
由此可以得到一些简单的推论：
2
( 1 )
( 2 )
( 3 ) co s s i n,1
nn
O
nn
A A A A
iA
eI
e e e e I
e A i A i
22
1
( 4 ) c o s ( )
2
1
( 5 ) sin ( )
2
( 6 ) sin ( ) sin
( 7 ) c o s( ) c o s
(8 ) sin c o s 1
iA iA
iA iA
A e e
A e e
i
AA
AA
AA
矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，
即 0
2 1 2 1
0
22
0
1
( 1 )
!
( 1 )
( 2 ) s i n
( 2 1 ) !
( 1 )
( 3 ) co s
( 2 ) !
At k k
k
k
kk
k
k
kk
k
e A t
k
A t A t
k
A t A t
k
定理,设,那么当 时，
我们有证明：首先证明第一个等式
,nnA B C
22
( 1 )
( 2 ) sin( ) sin c o s c o s sin
( 3 ) sin 2 2 sin c o s
( 4 ) c o s( ) c o s c o s sin sin
( 5 ) c o s 2 c o s sin
A B A B B A
e e e e e
A B A B A A
A A A
A B A B A B
A A A
A B B A?
2
2
22
3 2 2 3
11
()
2 ! !
11
()
2 ! !
1
( ) ( )
2!
1
( 3 3 )
3!
A B n
n
e e I A A A
n
I A A A
n
I A B A A B B A B
A A B A B B
2311( ) ( ) ( )
2 ! 3 !
AB
I A B A B A B
e?
现在证明第二个等式
( ) ( )
1
sin( ) ( )
2
1
()
2
11
( ) ( )
22
11
( ) ( )
22
sin c o s c o s sin
i A B i A B
iA iB iA iB
iA iA iB iB
iA iA iB iB
A B e e
i
e e e e
i
e e e e
i
e e e e
i
A B A B
同样可以证明其余的结论。
注意,这里矩阵 与 的交换性条件是必不可少的。
例,设那么容易计算
A B
1 1 1 1
,
0 0 0 0
AB
2 3 2 3,A A A B B B
并且于是有
1
20
00
( ) 2 ( ),1
kk
AB
A B A B k
1
( 1 )
01
1
( 1 )
01
A
B
ee
e I e A
ee
e I e B
故有显然 三者互不相等。
22
22
2
2
( 1 )
01
( 1 )
01
01
( 1 ) ( )
2 01
AB
BA
AB
ee
ee
ee
ee
e
e I e A B
,,A B B A A Be e e e e?
另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。 ()
( 1 ) ( )
( 2 )
( 3 ) ( s i n ) ( c o s ) ( c o s )
( 4 ) ( c o s ) ( s i n ) ( s i n )
At At At
k A k T r A
d
e Ae e A
dt
ee
d
At A At At A
dt
d
At A At At A
dt
例,设 是一个 Hermite 矩阵，那么 是一个酉矩阵。
证明：由矩阵指数函数公式可得
A iAe
c o s s i niAe A i A
( ) ( c o s sin )
[ ( c o s ) ( sin ) ]
( c o s sin ) ( c o s sin )
iA iA H
HH
e e A i A
A i A
A i A A i A
I
这表明 为一个酉矩阵。
例,设 是一个实的反对称矩阵（或反 -H
阵 ），那么 为一个正交矩阵 (或酉矩阵 ) 。
证明：设 为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示可得
A
Ae
211
2 ! !
Ane I A A A
n
A
A
23
23
1 1 1
( ) ( )
2 ! 3 ! !
1 1 1
( ( 1 ) )
2 ! 3 ! !
nn
A A T n
nn
OAA
e e I A A A A
n
I A A A A
n
e e e I
同样可以证明当 为一个反 H-矩阵时,为一个酉矩阵。
A Ae
x
1
1 1 0()
nn
nnf x a x a x a x a
1
1 1 0()
nn
nnf A a A a A a A a I
nnAC
设 为一个 阶矩阵,为其 Jordan标准形，则于是有
nA J
11
12
1
1 1 2 2
d i ag (,,,)
d i ag ( ( ),( ),,( ))
r
rr
A P JP P J J J P
P J J J P
1
1 1 0
1 1 1
1
1
10
11
1 1 0
1
1
12
()
( ) ( )
()
()
()
( ( ),( ),,( ))
nn
nn
nn
nn
nn
nn
r
f A a A a A a A a I
a P J P a P J P
a P J P a I
P a J a J a J a I P
P f J P
P d i a g f J f J f J P
我们称上面的表达式为 矩阵多项式 的
Jordan表示 。其中 ()fA
1
( ) ( 1,2,,)
1
ii
i
i
ii
i dd
J i r
1111
11
()
ii
ii
d k dkk
i k i k i
k
k i
ii k
ki
k
i dd
cc
J
c
( 1 )'
'
1
( ) ( ) ( )
( 1 ) !
