12.2 抽 样 分 布学 习 目 标了解 分布,t 分布,F 分布以及来自正态总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。
会 查 分布,t 分布,F 分布的临界值表。
2?
2?
统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为 抽样分布,
n
i
i
n
i
i
n
xx
n
s
x
n
x
Xxxx
1
22
1
21
)(
1
1
1
,,,
样本方差为样本均值为样本，的一个是总体设?
12.2.1 2? 分布
.)(~,
0,0
0,
)
2
(2
1
)(
)1,0(,,,
2222
2
1
2
2
22
2
2
1
2
21
nn
x
xex
n
xf
xxx
Nxxx
xn
n
n
n
记为分布的服从自由度为称密度为的分布个样本，统计量的一是来自标准正态总体设
.,)2( 其值可以查表求得函数称为其中 n
).1,12(
)(245 2
nN
nn
分布正态近似地服从时，一般当?
.
2
看作参数可以有关，度分布的密度函数与自由 nn?
)(xf
1?n
4?n 10?n
xO 5 10 15 20
分布的称为的点满足条件
)()(
)10()())((
22
)(
22
2
nn
dttfnP
n
百分位点上 100
，分位数上侧?或,临界值上侧?也称作
.)()( 2 分布的密度函数是其中
ntf?
).()(
)(
2
2
IIIn
nn
见附表分布表求得查率概和可以根据自由度临界值上侧
)(tf
tO )(2 n
定理 12.1
.)3(
.)1(~
)()1(
)2(
.),(~
1
)1(
),(
,,,
2
2
1
2
2
2
2
1
2
21
相互独立与统计量样本均值则个样本，的一是来自正态总体设
sx
n
xxsn
n
Nx
n
x
N
xxx
n
i
i
n
i
i
n
定理 12.2
.)3(
.)1(~)()2(
.)
1
,0(~)1(
)1,0(
,,,
2
1
2
21
相互独立与样本均值则个样本，的一总体是来自标准正态设
Qx
nxxQ
n
Nx
N
xxx
n
i
i
n
./1)(
)(
nxD
xE
等于总体方差的差值的方等于总体均值，样本均均值的期望本总服从正态分布，且样本容量大小，样本均值正态分布时，无论样定理表明：当总体服从例 1 已知某单位职工的月奖金服从正态分布,总体均值为 200,总体标准差为 40,从该总体抽取一个容量为 20 的样本,求样本均值介于 190~210 的概率,
,20,)402 0 0(~ 2?nNX,已知总体解
,2 0 0)(?xE则
).80,2 0 0(~ Nx于是得
,8040201)( 2xD
)2 1 01 9 0( xP )80 200190()80 200210(
1)118.1(2 18 6 8 6.02
7372.0?
例 2 已知容量为 11 的样本来自正态总体
.
05.0
)1(
,),( 2
2
2
临界值时的当求统计量?
sn
N
解,)10(~)1( 22
2
sn?由定理知
,3 0 7.18
05.0,10 的对应值中查在附表nIII
307.18)10(2 05.0
即
.05.03 0 7.18
10,2
的概率为随机变量取值大于分布的的服从自由度为其概率意义为?
12.2.2 t 分布
.)(~
,
)()1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
/
,)(~),1,0(~
2
12
2
ntT
tnT
x
n
x
n
n
n
xf
nY
X
TnYNX
YX
n
记作分布的服从自由度为称统计量概率密度为的则统计量变量，且是两个相互独立的随机与设
.,45 布分布近似于标准正态分时当 tn?
.
,
轴对称其图形关于数分布的密度函数是偶函 yt
)(xf
O x
10?n 4?n
1?n
321123,....,
分布的称为的点满足条件
tnt
dttfntTP
nt
)(
)10()())((
)(
百分位点上?100
，分位数上侧?
或
.临界值上侧?也称作
.)( 分布的密度函数是其中
ttf
)(tf
O t
)(nt?
.
)(
分布表求得查率概和可以根据自由度临界值上侧
t
nnt
.)(
)(2))((
2/
)(
2
2
临界值分位数或双侧分布的双侧为称称分布具有对称性，由于
tnt
dttfntTP
t
nt
查表时要先看 清楚表头 的名称或概率表达式，若为 上侧临界值表,则可以直接查用,若为 双侧临界值表,则需 换算后 查用,
)(tf
tO )(
2
nt?
