同济大学：数字信号处理：数字信号习题3

第三章习题讲解
1,0 4()
0,
nnxn
n

其 他
3．设 4( ) ( 2 )h n R n
令,,6( ) ( ( ) )x n x n? 6( ) ( ( ) )h n h n?
试求 与 的周期卷积并作图。()xn ()hn
解,1
0
( ) ( ) ( )
N
m
y n x m h n m

1 1 … 1 1 1 1 0 0… 1 1 0 0
1 1 … 1 1 1 0 0 1… 1 0 0 1
1 1 … 1 1 0 0 1 1… 0 0 1 1
1 0 … 1 0 0 1 1 1… 0 1 1 1
0 0 … 0 0 1 1 1 1… 1 1 1 1
0 1 … 0 1 1 1 1 0… 1 1 1 0
0 0 … 0 0 1 1 1 1… 1 1 1 1
1 2 … 1 2 3 4 5 0… 3 4 5 0
6 7 … 0 1 2 3 4 5 … -4 -3 -2 -1nm
/x n m
hm?
1hm?
2hm?
3hm?
4hm?
5hm?
/h n m
14
12
10
8
6
10
()yn
4,已知 如图 P3-4（ a）所示，为,试画出,,,
，,等各序列。
{1,1,3,2}()xn
5(( ))xn? 66( ( ) ) ( )x n R n? 33( ( ) ) ( )x n R n
6(( ))xn 55( ( 3 ) ) ( )x n R n? 77( ( ) ) ( )x n R n
5(( ))xn?
6(( ))xn
66( ( ) ) ( )x n R n?
55( ( 3 ) ) ( )x n R n?
33( ( ) ) ( )x n R n
77( ( ) ) ( )x n R n
5,试求以下有限长序列的 点 （闭合形式表达式）：
N DFT
0( ) c o s ( ) ( )Nx n a n R n(1)
1
0
( ) ( ) ( )
N
nk
NN
n
X k x n W R k
解：
00
21
0
1 ( ) ( )
2
N j n k
j n j n N
N
n
a e e e R k





21
0
0
co s ( ) ( )
N j n k
N
N
n
a n e R k


00
2211( ) ( )
00
1 ()
2
NN j k n j k n
NN
N
nn
a e e R k



00
00
22
( ) ( )
1 1 1
()
2
11
j N j N
N
j k j k
NN
ee
a R k
ee







0 0 0
0 0 0
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 ( )
2
()
N N N
j j j
j k j k j k
N N N
e e e
a
e e e






0 0 0
0 0 0
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
()
()
()
N N N
j j j
N
j k j k j k
N N N
e e e
Rk
e e e







00
00
11
22
00
si n( ) si n( )1
22 ()
112
si n( ) si n( )
22
NN
j k j j k j
NN
N
NN
a e e R k
kk
NN












21
0
()
N j n k
n N
N
n
a e R k


(2) ( ) ( )n Nx n a R n?
1
0
( ) ( ) ( )
N
nk
NN
n
X k x n W R k
解：
2
1 ()
1
N
Njk
N
a Rk
ae


21
0
()
nN
jk
N
N
n
ae R k




21
0
( ) ( )
N j nk
N
N
n
x n e R k


21
0
0
( ) ( )
N j nk
N
N
n
n n e R k


0
2 ()j n k
N Ne R k

(3) 0( ) ( )x n n n 00 nN
1
0
( ) ( ) ( )
N
nk
NN
n
X k x n W R k
解：
1
( 2 / )
0
1( ) ( )N j N nk
k
x n X k eN?

6,如图 P3-6（ a）画出了几个周期序列,这些序列可以表示成傅里叶级数
()xn
（ 1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的成为实数？()Xk
（ 2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的
（除 外）成为虚数？()Xk (0)X
（ 3） 哪些序列能做到,( ) 0Xk? 2,4,6,.,,k
为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。
()xn
0n?
即 是以为对称轴的偶对称
()xn 0n?
解,（ 1）要使 为实数，根据 DFT的性质,()Xk
( ) ( ) R e [ ( ) ]ex n x n X k?
( ) 0 I m [ ( ) ] 0ox n j X k
()xn ()xn
( ) ( )x n x n
又由图知,为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称：
故第二个序列满足这个条件为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴）。
()xn
0n?
即 是以 对称轴的奇对称()xn 0n?
（ 2）要使 为虚数，根据 DFT的性质,()Xk
( ) 0 R e [ ( ) ] 0ex n X k
( ) ( ) I m [ ( ) ]ox n x n j X k?
()xn ()xn
( ) ( )x n x n
又由图知,为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称：
故这三个序列都不满足这个条件
（ 3）由于是 8点周期序列，其 DFS:
23
8
1
0 44
1 1 ( 1 )()
11
j k kj n k
j k j kn
eX k e
ee






