第七章习题讲解解：线性相位理想低通滤波器
1．用矩形窗设计一个 FIR线性相位低通数字滤波器。
已知,。求出 并画出曲线。
=0.5c 21Nhn
2 0 lg jHe?
其单位抽样响应：
12 j j nddh n H e e d
()
0,
j
j cc
d
cc
eHe
sin cc
c
n
n
1
2
c
c
j j ne e d
其中 1 102N 0.5c
用矩形窗截断得 FIR滤波器：
s i n
2
,0 20
10
0
d
n
nh n h n w n
n
n
其他其中21w n R n?是窗函数。
s in ccd
c
n
hn
n
低通滤波器的幅频响应曲线：
s i n
2
,0 20
10
0
d
n
nh n h n w n
n
n
其他则 FIR滤波器的频率响应：
7．试用频率抽样法设计一个 FIR线性相位数字低通滤波器，已知 。，0.5c 51N?
解,根据题意有
10
0
cj
dHe
其它按第一种频率抽样，得
1,0 1 2
2
1
0,1 3 2 5
2
c
N
k I n t
Hk
N
k
12
25
1
51
si n 51 si n 51si n
2 51 2 512
51 si n 51 si n 55 si n
2 2 51 2 51
jj
k
kk
H e e
kk
则 FIR滤波器的频率响应：
按第二种频率抽样，得
1,0 1 2
2
1
0,1 3 2 5
2
c
N
k In t
N
Hk
N
k
12
25
0
11
si n 51 si n 51
2 51 2 2 51 2
11
51 si n 51 si n
2 51 2 2 51 2
jj
k
kk
H e e
kk
是偶对称序列9．已知图 P7-9-1中的,
圆周移位（移 位）
1hn 8N?
图 P7-9-2中的 是2hn1hn 42N?
后的序列。设
11H k D F T h n22H k D F T h n
成立否？ 与 有（ 1） 问12H k H k1 k2 k?
什么关系？
（ 2）,各构成一个低通滤波器，试问它1hn2hn
们是否是线性相位的？延时是多少？
解：（ 1）根据题意可知
2188 4h n h n
则
34 41 8 8
4
in k i k
i
h i W W
72 1 8 88
0
4 nk
n
H k h n W R n
418 kH k W?
由上式可以看出
21H k H k?
2 1 12 48k k k k k
748 1 8
0
k k i
i
W h i W
（ 2） 各构成低通滤波器时，，1hn2hn
由于都满足偶对称，因此都是线性相位的。
17 3,5
22
N延时为
10．请选择合适的窗函数及 N来设计一个线性相位低通滤波器
,00,
j
j c
d
c
eHe
要求其最小阻带减为－ 45dB，过渡带宽为 851?
求出hn并画出2 0 lg jHe?曲线（设 0.5c ）
解,根据低通滤波器的最小阻减为－ 45dB，查表，
应选择海明窗：
得 43N?
20.54 0.46 c o s 1 Nnw n R nN
6.6 8
51N
过渡带宽应满足：
又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为：
12 c
c
j j n
dh n e e d
sin cc
c
n
n
其中：
1 21
2
N
dh n h n w n
s i n 0,5 21
0,54
0
0,46 co s
21 21
nn
n
n
n
其他
20.54 0.46 c o s 1 Nnw n R nN
s i n ccd
c
n
hn
n
21
0.5c
43N?
线性相位 FIR低通滤波器：
用海明窗设计得到 FIR滤波器的幅频响应：
1．用矩形窗设计一个 FIR线性相位低通数字滤波器。
已知,。求出 并画出曲线。
=0.5c 21Nhn
2 0 lg jHe?
其单位抽样响应：
12 j j nddh n H e e d
()
0,
j
j cc
d
cc
eHe
sin cc
c
n
n
1
2
c
c
j j ne e d
其中 1 102N 0.5c
用矩形窗截断得 FIR滤波器：
s i n
2
,0 20
10
0
d
n
nh n h n w n
n
n
其他其中21w n R n?是窗函数。
s in ccd
c
n
hn
n
低通滤波器的幅频响应曲线：
s i n
2
,0 20
10
0
d
n
nh n h n w n
n
n
其他则 FIR滤波器的频率响应：
7．试用频率抽样法设计一个 FIR线性相位数字低通滤波器，已知 。，0.5c 51N?
解,根据题意有
10
0
cj
dHe
其它按第一种频率抽样，得
1,0 1 2
2
1
0,1 3 2 5
2
c
N
k I n t
Hk
N
k
12
25
1
51
si n 51 si n 51si n
2 51 2 512
51 si n 51 si n 55 si n
2 2 51 2 51
jj
k
kk
H e e
kk
则 FIR滤波器的频率响应：
按第二种频率抽样，得
1,0 1 2
2
1
0,1 3 2 5
2
c
N
k In t
N
Hk
N
k
12
25
0
11
si n 51 si n 51
2 51 2 2 51 2
11
51 si n 51 si n
2 51 2 2 51 2
jj
k
kk
H e e
kk
是偶对称序列9．已知图 P7-9-1中的,
圆周移位（移 位）
1hn 8N?
图 P7-9-2中的 是2hn1hn 42N?
后的序列。设
11H k D F T h n22H k D F T h n
成立否？ 与 有（ 1） 问12H k H k1 k2 k?
什么关系？
（ 2）,各构成一个低通滤波器，试问它1hn2hn
们是否是线性相位的？延时是多少？
解：（ 1）根据题意可知
2188 4h n h n
则
34 41 8 8
4
in k i k
i
h i W W
72 1 8 88
0
4 nk
n
H k h n W R n
418 kH k W?
由上式可以看出
21H k H k?
2 1 12 48k k k k k
748 1 8
0
k k i
i
W h i W
（ 2） 各构成低通滤波器时，，1hn2hn
由于都满足偶对称，因此都是线性相位的。
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N延时为
10．请选择合适的窗函数及 N来设计一个线性相位低通滤波器
,00,
j
j c
d
c
eHe
要求其最小阻带减为－ 45dB，过渡带宽为 851?
求出hn并画出2 0 lg jHe?曲线（设 0.5c ）
解,根据低通滤波器的最小阻减为－ 45dB，查表，
应选择海明窗：
得 43N?
20.54 0.46 c o s 1 Nnw n R nN
6.6 8
51N
过渡带宽应满足：
又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为：
12 c
c
j j n
dh n e e d
sin cc
c
n
n
其中：
1 21
2
N
dh n h n w n
s i n 0,5 21
0,54
0
0,46 co s
21 21
nn
n
n
n
其他
20.54 0.46 c o s 1 Nnw n R nN
s i n ccd
c
n
hn
n
21
0.5c
43N?
线性相位 FIR低通滤波器：
用海明窗设计得到 FIR滤波器的幅频响应：
