1
第六章弯曲应力目录
2
回顾与比较内力
A
F
应力
PI
T
FAy FS
M
目录
3
第六章 弯曲应力
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件
§ 6-3 矩形截面梁的切应力
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
§ 6-4 常见截面梁的最大切应力
§ 6-6 弯曲切应力的强度校核
§ 6-6 变截面梁 等强度梁 组合梁的计算目录 目录
4
纯弯曲梁段 CD上，只有弯矩，没有剪力－－ 纯弯曲梁段 AC和 BD上，既有弯矩，又有剪力－－ 横力弯曲
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
5
一、变形几何关系
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
6
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
7
平面假设,横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
8
凹入 一侧纤维 缩短突出 一侧纤维 伸长中间一层纤维长度不变
－－ 中性层中间层与横截面的交线
－－ 中性轴
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
9
二、物理关系胡克定理 E?
yE?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
10
三、静力学条件
yE?
Z
1
EI
M?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
11
正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
yE?
静力学关系
Z
1
EI
M?
ZI
My
为梁弯曲变形后的曲率
1为曲率半径?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
12
正应力分布
ZI
My
Z
m a x
m a x I
My
Z
m a x W
M
ma x
Z
Z y
IW?
min?
ZW
M?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
13
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
A
dAyI 2Z
ma x
Z
Z y
IW?
64
4
Z
dI
32
3
Z
dW
)1(64 4
4
Z?
DI )1(
32
4
3
Z?
DW
12
3
Z
bhI?
6
2
Z
bhW?
1212
33
00
Z
bhhbI )2//()
1212( 0
33
00
Z h
bhhbW
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
14
横力弯曲
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件
6-2 目录
15
横力弯曲正应力公式弯曲正应力分布
ZI
My
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM
横力弯曲最大正应力
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
16
弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布
ZI
My
细长梁的 纯弯曲 或 横力弯曲
横截面惯性积 IYZ=0
弹性变形阶段
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
17
弯曲正应力强度条件
σ
I
yM
σ
z
m a xm a x
m a x
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
ttm a x,ccm a x,
3.变截面梁要综合考虑 与M zI
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
18
FAY FBY
BA
l = 3m
q=60kN/m
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
1.C 截面上 K点正应力
2.C 截面上 最大 正应力
3.全梁 上 最大 正应力
4.已知 E=200GPa，
C 截面的曲率半径 ρ
FS
x
90kN
90kN
mkN605.0160190CM
1,求支反力 kN90Ay?F kN90?ByF
4533
Z m10832.512
18.012.0
12
bhI
M P a7.61Pa107.61
10832.5
10)30
2
180
(1060
6
5
33
Z
KC
K
I
yM
（压应力）
解：
例题 6-1§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
19
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
2,C 截面最大正应力
C 截面弯矩
mkN60CM
C 截面惯性矩
45Z m10832.5I
M P a55.92Pa1055.92
10832.5
10
2
180
1060
6
5
33
Z
m a x
m a x
I
yM
C
C
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
20
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
3,全梁最大正应力最大弯矩
mkN5.67m a xM
截面惯性矩
45 m108 3 2.5zI
M P a17.104Pa1017.104
10832.5
10
2
180
105.67
6
5
33
Z
m a xm a x
m a x
I
yM
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
21
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
4,C 截面曲率半径 ρ
C 截面弯矩
mkN60CM
C 截面惯性矩
45Z m10832.5I
m4.1 9 4
1060
108 3 2.5102 0 0
3
59
C
Z
C
M
EI
EI
M?
1
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
22
zI
yM m a xm a x
m a x
分析（ 1）
（ 2）弯矩 最大的截面M
（ 3）抗弯截面系数 最小的截面
zW
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
,kN5.62,m16.0,m267.0,1302 Fbammd
材料的许用应力,M P a60
mm1601?d
？
zW
M m a xmax?