()()
()
()
i
ii
d
i i i
i
ii
i
i dd
f f f
d
ffJ
f
f
例 已知多项式与矩阵
43( ) 2 1f x x x x
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
求 。
解,首先求出矩阵的 的 Jordan标准形及其相似变换矩阵
()fA
A J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
1
301
2
100
2
1 0 2
P
那么有
1
'
''
''
''
( ) ( )
3
01
20 4 1 ( 1 ) 0 0
1
1 3 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
2
0 2 0 0 0 ( 1 )
1 0 2
( 1 ) 4 ( 1 ) 0 8 ( 1 )
3 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )
2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 )
f A Pf J P
f
ff
f
f f f
f f f
f f f
3 5 0 7 2
2 7 1 5 4
1 8 0 3 7
定义,已知 和关于变量 的多项式如果 满足,那么称为矩阵 的一个 零化多项式 。
1
1 1 0()
nn
nnf x a x a x a x a
nnAC x
()fx () nnf A O ()fx
A
定理,已知,为其特征多项式
，则有我们称此定理为 Hamilton-Cayley定理 。
定义,已知,在 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为 1的零化多项式称为的 最小多项式,通常记为 。
最小多项式的性质,已知,那么
（ 1）矩阵 的最小多项式是唯一的。
（ 2）矩阵的任何一个零化多项式均能被
nnAC ()f?
() nnf A O
A
A
()m?
nnAC
nnAC
A
()m?
整除。
（ 3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑 Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1,已知一个 Jordan块
1
1
ii
i
i
i
i dd
J
求其最小多项式。
解,注意到其特征多项式为
，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状其中 。但是当 时
( ) ( ) idif
()m?
( ) ( ) kim
1 ikd ikd?
( ) ( )
0 0 1 0
00
01
0
00
0
ii
k
i i i
dd
m J J I
O
因此有例 2,已知对角块矩阵
,分别为子块的最小多项式，则 的最小多项式为即为 的最小公倍数。
( ) ( ) idim
12= d i a g (,,,)rA A A A
12( ),( ),,( )rm m m
12,,,rA A A
A
12[ ( ),( ),,( ) ]rm m m
12( ),( ),,( )rm m m
例 3,求下列矩阵的最小多项式
3 0 8
( 1 ) 3 1 6
2 0 5
2 3 2
( 2 ) 1 8 2
2 14 3
A
B
1 2 6
( 3 ) 1 0 3
1 1 4
3 1 0 0
0 3 0 0
( 4 )
0 0 3 0
0 0 0 5
C
D
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
解,（ 1）首先求出其 Jordan标准形为所以其最小多项式为 。
（ 2）此矩阵的 Jordan标准形为
2( 1)
1 0 0
0 3 1
0 0 3
J
从而其最小多项式为 。
（ 3）该矩阵的 Jordan标准形为
2( 1 )( 3 )
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
故其最小多项式为 。
（ 4）此矩阵本身就是一个 Jordan标准形，
所以其最小多项式 。
矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义,设,为 的个互不相同的特征值,为其最小多项式且有
2( 1)
2( 5 ) ( 3 )
nnAC
12,,,r
r
()m?
A
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
其中如果函数 具有足够高阶的导数并且下列 个值存在，则称函数 在矩阵 的 谱上有定义 。
例,设
1
1 ( 1,2,),
r
ii
i
d i r d m
()fx
( 1 )'( ),( ),,( ),1,2,,id
i i if f f i r
()fx A
m
1()
( 3 )( 4 )
fx
xx
又已知容易求得矩阵 的最小多项式为并且
8 3 6
3 2 0
4 2 2
A
A
2( ) ( 2 )( 1 )m
' 511( 2 ),( 1 ),( 1 )
2 6 3 6f f f
所以 在 的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵 的最小多项式为显然 不存在，所以在 的谱上无定义。
考虑下面两个问题：
()fx A
3 1 0
0 3 0
0 0 1
B
B
2( ) ( 1 ) ( 3 )m
(3)f B
（ 1）设,如果 有定义，那么 是否也有定义？
（ 2）设 且 可逆，如果 有定义，那么 是否也有定义？
如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。
定义,设矩阵 的最小多项式为
A
nnAC ()fA
()TfA
nnAC ()fA
1()fA?