当 时，2,4,6,.,,k1 ( ) 0Xk?
序列 2:
3
2 4
4
2
0 4
1
()
1
jk
j nk
jkn
e
X k e
e



217
8
00
( ) ( ) ( )
N j nk
nk
N
nn
X k x n W x n e



序列 1:
当 时，2,4,6,.,,k1 ( ) 0Xk?
序列 3:
3 1 1( ) ( ) ( 4 )x n x n x n
根据序列移位性质可知
3 1 1
4
1 ( 1 )X ( ) X ( ) X ( ) ( 1 )
1
k
j k j k
jk
k k e k e
e



当 时，2,4,6,.,,k3 ( ) 0Xk?
综上所得，第一个和第三个序列满足
( ) 0Xk? 2,4,...k
8,下图表示一个 5点序列 。()xn
（ 1）试画出 ；( ) ( )x n x n?
（ 2）试画出 ⑤ ；()xn ()xn
（ 3）试画出 ⑩ ；()xn ()xn
( ) ( )x n x n?
⑤()xn ()xn
⑩()xn ()xn
9,设有两个序列
( ),0 5()
0,
x n nxn
n

其 他
( ),0 14()
0,
y n nyn
n

其 他各作 15点的 DFT，然后将两个 DFT相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为,问 的哪些点（用序号 表示）对应于 应该得到的点。
()fn ()fn
n ( ) ( )x n y n?
解,序列 的点数为,的点数为,
故 的点数应为
()xn 1 6N? ()yn 2 15N?
( ) ( )x n y n?
12 1 2 0N N N
0n? ~ 4( 1 )n N L
0 1 9( 1)N?
()fn ()xn ()yn又 为 与 的 15点的圆周卷积，即 L＝ 15。
是线性卷积以 15为周期周期延拓后取主值序列混叠点数为 N－ L＝ 20－ 15＝ 5
()fn 5n? 14n? ( ) ( )x n y n?故 中只有 到 的点对应于应该得到的点。
15? 4
( 1 )LN()L?
15 34( 1 )LN
()L
10,已知两个有限长序列为
1,0 3()
0,4 6
nnxn
n


1,0 4()
1,5 6
nyn
n


试用作图表示,以及 ⑦ 。()xn ()yn ( ) ( )f n x n? ()yn
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 0 0 0
-1 -1 -1 -1 -1 1 1
… -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1
… -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1
-1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 1 1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 1 1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 -1 -1 -1 1
1 1 -1 -1 -1 -1 -1
nm
/x n m
/y n m
77y m R n?
771y m R n?
772y m R n?
773y m R n?
774y m R n?
775y m R n?
7ym?
7ym
776y m R n?
0
4
-2
-10
-10
-8
()fn
-4
11.已知 是 N点有限长序列,。
现将长度变成 rN点的有限长序列
()xn( ) ( )X k D F T x n?
()yn
( ),0 1()
0,1
x n n Nyn
N n rN


试求 rN点 与 的关系。?()D F T y n()Xk
解：由
21
0
( ) [ ( ) ] ( ),0 1
N j nk
N
n
X k D FT x n x n e k N


得 1
0
( ) [ ( ) ] ( )
rN
nk
rN
n
Y k D FT y n y n W

21
0
()
kN jn
Nr
n
x n e


1
0
()
N
nk
rN
n
x n W

,0,1,.,,,1k l r l N
kX
r


21
0
()
N j n k
rN
n
x n e


在一个周期内,Y (k)的抽样点数是 X (k)的 r倍 ( Y (k)
的周期为 Nr)，相当于在
X (k)的每两个值之间插入 r-1个其他值（不一定为零），而当 k为 r的整数
l倍时,Y (k)与 X (k / r)相等。
相当于频域插值
21
0
( ) ( ) 0 1
N j n k
N
n
X k x n e k N


,0,1,.,,,1k l r l N() kY k X r
12,已知 是 N点的有限长序列，,
现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个 rN点的有限长序列
()xn ( ) [ ( ) ]X k D F T x n?
()xn 1r?
()yn
( ),,0,1,...,1()
0,
x n r n i r i Nyn
n

其他试求 rN点 与 的关系。[ ( ) ]D F T y n()Xk
解：由
1
0
( ) [ ( ) ] ( ),0 1
N
nk
N
n
X k DF T x n x n W k N

1
0
( ) [ ( ) ] ( )
rN
nk
rN
n
Y k DF T y n y n W
得
1
0
()
N
irk
rN
i
x ir r W

01k rN
1
0
()
N
ik
N
i
x i W

故 ( ) ( ( ) ) ( )N r NY k X k R k?
离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以 N为周期延拓 r次，即 Y(k)周期为 rN。
1
0
( ) ( ) 0 1
N
nk
N
n
X k x n W k N

01k rN
1
0
( ) ( )
N
ik
N
i
Y k x i W

14.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力,如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms，试确定：（ 1）最小记录长度；（ 2）所允许处理的信号的最高频率；（ 3）
在一个记录中的最少点数。
10 Hz?
解,（ 1）因为,而,所以0
0
1T
F? 0 10F H z? 0
1
10Ts?
即最小记录长度为 0.1s。
（ 2）因为,而 311 10 100.1sf k H zT2shff?
1 5
2hsf f k H z
即允许处理的信号的最高频率为 。5kHz
又因 N必须为 2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为
30 0.13 10 1000
0.1
TN
T（）
102 1 0 2 4N
19,复数有限长序列 是由两个实有限长序列和 组成的，
且已知 有以下两种表达式：
fnxn
01y n n Nf n x n jy n
F k DFT f n
111 11
NN
kk
NN
abF k j
a W b W