2
2
)(
2
nt
例 3
.
05.0,)10(~
临界值时的上侧临界值和双侧求当已知随机变量tT
解
05.0)())15((
)10(
05.0
05.0
05.0
t
dttftTP
t 应使上侧临界值
,8 1 2.1
1.0,10)(
对应值得的分布双侧临界值表查附表ntII
2 2 8.2)10(
05.0,10)10(
2
05.0
2
05.0
t
nt
得查表直接由双侧临界值?
1.0)(2))15((
05.005.0
t dttftTP即使
.8 1 2.1)10(05.0?t即上侧临界值例 4,)15()15(
2
01.001.0 tt 和双侧临界值上侧临界值解 602.2)15()15(
2
02.001.0 tt上侧临界值
947.2)15(
2
01.0?t双侧临界值定理 12.3
.,
.)1(~
/
),(
)2(,,,
2
21
是样本标准差是样本均值其中则随机变量个样本，的一态总体是来自正设
sx
nt
ns
x
T
N
nxxx
n
定理 12.4
.
,,,
,)2(~
)2(
)1()1(
)()(
,
),(,,,
),(,,,
,
2
2
2
1
21
21
2121
2
22
2
11
21
2
221
2
121
2
1
是两总体的样本方差分别值分别是两总体的样本均其中则随机变量的一个样本是来自正态总体样本，
个的一是来自正态总体是两个独立的随机变量与设
ssyx
nnt
nn
nnnn
snsn
yx
T
Nyyy
Nxxx
YX
n
n
特别地
.)22(~
)()(
,
2
2
2
1
21
21
nt
nss
yx
T
nnn
有时当
12.2.3 F 分布
.),(~,
0,0
0,)1()(
)
2
()
2
(
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2
(
)(
/
/
,)(~),(~
211
1
2
2
1
1
22
2
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21
22
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12
2
21
2
1
2111
nnFFFn
nF
x
xx
n
n
x
n
n
nn
nn
xf
nX
nX
FX
XnXnX
nnnn
记作分布的第二自由度为，服从第一自由度为称统计量的概率密度为则统计量相互独立，
与且若随机变量
)(xf
xO
20,12 nn
252?n
102?n
分布的称为的点满足条件
FnnF
dttfnnFFP
nnF
),(
)10()()),((
21
),(21 21
百分位点上?100
，分位数上侧?
或
.临界值上侧?也称作
.
)(
分布的密度函数是其中
F
tf
)(tf
tO ),( 21 nnF?
F 分布的临界值可以通过查 F 分布的临界值表 (见附表 IV) 求得,
),(
1),(
12
211 nnFnnF
F 分布的性质例 5,)30,12(),16,10( 99.005.0 FF求解 16,10,05.0 21 nn?由
.值来制作的临界值表分?
49.2)16,10(05.0?F查得
,01.01,99.0 得由
70.3)12,30(01.0?F查得
.30,12 21 nn
27.070.3/1)30,12(99.0F于是得定理 12.5
.
,,,
,)1,1(~/
,),(
,,,),(
,,,
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2
21
2
1
21
2
1
别是两总体的样本容量分差分别是两总体的样本方其中机变量相互独立，则随与且的样本体是来自正态总的样本，
是来自正态总体设
nnss
nnFss
YXN
yyyN
xxx
n
n
小 结
..4
..3
.)1()(.2
..1
2
2
2
分布的临界值表分布、分布、
分布及相关结论分布、分布、
分布服从未修正的样本方差样本均值服从正态分布用统计量的分布几个来自正态总体的常
Ft
Ft
n
课 后 练 习补 充 习 题
.05.0)(,)24(~)1(;90.0)(,)15(~)1(;95.0)(,)30(~)2(;10.0)(,)25(~)1(
:.1
2
2
cXPtX
cXPtX
cXPX
cXPX
c
设设设设值查表求下列各式的
.)16,6(),20,2(
),5,10(),10,5(),10,5(.2
01.099.0
95.01.005.0
的值查表求
FF
FFF
补 充 习 题 答 案
.7 1 0 9.1)24()4(;3 4 0 6.1)15()3(;4 9 3.18)30()2(;3 8 2.34)25()1(.1
05.0
10.0
2
05.0
2
10.0
tc
tc
c
c
.20.4)16,6(;01.0)20,2(;30.0)5,10(;52.2)10,5(;33.3)10,5(.2
01.0
99.095.0
1.005.0
F
FF
FF
会 查 分布,t 分布,F 分布的临界值表。
2?
