12.4 区 间 估 计学 习 目 标理解 区间估计的概念，置信度与置信区间的概念。
会 求正态总体的均值与方差的置信区间。
.?
的精确程度但无法判断
，的一个近似值点估计法只能给出参数
问题的提出：
.
.?,
，也无法判断真值值算出的近似值更接近哪一个样本也是随机的因而本值是随机的
，但样一个估计值由一组样本值可以得到
.,),( 的可靠程度值同时给出该区间包含真的区间包含真值希望通过样本确定一个
这种形式的参数估计方法称为 区间估计,
12.4.1 置信区间与置信度称为的为参数则称区间使得和能确定两个统计量的对于给定个样本，是总体的一参数，是总体分布的一个未知设
1,1),(
1)(
),,,,(
),,,,(,10
,,,
21
21
21
P
xxx
xxx
xxx
n
n
n
定义 12.7
置信区间置信度,
.
95,95.0
1 0 0,1 0 0
,,5.0
的真值包含有个区间大约有的置信区间的置信度为个确定了的样本观察值组容量为例如取在重复的抽样中为例以
n
..
,1
.,
率表示参数估计不准的概估计的可靠概率是参数性给出了参数估计的把握置信度置信区间也是随机的由于样本的随机性
置信度和置信区间的意义,
..1 的估计值区间估计没有给出参数
.
,,
,.,
,,.2
置信度越低越小但是包含参数的概率也差可能会越小误置信区间越短但误差越大的概率越大包含参数置信度越大置信区间越长两点说明,
.
,,
立尽可能小的置信区间建条件下要在保证一定置信度的因此
12.4.2 正态总体均值的区间估计的区间估计均值已知方差,.1 2
.,),,(~ 22 未知已知设总体NX
.
1)(
),,(,1
,,,
21
成立使要求置信区间给定置信度个样本，是总体的一
P
xxx
n
分三步完成,
.)1( 确定一个统计量
.,有关且与该统计量的分布已知?
n
i
ixnx
1
1取样本均值 ),(~ 2
nN
)1,0(~/ Nnx于是
,0,)2( 2/z找到查标准正态分布表
,21)( 2/z
1)/( 2/2/ znxzP使得由上式左端不等式解出?)3(
1)( 2/2/ nzxnzxP
于是得所求置信区间为
)(t?
O x
2/?
2/?z2/?z?
),( 2/2/ nzxnzx
,01.005.010.0,或或常取在实际问题中
645.105.0?z 5 7 6.2005.0?z 96.1025.0?z查表得
)64 5.1,64 5.1(
,90.0
n
x
n
x
置信区间为时置信度为
)96.1,96.1(
,95.0
n
x
n
x
置信区间为时置信度为
)576.2,576.2(
,99.0
n
x
n
x
置信区间为时置信度为
)6.56.04.32.1(
4
1
x
样本均值为解
7.2?
,4,3 n?
例 1
.99.0,6.5,6.0,4.3,2.1
:4,
,3,
的置信区间的试求的一组样本值现抽得容量为未知体均值总其标准差设有一正态总体
2
3?
n
2
35 7 6.27.2
2
35 7 6.27.2于是有
)564.6,64.1(
99.0
置信区间为的即?
,
)(
1
1
)1(
2
1
22
2
估计的无偏估计量用
n
i
i
xx
n
s
可知由定理 3.12
)1(~/ ntnsx?
的区间估计均值未知方差,.2 2
.1,,,,
,),,(~
21
22
置信区间的求样本为均为未知与设总体
nxxx
NX
,0)1(
,,1)2(
2/
nt
t
到找分布表查对给定置信度
1))1(
/
)1(( 2/2/ nt
ns
x
ntP
使
)(tf
O x
2/?
2/?t2/?t?