nnAC
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
函数 在矩阵 的谱上有定义，如果存在多项式 且满足则定义 矩阵函数 为如何求矩阵函数？矩阵函数的 Jordan表示，
多项式表示与幂级数表示定理,设,为矩阵 的 Jordan
标准形,为其相似变换矩阵且使得
()fx A
()gx
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
fg
i r k d
( ) ( )f A g A?
nnAC J A
P
A1A P J P,如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么其中
()fx
1
1
12
( ) ( )
( ( ),( ),,( ) )r
f A P f J P
P d i a g f J f J f J P
( 1 )' ''
''
'
11
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! ( 1 ) !
()
()
1
()
2!
()
()
i
ii
d
i i i i
i
i
i
i
i
i
dd
f f f f
d
f
fJ
f
f
f
我们称此表达式为 矩阵函数 的 Jordan
表示 。 ()fA
例 1,设求 的 Jordan表示并计算
。
解：首先求出其 Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
()fA,,s inA tAe e A
J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
1 2 2
1 1 0
0 1 1
P
从而 的 Jordan表示为()fA
() xf x e? '( 1 ),( 1 )f e f e
1
'
' ' '
' ' '
' ' '
( ) ( )
1 2 2 ( 1 ) 0 0 1 0 2
1 1 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 2
0 1 1 0 0 ( 1 ) 1 1 3
( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 6 ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 )
f A P f J P
f
ff
f
f f f f
f f f f
f f f f
当 时，可得从而有当 时，可得于是有 ()
txf x e? '( 1 ),( 1 )ttf e f te
26
03
4
A
e e e
e e e
e e e
( 1 2 ) 2 6
( 1 ) 3
( 1 3 )
t t t
t A t t t
t t t
t e t e t e
e t e t e t e
t e t e t e
当 时，可得同样可得
()f x si nx?
'( 1 ) 1,( 1 ) 1f s i n f c o s
1 2 1 2 1 6 1
1 1 1 3 1
1 1 1 3 1
s i n co s co s C o s
s i n A co s s i n co s co s
co s co s s i n co s
例 2,设求 的 Jordan表示并计算解：首先求出其 Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
3 0 8
3 1 6
2 0 5
A
()fA
,i n,co s 2tAe s A A
J
P
1 0 0
0 1 1
0 0 1
J
0 4 1
1 3 0
0 2 0
P
从而 的 Jordan表示为()fA
1
'
''
''
''
( ) ( )
3
01
20 4 1 ( 1 ) 0 0
1
1 3 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 0
2
0 2 0 0 0 ( 1 )
1 0 2
( 1 ) 4 ( 1 ) 0 8 ( 1 )
3 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )
2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 )
f A Pf J P
f
ff
f
f f f
f f f
f f f
当 时，可得() txf x e? '( 1 ),( 1 )ttf e f t e
4 0 8
36
2 0 4
t t t
t A t t t
tt
e t e t e
e t e e t e
t e t e
于是有当 时，可得故
()f x sin x
'( 1 ) 0,( 1 )ff
4 0 8
3 0 6
2 0 4
s i n A
类似可求得
2 0 4
3c o s 0 3
22
02
A
矩阵函数的多项式表示定理,设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。
设矩阵 的最小多项式为其中 为矩阵 的 个互异特征值且
()fx ()gx A
( ) ( )f A g A?
()fx ()gx A
nnAC
1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d drm
12,,,r
rA
如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的 Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式且满足条件
1
1 ( 1,2,),
r
ii
i
d i r d m
()px ()pA
()fA
1m?