2?
统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为 抽样分布,
n
i
i
n
i
i
n
xx
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s
x
n
x
Xxxx
1
22
1
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)(
1
1
1
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样本方差为样本均值为样本，的一个是总体设?
12.2.1 2? 分布
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0,0
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)
2
(2
1
)(
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2222
2
1
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2
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2
1
2
21
nn
x
xex
n
xf
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Nxxx
xn
n
n
n
记为分布的服从自由度为称密度为的分布个样本，统计量的一是来自标准正态总体设
.,)2( 其值可以查表求得函数称为其中 n
).1,12(
)(245 2
nN
nn
分布正态近似地服从时，一般当?
.
2
看作参数可以有关，度分布的密度函数与自由 nn?
)(xf
1?n
4?n 10?n
xO 5 10 15 20
分布的称为的点满足条件
)()(
)10()())((
22
)(
22
2
nn
dttfnP
n
百分位点上 100
，分位数上侧?或,临界值上侧?也称作
.)()( 2 分布的密度函数是其中
ntf?
).()(
)(
2
2
IIIn
nn
见附表分布表求得查率概和可以根据自由度临界值上侧
)(tf
tO )(2 n
定理 12.1
.)3(
.)1(~
)()1(
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.),(~
1
)1(
),(
,,,
2
2
1
2
2
2
2
1
2
21
相互独立与统计量样本均值则个样本，的一是来自正态总体设
sx
n
xxsn
n
Nx
n
x
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n
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i
n
i
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n
定理 12.2
.)3(
.)1(~)()2(
.)
1
,0(~)1(
)1,0(
,,,
2
1
2
21
相互独立与样本均值则个样本，的一总体是来自标准正态设
Qx
nxxQ
n
Nx
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n
i
i
n
./1)(
)(
nxD
xE
等于总体方差的差值的方等于总体均值，样本均均值的期望本总服从正态分布，且样本容量大小，样本均值正态分布时，无论样定理表明：当总体服从例 1 已知某单位职工的月奖金服从正态分布,总体均值为 200,总体标准差为 40,从该总体抽取一个容量为 20 的样本,求样本均值介于 190~210 的概率,
,20,)402 0 0(~ 2?nNX,已知总体解
,2 0 0)(?xE则
).80,2 0 0(~ Nx于是得
,8040201)( 2xD
)2 1 01 9 0( xP )80 200190()80 200210(
1)118.1(2 18 6 8 6.02
7372.0?
例 2 已知容量为 11 的样本来自正态总体
.
05.0
)1(
,),( 2
2
2
临界值时的当求统计量?
sn
N
解,)10(~)1( 22
2
sn?由定理知
,3 0 7.18
05.0,10 的对应值中查在附表nIII
307.18)10(2 05.0
即
.05.03 0 7.18
10,2
的概率为随机变量取值大于分布的的服从自由度为其概率意义为?
12.2.2 t 分布
.)(~
,
)()1(
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2
(
)
2
1
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)(
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,)(~),1,0(~
2
12
2
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X
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n
记作分布的服从自由度为称统计量概率密度为的则统计量变量，且是两个相互独立的随机与设
.,45 布分布近似于标准正态分时当 tn?
.
,
轴对称其图形关于数分布的密度函数是偶函 yt
)(xf
O x
10?n 4?n
1?n
321123,....,
分布的称为的点满足条件
tnt
dttfntTP
nt
)(
)10()())((
)(
百分位点上?100
，分位数上侧?
或
.临界值上侧?也称作
.)( 分布的密度函数是其中
ttf
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.