得由上式左端不等式解出?)3(
1))1()1(( 2/2/ nsntxnsntxP
于是得所求置信区间为
))1(,)1(( 2/2/ nsntxnsntx
125951
5
1
i
ixx样本均值为解
5
1
22 )1259(
15
1
i
ixs
例 2
.)05.0(
,
.1 2 7 5,1 2 4 5,1 2 6 5,1 2 6 0,1 2 5 0
,5,
试求温度真值所在范围得的数据服从正态分布若测得数据次重复用某仪器测量温度
CCCCC
ooooo
5.1 4 2)1614619(41 2222
776.2)4()1( 0 2 5.02/ tnt?查表得
8.145 5.142776.2)1(2/ nsnt?计算
8.141 2 5 98.141 2 5 9得
)8.1273,2.1244(
95.0 置信区间为的即?
12.4.3 正态总体方差的区间估计
.1,,,,
,),,(~
2
21
22
置信区间的求样本为均为未知与设总体
nxxx
NX
的无偏估计量是样本方差
2
1
22
)(
1
1
n
i
i
xx
n
s
)1(~
)1(
1.12
2
2
2
n
sn
知由定理
)1(,)1( 2 2/2 2/12 nn 分布表得查
1))1(
)1(
)1(( 2 2/2
2
2
2/1 n
sn
nP
使置信区间为的得12
))1( )1(,)1( )1(( 2
2/
2
2
2/1
2
n
sn
n
sn
)(tf
tO 22/
2/?2/?
2 2/1
解 5.142)1259(15 1
5
1
22
i ixs
例 3
.95.0
,
.1 2 7 5,1 2 4 5,1 2 6 5,1 2 6 0,1 2 5 0
,5,
2
置信区间的准差和标试求总体方差得的数据服从正态分布若测得数据次重复用某仪器测量温度
CCCCC
ooooo
1 4 3.11)4()1( 2 025.02 2/ n查表得
4 8 8.0)4()1( 2 975.02 2/1 n
1 1 6 84 8 8.0 5.1 4 24)1( )1(2
2/1
2
n
sn
51143.11 5.1424)1( )1( 2
2/
2
n sn
)1 1 6 8,51(
95.0 置信区间为于是总体方差的
)116 8,51(
95.0 置信区间为总体标准差的
)2.34,2.7(即小 结信区间区间估计、置信度、置基本概念：
的区间估计正态总体的均值与方差基本方法：
置信区间为方差已知，均值的1.1
),( 2/2/ nzxnzx
置信区间为方差未知，均值的1.2
))1(,)1(( 2/2/ nsntxnsntx
置信区间为总体方差的1.3
))1( )1(,)1( )1(( 2
2/
2
2
2/1
2
n
sn
n
sn
置信区间为总体标准差的1
))1( )1(,)1( )1(( 2
2/
2
2
2/1
2
n
sn
n
sn
课 后 练 习习 题 12
5,(2) 6,7,
会 求正态总体的均值与方差的置信区间。
.?
的精确程度但无法判断
，的一个近似值点估计法只能给出参数
问题的提出：
.
.?,
，也无法判断真值值算出的近似值更接近哪一个样本也是随机的因而本值是随机的
，但样一个估计值由一组样本值可以得到
.,),( 的可靠程度值同时给出该区间包含真的区间包含真值希望通过样本确定一个
这种形式的参数估计方法称为 区间估计,
12.4.1 置信区间与置信度称为的为参数则称区间使得和能确定两个统计量的对于给定个样本，是总体的一参数，是总体分布的一个未知设
1,1),(
1)(
),,,,(
),,,,(,10
,,,
21
21
21
P
xxx
xxx
xxx
n
n
n
定义 12.7
置信区间置信度,
.
95,95.0
1 0 0,1 0 0
,,5.0
的真值包含有个区间大约有的置信区间的置信度为个确定了的样本观察值组容量为例如取在重复的抽样中为例以
n
..
,1
.,
率表示参数估计不准的概估计的可靠概率是参数性给出了参数估计的把握置信度置信区间也是随机的由于样本的随机性
置信度和置信区间的意义,
..1 的估计值区间估计没有给出参数
.