21F k jN
其中 为实数。试用 求,abFk,X k D F T x n
,Y k DFT y n,xnyn
111 11
NN
kk
NN
abF k j
a W b W


( ) [ ( )] [ ( ) ( )]F k D F T f n D F T x n j y n
解：由D F T 的线性性
[ ( )] [ ( )]D F T x n j D F T y n ( ) ( )X k j Y k
( ) [ ( )] { R e[ ( )]}X k D F T x n D F T f n
()epFk? *1 ( ) (( )) ( )2 NNF k F N k R k
由共轭对称性得
*
1 1 1 1 1 ()
2 1 1 1 1
N N N N
Nk k N k N k
N N N N
a b a bj j R k
a W b W a W b W



**
1 1 1 1 1
()
2 1 1 11
N N N N
Nkk kk
NN NN
a b a b
j j R k
a W b W a W b W



*1( ) ( ) (( )) ( )
2 NNX k F k F N k R k
1 ()
1
N
Nk
N
a Rk
aW

1
0
()
N
n k n
NN
n
a W R k

1 ()
1
Nk
N
Nk
N
aW
Rk
aW
( ) ( )
n Nx n a R n
( ) [ ( )] { I m [ ( )]}Y k D F T y n D F T f n
1 ()
opFkj?
*1 ( ) (( )) ( )
2 NNF k F N k R kj *
1 1 1 1 1 ()
2 1 1 1 1
N N N N
Nk k N k N k
N N N N
a b a bj j R k
j a W b W a W b W



**
1 1 1 1 1 ()
2 1 1 11
N N N N
Nkk kk
NN NN
a b a bj j R k
j a W b W a W b W



1 ()
1
N
Nk
N
b Rk
bW

1
0
()
N
n k n
NN
n
b W R k

1 ()
1
Nk
N
Nk
N
bW
Rk
bW
( ) ( )
n Ny n b R n
*1 1 1 ( )2 Nj N j N R k
1 1 1 ( )2 Nj N j N R k
()NRk?
( ) ( )x n n
( ) [ ( )] { R e[ ( )]}X k D F T x n D F T f n
()epFk? *1 ( ) (( )) ( )2 NNF k F N k R k
21F k jN
*1 1 1 ( )2 Nj N j N R kj
1 1 1 ( )2 Nj N j N R kj
()NN R k?
( ) ( )y n N n
( ) [ ( )] { I m [ ( )]}Y k D F T y n D F T f n
1 ()
opFkj? *
1 ( ) (( )) ( )
2 NNF k F N k R k
20,已知序列 现对于 x(n)
的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为试求有限长序列,点。?I DFT X k
,0 1,nx n a u n a
z N
2
jkk
NNz W e
X k X z?

N
( ) ( ),0 1nx n a u n a解：由
1
0
1( ) ( )
1
n
n
X z x n z az
得
1
1( ) ( )
1kN k
N
zW
zW
X k X z az?

1
1 kNaW
11
11
N N k
N
Nk
N
aW
a a W


1
0
1
1
N n
k
NN
n
aWa

1
0
1
1
N
n nk
NN
n
aWa

1[ ( ) ] ( )
1
n
NNI DF T X k a R na
( ) (
(
) ( )
)
k
N
nk
NzW
n
Xk
N
W
z
n
X
X z x?


对 在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：
()X k ID F S的：
( ) ( )N
r
x n x n rN


( ) ( ) ( )NN X k X k R k?点
'( ) [ ( )]x n ID F T X k?
1 ()
1
n
NN a R na
( ) ( )NNx n R n?
( ) ( )n rN N
r
a u n rN R n


0
()n rN N
r
a R n


0
()rnN N
r
a a R n

26,研究一个离散时间序列,由 形成两个新序列 和,其中 相当于以抽样周期为 2对 抽样而得到，而 则是以 2对进行抽取而得到，即
xnxn
pxndxnpxn
xndxn
xn
,0,2,4,
0,1,3,p
x n n
xn
n



2dx n x n?
(a)若 如图 P3－ 26 (a)所示，画出 和 。?xnpxndxn
(b) 如图 P3－ 26 (b)所示，
画出 及
jX e D T F T x n
jppX e D T F T x n
jddX e D T F T x n
()jXe?
,0,2,4,
0,1,3,p
x n n
xn
n



2dx n x n?
1
()
0
1( ) ( )sD jkj
p
k
X e X eD
( ) ( )jj
DdpX e X e

()jXe?
3
4?
5
4?
22 3
4
5
4
22 3
2?
3
2
()jdXe?
23
4?
2
()jpXe?
3
4