例,麦克斯韦速率分布曲线如图所示,图中 A,B两部分面积相等,则该图表示,
[ D ]
o v
)(vf
0v
A B
(A) v0为最可几速率,
(B) v0为平均速率,
(C) v0为方均根速率,
(D)速率大于和小于
v0的分子数各一半,
§ 2.9 气体分子的平均自由程分子间的无规则 碰撞 在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。
在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的 有效直径为 d的刚球。
1,平均自由程 和 平均碰撞频率的定义
Z
Z
v
tZ
tv?
1) 平均自由程在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。
3) 二者关系
2) 平均碰撞频率一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
分子 A 的运动轨迹为一折线,以 A 的中心运动轨迹为轴线，以分子有效直径 d 为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与 A相碰。
vu 2
2,平均自由程 和 平均碰撞频率 的计算
Z1) 平均碰撞频率设想：跟踪分子 A，看其在一段时间?t内与多少分子 相碰。
u
假设：其他分子静止不动，只有分子 A 在它们之间以平均相对速率 运动。
统计理论可计算
A
d
d
d
u
u
在?t 内,A 所走过的路程为,相应圆柱体的体积为,设气体分子数密度为 n 。
则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在?t时间内与 A相碰的分子数为 。
tu?
tu
tun
unt tunZ
vu 2
nvdnvZ 222
圆柱体的截面积为?,叫做分子的碰撞截面。
=?d2
平均碰撞频率为平均自由程与平均速率无关，与分子有效直径及 分子数密度有关 。
平均自由程为
nd 22
1
Pd
kT
22
nk TP?
Z
在标准状态下，多数气体平均自由程? ~10-8m，
只有氢气约为 10-7m。一般 d~10-10m，故 d。
可求得 ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
Z
v nvdZ 22∵
例 1,已知空气分子的有效直径
d = 3.5× 10-10m,空气分子的摩尔质量为
m =29 × 10-3 kg/mol,计算空气分子在标准状态下的几个物理量。
(1)单位体积分子数 n =?
(2)平均速率
(3)平均碰撞频率
(4)平均自由程
(5)平均平动动能
v
Z
n k TP?由解,)1(
kTPn /? 2731038.1/10013.1 235
VNn 00 /?或 104.22/1002.6 323
m1069.2 325
sm4 4 8 1 1029/2 7 331.860.1 3
m/60.1)2( RTv
s1054.6 19
vnZ d 22)3(
4481069.2)105.3(14.341.1 2510 2
m1069.2 325n
)J(1065.5 21
Zv /)4( 1054.6/448 9 m1085.6 8
kTk )2/3()5(
2731038.1)2/3( 23
作业,2.22 2.23 2.24 2.3
例 2,容器中储有定量理想气体,温度为 T,分子质量为 m,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为,（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）
[ D ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
m
kTv
x?
8
3
1?
m
kTv
x?3
8?
m
kTv
x 2
3?
0?v x
例 3,一定量的理想气体贮于某一容器中,温为 T,气体分子质量为 m,跟据理想气体分子的分子模型和统计假设,分子速度在方 x 向的分量平方的平均值为
m
kTv
x
32?
m
kTv
x
3
3
12?
mkTv x /32? mkTv x /2?
(A) (B)
(C) (D)
[ D ]
例 4,一定量理想气体,vP1,vP2 分别是分子在温度 T1,T2 时的最可几速率,相应的分子速率分布函数的最大值分别为
f（ vP1） 和 f（ vP2）,当 T1> T2时,
（ A） vP1 > vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ B） vP1 < vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ C） vP1 > vP2 f（ vP1） > f（ vP2） ;
（ D） vP1 < vP2 f（ vP1） > f（ vP2）,
[ A ]
例 5,下列各式中哪一种式表示气体分子的平均平动动能？（式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量,N 为气体分子总数目,n 为气体分子密度,N0 为阿伏加德罗常数,Mmol为摩尔质量。）
[ A ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）;23 PVMm ;2 3
m o l
PV
M
M
.23 0m o l PVNMM;23 nP V
例 6,如图所示为定量理想气体内能 E
随体积 V 的变化关系,则此直线表示的过程为,
[ A ]
E
o V
（ A）等压过程 ; （ B）绝热过程 ;
（ C）等温过程 ; （ D）等容过程。
例 7,在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率 与气体的热力学温度 T
的关系为
Z
(A) 与 T 无关 。Z
(B) 与 成正比。Z T
(C) 与 成反比 。Z T
(D) 与 T 成正比 。Z [ C ]
[ C ]
例 8,汽缸内盛有一定的理想气体,当温度不变,压强增大一倍时,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
Z?
Z?
Z?
Z?