,,
,.,
,,.2
置信度越低越小但是包含参数的概率也差可能会越小误置信区间越短但误差越大的概率越大包含参数置信度越大置信区间越长两点说明,
.
,,
立尽可能小的置信区间建条件下要在保证一定置信度的因此
12.4.2 正态总体均值的区间估计的区间估计均值已知方差,.1 2
.,),,(~ 22 未知已知设总体NX
.
1)(
),,(,1
,,,
21
成立使要求置信区间给定置信度个样本，是总体的一
P
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n
分三步完成,
.)1( 确定一个统计量
.,有关且与该统计量的分布已知?
n
i
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1
1取样本均值 ),(~ 2
nN
)1,0(~/ Nnx于是
,0,)2( 2/z找到查标准正态分布表
,21)( 2/z
1)/( 2/2/ znxzP使得由上式左端不等式解出?)3(
1)( 2/2/ nzxnzxP
于是得所求置信区间为
)(t?
O x
2/?
2/?z2/?z?
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,01.005.010.0,或或常取在实际问题中
645.105.0?z 5 7 6.2005.0?z 96.1025.0?z查表得
)64 5.1,64 5.1(
,90.0
n
x
n
x
置信区间为时置信度为
)96.1,96.1(
,95.0
n
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置信区间为时置信度为
)576.2,576.2(
,99.0
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置信区间为时置信度为
)6.56.04.32.1(
4
1
x
样本均值为解
7.2?
,4,3 n?
例 1
.99.0,6.5,6.0,4.3,2.1
:4,
,3,
的置信区间的试求的一组样本值现抽得容量为未知体均值总其标准差设有一正态总体
2
3?
n
2
35 7 6.27.2
2
35 7 6.27.2于是有
)564.6,64.1(
99.0
置信区间为的即?
,
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1
1
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22
2
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可知由定理 3.12
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的区间估计均值未知方差,.2 2
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22
置信区间的求样本为均为未知与设总体
nxxx
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,0)1(
,,1)2(
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到找分布表查对给定置信度
1))1(
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得由上式左端不等式解出?)3(
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5
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15
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例 2
.)05.0(
,
.1 2 7 5,1 2 4 5,1 2 6 5,1 2 6 0,1 2 5 0
,5,
试求温度真值所在范围得的数据服从正态分布若测得数据次重复用某仪器测量温度
CCCCC
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5.1 4 2)1614619(41 2222
776.2)4()1( 0 2 5.02/ tnt?查表得
8.145 5.142776.2)1(2/ nsnt?计算
8.141 2 5 98.141 2 5 9得
)8.1273,2.1244(
95.0 置信区间为的即?
12.4.3 正态总体方差的区间估计
.1,,,,
,),,(~
2
21
22
置信区间的求样本为均为未知与设总体
nxxx
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的无偏估计量是样本方差
2
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1
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2
2
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n
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知由定理
)1(,)1( 2 2/2 2/12 nn 分布表得查
1))1(
)1(
)1(( 2 2/2
2
2
2/1 n
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使置信区间为的得12
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解 5.142)1259(15 1
5
1
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例 3
.95.0
,
.1 2 7 5,1 2 4 5,1 2 6 5,1 2 6 0,1 2 5 0
,5,
2
置信区间的准差和标试求总体方差得的数据服从正态分布若测得数据次重复用某仪器测量温度
CCCCC
ooooo
1 4 3.11)4()1( 2 025.02 2/ n查表得
4 8 8.0)4()1( 2 975.02 2/1 n
1 1 6 84 8 8.0 5.1 4 24)1( )1(2
2/1
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2
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)1 1 6 8,51(
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)2.34,2.7(即小 结信区间区间估计、置信度、置基本概念：
的区间估计正态总体的均值与方差基本方法：
置信区间为方差已知，均值的1.1
),( 2/2/ nzxnzx
置信区间为方差未知，均值的1.2
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置信区间为总体方差的1.3
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2/1
2
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课 后 练 习习 题 12
5,(2) 6,7,
