1
弯 曲 变 形第 七 章目录
2
第七章 弯曲变形
§ 7-1 概述
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程
§ 7-3 用积分法求梁的变形
§ 7-4 用叠加法求梁的变形
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录 目录
3
§ 7-1 概 述
7-1 目录
4
§ 7-1 概 述目录
5
§ 7-1 概 述目录
6
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
)( xyy?
由于小变形，截面形心在 x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：
dx
dy ta n
挠曲线y
x
x
y
挠度
转角挠度 y：截面形心在 y方向的位移
y 向上为正转角 θ,截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
7-2 目录
7
2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
8
由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
dy
dx
yd
略去高阶小量，得
2
21
dx
yd
所以
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
9
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
10
§ 7-3 用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
积分一次得转角方程为：
CdxxMEIdxdyEI zz )(?
)(2
2
xMdx ydEI z?
再积分一次得挠度方程为：
DxCdxdxxMyEI z )(
7-3 目录
11
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
~~
~
~
~
0?Ay 0?Ay
0?A?
Ay
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL yy?
ARAL
ARAL yy?
－ 弹簧变形?
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
12
例 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),( FF Ay )(FlM A?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdx ydEI
ClxFEIdxdyEI 2)(21?
DCxlxFE I y 3)(61
积分一次再积分一次
B?
A B x
y
x
l
F
By
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
13
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 Ayx
0,0 Ax?
32
6
1,
2
1 FlDFlC代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEI
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFE I y
EI
Flyy
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a x
B?
A B x
y
x
l
F
By
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
14
例 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx,,0
2）弯矩方程
axxlFbxFxM Ay 1111 0,
AC 段：
lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(
CB 段：
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
15
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdx ydEI
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dyEI
11131 16 DxCxl
FbE I y
AC 段,ax 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdx ydEI
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dyEI
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbE I y
CB 段,lxa
2
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
16
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 lylx
0)0(,0 11 yx
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx
)()(,2121 ayayaxx
l
FbF b lCC
66
1 3
21
021 DD
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
17
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221 1 bllFbxlFbEI
12231 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbE I y
AC 段,ax 10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbE I y
CB 段,lxa 2
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
18
6）确定最大转角和最大挠度令 得，
0?dxd?
))((6,m a x alE I lF a blx B
令 得，
0?dxdy
)(39 )(,3
322
m a x
22
E I l
blFbyblx
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
19
讨 论积分法求变形有什么优缺点？
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
20
§ 7-4 用叠加法求梁的变形
)(2
2
xME I y ''dx ydEI
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为,挠度为 y，则有：?
)( xMEI y'' ii?
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩为,转角为,挠度为,则有：
i? iy)(xMi
由弯矩的叠加原理知,)()(
1
xMxM
n
i
i
所以，
)('')(''
11
xMyEIyEI
n
i
i
n
i
i
7-4 目录
21
故 '')(''
1
n
i
iyy
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
n
i
i
n
i
iyy
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
22
例 3 已知简支梁受力如图示，
q,l,EI均为已知。求 C 截面的挠度 yC ； B截面的转角?B
1）将梁上的载荷分解
321 CCCC yyyy
321 BBBB
yC1
yC2
yC3
2）查表得 3种情形下 C截面的挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1
EI
ql
B 16
3
1
EI
ql
B 3
3
3
EI
qly
C 3 8 4
5 4
1
EI
qly
C 48
4
2
EI
qly
C 16
4
3?
解
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
23
yC1
yC2
yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和
)(
3 8 4
11
16483 8 4
5
4
4443
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
yy
i
CiC
)(
48
11
31624
3
3333
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
i
BiB
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
24
例 4 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 yC和转角?C
1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在 AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。
Cy
解
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
25
Cy
2Cy
1Cy
2By
,8 41 EIqly C
,
2481 28
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
yy BBC
EI
ql
C 6
3
1
EI
ql
C 48
3
2
EI
qlyy
i
CiC 384
41 42
1
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自 C截面的挠度和转角。
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
26
讨 论叠加法求变形有什么优缺点？
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
27
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
1.刚度条件
][],[ m a xm a x yy
建筑钢梁的许可挠度：
1 0 0 0~2 5 0
ll
机械传动轴的许可转角：
3000
1
精密机床的许可转角：
5000
1
7-5 目录
28
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承 B
处转角不超过许用数值。
B
1） 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为：
EI
Fla
B 3
解
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录例 5 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转角?θ? =0.5° 。根据刚度要求确定轴的直径 d。
29
例 6 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转角?θ? =0.5° 。根据刚度要求确定轴的直径 d。
B
2） 由刚度条件确定轴的直径,
B
11 1m mm10111
5.0102063
18012102064
3
18064
3
4
29
3
4
E
F la
d
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
18 03 EIF laEF laI 3 1 8 0 EFl ad 3 18064 4
30
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
2.提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状目录
31
2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
32
2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
%5.62
1
2?
