1
第八章应力状态分析
2
第八章 应力状态分析
应力状态的概念
用解析法分析二向应力状态
用图解法分析二向应力状态
主应力迹线
三向应力状态
广义胡克定律
三向应力状态下的应变能密度
弹性常数 E,G,u 间的关系目录
3
低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
1、问题的提出
8— 1 应力状态的概念
4
脆性材料扭转时为什么沿 45o螺旋面断开？
低碳钢 铸 铁
8— 1 应力状态的概念
5
F
l
a
S
1
pW
Tτ?
z
zWMσ? 3
pW
Tτ?
z
zWMσ
S平面
z
Mz
T 4
3
2
1
y
x
M
Fl
T
Fa
目录
8— 1 应力状态的概念
6
1?
2?
3?
yx
z
x?y
z
xy
yx
yz
zy?zx
xz
单元体上没有切应力的面称为 主平面 ；主平面上的正应力称为 主应力,分别用 表示，并且该单元体称为 主应力单元。
321,, 321
8— 1 应力状态的概念
7
1?
2?
3?
空间（ 三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零
8— 1 应力状态的概念
8
x
y
x
y
yx
xy
a
0 nF 0 tF
1.斜截面上的应力
y
a?
a?
xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
9
0 nF
0s i n)s i n(c o s)s i n(
c o s)c o s(s i n)c o s(
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
列平衡方程
0 tF
0c o s)s i n(s i n)s i n(
s i n)c o s(c o s)c o s(
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
y
a?
a?
xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
10
利用三角函数公式
)2c o s1(21c o s 2
)2c o s1(21s i n 2
2s i nc o ss i n2?{
并注意到 化简得
xyyx
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
2c o s2s in)(21 xyyx
8-2 解析法分析二向应力状态
11
x
y
x
y
yx
xy
a
2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力,使微元顺时针方向转动为正；反之为负。
α 角,由 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。
y
a?
a?
xy
α
n
t
x?
yx?
x
8-2 解析法分析二向应力状态
12
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
确定正应力极值
2c o s22s in)( xyyxdd
设 α ＝ α 0 时，上式值为零，即
02c o s22s in)( 00 xyyx
3,正 应力极值和方向
02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ2
0α0xy0
yx
即 α ＝ α 0 时，切应力为零
8-2 解析法分析二向应力状态
13
yx
xy
22t a n
0
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
22m a x 4212 xyyxyx
22m i n 4212 xyyxyx
主应力 按代数值 排序,σ 1? σ 2? σ 3
8-2 解析法分析二向应力状态
14
试求 （ 1）? 斜面上的应力；
（ 2）主应力、主平面；
（ 3）绘出主应力单元体。
例题 1,一点处的平面应力状态如图所示。
y?
x?
xy?
。30
M P a,60?x? M P a,30xy?
,M P a40y?
已知
8-2 解析法分析二向应力状态
15
解,（ 1）? 斜面上的应力
2s i n2c o s22 xyyxyx
)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060
M P a02.9?
2c o s2s in2 xyyx
)60c o s (30)60s in (2 4060
M P a3.58
y?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
16
（ 2）主应力、主平面
2
yx
xy
yx 22)
2
(?
max
M P a3.68?
2
yx
xy
yx 22)
2
(?
min?
M P a3.48
M P a3.48,0M P a,3.68 321
y?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
17
主平面的方位：
yx
xytg
2
2 0
6.04060 60
,5.150
5.1 0 5905.150
y?
x?
xy?
代入 表达式可知
主应力 方向：
15.150
主应力 方向：
35.1050
8-2 解析法分析二向应力状态
18
（ 3）主应力单元体：
y?
x?
xy?
5.15
1?
3?
8-2 解析法分析二向应力状态
19
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
2c o s2s in)(21 xyyx
xy
yxyx 2222 )
2
()
2
(
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
8-3 图解法分析二向应力状态
20
xy
yxyx 2222 )
2()2(?
R
C
xy
yxR 22)
2(?
2
yx
1,应力圆：
8-3 图解法分析二向应力状态
21
2.应力圆的画法
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
x y?
2
R
xy
yxR 22)
2(?
y?
yx
xy
A
D x
y
x?
8-3 图解法分析二向应力状态
22
点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力
3、几种对应关系
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
x y?
2
y
yx
xy
x
x
y
H
n
),( aaH
2
8-3 图解法分析二向应力状态
23
1.定义
2?
3?
1?
三个主应力都不为零的应力状态
8-5 三向应力状态
24
由三向应力圆可以看出：
2
31
m a x
结论：
代表单元体任意斜截面上应力的点，
必定在三个应力圆圆周上或圆内。
2
1
3?
3
2? 1?
0
8-5 三向应力状态
25
1,基本变形时的胡克定律
xx E
E
x
xy
x?
y
x
1）轴向拉压胡克定律横向变形
2）纯剪切胡克定律
G?
8-6 广义胡克定律
26
2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
2?
3?
1?
3211 1
E
1?
2?
3?
1?
E
1?
E
2
E
3
8-6 广义胡克定律
27
2?
3?
1?