例题 6-2§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
23
（ 3） B截面,C截面需校核
（ 4）强度校核
B截面：
M Pa5.41Pa105.41
16.0
322675.62
32
6
33
1
m a x
d
Fa
W
M
zB
B
M P a4.46Pa104.46
13.0
321605.62
32
6
33
2
m a x
d
Fb
W
M
zC
C
C截面：
（ 5）结论
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
FaFb
解：
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
24
分析
（ 1）确定危险截面
（ 3）计算
maxM
（ 4）计算,选择工字钢型号
zW
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 材料的许用应力
M P a,140
k N,7.61?F,kN502?F起重量 跨度 m,5.9?l
试选择工字钢的型号。
zW
M m a x
m a x
（ 2）
例题 6-3§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
25
（ 4）选择工字钢型号
（ 5）讨论
（ 3）根据
zW
M m a x
m a x
计算
336
6
3
m a x
cm9 6 2m109 6 2
101 4 0
4
5.910)507.6(
M
W z
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图解：
36c工字钢 3cm9 6 2?zW
kg /m6.67?q
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
26
作弯矩图，寻找需要校核的截面
cctt m a x,m a x,,要同时满足分析,非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
M P a,60,M P a30 ct
例题 6-4§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
27
mm52201202080 8020120102080cy
（ 2）求截面对中性轴 z的惯性矩
46
2
3
2
3
m1064.7
281 2 020
12
1 2 020
422080
12
2080
z
I
（ 1）求截面形心
z1
y
z
52
解：
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
28
（ 4） B截面校核
t
t
M P a2.27Pa102.27
1064.7
1052104
6
6
33
m a x,
c
c
M P a1.46Pa101.46
1064.7
1088104
6
6
33
m a x,
（ 3）作弯矩图
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
kN.m5.2
kN.m4
29
（ 5） C截面要不要校核？
t
t
M P a8.28Pa108.28
1064.7
1088105.2
6
6
33
m a x,
（ 4） B截面校核
（ 3）作弯矩图
tt M P a2.27m a x,
cc M P a1.46m a x,
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
kN.m5.2
kN.m4
30
A
FS
2
3?
§ 6-3 矩形截面梁的切应力
6-3 目录
31
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m。 胶合面的许可切应力为 0.34MPa，
木材的 〔 σ 〕 = 10 MPa，
[τ]=1MPa,求许可载荷。
21m a xm a x 6bh lFWM
z
1.画梁的剪力图和弯矩图
2.按正应力强度条件计算许可载荷SF
F
M
Fl
3,7 5 k NN37506 10150100106 92721lbhF?
bhFAF S 2/32/3 2m a x
3.按切应力强度条件计算许可载荷
kN01N100003/101501001023/2 662bhF?
F
l
100
50
50
50
z
解：
例题 6-5§ 6-3 矩形截面梁的切应力目录
32
g
Z
ZS
bh
F
b
bh
h
bF
bI
SF
3
4
12
3 3
3
2
3*
g
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
3,8 2 5 kNN3825
4
1034.0101501003
4
3 66
3
gbhF?
5.梁的许可载荷为 3,7 5 k NkN825.3kN10kN75.3
m i nm i n iFF
F
l
100
50
50
50
M
Fl
z
SF
F
§ 6-3 矩形截面梁的切应力目录
33
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M ][
1,降低 Mmax 合理安排支座合理布置载荷
6-7 目录
34
合理布置支座
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
F
F
F
35
合理布置支座
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
36
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理布置载荷
F
37
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M ][
2,增大 WZ 合理设计截面合理放置截面
6-7 目录
38
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理设计截面
39
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理设计截面
40
6
2bh
W Z?左
6
2hb
W Z?右
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理放置截面
41
3、等强度梁
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
b
xh
42
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
43
小结
1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法
2、熟练掌握弯曲正应力的计算、
弯曲正应力强度条件及其应用
3、了解提高梁强度的主要措施目录
44
第六章作业
6—3,4,5,6,11,12
第六章弯曲应力目录
2
回顾与比较内力
A
F
应力
PI
T
FAy FS
M
目录
3
第六章 弯曲应力
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件
§ 6-3 矩形截面梁的切应力
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
§ 6-4 常见截面梁的最大切应力
§ 6-6 弯曲切应力的强度校核
§ 6-6 变截面梁 等强度梁 组合梁的计算目录 目录
4
纯弯曲梁段 CD上，只有弯矩，没有剪力－－ 纯弯曲梁段 AC和 BD上，既有弯矩，又有剪力－－ 横力弯曲
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
5
一、变形几何关系
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
6
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
7
平面假设,横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
8
凹入 一侧纤维 缩短突出 一侧纤维 伸长中间一层纤维长度不变
－－ 中性层中间层与横截面的交线
－－ 中性轴
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
9
二、物理关系胡克定理 E?