C
C
w
w
33
3）采用超静定结构
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
34
3）采用超静定结构
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
35
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束,从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数,多余约束或多余支反力的数目。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统 —— 比较变形，列变形协调条件 —— 由物理关系建立补充方程 —— 利用静力平衡条件求其他约束反力。
相当系统,用多余约束力代替多余约束的静定系统
7-6 目录
36
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
解例 6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为 EI。
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
1）判定超静定次数
2）解除多余约束，建立相当系统
(d)
A B
C
F B y
A B
F
C
0)()( ByFBFBB yyy
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录
3）进行变形比较，列出变形协调条件
37
4）由物理关系，列出补充方程
EI
Faaa
EI
aFy
FB 3
14)29(
6
)2()( 32
EI
aFy By
FB By 3
8)( 3?
038314
33
EI aFEIFa By所以
FFBy 47?
4）由整体平衡条件求其他约束反力
)(43),(2 FFFaM AyA
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
(d)
A B
C
F B y
A B
F
CAM
AyF
38
例 7 梁 AB 和 BC 在 B 处铰接,A,C 两端固定，梁的抗弯刚度均为 EI,F = 40kN,q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
从 B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。
变形协调方程为,21 BB yy?
BBFF
FB
MA
FA
yB1
FB
MC
FC
yB2
物理关系
EI
F
EI
qy B
B 3
4
8
4 34
1
EIFEIFy 'B B3 42436 2 322
解
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
39
FB
FB
MA
FA
MC
FC
yB1
yB2
kN75.848 42046 104023 3
4
2
BF
代入得补充方程：
EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234
确定 A 端约束力
04,0 qFFF BAy
kN25.7175.82044 BA FqF
0424,0 BAA FqMM
mkN12575.842204
424
BA FqM
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
40
FB
F′B
MA
FA
MC
FC
yB1
yB2
0,0 FFFF CBy
确定 B 端约束力
kN75.48
75.840
BC FFF
042,0 BCC FFMM
k N,m1 1 540275.84
24
FFM BC
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
41
MA
FA
MC
FC
A,B 端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图)(?
)(?
25.71
75.8
75.48
kN
SF
)(kN25.71?AF
)kN (75.48?CF
)(mkN125AM
)m(kN115CM
)(?
125 115
94.1
5.17
)mkN(?
M
)(?
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
42
小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁 变形的积分法和叠加法
3、学会用 变形比较法解简单超静定问题目录
43
第七章作业
7—3a,7,15,17,19、
弯 曲 变 形第 七 章目录
2
第七章 弯曲变形
§ 7-1 概述
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程
§ 7-3 用积分法求梁的变形
§ 7-4 用叠加法求梁的变形
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录 目录
3
§ 7-1 概 述
7-1 目录
4
§ 7-1 概 述目录
5
§ 7-1 概 述目录
6
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
)( xyy?
由于小变形，截面形心在 x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：
dx
dy ta n
挠曲线y
x
x
y
挠度
转角挠度 y：截面形心在 y方向的位移
y 向上为正转角 θ,截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
7-2 目录
7
2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
8
由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
dy
dx
yd
略去高阶小量，得
2
21
dx
yd
所以
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
9
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
§ 7-2 挠曲线的近似微分方程目录
10
§ 7-3 用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
积分一次得转角方程为：
CdxxMEIdxdyEI zz )(?
)(2
2
xMdx ydEI z?
再积分一次得挠度方程为：
DxCdxdxxMyEI z )(
7-3 目录
11
积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
~~
~
~
~
0?Ay 0?Ay
0?A?
Ay
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL yy?
ARAL
ARAL yy?
－ 弹簧变形?
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
12
例 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),( FF Ay )(FlM A?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdx ydEI
ClxFEIdxdyEI 2)(21?
DCxlxFE I y 3)(61
积分一次再积分一次
B?
A B x
y
x
l
F
By
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
13
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 Ayx
0,0 Ax?
32
6
1,
2
1 FlDFlC代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEI
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFE I y
EI
Flyy
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a x
B?
A B x
y
x
l
F
By
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
14
例 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx,,0
2）弯矩方程
axxlFbxFxM Ay 1111 0,
AC 段：
lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(
CB 段：
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
15
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdx ydEI
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dyEI
11131 16 DxCxl
FbE I y
AC 段,ax 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdx ydEI
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dyEI
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbE I y
CB 段,lxa
2
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
16
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 lylx
0)0(,0 11 yx
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx
)()(,2121 ayayaxx
l
FbF b lCC
66
1 3
21
021 DD
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
17
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221 1 bllFbxlFbEI
12231 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbE I y
AC 段,ax 10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbE I y
CB 段,lxa 2
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
18
6）确定最大转角和最大挠度令 得，
0?dxd?
))((6,m a x alE I lF a blx B
令 得，
0?dxdy
)(39 )(,3
322
m a x
22
E I l
blFbyblx
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
A?
B?
y
B
19
讨 论积分法求变形有什么优缺点？
§ 7-3 用积分法求梁的变形目录
20
§ 7-4 用叠加法求梁的变形
)(2
2
xME I y ''dx ydEI
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为,挠度为 y，则有：?
)( xMEI y'' ii?