3211 1
E
1322 1
E
2133 1
E
8-6 广义胡克定律
28
)]([1 zyxx E
G
xy
xy
3、广义胡克定律的一般形式
)]([1 xzyy E
)]([1 yxzz E
G
yz
yz
G
zx
zx
x?y
z
xy
yx
yz
zy?zx
xz
8-6 广义胡克定律
第八章应力状态分析
2
第八章 应力状态分析
应力状态的概念
用解析法分析二向应力状态
用图解法分析二向应力状态
主应力迹线
三向应力状态
广义胡克定律
三向应力状态下的应变能密度
弹性常数 E,G,u 间的关系目录
3
低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
1、问题的提出
8— 1 应力状态的概念
4
脆性材料扭转时为什么沿 45o螺旋面断开？
低碳钢 铸 铁
8— 1 应力状态的概念
5
F
l
a
S
1
pW
Tτ?
z
zWMσ? 3
pW
Tτ?
z
zWMσ
S平面
z
Mz
T 4
3
2
1
y
x
M
Fl
T
Fa
目录
8— 1 应力状态的概念
6
1?
2?
3?
yx
z
x?y
z
xy
yx
yz
zy?zx
xz
单元体上没有切应力的面称为 主平面 ；主平面上的正应力称为 主应力,分别用 表示，并且该单元体称为 主应力单元。
321,, 321
8— 1 应力状态的概念
7
1?
2?
3?
空间（ 三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零
8— 1 应力状态的概念
8
x
y
x
y
yx
xy
a
0 nF 0 tF
1.斜截面上的应力
y
a?
a?
xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
9
0 nF
0s i n)s i n(c o s)s i n(
c o s)c o s(s i n)c o s(
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
列平衡方程
0 tF
0c o s)s i n(s i n)s i n(
s i n)c o s(c o s)c o s(
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
y
a?
a?
xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
10
利用三角函数公式
)2c o s1(21c o s 2
)2c o s1(21s i n 2
2s i nc o ss i n2?{
并注意到 化简得
xyyx
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
2c o s2s in)(21 xyyx
8-2 解析法分析二向应力状态
11
x
y
x
y
yx
xy
a
2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力,使微元顺时针方向转动为正；反之为负。
α 角,由 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。
y
a?
a?
xy
α
n
t
x?
yx?
x
8-2 解析法分析二向应力状态
12
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
确定正应力极值
2c o s22s in)( xyyxdd
设 α ＝ α 0 时，上式值为零，即
02c o s22s in)( 00 xyyx
3,正 应力极值和方向
02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ2
0α0xy0
yx
即 α ＝ α 0 时，切应力为零
8-2 解析法分析二向应力状态
13
yx
xy
22t a n
0
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
22m a x 4212 xyyxyx
22m i n 4212 xyyxyx
主应力 按代数值 排序,σ 1? σ 2? σ 3
8-2 解析法分析二向应力状态
14
试求 （ 1）? 斜面上的应力；
（ 2）主应力、主平面；
（ 3）绘出主应力单元体。
例题 1,一点处的平面应力状态如图所示。
y?
x?
xy?
。30
M P a,60?x? M P a,30xy?
,M P a40y?
已知
8-2 解析法分析二向应力状态
15
解,（ 1）? 斜面上的应力
2s i n2c o s22 xyyxyx
)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060
M P a02.9?
2c o s2s in2 xyyx
)60c o s (30)60s in (2 4060
M P a3.58
y?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
16
（ 2）主应力、主平面
2
yx
xy
yx 22)
2
(?
max
M P a3.68?
2
yx
xy
yx 22)
2
(?
min?
M P a3.48
M P a3.48,0M P a,3.68 321
y?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
17
主平面的方位：
yx
xytg
2
2 0
6.04060 60
,5.150
5.1 0 5905.150
y?
x?
xy?
代入 表达式可知
主应力 方向：
15.150
主应力 方向：
35.1050
8-2 解析法分析二向应力状态
18
（ 3）主应力单元体：
y?
x?
xy?
5.15
1?
3?
8-2 解析法分析二向应力状态
19
2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx
2c o s2s in)(21 xyyx
xy
yxyx 2222 )
2
()
2
(
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
8-3 图解法分析二向应力状态
20
xy
yxyx 2222 )
2()2(?
R
C
xy
yxR 22)
2(?
2
yx
1,应力圆：
8-3 图解法分析二向应力状态
21
2.应力圆的画法
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
x y?
2
R
xy
yxR 22)
2(?
y?
yx
xy
A
D x
y
x?
8-3 图解法分析二向应力状态
22
点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力
3、几种对应关系
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
x y?
2
y
yx
xy
x
x
y
H
n
),( aaH
2
8-3 图解法分析二向应力状态
23
1.定义
2?
3?
1?
三个主应力都不为零的应力状态
8-5 三向应力状态
24
由三向应力圆可以看出：
2
31
m a x
结论：
代表单元体任意斜截面上应力的点，
必定在三个应力圆圆周上或圆内。
2
1
3?
3
2? 1?
0
8-5 三向应力状态
25
1,基本变形时的胡克定律
xx E
E
x
xy
x?
y
x
1）轴向拉压胡克定律横向变形
2）纯剪切胡克定律
G?
8-6 广义胡克定律
26
2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
2?
3?
1?
3211 1
E
1?
2?
3?
1?
E
1?
E
2
E
3
8-6 广义胡克定律
27
2?
3?
1?
3211 1
E
1322 1
E
2133 1
E
8-6 广义胡克定律
28
)]([1 zyxx E
G
xy
xy
3、广义胡克定律的一般形式
)]([1 xzyy E
)]([1 yxzz E
G
yz
yz
G
zx
zx
x?y
z
xy
yx
yz
zy?zx
xz
8-6 广义胡克定律