yE?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
10
三、静力学条件
yE?
Z
1
EI
M?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
11
正应力公式变形几何关系物理关系
y?
E?
yE?
静力学关系
Z
1
EI
M?
ZI
My
为梁弯曲变形后的曲率
1为曲率半径?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
12
正应力分布
ZI
My
Z
m a x
m a x I
My
Z
m a x W
M
ma x
Z
Z y
IW?
min?
ZW
M?
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
13
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面
A
dAyI 2Z
ma x
Z
Z y
IW?
64
4
Z
dI
32
3
Z
dW
)1(64 4
4
Z?
DI )1(
32
4
3
Z?
DW
12
3
Z
bhI?
6
2
Z
bhW?
1212
33
00
Z
bhhbI )2//()
1212( 0
33
00
Z h
bhhbW
§ 6-1 纯弯曲时梁的正应力目录
14
横力弯曲
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件
6-2 目录
15
横力弯曲正应力公式弯曲正应力分布
ZI
My
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM
横力弯曲最大正应力
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
16
弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布
ZI
My
细长梁的 纯弯曲 或 横力弯曲
横截面惯性积 IYZ=0
弹性变形阶段
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
17
弯曲正应力强度条件
σ
I
yM
σ
z
m a xm a x
m a x
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
ttm a x,ccm a x,
3.变截面梁要综合考虑 与M zI
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
18
FAY FBY
BA
l = 3m
q=60kN/m
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
1.C 截面上 K点正应力
2.C 截面上 最大 正应力
3.全梁 上 最大 正应力
4.已知 E=200GPa，
C 截面的曲率半径 ρ
FS
x
90kN
90kN
mkN605.0160190CM
1,求支反力 kN90Ay?F kN90?ByF
4533
Z m10832.512
18.012.0
12
bhI
M P a7.61Pa107.61
10832.5
10)30
2
180
(1060
6
5
33
Z
KC
K
I
yM
（压应力）
解：
例题 6-1§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
19
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
2,C 截面最大正应力
C 截面弯矩
mkN60CM
C 截面惯性矩
45Z m10832.5I
M P a55.92Pa1055.92
10832.5
10
2
180
1060
6
5
33
Z
m a x
m a x
I
yM
C
C
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
20
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
3,全梁最大正应力最大弯矩
mkN5.67m a xM
截面惯性矩
45 m108 3 2.5zI
M P a17.104Pa1017.104
10832.5
10
2
180
105.67
6
5
33
Z
m a xm a x
m a x
I
yM
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
21
BA
l = 3mFAY
q=60kN/m
FBY
xC
1m
M
x
m6 7,5 k N8/2ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kN
4,C 截面曲率半径 ρ
C 截面弯矩
mkN60CM
C 截面惯性矩
45Z m10832.5I
m4.1 9 4
1060
108 3 2.5102 0 0
3
59
C
Z
C
M
EI
EI
M?
1
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
22
zI
yM m a xm a x
m a x
分析（ 1）
（ 2）弯矩 最大的截面M
（ 3）抗弯截面系数 最小的截面
zW
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
,kN5.62,m16.0,m267.0,1302 Fbammd
材料的许用应力,M P a60
mm1601?d
？
zW
M m a xmax?