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩为,转角为,挠度为,则有：
i? iy)(xMi
由弯矩的叠加原理知,)()(
1
xMxM
n
i
i
所以，
)('')(''
11
xMyEIyEI
n
i
i
n
i
i
7-4 目录
21
故 '')(''
1
n
i
iyy
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
n
i
i
n
i
iyy
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
22
例 3 已知简支梁受力如图示，
q,l,EI均为已知。求 C 截面的挠度 yC ； B截面的转角?B
1）将梁上的载荷分解
321 CCCC yyyy
321 BBBB
yC1
yC2
yC3
2）查表得 3种情形下 C截面的挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1
EI
ql
B 16
3
1
EI
ql
B 3
3
3
EI
qly
C 3 8 4
5 4
1
EI
qly
C 48
4
2
EI
qly
C 16
4
3?
解
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
23
yC1
yC2
yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和
)(
3 8 4
11
16483 8 4
5
4
4443
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
yy
i
CiC
)(
48
11
31624
3
3333
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
i
BiB
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
24
例 4 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 yC和转角?C
1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在 AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。
Cy
解
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
25
Cy
2Cy
1Cy
2By
,8 41 EIqly C
,
2481 28
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
yy BBC
EI
ql
C 6
3
1
EI
ql
C 48
3
2
EI
qlyy
i
CiC 384
41 42
1
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自 C截面的挠度和转角。
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
26
讨 论叠加法求变形有什么优缺点？
§ 7-4 用叠加法求梁的变形目录
27
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
1.刚度条件
][],[ m a xm a x yy
建筑钢梁的许可挠度：
1 0 0 0~2 5 0
ll
机械传动轴的许可转角：
3000
1
精密机床的许可转角：
5000
1
7-5 目录
28
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承 B
处转角不超过许用数值。
B
1） 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为：
EI
Fla
B 3
解
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录例 5 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转角?θ? =0.5° 。根据刚度要求确定轴的直径 d。
29
例 6 已知钢制圆轴左端受力为 F
＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2 m，
E=206 GPa。轴承 B处的许可转角?θ? =0.5° 。根据刚度要求确定轴的直径 d。
B
2） 由刚度条件确定轴的直径,
B
11 1m mm10111
5.0102063
18012102064
3
18064
3
4
29
3
4
E
F la
d
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
18 03 EIF laEF laI 3 1 8 0 EFl ad 3 18064 4
30
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
2.提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状目录
31
2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
32
2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
%5.62
1
2?
C
C
w
w
33
3）采用超静定结构
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
34
3）采用超静定结构
§ 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录
35
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束,从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数,多余约束或多余支反力的数目。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统 —— 比较变形，列变形协调条件 —— 由物理关系建立补充方程 —— 利用静力平衡条件求其他约束反力。
相当系统,用多余约束力代替多余约束的静定系统
7-6 目录
36
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
解例 6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为 EI。
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
1）判定超静定次数
2）解除多余约束，建立相当系统
(d)
A B
C
F B y
A B
F
C
0)()( ByFBFBB yyy
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录
3）进行变形比较，列出变形协调条件
37
4）由物理关系，列出补充方程
EI
Faaa
EI
aFy
FB 3
14)29(
6
)2()( 32
EI
aFy By
FB By 3
8)( 3?
038314
33
EI aFEIFa By所以
FFBy 47?
4）由整体平衡条件求其他约束反力
)(43),(2 FFFaM AyA
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁目录
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A A
F A y
A C
F
CBA
F B y
F
CBA
A
2 a
(d)
(c)
(b)
(a)
a
M
M
B
B
F
C
A
A
F A y
A
C
F
CB
A
F B y
F
C
BA
A
(d)
A B
C
F B y
A B
F
CAM
AyF
38
例 7 梁 AB 和 BC 在 B 处铰接,A,C 两端固定，梁的抗弯刚度均为 EI,F = 40kN,q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
从 B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。
变形协调方程为,21 BB yy?
BBFF
FB
MA
FA
yB1
FB
MC
FC
yB2
物理关系
EI
F
EI
qy B
B 3
4
8
4 34
1
EIFEIFy 'B B3 42436 2 322
解
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
39
FB
FB
MA
FA
MC
FC
yB1
yB2
kN75.848 42046 104023 3
4
2
BF
代入得补充方程：
EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234
确定 A 端约束力
04,0 qFFF BAy
kN25.7175.82044 BA FqF
0424,0 BAA FqMM
mkN12575.842204
424
BA FqM
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
40
FB
F′B
MA
FA
MC
FC
yB1
yB2
0,0 FFFF CBy
确定 B 端约束力
kN75.48
75.840
BC FFF
042,0 BCC FFMM
k N,m1 1 540275.84
24
FFM BC
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
41
MA
FA
MC
FC
A,B 端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图)(?
)(?
25.71
75.8
75.48
kN
SF
)(kN25.71?AF
)kN (75.48?CF
)(mkN125AM
)m(kN115CM
)(?
125 115
94.1
5.17
)mkN(?
M
)(?
§ 7-6 用变形比较法解简单超静定梁
42
小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁 变形的积分法和叠加法
3、学会用 变形比较法解简单超静定问题目录
43
第七章作业
7—3a,7,15,17,19、