12
1 2 1 0()
mm
mmp x a x a x a x a
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
pf
i r k d
这样，多项式中的系数 完全可以通过关系式确定出来。则我们称为 矩阵函数 的多项式表示 。
12
1 2 1 0()
mm
mmp x a x a x a x a
1 2 1 0,,,,mma a a a
( ) ( )( ) ( )
,1,2,,; 1,2,,1
kk
ii
i
pf
i r k d
12
1 2 1 0()
mm
mmf A a A a A a A a I
()fA
例 1,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
,i n,co s44tAe s A A
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )m x x x x
()fA
这是一个 3次多项式，从而存在一个次数为
2 的多项式且满足于是可得
2
2 1 0()p x a x a x a
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 ),( 3 ) ( 3 )p f p f p f
2 1 0
2 1 0
2 1 0
( 1 )
( 2 ) 4 2
( 3 ) 9 3
f a a a
f a a a
f a a a
解得所以其多项式表示为
0
1
2
( 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( 1 )
1
( 3 ( 3 ) 8 ( 2 ) 5 ( 1 ) )
2
1
( ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) )
2
a f f f
a f f f
a f f f
2
2 1 0
( 1 ) 0 0
( ) 0 ( 2 ) 0
0 0 ( 3 )
f
f A a A a A a I f
f
当 时，可得于是有当 时，可得
() txf x e?
23( 1 ),( 2),( 3 )t t tf e f e f e
2
3
00
00
00
t
tA t
t
e
ee
e
() 4f x s in x
22( 1 ),( 2 ) 1,( 3 )
22f f f
故有类似地有
2
00
2
sin 0 1 0
4
2
00
2
A?
2
00
2
c o s 0 0 0
4
2
00
2
A?
例 2,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个 3次多项式，从而存在一个次数为 2
1 0 0
0 2 1
0 0 2
A
()fA
,i n,co s 4tAe s A A
2( ) ( 1 )( 2 )m x x x
的多项式且满足于是有
2
2 1 0()p x a x a x a
''( 1 ) ( 1 ),( 2) ( 2),( 2) ( 2)p f p f p f
2 1 0
2 1 0
'
21
( 1 )
( 2 ) 4 2
( 2 ) 4
f a a a
f a a a
f a a
'
0
'
1
'
2
2 ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 1 )
3 ( 2 ) 4 ( 2 ) 4 ( 1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
a f f f
a f f f
a f f f
解得所以其多项式表示为
2'
2 1 0
( 1 ) 0 0
( ) 0 ( 2 ) ( 2 )
0 0 ( 2 )
f
f A a A a A a I f f
f
当 时，可得于是有当 时，可得
() txf x e?
2 ' 2( 1 ),( 2),( 2)t t tf e f e f t e
22
2
00
0
00
t
t A t t
t
e
e e t e
e
()f x sin x
'( 1 ) 0,( 2 ) 0,( 2 )f f f
故有类似地有
0 0 0
s i n 0 0
0 0 0
A
2
00
2
c o s 0 0
44
0 0 0
A
例 3,设求 的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个 2次多项式，从而存在一个次数为 1
的多项式
2 0 0
0 1 0
0 0 1
A
()fA
( ) ( 1 ) ( 2 )m x x x
,i n,co s22tAe s A A
10()p x a x a
且满足于是有解得
( 1 ) ( 1 ),( 2 ) ( 2 )p f p f
10
10
( 1 )
( 2 ) 2
f a a
f a a
0
1
( 2 ) 2 ( 1 )
( 2 ) ( 1 )
a f f
a f f
所以其多项式表示为当 时，可得从而可得
10
()
2 ( 1 ) ( 2 ) 0 2 ( 2 ) 2 ( 1 )
0 ( 1 ) 0
( 2 ) ( 1 ) 0 2 ( 2 ) ( 1 )
f A a A a I
f f f f
f
f f f f
() txf x e?
2( 1 ),( 2)ttf e f e
22
22
2 0 2 2
00
02
t t t t
t A t
t t t t
e e e e
ee
e e e e
当 时，可得故有
() 2f x s in x
( 1 ) 1,( 2 ) 0ff
2 0 2
s i n 0 1 0
2
1 0 1
A?
同样可以得到练习,设求 的多项式表示并且计算
1 0 2
s 0 0 0
2
1 0 2
c o A?
1 1 0
0 1 1
0 0 1
A
()fA
,i n,co s 4tAe s A A
矩阵函数的幂级数表示定义,设,一元函数 能够展开成关于 的幂级数并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数
nnAC ()fx
x
0
() kk
k
f x c x
R A
()AR
0
k
k
k
cx
的和定义为矩阵函数，一般记为,即因为当 时，有
()fA
0
() kk
k
f A c A
x
2111
2 ! !
xne x x x
n
35
21
11
in
3 ! 5 !
1
( 1 )
( 2 1 ) !
nn
s x x x x
x
n
24
2
11
1
2 ! 4 !
1
( 1 )
( 2 ) !
nn
c osx x x
x
n
当 时，有当 时，有所以对于任意的矩阵,当
1x?