例题 6-2§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
23
（ 3） B截面,C截面需校核
（ 4）强度校核
B截面：
M Pa5.41Pa105.41
16.0
322675.62
32
6
33
1
m a x
d
Fa
W
M
zB
B
M P a4.46Pa104.46
13.0
321605.62
32
6
33
2
m a x
d
Fb
W
M
zC
C
C截面：
（ 5）结论
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
FaFb
解：
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
24
分析
（ 1）确定危险截面
（ 3）计算
maxM
（ 4）计算,选择工字钢型号
zW
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 材料的许用应力
M P a,140
k N,7.61?F,kN502?F起重量 跨度 m,5.9?l
试选择工字钢的型号。
zW
M m a x
m a x
（ 2）
例题 6-3§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
25
（ 4）选择工字钢型号
（ 5）讨论
（ 3）根据
zW
M m a x
m a x
计算
336
6
3
m a x
cm9 6 2m109 6 2
101 4 0
4
5.910)507.6(
M
W z
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图解：
36c工字钢 3cm9 6 2?zW
kg /m6.67?q
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
26
作弯矩图，寻找需要校核的截面
cctt m a x,m a x,,要同时满足分析,非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
M P a,60,M P a30 ct
例题 6-4§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
27
mm52201202080 8020120102080cy
（ 2）求截面对中性轴 z的惯性矩
46
2
3
2
3
m1064.7
281 2 020
12
1 2 020
422080
12
2080
z
I
（ 1）求截面形心
z1
y
z
52
解：
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
28
（ 4） B截面校核
t
t
M P a2.27Pa102.27
1064.7
1052104
6
6
33
m a x,
c
c
M P a1.46Pa101.46
1064.7
1088104
6
6
33
m a x,
（ 3）作弯矩图
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
kN.m5.2
kN.m4
29
（ 5） C截面要不要校核？
t
t
M P a8.28Pa108.28
1064.7
1088105.2
6
6
33
m a x,
（ 4） B截面校核
（ 3）作弯矩图
tt M P a2.27m a x,
cc M P a1.46m a x,
§ 6-2 正应力公式的推广 强度条件目录
kN.m5.2
kN.m4
30
A
FS
2
3?
§ 6-3 矩形截面梁的切应力
6-3 目录
31
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m。 胶合面的许可切应力为 0.34MPa，
木材的 〔 σ 〕 = 10 MPa，
[τ]=1MPa,求许可载荷。
21m a xm a x 6bh lFWM
z
1.画梁的剪力图和弯矩图
2.按正应力强度条件计算许可载荷SF
F
M
Fl
3,7 5 k NN37506 10150100106 92721lbhF?
bhFAF S 2/32/3 2m a x
3.按切应力强度条件计算许可载荷
kN01N100003/101501001023/2 662bhF?
F
l
100
50
50
50
z
解：
例题 6-5§ 6-3 矩形截面梁的切应力目录
32
g
Z
ZS
bh
F
b
bh
h
bF
bI
SF
3
4
12
3 3
3
2
3*
g
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
3,8 2 5 kNN3825
4
1034.0101501003
4
3 66
3
gbhF?
5.梁的许可载荷为 3,7 5 k NkN825.3kN10kN75.3
m i nm i n iFF
F
l
100
50
50
50
M
Fl
z
SF
F
§ 6-3 矩形截面梁的切应力目录
33
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M ][
1,降低 Mmax 合理安排支座合理布置载荷
6-7 目录
34
合理布置支座
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
F
F
F
35
合理布置支座
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
36
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理布置载荷
F
37
§ 6-7 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M ][
2,增大 WZ 合理设计截面合理放置截面
6-7 目录
38
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理设计截面
39
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理设计截面
40
6
2bh
W Z?左
6
2hb
W Z?右
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录合理放置截面
41
3、等强度梁
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
b
xh
42
§ 6-7 提高梁强度的主要措施目录
43
小结
1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法
2、熟练掌握弯曲正应力的计算、
弯曲正应力强度条件及其应用
3、了解提高梁强度的主要措施目录
44
第六章作业
6—3,4,5,6,11,12