（ A） 和 都增大一倍；
（ B） 和 都减为原来的一半；
（ C） 增大一倍而 减为原来的一半；
（ D） 减为原来的一半而 增大一倍。
[ D ]
o v
)(vf
0v
A B
(A) v0为最可几速率,
(B) v0为平均速率,
(C) v0为方均根速率,
(D)速率大于和小于
v0的分子数各一半,
§ 2.9 气体分子的平均自由程分子间的无规则 碰撞 在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。
在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的 有效直径为 d的刚球。
1,平均自由程 和 平均碰撞频率的定义
Z
Z
v
tZ
tv?
1) 平均自由程在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。
3) 二者关系
2) 平均碰撞频率一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
分子 A 的运动轨迹为一折线,以 A 的中心运动轨迹为轴线，以分子有效直径 d 为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与 A相碰。
vu 2
2,平均自由程 和 平均碰撞频率 的计算
Z1) 平均碰撞频率设想：跟踪分子 A，看其在一段时间?t内与多少分子 相碰。
u
假设：其他分子静止不动，只有分子 A 在它们之间以平均相对速率 运动。
统计理论可计算
A
d
d
d
u
u
在?t 内,A 所走过的路程为,相应圆柱体的体积为,设气体分子数密度为 n 。
则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在?t时间内与 A相碰的分子数为 。
tu?
tu
tun
unt tunZ
vu 2
nvdnvZ 222
圆柱体的截面积为?,叫做分子的碰撞截面。
=?d2
平均碰撞频率为平均自由程与平均速率无关，与分子有效直径及 分子数密度有关 。
平均自由程为
nd 22
1
Pd
kT
22
nk TP?
Z
在标准状态下，多数气体平均自由程? ~10-8m，
只有氢气约为 10-7m。一般 d~10-10m，故 d。
可求得 ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
Z
v nvdZ 22∵
例 1,已知空气分子的有效直径
d = 3.5× 10-10m,空气分子的摩尔质量为
m =29 × 10-3 kg/mol,计算空气分子在标准状态下的几个物理量。
(1)单位体积分子数 n =?
(2)平均速率
(3)平均碰撞频率
(4)平均自由程
(5)平均平动动能
v
Z
n k TP?由解,)1(
kTPn /? 2731038.1/10013.1 235
VNn 00 /?或 104.22/1002.6 323
m1069.2 325
sm4 4 8 1 1029/2 7 331.860.1 3
m/60.1)2( RTv
s1054.6 19
vnZ d 22)3(
4481069.2)105.3(14.341.1 2510 2
m1069.2 325n
)J(1065.5 21
Zv /)4( 1054.6/448 9 m1085.6 8
kTk )2/3()5(
2731038.1)2/3( 23
作业,2.22 2.23 2.24 2.3
例 2,容器中储有定量理想气体,温度为 T,分子质量为 m,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为,（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）
[ D ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
m
kTv
x?
8
3
1?
m
kTv
x?3
8?
m
kTv
x 2
3?
0?v x
例 3,一定量的理想气体贮于某一容器中,温为 T,气体分子质量为 m,跟据理想气体分子的分子模型和统计假设,分子速度在方 x 向的分量平方的平均值为
m
kTv
x
32?
m
kTv
x
3
3
12?
mkTv x /32? mkTv x /2?
(A) (B)
(C) (D)
[ D ]
例 4,一定量理想气体,vP1,vP2 分别是分子在温度 T1,T2 时的最可几速率,相应的分子速率分布函数的最大值分别为
f（ vP1） 和 f（ vP2）,当 T1> T2时,
（ A） vP1 > vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ B） vP1 < vP2 f（ vP1） < f（ vP2） ;
（ C） vP1 > vP2 f（ vP1） > f（ vP2） ;
（ D） vP1 < vP2 f（ vP1） > f（ vP2）,
[ A ]
例 5,下列各式中哪一种式表示气体分子的平均平动动能？（式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量,N 为气体分子总数目,n 为气体分子密度,N0 为阿伏加德罗常数,Mmol为摩尔质量。）
[ A ]
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）;23 PVMm ;2 3
m o l
PV
M
M
.23 0m o l PVNMM;23 nP V
例 6,如图所示为定量理想气体内能 E
随体积 V 的变化关系,则此直线表示的过程为,
[ A ]
E
o V
（ A）等压过程 ; （ B）绝热过程 ;
（ C）等温过程 ; （ D）等容过程。
例 7,在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率 与气体的热力学温度 T
的关系为
Z
(A) 与 T 无关 。Z
(B) 与 成正比。Z T
(C) 与 成反比 。Z T
(D) 与 T 成正比 。Z [ C ]
[ C ]
例 8,汽缸内盛有一定的理想气体,当温度不变,压强增大一倍时,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
Z?
Z?
Z?
Z?
（ A） 和 都增大一倍；
（ B） 和 都减为原来的一半；
（ C） 增大一倍而 减为原来的一半；
（ D） 减为原来的一半而 增大一倍。