1 2 3( 1 ) 1 ( 1 ) nnx x x x x
11x
23
1
11
l n ( 1 )
23
1
( 1 )
1
nn
x x x x
x
n
nnAC ()AR
211
2 ! !
Ane I A A A
n
35
21
11
sin
3 ! 5 !
1
( 1 )
( 2 1 ) !
nn
A A A A
A
n
时，我们有
1 2 3( ) ( 1 ) nnI A I A A A A
24
2
11
c o s
2 ! 4 !
1
( 1 )
( 2 ) !
nn
A I A A
A
n
2 3 4
1
1 1 1
l n ( )
2 3 4
1
( 1 )
nn
I A A A A A
A
n
由此可以得到一些简单的推论：
2
( 1 )
( 2 )
( 3 ) co s s i n,1
nn
O
nn
A A A A
iA
eI
e e e e I
e A i A i
22
1
( 4 ) c o s ( )
2
1
( 5 ) sin ( )
2
( 6 ) sin ( ) sin
( 7 ) c o s( ) c o s
(8 ) sin c o s 1
iA iA
iA iA
A e e
A e e
i
AA
AA
AA
矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，
即 0
2 1 2 1
0
22
0
1
( 1 )
!
( 1 )
( 2 ) s i n
( 2 1 ) !
( 1 )
( 3 ) co s
( 2 ) !
At k k
k
k
kk
k
k
kk
k
e A t
k
A t A t
k
A t A t
k
定理,设,那么当 时，
我们有证明：首先证明第一个等式
,nnA B C
22
( 1 )
( 2 ) sin( ) sin c o s c o s sin
( 3 ) sin 2 2 sin c o s
( 4 ) c o s( ) c o s c o s sin sin
( 5 ) c o s 2 c o s sin
A B A B B A
e e e e e
A B A B A A
A A A
A B A B A B
A A A
A B B A?
2
2
22
3 2 2 3
11
()
2 ! !
11
()
2 ! !
1
( ) ( )
2!
1
( 3 3 )
3!
A B n
n
e e I A A A
n
I A A A
n
I A B A A B B A B
A A B A B B
2311( ) ( ) ( )
2 ! 3 !
AB
I A B A B A B
e?
现在证明第二个等式
( ) ( )
1
sin( ) ( )
2
1
()
2
11
( ) ( )
22
11
( ) ( )
22
sin c o s c o s sin
i A B i A B
iA iB iA iB
iA iA iB iB
iA iA iB iB
A B e e
i
e e e e
i
e e e e
i
e e e e
i
A B A B
同样可以证明其余的结论。
注意,这里矩阵 与 的交换性条件是必不可少的。
例,设那么容易计算
A B
1 1 1 1
,
0 0 0 0
AB
2 3 2 3,A A A B B B
并且于是有
1
20
00
( ) 2 ( ),1
kk
AB
A B A B k
1
( 1 )
01
1
( 1 )
01
A
B
ee
e I e A
ee
e I e B
故有显然 三者互不相等。
22
22
2
2
( 1 )
01
( 1 )
01
01
( 1 ) ( )
2 01
AB
BA
AB
ee
ee
ee
ee
e
e I e A B
,,A B B A A Be e e e e?
另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。 ()
( 1 ) ( )
( 2 )
( 3 ) ( s i n ) ( c o s ) ( c o s )
( 4 ) ( c o s ) ( s i n ) ( s i n )
At At At
k A k T r A
d
e Ae e A
dt
ee
d
At A At At A
dt
d
At A At At A
dt
例,设 是一个 Hermite 矩阵，那么 是一个酉矩阵。
证明：由矩阵指数函数公式可得
A iAe
c o s s i niAe A i A
( ) ( c o s sin )
[ ( c o s ) ( sin ) ]
( c o s sin ) ( c o s sin )
iA iA H
HH
e e A i A
A i A
A i A A i A
I
这表明 为一个酉矩阵。
例,设 是一个实的反对称矩阵（或反 -H
阵 ），那么 为一个正交矩阵 (或酉矩阵 ) 。
证明：设 为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示可得
A
Ae
211
2 ! !
Ane I A A A
n
A
A
23
23
1 1 1
( ) ( )
2 ! 3 ! !
1 1 1
( ( 1 ) )
2 ! 3 ! !
nn
A A T n
nn
OAA
e e I A A A A
n
I A A A A
n
e e e I
同样可以证明当 为一个反 H-矩阵时,为一个酉矩阵。
A Ae