)(
分布表求得查率概和可以根据自由度临界值上侧
t
nnt
.)(
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2/
)(
2
2
临界值分位数或双侧分布的双侧为称称分布具有对称性，由于
tnt
dttfntTP
t
nt
查表时要先看 清楚表头 的名称或概率表达式，若为 上侧临界值表,则可以直接查用,若为 双侧临界值表,则需 换算后 查用,
)(tf
tO )(
2
nt?
2
2
)(
2
nt
例 3
.
05.0,)10(~
临界值时的上侧临界值和双侧求当已知随机变量tT
解
05.0)())15((
)10(
05.0
05.0
05.0
t
dttftTP
t 应使上侧临界值
,8 1 2.1
1.0,10)(
对应值得的分布双侧临界值表查附表ntII
2 2 8.2)10(
05.0,10)10(
2
05.0
2
05.0
t
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得查表直接由双侧临界值?
1.0)(2))15((
05.005.0
t dttftTP即使
.8 1 2.1)10(05.0?t即上侧临界值例 4,)15()15(
2
01.001.0 tt 和双侧临界值上侧临界值解 602.2)15()15(
2
02.001.0 tt上侧临界值
947.2)15(
2
01.0?t双侧临界值定理 12.3
.,
.)1(~
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),(
)2(,,,
2
21
是样本标准差是样本均值其中则随机变量个样本，的一态总体是来自正设
sx
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x
T
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n
定理 12.4
.
,,,
,)2(~
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2
2
1
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2121
2
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11
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221
2
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2
1
是两总体的样本方差分别值分别是两总体的样本均其中则随机变量的一个样本是来自正态总体样本，
个的一是来自正态总体是两个独立的随机变量与设
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snsn
yx
T
Nyyy
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YX
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特别地
.)22(~
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1
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21
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T
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有时当
12.2.3 F 分布
.),(~,
0,0
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2
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)(
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n
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记作分布的第二自由度为，服从第一自由度为称统计量的概率密度为则统计量相互独立，
与且若随机变量
)(xf
xO
20,12 nn
252?n
102?n
分布的称为的点满足条件
FnnF
dttfnnFFP
nnF
),(
)10()()),((
21
),(21 21
百分位点上?100
，分位数上侧?
或
.临界值上侧?也称作
.
)(
分布的密度函数是其中
F
tf
)(tf
tO ),( 21 nnF?
F 分布的临界值可以通过查 F 分布的临界值表 (见附表 IV) 求得,
),(
1),(
12
211 nnFnnF
F 分布的性质例 5,)30,12(),16,10( 99.005.0 FF求解 16,10,05.0 21 nn?由
.值来制作的临界值表分?
49.2)16,10(05.0?F查得
,01.01,99.0 得由
70.3)12,30(01.0?F查得
.30,12 21 nn
27.070.3/1)30,12(99.0F于是得定理 12.5
.
,,,
,)1,1(~/
,),(
,,,),(
,,,
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2
21
2
1
21
2
1
别是两总体的样本容量分差分别是两总体的样本方其中机变量相互独立，则随与且的样本体是来自正态总的样本，
是来自正态总体设
nnss
nnFss
YXN
yyyN
xxx
n
n
小 结
..4
..3
.)1()(.2
..1
2
2
2
分布的临界值表分布、分布、
分布及相关结论分布、分布、
分布服从未修正的样本方差样本均值服从正态分布用统计量的分布几个来自正态总体的常
Ft
Ft
n
课 后 练 习补 充 习 题
.05.0)(,)24(~)1(;90.0)(,)15(~)1(;95.0)(,)30(~)2(;10.0)(,)25(~)1(
:.1
2
2
cXPtX
cXPtX
cXPX
cXPX
c
设设设设值查表求下列各式的
.)16,6(),20,2(
),5,10(),10,5(),10,5(.2
01.099.0
95.01.005.0
的值查表求
FF
FFF
补 充 习 题 答 案
.7 1 0 9.1)24()4(;3 4 0 6.1)15()3(;4 9 3.18)30()2(;3 8 2.34)25()1(.1
05.0
10.0
2
05.0
2
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tc
tc
c
c
.20.4)16,6(;01.0)20,2(;30.0)5,10(;52.2)10,5(;33.3)10,5(.2
01.0
99.095.0
1.005.0
F
FF
FF
